高中数学必修二圆与方程经典例题
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1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是
A.－1<t< B.－1<t< C.－ <t<1D.1<t<2
解析：由D2+E2－4F>0，得7t2－6t－1<0，即－ <t<1.答案：C
2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是
点评：一般通过线心距 与圆半径 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.
四、弦长问题
例4(06天津卷理)设直线 与圆 相交于 两点，且弦 的长为 ，则 .
解由已知圆 ，即得圆心 和半径 .
∵线心距 ，且 ，∴ ，即 ，解得 .
点评：一般在线心距 、弦长 的一半和圆半径 所组成的直角三角形中处理弦长问题： .
八、综合问题
例8(06湖南卷理)若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，则直线 的倾斜角的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
解已知圆化为 ，即得圆心 和半径 .
∵圆上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，∴ ，即 ，由直线 的斜率 代入得 ，解得 ，又 ， ，∴直线 的倾斜角的取值范围是 ，故选(B).
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)，圆心坐标为( )，半径为r＝
2.直线与圆的位置关系的判定方法.
(1)法一：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
一元二次方程
(2)法二：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心(a，b)到直线的距离为d＝ .
A.｜a｜＜1 B.a＜ C.｜a｜＜ D.｜a｜＜
解析：点P在圆（x－1）2+y2=1内部 （5a+1－1）2+（12a）2＜1 ｜a｜＜ .答案：D
3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），下列结论错误的是
A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切
C.当b=r时，圆与x轴相切D.当b<r时，圆与x轴相交
习题精选精讲圆标准方程
已知圆心 和半径 ，即得圆的标准方程 ；已知圆的标准方程 ，即得圆心 和半径 ，进而可解得与圆有关的任何问题.
一、求圆的方程
例1(06重庆卷文)以点 为圆心且与直线 相切的圆的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
解已知圆心为 ，且由题意知线心距等于圆半径，即 ，∴所求的圆方程为 ，故选(C).
点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.
圆的方程
1.确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径；
六、圆心角问题
例6(06全国卷二)过点 的直线 将圆 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 的斜率 .
解由已知圆 ，即得圆心 和半径 .
设 ，则 ；∵ 直线 时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线 的斜率 .
点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=9b2.
又因为直线y=x截圆得弦长为2 ，则有（ ）2+（ ）2=9b2，解得b=±1.故所求圆方程为
（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.
五、夹角问题
例5(06全国卷一文)从圆 外一点 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )
(A) (B) (C) (D)0
解已知圆化为 ，即得圆心 和半径 .
设由 向这个圆作的两条切线的夹角为 ，则在切线长、半径 和 构成的直角三角形中， ，∴ ，故选(B).
点评：处理两切线夹角 问题的方法是：先在切线长、半径 和 所构成的直角三角形中求得 的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角 问题.
七、最值问题
例7(06湖南卷文)圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是( )
(A)30(B)18(C) (D)
解已知圆化为 ，即得圆心 和半径 .
设线心距为 ，则圆上的点到直线 的最大距离为 ，最小距离为 ，∴ ，故选(C).
点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距 与圆半径 的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为 ，最小距离为 .
点评：一般通过比较线心距 与圆半径 的大小来处理直线与圆的位置关系： 线圆相离； 线圆相切； 线圆相交.
三、切线问题
例3(06重庆卷理)过坐标原点且与圆 相切的直线方程为( )
(A) 或 (B) 或
(C) 或 (D) 或
解化为标准方程 ,即得圆心 和半径 .
设过坐标原点的切线方程为 ，即 ，∴线心距 ，平方去分母得 ，解得 或 ，∴所求的切线方程为 或 ，故选(A).
解析：已知圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，当b<r时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|<r时，才有圆与x轴相交，而b<r不能保证|b|<r，故D是错误的.故选D.答案：D
●典例剖析
【例2】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2 ，求此圆的方程.
剖析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.
3.两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，｜O1O2｜为圆心距，则两圆位置关系如下：
｜O1O2｜＞r1＋r2 两圆外离；
｜O1O2｜＝r1＋r2 两圆外切；
｜r1－r2｜＜｜O1O2｜＜r1＋r2 两圆相交；
｜O1O2｜＝｜r1－r2｜ 两圆内切；
０＜｜O1O2｜＜｜r1－r2｜ 两圆内含.
点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程 即得圆的方程.
二、位置关系问题
例2(06安徽卷文)直线 与圆 没有公共点，则 的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)
解化为标准方程 ，即得圆心 和半径 .
∵直线 与已知圆没有公共点，∴线心距 ，平方去分母得 ，பைடு நூலகம்得 ，注意到 ，∴ ，故选(A).
1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是
A.－1<t< B.－1<t< C.－ <t<1D.1<t<2
解析：由D2+E2－4F>0，得7t2－6t－1<0，即－ <t<1.答案：C
2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是
点评：一般通过线心距 与圆半径 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.
四、弦长问题
例4(06天津卷理)设直线 与圆 相交于 两点，且弦 的长为 ，则 .
解由已知圆 ，即得圆心 和半径 .
∵线心距 ，且 ，∴ ，即 ，解得 .
点评：一般在线心距 、弦长 的一半和圆半径 所组成的直角三角形中处理弦长问题： .
八、综合问题
例8(06湖南卷理)若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，则直线 的倾斜角的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
解已知圆化为 ，即得圆心 和半径 .
∵圆上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，∴ ，即 ，由直线 的斜率 代入得 ，解得 ，又 ， ，∴直线 的倾斜角的取值范围是 ，故选(B).
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)，圆心坐标为( )，半径为r＝
2.直线与圆的位置关系的判定方法.
(1)法一：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
一元二次方程
(2)法二：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心(a，b)到直线的距离为d＝ .
A.｜a｜＜1 B.a＜ C.｜a｜＜ D.｜a｜＜
解析：点P在圆（x－1）2+y2=1内部 （5a+1－1）2+（12a）2＜1 ｜a｜＜ .答案：D
3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），下列结论错误的是
A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切
C.当b=r时，圆与x轴相切D.当b<r时，圆与x轴相交
习题精选精讲圆标准方程
已知圆心 和半径 ，即得圆的标准方程 ；已知圆的标准方程 ，即得圆心 和半径 ，进而可解得与圆有关的任何问题.
一、求圆的方程
例1(06重庆卷文)以点 为圆心且与直线 相切的圆的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
解已知圆心为 ，且由题意知线心距等于圆半径，即 ，∴所求的圆方程为 ，故选(C).
点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.
圆的方程
1.确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径；
六、圆心角问题
例6(06全国卷二)过点 的直线 将圆 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 的斜率 .
解由已知圆 ，即得圆心 和半径 .
设 ，则 ；∵ 直线 时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线 的斜率 .
点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=9b2.
又因为直线y=x截圆得弦长为2 ，则有（ ）2+（ ）2=9b2，解得b=±1.故所求圆方程为
（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.
五、夹角问题
例5(06全国卷一文)从圆 外一点 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )
(A) (B) (C) (D)0
解已知圆化为 ，即得圆心 和半径 .
设由 向这个圆作的两条切线的夹角为 ，则在切线长、半径 和 构成的直角三角形中， ，∴ ，故选(B).
点评：处理两切线夹角 问题的方法是：先在切线长、半径 和 所构成的直角三角形中求得 的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角 问题.
七、最值问题
例7(06湖南卷文)圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是( )
(A)30(B)18(C) (D)
解已知圆化为 ，即得圆心 和半径 .
设线心距为 ，则圆上的点到直线 的最大距离为 ，最小距离为 ，∴ ，故选(C).
点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距 与圆半径 的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为 ，最小距离为 .
点评：一般通过比较线心距 与圆半径 的大小来处理直线与圆的位置关系： 线圆相离； 线圆相切； 线圆相交.
三、切线问题
例3(06重庆卷理)过坐标原点且与圆 相切的直线方程为( )
(A) 或 (B) 或
(C) 或 (D) 或
解化为标准方程 ,即得圆心 和半径 .
设过坐标原点的切线方程为 ，即 ，∴线心距 ，平方去分母得 ，解得 或 ，∴所求的切线方程为 或 ，故选(A).
解析：已知圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，当b<r时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|<r时，才有圆与x轴相交，而b<r不能保证|b|<r，故D是错误的.故选D.答案：D
●典例剖析
【例2】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2 ，求此圆的方程.
剖析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.
3.两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，｜O1O2｜为圆心距，则两圆位置关系如下：
｜O1O2｜＞r1＋r2 两圆外离；
｜O1O2｜＝r1＋r2 两圆外切；
｜r1－r2｜＜｜O1O2｜＜r1＋r2 两圆相交；
｜O1O2｜＝｜r1－r2｜ 两圆内切；
０＜｜O1O2｜＜｜r1－r2｜ 两圆内含.
点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程 即得圆的方程.
二、位置关系问题
例2(06安徽卷文)直线 与圆 没有公共点，则 的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)
解化为标准方程 ，即得圆心 和半径 .
∵直线 与已知圆没有公共点，∴线心距 ，平方去分母得 ，பைடு நூலகம்得 ，注意到 ，∴ ，故选(A).