工程机械故障诊断的数学方法精品PPT课件

L
R R(i / x)P(x)dx （3-7） i 1
式中dx是d维特征空间的体积元， 积分是在整个特征空间进行。
二、贝叶斯决策判据
（二）基于最小风险的贝叶斯决策
在考虑误判带来的损失时，我们希望损失最小。 如果在采取每一个决策或行为时，都使其条件风险最
P(d / x)
P(x / d)P(d)
P(x / d)P(d) P(x / d )P(d )
二、贝叶斯决策判据
贝叶斯方法更适用于下列场合
样本（子样）的数量（容量）不充分大，因而大子 样统计理论不适宜的场合。
试验具有继承性，反映在统计学上就是要具有在试 验之前已有先验信息的场合。
用这种方法进行分类时要求两点
二、贝叶斯决策判据
（二）基于最小风险的贝叶斯决策
在决策论中又把采取决策αi的条件期望损失 R(αi/x)称为条件风险。由于x是随机向量的观测值， 对于x不同的观测值，采用决策αi时，其条件风险的大 小是不同的。所以究竟将采取哪一种决策将随x的取值 而定。这样决策α可看成随机向量x的函数，记为α(x)， 它本身也是一个随机变量。我们可以定义识别分类器的 总期望风险R为：
决策损失表的一般形式如表3-1所示。
二、贝叶斯决策判据
（二）基于最小风险的贝叶斯决策
表3-1
决策损失表
二、贝叶斯决策判据
（二）基于最小风险的贝叶斯决策
以上概念从决策论的观点可归纳如下： (1) 各观测向量x组成样本空间(特征空间)。 (2) 各状态类D1，D2，…，DL组成状态空间。 (3) 各决策α1，α2，…，αa组成决策空间。 (4) 损失函数为λ(αi , Dj)，
目录
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
贝叶斯法 时间序列法 灰色系统法 模糊诊断法 故障树分析法
第一节 贝叶斯法
贝叶斯公式及应用 贝叶斯决策判据
一、贝叶斯公式及应用
设D1，D2，…，Dn为样本空间S的一个划分，如果 以P(Di)表示事件Di发生的概率，且P(Di)>0(i＝1， 2，…，n)。对于任一事件x，P(x)>0，则有
P(Di / x)
P(x / Di )P(Di )
n
P(x / Di )P(Di )
i1
(3 1)
一、贝叶斯公式及应用
例3.1
设定一个故障为d，一个征兆为x，其它所有故障记 为，其它所有征兆记为。在征兆x发生的情况下， 假设征兆必须是由故障引起的，则依式(3-1)可知，
征兆x存在时故障d发生的概率为
i=1,2,…,a;j=1,2,…,L，损失函数λ(αi , Dj)表示将一 个本应属于Dj的模式向量误采用决策αi时所带来的损失。 可由决策表查得。 显然应有λ(αi , Di)=0，λ(αi , Dj)≥0，（i≠j）。
二、贝叶斯决策判据
（二）基于最小风险的贝叶斯决策 当引入损失的概念后，就不能只根据后验概率的大
（3-2）
（2) 将式(3-1)代入式(3-2)，并消去共同的分母，可得：
如果
max P(x / Di )P(Di )
P(x / D j )P(D j ) ,则x Di
（3-3）
j 1, 2
(3在) 统由计式学(3上-3，)可P(得x/：Di)称为似然函数，l (x)称为似然比，而
P(D2)/P(D1)l(称x) 为PP((x似x// DD然12)) 比PP((阈DD12))值, （即则x界 D限1,否指则标, x 或D2门. 槛值（）3。-4）
小来做决策，还必须考虑所采取的决策是否使损失最小。 对于给定的x，如果我们采用决策αi，则对状态类Dj来 说，将αi误判给D1,…,D(j-1)，D(j+1),…，DL所造成 的平均损失应为在采用决策αi情况下的条件期望损失 R(αi/x),即：
L
R(i / x) E i , D j i , D j P(D j / x) (i 1,2,a)（3-6) j 1
二、贝叶斯决策判据
（二）基于最小风险的贝叶斯决策
风险是比错误更为广泛的概念，而风险又是和损 失紧密相连的。
最小错误率贝叶斯决策是使误判率最小，尽可能 做出正确判断。
所有可能采取的各种决策集合组成的空间称为决 策空间或行为空间。
每个决策或行为都将带来一定的损失，它通常是 决策和状态类的函数。我们可以用决策损失表来 表示以上的关系。
要决策分类的参考总体的类别数是一定的。例如两类 参考总体（正常状态D1和异常状态D2），或L类参考 总 意体、不D1允，许D、2，……、，等D）L（。如良好、满意、可以、不满
各类参考总体的概率分布是已知的，即每一类参考总 体出现的先验概率P(Di)以及各类概率密度函数 P(x/Di)是已知的 。
二、贝叶斯决策判据
（一）基于最小错误率的贝叶斯决策
例3.3 假设某设备正常状态D1和异常状态D2两类的先验概率 分别为P(D1)＝0.9和P(D2)=0.1，现有一待检状态，其 观测值为x，从类别条件概率密度函数曲线可查得 P(x/D1)=0.2，P(x/D2)=0.4，试对该状态x进行分类。 解：利用贝叶斯公式算得D1和D2两类总体的后验概率 P(D1/x)=0.818,P(D2/x)=1-0.818=0.182，根据贝叶斯 决策判据(3-2)，有P(D1/x)＝0.818>P(D2/x)＝0.182叶斯决策判据
（一）基于最小错误率的贝叶斯决策
根据前面的假设，我们已知状态先验概率P(Dl)和P(D2)，和 类别条件概率密度函数P(x/Dl)和P(x/D2)，在图3-1中示出一个特 征，即d=1的类别条件概率密度函数，其中P(x/Dl)是正常状态下 观测特征量x的类别条件概率密度，P(x/D2)是异常状态下观测特 征量x的类别条件概率密度。如图3-2所示
图3-1 类别条件概率密度函数
图3-2 状态的后验概率
二、贝叶斯决策判据
（一）基于最小错误率的贝叶斯决策
这样，基于最小错误率的贝叶斯决策判据为：如果
P(D1/x)>P(D2/x)，则把待检模式向量x归类于正常状态类
D1；反之，归类于异常状态类D2。上面的判据可简写为：
(1) 如果
P(Di / x) max P(D j / x),则x Di j 1, 2