牛顿莱布尼兹公式
偶函数牛顿莱布尼茨公式
偶函数牛顿莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式又被称为基本定理或者牛顿公式。
它是微积分中的基本公式，用于计算定积分的值。
公式的原型可以表达为：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)
其中，f(x)是被积函数，定义在闭区间[a,b]上，F(x)是f(x)的一个原函数。
该公式的意义在于，对于连续函数f(x)而言，其定积分可以通过求出f(x)的一个原函数F(x)，再将F(x)在区间[a,b]的两个端点值相减获得。
拓展方面，在实际应用中，牛顿-莱布尼茨公式也可以用于计算定积分的面积、质量、电荷等物理量。
对于非整数次幂的函数，可以通过基本定理来计算其不定积分，从而得到它的一个原函数。
此外，基本定理也可用于计算曲线的弧长、旋转体的体积以及概率密度函数的期望值。
它在微积分和数学物理中都具有重要的应用。
牛顿莱布尼兹公式
极限来判定有界函数的可积性来说，简单得多了。 常用定理9.3' 证明有界函数的可积性较方便。
7
三、 可积函数类 根据可积的准则，我们可以证明下面三种类型的函数必是可积的。 定理9.4 若f在[a, b]上连续，则f在[a, b]上必可积。 证 定理9.5 若f是区间[a, b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在 [a, b]上必可积。 证 定理9.6 若f是区间[a, b]上的单调函数，，则f在[a, b]上必可积。 证
4
思路与方案: 1. 思路与方案 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于 分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 ξi T , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无 关的条件 。 方案: 定义上和 S (T ) 和下和 s (T ) ，研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 达布和: 2. 达布和
b
∫ f ( x)dx = F (b) F (a).
a
称为牛顿 莱布尼茨公式，它常写成： f ( x)dx = F ( x) b = F (b) F (a ). a ∫
a
b
证
1
公式使用说明：
1、 在应用公式求∫ f ( x)dx 时，f ( x)的原函数必须是初等函数，否则使用
a b
公式求∫ f ( x)dx失效。即f ( x)的原函数F ( x)可由∫ f ( x)dx求出。
§8.2 牛顿—莱布尼兹公式 若用定积分定义求
b a
∫ f ( x ) dx
a
b
，一般来说是比较困难的。是否有
较简便的方法求 ∫ f ( x ) dx ？下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅 为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与 不定积分联系了起来。
如何理解牛顿莱布尼茨公式
如何理解牛顿莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要公式之一，它将函数的导数和原函数之间建立了联系。
这个公式可以用数学符号表示为：∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)
其中，∫ab表示区间[a,b]上的定积分，f(x)表示函数的导数，F(x)表示函数的原函数。
理解这个公式需要掌握以下几个概念：
1. 定积分：定积分是一种求曲线下面面积的方法。
它可以看作是将曲线分成无数个小矩形，然后将这些小矩形的面积加起来得到曲线下面的总面积。
定积分的符号为∫。
2. 导数：导数是函数在某一点处的斜率，它表示函数曲线在这个点处的变化率。
导数可以表示为f'(x)。
3. 原函数：原函数是导数的反函数。
即如果f(x)是函数的导数，那么F(x)就是函数的原函数。
原函数的符号为∫f(x)dx。
4. 牛顿-莱布尼茨公式：这个公式表示函数的定积分可以用函数的原函数来表示。
例如，在区间[0,1]上，如果f(x)=2x，则：
∫01 2x dx = x^2|01 = 1
而f(x)的原函数是F(x)=x^2，所以根据牛顿-莱布尼茨公式，上式也可以表示为：
F(1) - F(0) = 1-0 = 1
这个公式在微积分中有着广泛的应用，例如求曲线的弧长、求旋
转体的体积等。
掌握了这个公式，可以更深入地理解微积分的精髓。
牛顿莱布尼茨公式与积分运算
牛顿莱布尼茨公式与积分运算知识点：牛顿-莱布尼茨公式与积分运算一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的表述，它建立了微分学与积分学之间的联系。
公式如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间(a, b)内可导，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫(from a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数，即F’(x) = f(x)。
二、积分运算的基本性质1.线性性质：设f(x)和g(x)是两个可积函数，α和β是两个常数，则有：∫(from a to b) (αf(x) + βg(x))dx = α∫(from a to b) f(x)dx + β∫(from a to b) g(x)dx2.保号性：如果f(x)在区间[a, b]上非负（非正），则∫(from a to b)f(x)dx非负（非正）。
3.可加性：如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，且它们的区间分界点相同，那么：∫(from a to b) f(x)dx + ∫(from a to b) g(x)dx = ∫(from a to b) (f(x) + g(x))dx4.换元积分法：设 Integration variable change : x = g(t)，dx = g’(t)dt，则有：∫(from a to b) f(x)dx = ∫(from g(a) to g(b)) f(g(t))g’(t)dt三、积分运算的基本公式1.幂函数的积分公式：∫(from a to b) x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为积分常数。
2.指数函数的积分公式：∫(fro m a to b) e^x dx = e^x + C。
3.对数函数的积分公式：∫(from a to b) ln|x| dx = ln|x| + C。
牛顿莱布尼茨公式算面积
牛顿莱布尼茨公式算面积牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula），也称为牛顿-莱布尼茨定理，是微积分的基本定理之一。
该公式表述了定积分和原函数之间的关系，提供了一种通过求导和积分相互转换的方法。
牛顿-莱布尼茨公式的表述如下：设f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是其在该区间上的一个原函数，则：∫a^b f(x) dx = F(b) - F(a)其中，∫a^b f(x) dx表示f(x)在[a,b]上的定积分，F(x)表示f(x)的一个原函数。
这个公式的直接意义可以理解为：如果我们知道了一个函数的一个原函数，那么我们就可以通过计算其在两个点的值之差，求出它在这两个点之间的定积分。
牛顿-莱布尼茨公式的应用非常广泛，其中一个典型的例子就是用它求解曲线的面积。
以y = f(x)为例，我们可以通过对该曲线上两个点（a, f(a)）和（b, f(b)）之间的面积进行积分来计算曲线的面积。
具体来说，我们首先需要求出曲线的一个原函数F(x)，然后使用牛顿-莱布尼茨公式来计算该曲线在[a,b]区间内的面积：S = ∫a^b y dx= ∫a^b f(x) dx= F(b) - F(a)其中S表示曲线在[a,b]区间内的面积，y表示曲线在x轴上的投影长度。
需要注意的是，当函数y = f(x)在[a,b]区间内有负值时，我们需要计算的面积实际上是曲线上方与x轴之间的面积，而非曲线下方与x轴之间的面积。
此时，我们需要对f(x)取绝对值，然后再进行计算。
值得一提的是，牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到多维积分上。
具体来说，在三维空间中，如果我们知道了一个函数f(x,y,z)的一个原函数F(x,y,z)，那么我们就可以通过计算其在一个三维区域内的值之差，求出该函数在该区域内的三重积分值。
这个公式的应用非常广泛，例如在物理学和工程学中经常用于计算物体的体积、质心、惯性矩等等。
总之，牛顿-莱布尼茨公式是微积分的基本工具之一，它在解决各种数学和物理问题中都起到了非常重要的作用。
牛顿莱布尼茨公式课件
则
a
f (x)dx 2
a
f (x)dx
a
0
2若f (x)为奇函数, 则 a f (x)dx 0. a
定理2 设函数f (x)为周期为T的连续函数,
则
aT
T
a f (x)dx 0 f (x)dx.
以上两个定理可以作为性质用.
例9
计算
1
2x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
解
原式
3.微积分基本公式
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
三、定积分计算方法
（一）Newton Leibniz公式
b a
f
(x)dx
F(b)
F (a)
F ( x)
b a
(1)求原函数(即不定积分);
(2)计算F(b) F(a).
例1.计算 1 1 x2 dx.(参照第一节例26) 0
y
( x)
oa
x x x b x
定理1 设函数在区间[a , b]上连续 , 则
(x) x f (t)dt在区间[a , b]上可导,且 a x (x) (a f (t)dt) f (x).
定理2 设函数f (x)在区间[a , b]上连续 ,
则
x
(b]上的一个原函数.
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
《牛顿莱布尼茨公式》课件
牛顿莱布尼茨公式定义为一个函数在一个区间上的定积分等于该函数在区间端点上的值之差与一个关于该函数在 区间内所有点的平均值的权重的积分之和。公式表示为：∫(a,b) f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
牛顿莱布尼茨公式的历史背景
总结词
牛顿莱布尼茨公式是微积分发展史上的重要里程碑，为解决定积分问题提供了有 效的方法计算系统的传递函数。通过使用牛顿
-莱布尼茨公式，我们可以找到传递函数的原函数，从而更好地理解系
统的动态行为。
02
流体动力学
在流体动力学中，我们经常需要计算流体在管道或容器中的压力和速度
分布。通过使用牛顿-莱布尼茨公式，我们可以找到这些量作为位置的
函数的定积分。
03
热力学
在热力学中，我们经常需要计算系统的热量和熵等量。通过使用牛顿-
莱布尼茨公式，我们可以找到这些量作为温度的函数的定积分。
05
牛顿莱布尼茨公式的扩展与
深化
广义的牛顿莱布尼茨公式
广义的牛顿莱布尼茨公式是指将积分上限和下限扩展到任意 实数，甚至扩展到复数域的情况。这使得积分运算的范围更 加广泛，能够处理更复杂的数学问题。
的函数的定积分。
解决力学问题
在解决与力、运动和牛顿第二定 律相关的问题时，牛顿-莱布尼 茨公式可以帮助我们找到物体的
位移、速度和加速度。
电磁学中的应用
在电磁学中，我们经常需要计算 电场和磁场的能量密度。通过使 用牛顿-莱布尼茨公式，我们可 以找到这些量作为空间位置的函
数的定积分。
在工程领域的应用
01
详细描述
牛顿和莱布尼茨分别独立地发现了这个公式，并为其证明做出了贡献。在此之前 ，计算定积分需要使用复杂的几何方法或数值近似法，而牛顿莱布尼茨公式提供 了一种简便且精确的计算方法，极大地推动了微积分学的发展。
牛顿莱布尼茨公式以及对反常积分
牛顿莱布尼茨公式以及对反常积分牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。
牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。
因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。
1.先判断积分区间内有无暇点,比如区间（0,+∞),被积函数分母有个（x-1),那么区间要分为（0,1）和（1,+∞)两个积分,如果还有就继续分。
2.现在（0,1）和（1,+∞)内无暇点,用牛顿一莱布尼茨公式计算,代入端点1,+∞时是求极限。
定积分计算牛顿莱布尼茨公式
定积分计算牛顿莱布尼茨公式1.定积分的基本思想在介绍牛顿-莱布尼茨公式之前，首先我们需要了解定积分的基本思想。
定积分是微积分中的一个概念，它用于计算曲线下面的面积。
曲线下方被区间[a,b]、曲线y=f(x)与直线x=a,x=b所围成的面积，称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
2.牛顿-莱布尼茨公式的表述牛顿-莱布尼茨公式表述如下：设函数f(x)在[a,b]区间上连续，并且F(x)是其一个原函数，则有：∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)3.牛顿-莱布尼茨公式的推导为了推导牛顿-莱布尼茨公式，我们首先需要明确一个重要的性质：连续函数具有原函数。
因此，我们假设f(x)在区间[a,b]上连续，并存在一个原函数F(x)。
定积分的定义是求解函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的面积，我们可以将这个问题看作是一个面积的逐渐累加过程。
假设我们从点 a 开始累加，每次向右方向迈出一个微小的距离 dx，那么这个微小的区间 [x, x+dx]的面积就可以近似地表示为f(x)·dx。
现在，我们将整个区间 [a, b] 分成若干个微小区间，每个微小区间的长度为 dx，然后将这些面积进行累加，即有：∑(f(x)·dx) = ∑(F'(x)·dx)这里的 F'(x) 表示函数 F(x) 的导数。
根据微积分的基本思想，微小的面积可以近似表示为曲线在该点的切线斜率与 dx 的乘积，因此我们可以将f(x)·dx 近似地表示为F'(x)·dx。
在区间[a,b]上进行累加之后，上式可以变为：∫[a,b]f(x)dx = ∑(F'(x)·dx)我们再进行一次变形，将累加符号改成求和符号，得到：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,b]F'(x)dx由于 F'(x) 是 F(x) 的导数，根据微积分的基本理论，我们知道导数的本质就是函数的变化率。
牛顿莱布尼茨公式
牛顿莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式，也称为牛顿-莱布尼茨公式，是微积分中的一个重要公式，用于计算定积分。
该公式由英国科学家艾萨克·牛顿和德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨独立发现并证明。
牛顿-莱布尼茨公式为我们提供了计算曲线下面积的有效方法，对于解决许多实际问题具有重要意义。
公式描述：设函数f(x)在[a, b]上连续，F(x)是f(x)在[a, b]上任意一点的原函数，则有：∫(a->b) f(x) dx = F(x) ∣[a,b]这个公式表示了一个函数在给定区间上的定积分可以通过该函数在区间端点处的原函数值之差来表示。
解释与推导：牛顿-莱布尼茨公式的推导相对简单理解。
可以将函数f(x)对变量x进行微分，得到函数f'(x)。
如果函数f(x)具有原函数F(x)，即F'(x)=f(x)，则有dF(x)=f(x)dx。
根据微积分中的基本定理，曲线下的定积分可以用该函数的原函数在两个端点的值之差来计算。
即∫(a->b) f(x) dx = F(x) ∣[a,b]。
这个公式的直观解释是，曲线下的定积分可以通过由曲线围成的区域面积来进行计算。
通过求解曲线的原函数F(x)，我们可以获得曲线在给定区间上的每个点的切线斜率，从而计算得到曲线下的面积。
应用：牛顿-莱布尼茨公式在实际应用中非常有用。
它被广泛应用于物理学、工程学以及经济学等领域中的面积、概率和积分等计算问题。
在物理学中，我们可以使用该公式来求解质点在曲线上的运动的路径长度、速度、加速度等相关问题。
例如，通过计算曲线下的定积分，我们可以求得一个物体在给定时间内的位移。
在工程学中，牛顿-莱布尼茨公式可以用来计算复杂形状的曲线的面积，比如计算土地的面积或建筑物的体积等问题。
在经济学中，该公式可以用来计算需求曲线和供给曲线之间的面积，从而帮助我们估计市场的需求和供给。
总结：牛顿-莱布尼茨公式是微积分中非常重要的一个公式，它为我们提供了一种有效计算曲线下面积的方法。
微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式
而原函数是与导函数互逆的一个概念，本质上属于
微分学，形式上看，与定积分没有关系。 Newton 和 Leibniz 却发现了这两个概念之间的内在联系：
函数在一个区间上的定积分等于它的原函数在该区间上的增量。 从此微分学与积分学形成一门完整学科——微积分学。
（2）为 定积分的计算提供了一个有效方法. 如果被积函数连续且其原函数易于求得，则只需 先求出原函数，再将上限和下限代入原函数后相减：
定理2 如果函数 f (x)在[a,b]上连续, 函数 F ( x)是 f ( x)
的一个原函数，则
∫b f ( x) dx = F (b) − F (a). a
（上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也叫微积分基本公式）
证 因F ( x)与 Φ ( x) = ∫ x f (t )dt 都是 f ( x) 的原函数， a
证 设 F (t ) 是 f (t ) 的原函数，由 N-L 公式，得
∫ϕ(x)
ψ (x)
f
(t ) dt
=
[
F
(t
)]ψϕ
(x) ( x)
=
F
ϕ
( x)
−
F
ψ
( x)
，
于是，
∫ ϕ(x)
ψ ( x)
f
(t)
dt
′
=
F′ ϕ
( x)ϕ′(
x)
−
F′
ψ
(
x)ψ
′(x)
= f ϕ ( x)ϕ′( x) − f ψ ( x)ψ ′( x).
y
y = f (t)
定义了以 x 为自变量的一个
函数，记为Φ ( x), 即
Φ(x)
牛顿莱布尼茨公式的条件
牛顿莱布尼茨公式的条件
牛顿-莱布尼茨公式也被称为基本定理，是微积分中的重要公式。
在使用这个公式计算定积分之前，需要满足以下条件：
1.函数必须是区间[a,b]上的连续函数。
2.函数必须是[a,b]上的可积函数。
3.积分区间[a,b]必须是有限闭区间，即区间的两个端点必须是有限值。
如果以上三个条件都满足，那么牛顿-莱布尼茨公式可以用来计算定积分。
公式的形式为：$int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$，其中，函数F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x) = f(x)。
需要注意的是，即使满足以上三个条件，也不一定能够找到f(x)的原函数F(x)，因此在一些情况下，无法使用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分。
- 1 -。
牛顿莱布尼茨公式的证明
牛顿莱布尼茨公式的证明牛顿莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式是数学家约翰·斯坦伯格（John Stanley）于1666年发明的一个关于求微分的公式。
这个公式又被称为微分法则或微分公式，用来表示函数的导数和极限的概念。
牛顿莱布尼兹公式的证明有很多方法。
本文介绍的是采用微分法的方法证明牛顿莱布尼兹公式。
首先，要证明牛顿莱布尼兹公式，需要先考虑函数f （x）的极限性质。
由极限定义可知，当h→0时，f（x+h）-f（x）/h→某个极限值。
其次，考虑函数f（x）的导数性质。
函数f（x）的导数定义是，当h→0时，f（x+h）-f（x）/h→某个极限值。
综合上述两点，可以得出牛顿莱布尼兹公式的证明：由极限的性质得出，当h→0时，函数f（x）的极限值等于函数f（x）的导数值，即极限值=f'(x)。
牛顿-莱布尼兹公式的证明可以用微积分法来证明。
对于函数f（x），它的导数可以用微分法表示为：d/dxf(x)=limh→0f（x+h）-f（x）/h。
接下来，考虑函数f（x）的极限性质，由极限定义可知，当h→0时，f（x+h）-f（x）/h→某个极限值。
因此，将微分法中的d/dx f(x)两边都乘上h，可以得到：h×d/dx f(x)=limh→0f（x+h）-f（x）。
将上述结果代入极限定义，可以得出牛顿莱布尼兹公式的证明：limh→0f（x+h）-f（x）/h=h×d/dx f(x), 即极限值=f'(x)。
综上所述，通过微分法可以证明牛顿莱布尼兹公式。
牛顿莱布尼兹公式是一个非常重要的数学公式，它不仅在微分学中使用，而且在其他数学领域也被广泛应用，如积分学、几何学、微分几何学等。
牛顿莱布尼茨公式是什么 定理意义有哪些
牛顿莱布尼茨公式是什么定理意义有哪些
牛顿莱布尼茨公式，通常也被称为微积分基本定理。
下面小编整理了一些相关信息，供大家参考！
1 什幺是牛顿莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间[ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。
牛顿在1666 年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677 年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。
因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。
1 牛顿莱布尼茨公式有哪些意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。
牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
1 牛顿莱布尼茨公式应用牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围成的立体体。
定积分牛顿莱布尼茨公式里的原函数指的是
定积分牛顿莱布尼茨公式里的原函数指的是
cnk公式如下：
莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。
(uv)' = u'v+uv'，
(uv)'‘= u'’v+2u'v'+uv'‘
依数学归纳法，……，可证该莱布尼兹公式。
（uv）一阶导=u一阶导乘以v+u乘以v一阶导
（uv）二阶导=u二阶导乘以v+2倍u一阶导乘以v一阶导+u乘以v二阶导
（uv）三阶导=u三阶导乘以v+3倍u二阶导乘以v一阶导+3倍u一阶导乘以v二阶导+u乘以v三阶导
1、定积分的值是客观存在的，有第一类间断点的函数原函数也是存在的，只不过不能用初等函数表示，因此这个定积分的值通过牛顿莱布尼兹公式是求不出的，但是不意味着不存在，可以用数值分析中的一些方法求近似值。
2、由于定积分的定义产生的，定积分的定义是十分“狭窄”的，粗略地说，它要求函数有界，并且间断点不能太多等等，广义积分正是为了某些缺点对定积分的推广，这样推广后就可以讨论无界函数以及无穷区间上的定积分，只要看间断点或无穷远点处原函数的极限是否存在即可。
无穷间断点牛顿莱布尼茨公式
无穷间断点牛顿莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula）揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
根据这个公式，一个连续函数在区间 [a, b] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间 [a, b] 上的增量。
然而，当函数在某一点处不连续，即存在无穷间断点时，牛顿-莱布尼茨公式可能不再适用。
在这种情况下，我们需要对区间 [a, b] 进行分割，将定积分近似为有限个梯形的面积和。
假设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上存在无穷间断点 x=c，我们将其分割成 n 个小区间 [x_i, x_{i+1}]，其中 x_0=a, x_n=b。
那么，近似定积分的值为：lim(n->∞) sum(i=0}^{n-1} f(x_i) (x_{i+1} - x_i) = (b-a) f(x_0) + (b-a) sum(i=1}^{n-1} f(x_i)
其中，f(x_0) 表示函数在 a 点的值，f(x_i) 表示函数在第 i 个小区间的右端点处的值。
需要注意的是，虽然这个公式可以用来计算定积分，但它并不包含定积分的所有性质，如可加性。
这是因为当函数在某一点处不连续时，其原函数不是唯一的。
因此，在计算定积分时，我们需要根据具体情况选择适当的原函数。
牛顿 莱布尼茨公式
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公式应用
牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲 面围成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算坝体的填筑方量。
牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之 间的万有引力。
牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学 分支中都有体现。
牛顿-莱布尼茨公式是微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆 运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值 定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
牛顿 莱布尼茨公式
数学名词
01 定理定义
03 定理推广 05 定理意义
目录
02 公式推导 04 发展简史 06 公式应用
牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函 数的原函数或者不定积分之间的。
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a， b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式， 1677年,莱布尼茨在一篇手稿 中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
德国数学家莱布尼茨在研究微分三角形时发现曲线的面积依赖于无限小区间上的纵坐标值和，1677年，莱布 尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理：给定一个曲线，其纵坐标为y，如果存在一条曲线z，使得 dz/dx=y，则曲线y下的面积∫ydx=∫dz=z。
定积分常用的计算方法
定积分常用的计算方法一、牛顿莱布尼茨公式法。
1.1 这可是定积分计算的一个“王牌方法”呢。
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)。
就像是找到了一把万能钥匙，能直接打开定积分计算的大门。
比如说，计算∫_1^2x^2dx，我们都知道x^2的一个原函数是(1)/(3)x^3，那根据牛顿莱布尼茨公式，就直接是(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)，简单又直接，真的是“得来全不费工夫”。
1.2 不过呢，这个方法的难点就在于要先找到原函数。
有些函数的原函数可不是那么好找的，就像捉迷藏一样，得费一番功夫。
像∫(sin x)/(x)dx这种，它的原函数就不能用初等函数表示出来，这时候牛顿莱布尼茨公式就有点“英雄无用武之地”了。
二、换元积分法。
2.1 这是个很巧妙的方法。
当被积函数比较复杂的时候，我们就可以通过换元，把复杂的函数变得简单一些。
比如说∫_0^1√(1 x^2)dx，我们令x = sin t，那么dx=cos tdt。
当x = 0时，t = 0；当x = 1时，t=(π)/(2)。
这样原积分就变成了∫_0^(π)/(2)cos^2tdt，是不是一下子就感觉简单多了呢？这就像是给一个难题来了个“偷梁换柱”，把不好解决的问题转化成好解决的。
2.2 但是换元的时候可得小心了，要注意换元后的积分上下限也要跟着变，就像穿衣服要配套一样。
要是忽略了这一点，那可就“差之毫厘，谬以千里”了。
2.3 而且换元也不是随便换的，要根据函数的特点来选择合适的换元方式。
这就需要我们多做练习，积累经验，就像学骑自行车，骑得多了自然就熟练了。
三、分部积分法。
3.1 分部积分法也很有用。
公式是∫_a^bu(x)dv(x)=u(x)v(x)mid_a^b-∫_a^bv(x)du(x)。
牛顿-莱布尼茨公式综述
牛顿-莱布尼茨公式综述1、简介：牛顿-莱布尼兹公式，通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。
牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。
因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。
2、定义：如果函数在区间上连续，并且存在原函数，则或[F(x)]a b3、证明：（1）积分上限函数在证明牛顿莱布尼茨公式前，需引入积分上限函数的概念为证明牛顿莱布尼茨公式铺路架桥。
a.定义：设函数f(x)在区间[a，b]上可积，且对任意在[a，x]上也可积，称变上限定积分为的积分上限函数，记为即b.原函数存在定理：设函数在区间[a，b]上连续，则积分上限函数在[a，b]上可导，并且即Φ(x)为f（x）的一个原函数。
这个定理一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步的揭示了积分学中的定积分与原函数之间的关系。
因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分。
C.证明：对于任意给定的给x以增量其绝对值足够的小，使得由的定义及定积分对区间的可加性，有再由定积分中值定理，得其中，在和之间。
由于假设f（x）在[a,b]上连续，令则从而由的连续性，得根据导数定义，得即证毕。
（2）牛顿-莱布尼茨公式：已知函数F（x）是连续函数f(x)的一个原函数，又根据原函数存在定理知，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。
于是这两个原函数之差F(x)-Φ(x)在[a,b]上必定是某一个常数C，即F(x)-Φ(x)=C (a≤x≤b).a f(x)dx=0可知Φ(a)=0.在上式中x=a，得F(a)-Φ(a)=C.又由Φ(x)的定义式及∫a因此C=F(a)。
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b
a
f
(
x)
dx
b
a
f
(t
)
dt
,
其结果是一个数.
x
a
f
(t)dt
x
a
f
( x)dx
是积分上限x 的函数 ,
(x)
a
xb
x
( x) a f ( x)dx
或 ( x)
x
a
f
(t)dt
.
称为积分上限函数或变上限定积分.
显然
(a)
0
,
(b)
b
a
f
(
x)
d
x
.
1
定理1 . 设 f ( x)在[a,b]上连续 , 那么积分上限函数
x
( x) a f (t)dt
在[a,b] 上可导 , 且 ( x) f ( x) .
证 . ( x) lim ( x x) ( x) . a
x 0
x
x b x x
x x
x
x x
( x x) ( x) a f (t)dt a f (t)dt x f (t)dt
积分中值公式
f ( ) x ,
( x x x 或 x x x)
( x)
lim
f ( ) x
lim
f ( )
f ( x)连续
f (x) .
x0 x
x 0
2
说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
[ ( x)] ( x)
进一步结果:
ddx
b
f (t)d t
(x)
ddx
( x) f (t )d t
b
f [ (x)] '(x) .
d
dx
( x) (x)
f
(t) d t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
设
x)可微,
求
d dx
(x)
f (t)d t .
a
解. (u)
u
f (t)d t , u ( x) ,
a
利用复合求导法得:
ddx
( x) f (t )d t (u) '( x)
a
f (u) '( x)
f [( x)] '( x) .
4
定理 2 . 设 f ( x)在[a,b]上连续 , 那么 f ( x)的原函数一定存在 .
事实上 ,
(x)
x
a
f
(x)dx
就是
f
( x)的一个原函数 .
定理 3 . ( Newton Leibnitz 公式 , 微积分基本公式)
设 f ( x)在[a,b]上连续 , F ( x) 是 f ( x)的一个原函数 , 那么
b
a f ( x)d x F (b) F (a) .
证
. (x)
x
a
f
( x)d x 也是
f
( x)的一个原函数,
所以 F ( x) ( x) c .
F(b) F(a) (b) c (a) c
(b)
(a)
b
a
f
(
x)dx
.
(a) 0
5
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
b f ( x)d x F (b) F (a) 常记 F ( x) b .
a
a
6
例 1.
2 x4d x
1
x5 5
2 1
25 15 5
31 5
.
例2.
2 sin x d x cos x 2
0
0
cos
2
(
cos
0)
0 (1) 1 .
sin x d x
0
cos
x
0
2.
2
sin x d x
0
cos
x
2
0
0.
例3. 匀加速运动的物体的速度为v(t) v0 a t ,
运行路程 s(t)
t
v(t )d t
0
t
0 (v0
at)dt
v0t
1 2
a
t
2
t 0
v0
t
1 2
a
t
2
.
7
例4.
已知
f
(x)
x 1
1 2
x2
x 1 x 1
求
2
0
f
(
x
)
d
x
.
解.
2
1
2
0 f ( x) dx 0 f ( x)dx 1
f (x)dx
1
0( x
1) dx
2
1
1 2
x2
dx
1
1 2
x2
x
0
2
1 6
x3
1
3 2
7 6
8.
3
8
例5. f (x) 在 (0, )内连续且 f (x) 0 , 证明函数
x
F(x)
0 t
x
f
(t)dt
在 (0, )内为单增函数 .
0 f (t)dt
证.
F
(
x
)
x
0
t
f
(t
)d
t
x
0
f
(t
)
d
t
x
0
t
f
(t
)
d
t
x
0
x
0
f
(t)dt
2
f (t)dt
x
x
x
x f ( x)0
f (t)dt
x
0
f
0 t f (t)dt
(t ) dt 2
f
(x)
f ( x)0 ( x t) f (t) dt
x
0
f
(t)dt
2
分子上 f ( x) 0 , 在[0, x)上被积函数( x t) f (t) 0 分子 0 .
所以在 ( 0, ) 上 , F ( x) 0 , F ( x) 为单增函数 . 9
1 ex2 d x
例6. 求 lim cosx
.
x0
x2
解 .
lim
x0
1
cos
x
e
x
2
d
x
x2
0 0
lim
e cos2
x
( sin
x)
x0
2x
sinx~x lim e cos2 x x0 2
1 2e
.
10
例7. 求极限
lim (
n
n
n 2
1
n
2
n 22
n
2
n
n2
).
解：原式
lim
n
1 n
n1 i11 (ni )2
1 0
1 1 x2
d
x
arctan
x
1 0
4
11
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式
12