牛顿莱布尼兹公式

.
10
例7. 求极限
lim (
n
n
n 2
1
n
2
n 22
n
2
n
n2
).
解：原式
lim
n
1 n
n1 i11 (ni )2
1 0
1 1 x2
d
x
arctan
x
1 0
4
11
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
f
(t) d t
f
[ ( x)] ( x)
进一步结果:
ddx
b
f (t)d t
(x)
dபைடு நூலகம்x
( x) f (t )d t
b
f [ (x)] '(x) .
d
dx
( x) (x)
f
(t) d t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
0
cos
x
0
2.
2
sin x d x
0
cos
x
2
0
0.
例3. 匀加速运动的物体的速度为v(t) v0 a t ,
运行路程 s(t)
t
v(t )d t
0
t
0 (v0
at)dt
v0t
1 2
a
t
2
t 0
v0
t
1 2
a
t
2
.
7
例4.
已知
f
(x)
x 1
1 2
x2
x 1 x 1
求
2
0
f
(
x
)
所以在 ( 0, ) 上 , F ( x) 0 , F ( x) 为单增函数 . 9
1 ex2 d x
例6. 求 lim cosx
.
x0
x2
解 .
lim
x0
1
cos
x
e
x
2
d
x
x2
0 0
lim
e cos2
x
( sin
x)
x0
2x
sinx~x lim e cos2 x x0 2
1 2e
第二节 微积分基本公式
b
a
f
(
x)
dx
b
a
f
(t
)
dt
,
其结果是一个数.
x
a
f
(t)dt
x
a
f
( x)dx
是积分上限x 的函数 ,
(x)
a
xb
x
( x) a f ( x)dx
或 ( x)
x
a
f
(t)dt
.
称为积分上限函数或变上限定积分.
显然
(a)
0
,
(b)
b
a
f
(
x)
d
x
.
1
定理1 . 设 f ( x)在[a,b]上连续 , 那么积分上限函数
事实上 ,
(x)
x
a
f
(x)dx
就是
f
( x)的一个原函数 .
定理 3 . ( Newton Leibnitz 公式 , 微积分基本公式)
设 f ( x)在[a,b]上连续 , F ( x) 是 f ( x)的一个原函数 , 那么
b
a f ( x)d x F (b) F (a) .
证
. (x)
x
a
f
( x)d x 也是
f
( x)的一个原函数,
所以 F ( x) ( x) c .
F(b) F(a) (b) c (a) c
(b)
(a)
b
a
f
(
x)dx
.
(a) 0
5
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
b f ( x)d x F (b) F (a) 常记 F ( x) b .
a
a
6
例 1.
2 x4d x
1
x5 5
2 1
25 15 5
31 5
.
例2.
2 sin x d x cos x 2
0
0
cos
2
(
cos
0)
0 (1) 1 .
sin x d x
x
( x) a f (t)dt
在[a,b] 上可导 , 且 ( x) f ( x) .
证 . ( x) lim ( x x) ( x) . a
x 0
x
x b x x
x x
x
x x
( x x) ( x) a f (t)dt a f (t)dt x f (t)dt
积分中值公式
d
x
.
解.
2
1
2
0 f ( x) dx 0 f ( x)dx 1
f (x)dx
1
0( x
1) dx
2
1
1 2
x2
dx
1
1 2
x2
x
0
2
1 6
x3
1
3 2
7 6
8.
3
8
例5. f (x) 在 (0, )内连续且 f (x) 0 , 证明函数
x
F(x)
0 t
x
f
(t)dt
在 (0, )内为单增函数 .
0 f (t)dt
证.
F
(
x
)
x
0
t
f
(t
)d
t
x
0
f
(t
)
d
t
x
0
t
f
(t
)
d
t
x
0
x
0
f
(t)dt
2
f (t)dt
x
x
x
x f ( x)0
f (t)dt
x
0
f
0 t f (t)dt
(t ) dt 2
f
(x)
f ( x)0 ( x t) f (t) dt
x
0
f
(t)dt
2
分子上 f ( x) 0 , 在[0, x)上被积函数( x t) f (t) 0 分子 0 .
设
x)可微,
求
d dx
(x)
f (t)d t .
a
解. (u)
u
f (t)d t , u ( x) ,
a
利用复合求导法得:
ddx
( x) f (t )d t (u) '( x)
a
f (u) '( x)
f [( x)] '( x) .
4
定理 2 . 设 f ( x)在[a,b]上连续 , 那么 f ( x)的原函数一定存在 .
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式
12
f ( ) x ,
( x x x 或 x x x)
( x)
lim
f ( ) x
lim
f ( )
f ( x)连续
f (x) .
x0 x
x 0
2
说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a