积分变换

例6 如图所示RC串联电路中，若外加电动势为正
弦交流电压 e(t ) U m sin( t ) ，求开关闭合后，
回路中电流 i(t) 及电容器两端电压uC(t) 解
d uC uR Ri ( t ), i ( t ) C dt 所以微分方程为 d uC RC uC e(t ) dt 这就是该电路中电容器两端电压所满足的关系式,
Um 所以有 E ( s ) 2 ( cos s sin ) 2 s
例6 如图所示RC串联电路中，若外加电动势为正
弦交流电压 e(t ) U m sin( t )，求开关闭合后，
回路中电流 i(t) 及电容器两端电压uC(t) E ( s) 解 UC ( s) 1 RCs
1 微分、积分方程的Laplace变换解法
用Laplace变换方法求解方程的步骤和用Fourier 变换的方法求解此类线性方程的步骤完全类似。这 种解法的示意图如下。这是我们求解此类方程的主 要方法。 象原函数 取Laplace逆变换 (方程的解) 象函数
解代数方程
微分、积 分方程
取Laplace变换
例6 如图所示RC串联电路中，若外加电动势为
正弦交流电压 e(t ) U m sin( t ) ，求开关闭合后，
回路中电流 i(t) 及电容器两端电压uC(t) K R C e(t) i( t)
解 由基尔霍夫(Kirchhoff)定律有 uR uC e( t ) 其中
d uC uR Ri ( t ), i ( t ) C dt
例6 如图所示RC串联电路中，若外加电动势为正
弦交流电压 e(t ) U m sin( t )，求开关闭合后，
A 1 1 1 2 2 2 2 2 2 m 0 s 0 s
sin 0 t sin t A x( t ) 2 2 m( 0 ) 0
从而
sin 0 t sin t A x( t ) 2 2 m( 0 ) 0
解 ms2X(s)+kX(s)=F(s)
x=0
k 如记 ，有 m
2 0
kx m f ( t) x
x
1 F ( s) 1 1 X ( s) 2 2 F ( s) 2 2 m s 0 m s 0
因为L
1
1 sin 0 t 2 2 0 s 0
例5 质量为m的物体挂在弹 簧系数为 k 的弹簧一端，外力为 f (t)，物体自平衡位置x=0处开始 运动，求运动规律 x (t)。
解 根据牛顿定律有 kx 其中－kx由虎克定律所得。初 始条件为 所以物体运动的微分方程为 m
x=0
x
f ( t)
x
且 x(0)=x'(0)=0
例5 质量为m的物体挂在弹 簧系数为 k 的弹簧一端，外力为 f (t)，物体自平衡位置x=0处开始 运动，求运动规律 x (t)。
解 且 x(0)=x'(0)=0 两边取Laplace变换，设 L [x(t)]=X(s)]，L [ f(t)]= F(s)， 并考虑到初始条件，则得 ms2X(s)+kX(s)=F(s) kx m
x=0
x
f ( t)
x
k 如记 ，有 m
2 0
例5 质量为m的物体挂在弹 簧系数为 k 的弹簧一端，外力为 f (t)，物体自平衡位置x=0处开始 运动，求运动规律 x (t)。
例8 求解方程组 条件 的解。
满足初始
解 1 Y ( s ) s( s 1)2 , X ( s) 2s 1 2 2 s ( s 1) 现根据Heaviside展开式来求它们的逆变换，查表也 可得 y( t ) 1 e t t e t t x( t ) t t e
Um 又 E( s) 2 ( cos s sin ) 2 s
U m ( cos s sin ) 则 UC ( s) 1 RC ( s )( s j )( s j ) RC 1 U C ( s ) 的一阶级点为 s1 , s2 j , s3 j , RC
从而
于是
这便是所求微分方程满足边界条件的解。
例 求方程
解 设方程的解
满足初始条件
且设
的解。
对方程的两边取Laplace变换，又由初始条件，得
这是含未知量 Y (s)的代数方程，整理后解出Y (s)，得
取其逆就可得所求函数
通过求解过程可以发现，常系数线性微分方程的
边值问题可以先当作它的初值问题来求解，而所得微 分方程的解中含有未知的初值可由已知的边值来求解， 从而最后完全确定微分方程满足边界条件的解。 对于某些变系数的微分方程，即方程中每一项为 的形式时也可以用Laplace变换的方法求解。 由象函数的微分性质可知
，原方程可写为
对方程的两边取Laplace变换，由卷积定理可得
所以
因此方程的解为
例8 求解方程组 条件 的解。
满足初始
解 对两个方程取Laplace变换, 设L [y(t)]=Y(s),
L [x(t)]=X(s), 并考虑到初始条件, 得
整理得
例8 求解方程组 条件 解 的解。
满足初始
1 Y ( s ) s( s 1)2 , 解此线性方程组 X ( s) 2s 1 2 2 s ( s 1)
如 f (t) 具体给出时，可以直接从解的象函数 X(s)的关 系式中解出 x(t)来.
例如，当物体在t=0时受到冲击力为f(t)=Ad(t)，其 中A为常数。此时， L [ f(t) ]=L [ Ad(t)]=A 所以 从而
A 1 X ( s) 2 2 m s 0
A x( t ) sin 0 t . m0
例 求解方程组 满足初始条件 的解。
解 先将两个方程分别相加减，可得
对上面两个方程取Laplace变换，设L [y(t)]=Y(s),
L [x(t)]=X(s), 并考虑到初始条件, 得
例 求解方程组 满足初始条件 解 整理得 的解。
解之可得
例 求解方程组 满足初始条件 解 的解。
取其逆变换，方程组的解为
§2.5 Laplace变换的应用
1 微分、积分方程的Laplace变换解法 2* 偏微分方程的Laplace变换解法 3* 线性系统的传递函数
Laplace变换和Fourier变换一样，在许多工程技
术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学
系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随 机服务系统等系统科学中都起着重要的作用。人们在 研究这些系统时，往往是从实际问题出发，将研究的 对象归结为一个数学模型，在许多场合下，这个数学
可见，在冲击力的作用下，运动为一正弦振动，
A ，角频率是ω0，称ω0为该系统的自然频率 振幅是 m0
(或称固有频率)。
注意到上述微分方程是在 t 0时建立起来的。 如果在 t >0时，则微分方程及初始条件都会有变化，即
且 这是因为冲击力δ(t )，当 t > 0时已经作用过了，
并且在 t =0时，使物体的初速由零突变到
为了求Y(s)的逆变换，将它化为部分分工的形式，
取逆变换，得
例2 求方程
解 设解为
满足边界条件 的解，其中 l 为已知常数。 且设
对方程的两边取Laplace变换，又由边界条件，得
整理后可得
取其逆变换，可得
例2 求方程
解
满足边界条件 的解，其中 l 为已知常数。
令 x=l 代入上式，由第二个边界条件可得
回路中电流 i(t) 及电容器两端电压uC(t) d uC 解 RC uC e(t ) dt 对方程式两边取Lapalce变换，且有 uC ( t ) t 0 0,
RCsUC ( s ) UC ( s ) E ( s ) E ( s) 则 UC ( s) 1 RCs 又 e(t ) U m sin( t ) U m (sin t cos cos t sin )
从而
例3 求方程
的解。 解 设方程的解 对方程的两边取Laplace变换， 亦即 且设
满足初始条件
又由初始条件，代入整理化简后可得
例3 求方程
的解。 解
满足初始条件
这是可分离变量的一阶微分方程，即
积分后可得 所以
例3 求方程
的解。 解 取逆变换可得
满足初始条件
为确定常数C，令 t =0 代入，有
象函数Y(s)的关系式中求出y (t)。例如，当
则有，
此时有
从而
可以看出这一积分方程实际上是一个卷积型的积分
方程，它有许多实际应用。例如在更新过程中有许多重 要的量(如更新函数，更新密度等)均满足这一方程。因 此，在更新过程中特别称此积分方程为更新方程。下面 给出一些实际例子。
例 求方程
的解。
解 设
模型是线性的。
换句话说，它可以用线性的积分方程、微分方程、 微分积分方程乃至于偏微分方程等来描述，这样，我 们可以象用Fourier变换那样，用Laplace变换这一方
法去分析和求解这类线性方程，而且我们可以发现这
一方法是十分有效的，甚至是不可缺少的。它的求解 步骤和用Fourier变换方法求解此类线性方程的步骤完 全类似。最后，还要给出线性系统的传递函数这一重 要的概念。
的解完全相同。
，但它们
如物体所受作用力为 f (t) =A sin t (A为常数)时， 所以
L [ f ( t )] A 2 2 s
1 1 A X ( s) 2 2 2 2 m s 0 s A 1 2 2 2 2 m ( s 0 )( s )
1 1 X ( s) 2 F ( s) 2 m s 0
因为L
1
1 sin 0 t ，由卷积定理得 2 2 0 s 0
1 sin 0 t x( t ) f (t ) m 0 1 t f ( )sin 0 ( t )d . m0 0
象函数的 代数方程
例1 求方程
的解。 解 设方程的解
满足初始条件
且设
对方程的两边取Laplace变换，又由初始条件，得
这是含未知量 Y (s)的代数方程，整理后解出Y (s)，得
这便是所求函数的Laplace变换，取其逆就可得所求函数
例1 求方程
的解。 解
满足初始条件
这便是所求函数的Laplace变换，取其逆就可得所求函数

A m0 ( )
2 2 0
( sin 0 t 0 sin t )
这里ω为作用力的频率(或称扰动频率)。若 0 运动是由两种不同频率的振动复合而成。若 0
(即扰动频率等于自然频率)，便产生共振，此时振幅
将随时间无限增大。这是理论上的情形。实际上，在 振幅相当大时，或者系统已被破坏，或者系统已不再 满足原来的微分方程。
它是一阶线性非齐次微分方程，现对方程式两边取
uR uC e(t )
Lapalce变换，设 L [uC (t )] UC ( s ), L [e(t )] E ( s )
例6 如图所示RC串联电路中，若外加电动势为正
弦交流电压 e(t ) U m sin( t )，求开关闭合后，
的解，其中h(t)，f (t)为定义在[0,+∞)上的实值函数。
解 设 对方程的两边取Laplace变换，由卷积定理可得
所以
例4 求方程
的解，其中h(t)，f (t)为ຫໍສະໝຸດ Baidu义在[0,+∞)上的实值函数。
解 如果令s =β+jω，由Laplace反演积分公式，有
这里，可以给出的是由象函数 Y(s)求它的象原函数 y (t) 的一般公式，如果 h(t)和 f (t)具体给出时，可以直接从
故方程满足初始条件的解为
例 求方程
的解。 解 设方程的解
满足初始条件
且设
对方程的两边取Laplace变换， 即
又由初始条件，代入整理化简后可得
例 求方程
的解。 解 设方程的解
满足初始条件
积分后可得
取逆变换可得
例 求方程
的解。 解 为确定常数C，令
满足初始条件
代入，有
故方程满足初始条件的解为
例4 求方程