分形科普—Fractal
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diF m lo22 g1 diFm lo24 g2
分形体的维度
若一个分形含有n个相似的部分，每一个部分的线度是整体的 1
m
则分形维度定义为：
dim F lom gnllnnm n
分形体的维度
柯赫曲线：因为其全长是无 穷大，所以若使用一维来度 量结果是无穷大；若使用二 维来度量，由于曲线没有宽 度，结果是0。所以，该曲 线维度介于一维和二维之间。
类似二维，将一个正方体平均分成27份，取走中间的7个小正 方体，剩余部分继续依此规律操作，直至无穷，得到一块类似 海绵的分形体。
其他三维分形体
不可能三维分形体
分形树
一种分形树的构图过程
分形体的周长、面积
周长：每次迭代周长变为原 周长的4/3倍，故无穷次迭 代后雪花的周长趋近无穷大。
面积：小于原三角形外接圆， 无穷迭代后面积趋近一个定 值若原三角形边长为a，雪 花无穷次迭代后面积为 0.4√3a²。
这一切都与一个熟悉又陌生的名字有关
——分形
分形
两大特点： 1.自相似，即局部与整体相似； 2.无限细分。
分形发展简史
▪ 研究分形维数 ▪ 分形集的局部性质 ▪分形集的结构 ▪ S-集分析与几何性质
▪ 计算机图形学发展 ▪ 分形构图软件大量出现 ▪ 计算机进行分形研究兴起
1875~1925
1926~1975
无限长的线围成有限的面积。
分形体的表面积、体积
体积：每次迭代体积都更小， 无穷次迭代后体积趋近0。 表面积：无穷次迭代后表面 积趋近无穷大。 怪异体，只有表面没有内容。
维度的计算
若将一个物体沿线分成m部分，它变成n个，则维度定义为：
lnn dim F lom gnlnm
线度分成2部分，变成2段，维度为： 线度分成2部分，变成4块，维度为：
柯赫曲线维度为：dimF llnn341.2618595
分形体的维度
谢尔宾斯基地毯维度为：
dimF llnn231.58496
分形体的维度
谢尔宾斯基海绵维度为：
dimF llnn2302.72683
分形体的维度
分形体的维度一般不是整数。
闵可夫斯基香肠
四方内生树
龙曲线
股票走势分形
洛伦茨曲线
曼德勃罗集图逐步放大
曼德勃罗集图逐步放大
曼德勃罗集图“峡谷地带”放大
分形的应用
数学中的动力系统等; 物理中的布朗运动,流体力学中的湍流等; 化学中酶的构造等; 生物中细胞的生长等; 地质学中的地质构造等; 天文学中土星光环的模拟等; 其它:计算机,经济学,社会学,艺术等
分形的功能
。 。 。 。 。 。
柯赫曲线
柯赫曲线构图演示——雪花
另一种柯赫曲线构图
随机柯赫曲线——海岸线
E0 线段三等分，中间部 分用等边三角形替代， 三角形方向扔硬币确
定。 E1
E2
E3
F
……
三角形谢尔宾斯基地毯
1.将一个等边三角形 四等分，去掉中间 部分；
2.继续将剩余等边三角形四 等分，去掉中间部 分。。。。。。
1.事物的外形，存在着整体和局部相似的特点。局部放大 后与整体形状类似；
2.事物的发展，也可以从局部的发展，看出事物整体发展 的状况；
3.事物的功能，事物局部的功能，也存在着与整体功能相 似的情况。
测量海岸线
在测量海岸线长度时，采用不同的尺子得到的结果也不相同，采用更大的红 色尺子测出的结果要小于绿色尺子结果，尺子越小，测得长度越长，如果把 海岸线放在显微镜下测量长度可能是无限长。
朱丽亚图谱
J(C ) { Z 0|n ， Z n Z n 2 1 C 有 }界
曼德勃罗集图
M (Z 0 ) { C |n ， Z n Z n 2 1 C 有 }界
广义曼德勃罗集图
M (Z 0 ) { C |n ， Z n Z n k 1 C 有 }界
k=3
k=4
曼德勃罗集图逐步放大
分形 Fractal
2017年4月20日
银河系
险峻的山川
连绵的海岸线
河流分布图
狂暴的雷电
雪花与冰晶
人体结构
海洋生物
普通树木
蕨 类 植 物 西兰花和多肉植物
金融·美元指数分析图
梦幻般的图
分形
花椰菜、树木、山 川、云朵、脑电图、材料断 口、闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶 簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、星 系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层……
三角形谢尔宾斯基地毯构图演示
正方形谢尔宾斯基地毯
1.将一个正方形九等 分，去掉中间部分；
2.继续将剩余正方形九等分， 去掉中间部分。。。。。。
谢尔宾斯基地毯应用
如同二维码一般的正方形谢尔宾斯基地毯由于其特殊的结构， 可以响应各种频段的电磁信号，因此用它来做手机天线，可以 把天线做的很小。
谢尔宾斯基海绵——三维分形体
1976~2010
2010~
▪ 分形出现 ▪ 试图用经典几何学描述分形 ▪ 出现大量处处连续不可微图形
Βιβλιοθήκη Baidu
▪ 成为独立学科 ▪ 曼德尔布莱特出版里程碑专著
柯赫曲线构图
1.画一条线；
2.三等分，中间部分用等边三 角形替代；
3.继续将所有线段三等分，中 间部分用等边三角形替代；
柯赫曲线构图
4.继续将所有线段三等分，中 间部分用等边三角形替代；
分形艺术图鉴赏
梦
奔月
沙浪
神州
菊
大地之光
DNA
生命
分 形 画
分 形 画
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分形体的维度
若一个分形含有n个相似的部分，每一个部分的线度是整体的 1
m
则分形维度定义为：
dim F lom gnllnnm n
分形体的维度
柯赫曲线：因为其全长是无 穷大，所以若使用一维来度 量结果是无穷大；若使用二 维来度量，由于曲线没有宽 度，结果是0。所以，该曲 线维度介于一维和二维之间。
类似二维，将一个正方体平均分成27份，取走中间的7个小正 方体，剩余部分继续依此规律操作，直至无穷，得到一块类似 海绵的分形体。
其他三维分形体
不可能三维分形体
分形树
一种分形树的构图过程
分形体的周长、面积
周长：每次迭代周长变为原 周长的4/3倍，故无穷次迭 代后雪花的周长趋近无穷大。
面积：小于原三角形外接圆， 无穷迭代后面积趋近一个定 值若原三角形边长为a，雪 花无穷次迭代后面积为 0.4√3a²。
这一切都与一个熟悉又陌生的名字有关
——分形
分形
两大特点： 1.自相似，即局部与整体相似； 2.无限细分。
分形发展简史
▪ 研究分形维数 ▪ 分形集的局部性质 ▪分形集的结构 ▪ S-集分析与几何性质
▪ 计算机图形学发展 ▪ 分形构图软件大量出现 ▪ 计算机进行分形研究兴起
1875~1925
1926~1975
无限长的线围成有限的面积。
分形体的表面积、体积
体积：每次迭代体积都更小， 无穷次迭代后体积趋近0。 表面积：无穷次迭代后表面 积趋近无穷大。 怪异体，只有表面没有内容。
维度的计算
若将一个物体沿线分成m部分，它变成n个，则维度定义为：
lnn dim F lom gnlnm
线度分成2部分，变成2段，维度为： 线度分成2部分，变成4块，维度为：
柯赫曲线维度为：dimF llnn341.2618595
分形体的维度
谢尔宾斯基地毯维度为：
dimF llnn231.58496
分形体的维度
谢尔宾斯基海绵维度为：
dimF llnn2302.72683
分形体的维度
分形体的维度一般不是整数。
闵可夫斯基香肠
四方内生树
龙曲线
股票走势分形
洛伦茨曲线
曼德勃罗集图逐步放大
曼德勃罗集图逐步放大
曼德勃罗集图“峡谷地带”放大
分形的应用
数学中的动力系统等; 物理中的布朗运动,流体力学中的湍流等; 化学中酶的构造等; 生物中细胞的生长等; 地质学中的地质构造等; 天文学中土星光环的模拟等; 其它:计算机,经济学,社会学,艺术等
分形的功能
。 。 。 。 。 。
柯赫曲线
柯赫曲线构图演示——雪花
另一种柯赫曲线构图
随机柯赫曲线——海岸线
E0 线段三等分，中间部 分用等边三角形替代， 三角形方向扔硬币确
定。 E1
E2
E3
F
……
三角形谢尔宾斯基地毯
1.将一个等边三角形 四等分，去掉中间 部分；
2.继续将剩余等边三角形四 等分，去掉中间部 分。。。。。。
1.事物的外形，存在着整体和局部相似的特点。局部放大 后与整体形状类似；
2.事物的发展，也可以从局部的发展，看出事物整体发展 的状况；
3.事物的功能，事物局部的功能，也存在着与整体功能相 似的情况。
测量海岸线
在测量海岸线长度时，采用不同的尺子得到的结果也不相同，采用更大的红 色尺子测出的结果要小于绿色尺子结果，尺子越小，测得长度越长，如果把 海岸线放在显微镜下测量长度可能是无限长。
朱丽亚图谱
J(C ) { Z 0|n ， Z n Z n 2 1 C 有 }界
曼德勃罗集图
M (Z 0 ) { C |n ， Z n Z n 2 1 C 有 }界
广义曼德勃罗集图
M (Z 0 ) { C |n ， Z n Z n k 1 C 有 }界
k=3
k=4
曼德勃罗集图逐步放大
分形 Fractal
2017年4月20日
银河系
险峻的山川
连绵的海岸线
河流分布图
狂暴的雷电
雪花与冰晶
人体结构
海洋生物
普通树木
蕨 类 植 物 西兰花和多肉植物
金融·美元指数分析图
梦幻般的图
分形
花椰菜、树木、山 川、云朵、脑电图、材料断 口、闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶 簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、星 系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层……
三角形谢尔宾斯基地毯构图演示
正方形谢尔宾斯基地毯
1.将一个正方形九等 分，去掉中间部分；
2.继续将剩余正方形九等分， 去掉中间部分。。。。。。
谢尔宾斯基地毯应用
如同二维码一般的正方形谢尔宾斯基地毯由于其特殊的结构， 可以响应各种频段的电磁信号，因此用它来做手机天线，可以 把天线做的很小。
谢尔宾斯基海绵——三维分形体
1976~2010
2010~
▪ 分形出现 ▪ 试图用经典几何学描述分形 ▪ 出现大量处处连续不可微图形
Βιβλιοθήκη Baidu
▪ 成为独立学科 ▪ 曼德尔布莱特出版里程碑专著
柯赫曲线构图
1.画一条线；
2.三等分，中间部分用等边三 角形替代；
3.继续将所有线段三等分，中 间部分用等边三角形替代；
柯赫曲线构图
4.继续将所有线段三等分，中 间部分用等边三角形替代；
分形艺术图鉴赏
梦
奔月
沙浪
神州
菊
大地之光
DNA
生命
分 形 画
分 形 画
谢谢！
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！