经济学家将平均成本函数

範例 2 求最小平均成本 （解）
1. 令 C 為總成本，x 為產量，C 為單位平均成本。
2. 主要方程式為
C= C x
主要方程式
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第四章 導數的應用
P.4-36
範例 2 求最小平均成本 （解）
3. 將 C 代入主要方程式，可得 C 800 0.04x 0.0002x2 將C代入 x 800 0.04 0.0002x 單變數函數 x
微積分精華版[第九版]
4.5 商業與經濟學的應用
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4.5 商業與經濟學的應用
學習目標 ▪ 求解商業與經濟學的最佳化問題。 ▪ 求解需求函數中需求的價格彈性。 ▪ 辨認基本的商業術語與公式。
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第四章 導數的應用
P.4-35
商業與經濟學的最佳化
▪ 本章節主要將探討最佳化的問題，所以 4.4 節中 的五個步驟為解題的策略。
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第四章 導數的應用
P.4-35 圖4.37
範例 1 求最大收入 （解）
2. 主要方程式為收入函數，即 R ＝ －x3 ＋ 450x2 ＋ 52,500x
3. 因為 R 為單變數函數，所以不需次要方程式。 4. 主要方程式的可行定義域為
0 ≤ x ≤ 546 可行定義域 此範圍是由收入函數的 x 截距而得，如圖 4.37。
4. 函數的可行定義域為
x>0
可行定義域
因為公司的產量不可能為負值。
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第四章 導數的應用
P.4-36
範例 2 求最小平均成本 （解）
5. 再求臨界數如下所示。
dC dx
800 x2
0.0002
0
令導數為0
0.0002
800 x2
x2 800 0.0002
兩邊同乘x2 再除以0.0002
x2 4, 000, 000
x 2000 臨界數
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第四章 導數的應用
P.4-36
範例 2 求最小平均成本 （解）
▪ 由題意可知 x 值必須為正數，另外 C 的圖形如 圖 4.38 所示。即產量在 x ＝ 2000 時有最小的單 位平均成本。
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第四章 導數的應用
P.4-36
範例 2 求最小平均成本 （解）
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p 10 10 9.75 (x 2000) 點斜式 2000 2250
p 10 0.001(x 2000)
化簡
p 0.001x 12
次要方程式
將上式代入收入方程式可得
R x(0.001x 12)
代入p
0.001x2 12x
單變數函數
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第四章 導數的應用
P.4-37
範例 3 求最大收入（解）
其中 C ＝ f(x) 為總成本函數，x 為產量。
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第四章 導數的應用
P.4-36
範例 2 求最小平均成本
▪ 某公司估計生產某產品 x 單位的成本 ( 美元) 可 表示為 C ＝ 800 ＋ 0.04x ＋ 0.0002x2。求使得每 單位的平均成本為最小的產量。
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第四章 導數的應用
P.4-36
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第四章 導數的應用
P.4-35
範例 1 求最大收入 （解）
5. 為了使收入最ห้องสมุดไป่ตู้，先求得臨界數。
dR 3x2 900x 52,500 0 dx
3(x 350)(x 50) 0 x 350, x 50
令導數為0
因式分解 臨界數
在可行定義域中的臨界數為 x ＝ 350，由函數的 圖形可知在產量為 350 時有最大收入。
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第四章 導數的應用
P.4-35
檢查站 1
▪ 求使收入函數 R ＝ －x3 ＋ 150x2 ＋ 9375x
最大化的產量，其中總收入(美元)，x 是單位生 產 (或售出) 成本，試問最大收入為何？
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P.4-35
商業與經濟學的最佳化
▪ 為了研究產量對成本的影響，經濟學家將平均 成本函數 (average cost function) C 定義為
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第四章 導數的應用
P.4-35
範例 1 求最大收入
▪ 某公司認為某產品的總收入 (美元) 可表示為 R ＝ －x3 ＋ 450x2 ＋ 52,500x
其中 x 為銷售量。試問可得最大收入的產量為 何？
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第四章 導數的應用
P.4-35
範例 1 求最大收入 （解）
1. 收入函數的草圖如圖 4.37 所示。
第四章 導數的應用
P.4-36 圖4.38
學習提示
▪ 為了驗證在範例 2 中 x＝2000 有最小的平均成 本，可代入幾個 x 值來求 C 值。譬如，當 x ＝ 400 時的單位平均成本為 C ＝$2.12，但在 x＝ 2000 時，每單位平均成本為 C ＝$0.84。
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第四章 導數的應用
P.4-36
▪ 由圖 4.39 可知，銷售量為 6000 時的收入最大， 對應的單價為
p = 12 －0.001x
需求函數
= 12 －0.001(6000) 將 x ＝ 6000 代入
= $6
單價
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第四章 導數的應用
P.4-37
範例 3 求最大收入（解）
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第四章 導數的應用
4. 收入方程式的可行定義域為
0 ≤ x ≤ 12,000
可行定義域
令利潤函數為零所解出的x截距即為此區間範圍。
5. 欲使收入最大化，先求臨界數。
dR 12 0.002x 0 dx
令導數為0
0.0002x 12
x 6000 臨界數
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第四章 導數的應用
P.4-37
範例 3 求最大收入（解）
檢查站 2
▪ 求使得每單位的平均成本為最小的產量，其中 成本函數為C ＝ 400 ＋ 0.05x ＋ 0.0025x2。 其中 C 為生產 x 單位的成本 (美元)。
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第四章 導數的應用
P.4-36
範例 3 求最大收入
▪ 某公司的產品若以 $10 的單價出售，每個月可 賣出 2000 個；若單價每降低 $0.25，則每個月 可再多賣 250 個。求使得每月收入為最大的單 價。
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第四章 導數的應用
P.4-37
範例 3 求最大收入（解）
1. 令 x 為每月的銷售量，p 為單價，R 為每月的收 入。
2. 為了使每月的收入最大，所以主要方程式為
R ＝ xp
主要方程式
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第四章 導數的應用
P.4-37
範例 3 求最大收入（解）
3. 當單價 p ＝ $10 時的銷售量為 x ＝ 2000，當單 價 p ＝ $9.75 時的銷售量 x ＝ 2250。再由點斜 式來建立需求方程式。