第1章 模糊集合的基本概念_m
模糊集合
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
模糊集合
13
A ( x) 1
A ( x) [0 1]
1
6
13
2) 连续形式: 令X = R+ 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B { x, B ( x ) | x X } 1 式中： B ( x) x 50 4 1 ( ) 10
112121xfxfxxf??它的定义比模糊凸的定义严格不符合凸函数条件1x2x语言变量5元组为特征?????????规则与各值含义有关的语法值名称的句法规则产生论域术语的集合变量的名称
基于模糊推理的智能控制
1）模糊集合与模糊推理
2）模糊推理系统
3）模糊控制系统
0. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) a,b,c,的几何意义如图所示。
1
1
x c 2b a
斜率=-b/2a
c-a
c
c+a
改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
R(U ,V ) {( x, y, R ( x, y)) | ( x, y) U V } U ,V 是二个论域。
同 一 空 间
R ( x, y) [0,1]
y1 y2 y3 y4
x1 0.8 1.0 0.1 0.7 0 x2 0 0.8 0 x3 0.9 1.0 0.7 0.8
模糊集理论及其应用_第一章
11
1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若A(u) =１，则认为u完全属于A ； 若A(u) =０，则认为u完全不属于A． 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
3
模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必 然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
5
数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分 界线） 与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模 糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性 质具有边界不分明的模糊性
模糊集理论及其 应用
1
前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
模糊集合及其运算
40
31 0.78 110 85 0.75
50
39 0.78 120 95 0.79
60
47 0.78 129 101 0.78
70
53 0.76
由表 1可见，隶属频率随试验次数 n 的增加而呈现
稳定性，稳定值为 0.78，故有 [青年人] (27) = 0.78。
模糊统计与概率统计的区别： 模糊统计：变动的圆盖住不动的点 概率统计：变动的点落在不动的圆内
（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
u 0 对A的隶属度：
* u A 的次数 0 A ( u )lim 0 n n
例 取年龄作论域 X，通过模糊试验确定 x0= 27(岁)
对模糊集“青年人” A 的隶属度。
张南伦曾对 129 名学生进行了调查试验，要求
每个被调查者按自己的理解确定“年青人” (即 A)
0.1 0.2 0.2 B A 0.3 0.3 0.3 0.4 0.5 0.5
（3）模糊矩阵的转置
T ( a ) , 定义：设 A 称 A (aji )nm为A的 ij m n
转置矩阵。 （4）模糊矩阵的 截矩阵 定义：设 A 对任意的 称 [ 0 , 1 ], ( a ) , ij m n
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1
A0 .5
0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
A0 .8
三、隶属函数的确定 1、模糊统计法
模糊统计试验的四个要素：
（1）论域U； （2）U中的一个固定元素 u 0 ;
* A （3）U中的一个随机运动集合 ;
~
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
第一章模糊集合的一般概念
• 定义1.4 记 AB (A B) (B A)
{u | u A与u B二者有且仅有一成立} 称A与B的对称差。
A- B
AΘB
• 映射：记号f ：U→V u |→ f (u)
表示f从U到V的一个映射。 U： f 的定义域，记
f (U ) {v | u U ,使v f (u)}
~ ~ Zadeh给出年轻 Y 和年老 O 两个模糊集的
隶属函数
O~
(u
)
0 [1
(u
50 5
)
2
]1
当0 u 50 当50 u 200
Y~ (u)
1 [1
(u
25) 5
2
]1
当0 u 25 当0 u 200
三、定义1.6 集合的运算（并、交、补）
C A B A B (u) max(A(u), B (u)) C A B A B (u) min(A(u), B(u)) C Ac Ac (u) 1 A(u)
Ac (u) 1 A (u)
§3 模糊子集的定义及运算
• 定义1.5 ：所谓给定了论域U上的一个模糊
子集~A ，是指对任意 u U ,都指定了一个
~ 数 映射 ~A
(u)
~A
[0,1] ，叫做u
~A :U
对A
[0,1]
的隶属程度。
u ~A(u)
叫做~A 的隶属函数。
• 模 的 函糊值 数子域。~A集={蜕完0，变全1成由}时一其。个隶普属~A 变通函成子数普集所通。刻集画合。的当特征~A
例：设U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，
10}， 则：
表~A示“接近5的整数”的模糊子集，
模糊集理论及应用讲解
经典集合与特征函数
4、隶属度 特征函数CA(u)在u=u0处的值CA(U0)称为u0对A的隶属度。
模糊集合与隶属函数
1、隶属函数
[0 设U是论域，μA是将任何u∈U映射为 ，1]上某个值的函数，
即：
：U→[ μA
0，1的一个隶属函数。
?0.4 0.5 0.1?
例
R1 ? ??0.2 0.6 0.2??
??0.5 0.3 0.2??
?0.2 0.8? R2 ? ??0.4 0.6??
??0.6 0.4??
?0.4 0.5? R ? R1 ?R2 ? ??0.4 0.6??
λ水平截集
解： （1）λ水平截集 A1={ u3 } A0.6={ u2,u3,u4 } A0.5={ u2,u3,u4,u5 } A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 } （2）核、支集 KerA={ u3 } SuppA={ u1,u2,u3,u4,u5 }
模糊数
模糊数 如果实数域上的模糊集A的隶属函数μA (u)在R上连续，且具有如下性 质：
2、模糊集
设A={ μA (u) | u∈U } ，则称A为论域U上的一个模糊集。 3、隶属度
μA (u)称为u对模糊集A的隶属度。
模糊集合与隶属函数
模糊集合完全由其隶属函数确定，即一个模糊集合与其隶属函数是等 价的。
可以看出 对于模糊集Ａ，当Ｕ中的元素u的隶属度全为0时，则Ａ就是个空 集； 当全为1时，Ａ就是全集Ｕ； 当仅取0和1时，Ａ就是普通子集。
UR V R的论域为U×V。 特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合
的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用模糊集合论是一种重要的数学工具，它能够处理现实世界中的模糊、不确定和不精确的信息，具有广泛的应用前景。
本文首先介绍模糊集合论的基本概念和运算，然后探讨其在决策分析、控制理论、人工智能等领域的应用，并最后展望其未来发展方向。
一、模糊集合论的基本概念和运算1.1 模糊集合的定义在传统的集合论中，一个元素只能属于集合或不属于集合，不存在中间状态。
而在模糊集合论中，一个元素可以同时属于多个集合，并且对于不同的元素，其属于集合的程度也不同。
因此，模糊集合论将集合的概念进行了扩展，使其能够更好地描述现实世界中的不确定性和模糊性。
设X为一个非空的集合，称为全集，一个模糊集A是一个从X到[0,1]的函数，即：$$A(x):Xrightarrow[0,1]$$其中，A(x)表示元素x属于模糊集A的隶属度，取值范围为[0,1]。
当A(x)=1时，表示x完全属于A；当A(x)=0时，表示x完全不属于A；当0<A(x)<1时，表示x部分属于A。
1.2 模糊集合的运算模糊集合的运算包括模糊集合的交、并、补和乘积等。
模糊集合的交：对于两个模糊集合A和B，其交集为：$$(Acap B)(x)=min{A(x),B(x)}$$模糊集合的并：对于两个模糊集合A和B，其并集为：$$(Acup B)(x)=max{A(x),B(x)}$$模糊集合的补：对于一个模糊集合A，其补集为：$$(eg A)(x)=1-A(x)$$模糊集合的乘积：对于两个模糊集合A和B，其乘积为：$$(Atimes B)(x,y)=min{A(x),B(y)}$$其中，(A×B)(x,y)表示元素(x,y)属于模糊集合A×B的隶属度。
1.3 模糊关系和模糊逻辑在模糊集合论中，还有两个重要的概念，即模糊关系和模糊逻辑。
模糊关系是指一个元素对另一个元素的隶属度，可以用矩阵表示。
例如，设A和B是两个模糊集合，它们之间的模糊关系R可以表示为： $$R=begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} R_{21} & R_{22}end{bmatrix}$$其中，Rij表示元素i与元素j之间的隶属度。
第一章模糊集的基本概念
6.集合的运算规律
幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = .
§1.2 模糊理论的数学基础
一 经典集合
1.经典集合具有两条基本属性：
元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明, 即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属 于集合(记作xA)，二者必居其一. 2.集合的表示法 (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}.
记R=(rij)n×n, R2 =(rij(2))n×n.
先设R具有传递性.
若rij(2) =0，则有rij(2) ≤ rij .
若rij(2) =1，则由于
rij(2) = ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = 1，
故存在1≤s≤n，使得
(ris∧rsj) = 1，
即ris= 1, rsj= 1.
由于R具有传递性，ris= 1, rsj= 1， 则rij =1. 综上所述 R2≤R. 再设R2≤R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1，
2.关系的三大特性 定义9 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有关 系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也 有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
模糊集的基本概念
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 或f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
也称f为一一的。 满射(surjection)： f : X Y, 且对任意 y Y, 都有 x X , 使得 y f (x), 则称f为满射。
也称f 映X到Y上（映上）。
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：
确定性
数学 不确定性
经典（精确）数学
随机性 模糊性 随机数学 模糊数学
模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
一、集合
集合的有关概念 集合的运算 集合运算的性质 映射与扩张 集合的特征函数 直积 关系的概念 关系的运算 特征关系 等价关系与划分 偏序集 格
Ai {x | i I , x Ai }
分配律、对偶律等可推广
4. 集合中元素的计数
• 集合A＝{1，2，„，n}，它含有n个元素,可以说这 个集合的基数是n，记作 card A＝n
也可以记为｜A｜＝n，
空集的基数是 即｜｜＝0．
有穷集、无穷集
• 定义: 设A为集合，若存在自然数n（0也是自然 数），使得｜A｜＝card A＝n，则称A为有穷集， 否则称A为无穷集。
• 例如，{a,b,c}是有穷集，而N，Z，Q，R都是无 穷集。
5. 映射与扩张
（1） 映射(mapping):实际是函数概念的推广
x X, 设 X, Y 都是集合，若存在对应关系 f, 使
都有唯一的 y Y 与之相对应，则称f 映X入Y的映射。 记号： f : X Y x a y f (x)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
简述模糊集合的概念
简述模糊集合的概念
模糊集合是指一个元素可能具有一定程度的隶属度，即一个元素可能同时属于多个集合。
它与传统的 crisp (确定性) 集合不同，传统集合中的元素要么完全属于集合，要么完全不属于集合，而模糊集合中的元素可能会部分属于集合。
模糊集合的隶属度可以用数值来表示，一般为0到1之间的实数。
当隶属度为0时，元素完全不属于集合，当隶属度为1时，元素完全属于集合。
模糊集合可以用来描述许多实际问题，如天气预报、医学诊断、模式识别等。
模糊集合理论是人工智能领域中的重要分支之一，被广泛应用于各种智能系统中。
sugeno模糊模型的基本概念
Sugeno模糊模型是一种广泛应用于控制系统、模式识别和决策系统中的数学模型，它基于模糊集合理论和模糊逻辑，能够处理不确定性和模糊性信息，具有很强的鲁棒性和适应性。
本文将对Sugeno模糊模型的基本概念进行深入探讨，包括模糊集合、隶属函数、模糊规则以及模糊推理等方面。
1. 模糊集合的概念模糊集合是指元素的隶属度不是0或1，而是在0和1之间的一种中间状态。
它是模糊逻辑中的基本概念，表示了元素与某个概念的模糊程度。
在Sugeno模糊模型中，模糊集合通常用隶属函数来描述，隶属函数可以是三角形、梯形、高斯等形式。
2. 隶属函数的定义隶属函数是描述元素与模糊集合的隶属关系的函数。
它通常具有单调递增或单调递减的特性，可以通过一些参数来调节其形状。
对于三角形隶属函数，可以通过中心和宽度两个参数来确定其形状。
3. 模糊规则的建立模糊规则是Sugeno模糊模型中的重要组成部分，它描述了输入变量和输出变量之间的关系。
一般来说，模糊规则由若干个条件部分和一个结论部分组成，条件部分使用模糊逻辑运算符来连接多个隶属函数，结论部分则是输出变量的线性组合。
4. 模糊推理的方法模糊推理是Sugeno模糊模型的核心，它通过模糊规则对输入变量进行模糊推理，得到输出变量的模糊值，并通过去模糊化处理得到模糊输出。
常见的模糊推理方法包括最大隶属度法、最小最大法、加权平均法等。
Sugeno模糊模型通过模糊集合、隶属函数、模糊规则和模糊推理等基本概念，能够有效地处理不确定性和模糊性信息，具有广泛的应用前景和理论研究价值。
希望本文对Sugeno模糊模型的基本概念有所帮助，引发更多学者对其深入研究，推动模糊逻辑在各个领域的应用和发展。
Sugeno模糊模型是模糊逻辑在实际应用中的典型代表，在控制系统、模式识别、决策系统等领域展现出了强大的优势。
其基本概念包括模糊集合、隶属函数、模糊规则和模糊推理等，下面将对每个概念进行进一步扩展。
5. 模糊集合的运算在Sugeno模糊模型中，模糊集合之间可以进行交、并、补等运算，这使得模糊集合能够灵活地表达复杂的不确定性信息。
模糊数学1第二讲-模糊集合与模糊关系
目录
• 引言 • 模糊集合的基本概念 • 模糊关系的定义和性质 • 模糊关系的应用 • 结论
01 引言
主题简介
模糊集合
模糊集合是传统集合的扩展，允许元 素具有不明确的隶属度。它能够更好 地描述现实世界中许多事物的模糊性 和不确定性。
模糊关系
模糊关系是描述模糊元素之间关联的 方式，可以用于描述事物之间的不确 定性和相似性。
3
模糊关系具有自反性，即任意一个模糊集合都与 自身有完全的关联。
模糊关系的运算
01
并运算
表示两个模糊集合之间的合并关系， 结果是一个新的模糊集合。
补运算
表示一个模糊集合的补集关系，结 果是一个新的模糊集合。
03
02
交运算
表示两个模糊集合之间的交集关系， 结果是一个新的模糊集合。
非运算
表示一个模糊集合的否定关系，结 果是一个新的模糊集合。
人工智能与机器学习
模糊数学在人工智能和机器学习领域有巨大的潜力，特别 是在处理不确定性和含糊性方面。未来可以进一步探索模 糊数学在人工智能和机器学习领域的应用。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
04
04 模糊关系的应用
在决策分析中的应用
模糊决策
利用模糊集合理论，可以将决策 问题中的不确定性和模糊性纳入 数学模型中，从而更准确地描述 和解决决策问题。
模糊多属性决策
在多属性决策中，模糊集理论可 以用于处理属性值的不确定性， 通过权重调整和属性值模糊化， 实现更准确的决策分析。
模糊综合评价
基于模糊集合理论的综合评价方 法，能够综合考虑多个因素和条 件，对复杂系统进行全面、客观 的评价。
模糊集的概念
• 模糊技术专门期刊 IEEE Trans. On Fuzzy Systems Fuzzy Set and System International Journal of Fuzzy Systems Journal of Intelligent & Fuzzy Systems
日本的研究历史和现况 成立模糊系统研究会 (关东地区) 成立模糊科学研究会 (西部) 仿真电路之模糊专用器材 国际模糊系统学会日本分会成立 模糊推理芯片问世 第二届国际模糊系统会议于东京召开 加速日本模糊研究 仙台地下铁模糊控制 1988 成立模糊应用研究室 1989 成立国际模糊工程研究所 (LIFE) 成立日本模糊理论和系统学会 (SOFT) 1991 模糊家电大量发表 1972 1980 1983 1984 1985 1987
• 模糊性(fuzziness)
– 对事件的定义因人而异，无法客观而确定的表达出来，导致 意念沟通时发生障碍。
1.2 经典（分明）集合
传统明确集合(Crisp set) 集合(Set)集合是由一些具有共同性质的元素汇总起来的组织 元素(Element) 构成集合的事物或对象称为集合的元素 论域(Universe of discourse) 探讨对象所考虑的范围 空集合(Empty set)： 不含任何元素的集合 有限集合(Finite set)：内含有限个数的集合 无限集合(Infinite set)：内含无限个数的集合 FUZZY集合是FUZZY理论的基础 FUZZY是传统集合理论的延伸
0 20 40 60 80 100
u
子集合(Subset) • 若A所有的元素都是B的元素，则称A为B的子集合。
A B iff x A x B iff A ( x) B ( x) x X
模糊集
.
第29页
注意 不再成立. 例 设U 从而
对于模糊集合，互补律
3. 向量表示法：
U
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n )).
若论域为可列集则上的模糊子集
U {u 1 , u 2 , , u n , , },
A
A (u i )
ui
第13页
i 1
例3 某车间由五个工人组成一个工作小组作为 论域 U {u 1,u 2,u 3,u 4,u 5}, “技术优良”为一模 糊概念，每个工人附以该工人属于“技术优良” 的等级顺次为0.75，0.50，0.98，0.66，0.84，则 模糊子集 A 为
第19页
例 1 U x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 商 品 集 ） （ , A＝ “ 商 品 好 ” , A B 即 xi , 0 .1 x1 0 .6 x1 0 .3 x2 0 .5 x2 0 .6 x3 0 .7 x3 A B
第20页
A A A, A A A; A B B A, A B B A; ( A B ) C A ( B C ), ( A B ) C A ( B C ); A ( A B ) A , A ( A B ) A; ( A B ) C ( A C ) ( B C ), ( A B ) C ( A C ) ( B C );
,
xA c源自U1 A (x)
.
模糊集合论
集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集， 记为(A). 并集A∪B = { x | xA或xB }； 交集A∩B = { x | xA且xB }； 余集Ac = { x | xA }. 集合的运算规律 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A；
c
扩张：点集映射 集合变换
如2∧3 = 2
二元关系
X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系.二 元关系简称为关系. 若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1； 若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y {0,1} 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.
若在具有最小元0与最大元1的分配格 (L,∨,∧)中规定一种余运算c，满足： 还原律：(ac)c=a； 互余律：a∨ac=1， a∧ac=0， 则称(L,∨,∧,c )为一个Boole代数.
若在具有最小元0与最大元1的分配格 (L,∨,∧)中规定一种余运算c，满足： 还原律：(ac)c = a ； 对偶律：(a∨b)c = ac∧bc， (a∧b)c = ac∨bc， 则称(L,∨,∧,c ) 为一个软代数.
设(L,∨,∧)是一个格，如果它还满足下 列运算性质：
分配律：( a∨b )∧c = ( a∧c )∨( b∧c ) , ( a∧b )∨c = ( a∨c )∧( b∨c ) .
模糊集合
第二章：模糊集合与模糊计算模糊理论的产生一方面是为描述客观世界中的模糊现象，另一方面是为了将人类的知识引入到智能系统中去，提高智能系统的智能水平。
“模糊”译自英文“Fuzzy”一词，其含义可以解释为：“朦胧的、模糊的；不精确的；不合逻辑的、不分明的”。
因此，曾有人提议兼顾其音义将Fuzzy译为“乏晰”，但最终没有得到大众的认可。
经过数十年的发展，“模糊”作为一个技术形容词已经得到了广泛使用。
如模糊计算、模糊推理、模糊控制等等。
§2.1 模糊性分析2.1.1 模糊性在客观世界中，有的概念在特定的场合有明确的外延，例如国家、货币、法定年龄、地球是行星等等。
而有的概念的外延往往并不明确，例如发展中国家、著名球星、俊男靓女、冷与热等等。
是不是发展中国家，不同的人有不同的理解。
这种没有明确外延的概念，我们说它具有模糊性(fuzziness)。
当然，模糊性通常是指对概念的定义及理解上的不确定性，如酷、聪明、舒适等等。
关于什么是聪明，我们永远不可能列举出它应满足的全部条件。
至于什么是酷，不同的时代可能有不同的理解。
不容置疑的是在现实生活中，这种模糊现象是普遍存在的。
模糊性来源于事物的变化过程。
处于过渡阶段，事物的基本特征就是性态的不确定性，类属的不清晰性，也就体现出模糊性。
例如“青年人”这个模糊概念。
根据图2.1.1给出的关于人的成长阶段，按照经典集合的描述方法，一般认为年龄在14~25岁之间的人是青年人，其特征函数值取为1，其它年龄段的人都不是青年人。
儿童时期少年时期青年时期中年时期老年时期年龄图2.1.1 经典数学描述下人的成长时期但是，在14~25岁之外就截然不是青年人吗?答案是否定的。
因为人的生命是一个连续的过程，一个人从少年走向青年是一日一日积累的一个渐变的过程。
从差异的一方(如少年)到差异的另一方(如青年)，这中间经历了一个由量变到质变的连续过渡过程，这种过渡性造成了划分上的不确定性。
模糊数学的基础知识
模糊数学知识小结与模糊数学相关的问题模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系模糊层次分析法—两两比较指标的确定模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。
由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果模糊数学基础一.Fuzzy 数学诞生的背景1）一个古希腊问题：“多少粒种子算作一堆？”2）Fuzzy 概念的广泛存在性，如“找人问题”3）何谓Fuzzy 概念？，如何描述它？由集合论的要求，一个对象x,对于一个集合，要么属于A,要么不属于A，二者必居其一，且仅居其一，绝对不允许模棱两可。
这种绝对的方法，是不能处理所有科学的问题，即现实生活中的一切事物一切现象都进行绝对的精确化时行不通的，从而产生模糊概念。
二.模糊与精确的关系对立统一，相互依存，可互相转化。
- 精确的概念可表达模糊的意思：如“望庐山瀑布”“飞流直下三千尺，凝是银河落九天”- Fuzzy的概念也能表达精确的意思：模糊数学不是让数学变成模模糊糊的东西，而是让数学进入模糊现象这个禁区，即用精确的数学方法去研究处理模糊现象。
三. 模糊性与随机性的区别事物分确定性现象与非确定性现象- 确定性现象：指在一定条件下一定会发生的现象。
- 非确定性现象分随机现象与模糊现象* 随机性是对事件的发生而言，其事件本身有着明确的含义，只是由于发生的条件不充分，事件的发生与否有多种可能性。
* 模糊性是研究处理模糊现象的，它所要处理的事件本身是模糊的。
模糊数学的广泛应用性模糊技术是21世纪的核心技术模糊数学的应用几乎渗透到自然科学与社会科学的所有领域：1）软科学方面：投资决策、企业效益评估、经济宏观调控等。
2）地震科学方面：地震预报、地震危害分析。
模糊数学整理
（4）强烈算子：
四种算子关系：
1.4模糊集的截集
支集
核
1.5分解定理
定理1
1.6模糊集的模糊度
满足条件：
(1)
(2)
(3)
(4)
三种模糊度：
（1）海明模糊度
（2）欧几里得
第二章扩张原理与模糊数
2.1扩张原理
定理1
例2
2.2多元扩张原理
定理1
例1
2.3区间数
例题
2.4凸模糊集
例1
定理1
2.5模糊数
定义1
定理1
例2
例3
第三章模糊模式识别
3.1模糊集的贴近度
满足条件：
①
②
③
海明贴近度
欧几里德
最大最小
格贴近度
模糊模式识别的方法：
直接方法、间接方法
第四章模糊关系与聚类分析
4.2模糊矩阵及截矩阵
转置矩阵、对称矩阵、自反矩阵
模糊转置关系的性质
4.4模糊关系的合成
例1
4.5模糊关系的传递性
定义1
U上的x
定义2
例题
第五章模糊变换与综合评判
模糊变换
例1
模糊综合评判
(1)建立因素集
(2)建立判断集
(3)单因素模糊评判
(4)建立权重集
(5)模糊综合评判
第六章模糊故障诊断
第七章模糊语言与模糊推理
模糊语言与模糊算子
模糊Байду номын сангаас言变量
模糊算子
语言值
模糊推理的方法及算法
问题1：模糊关系的生成规则。设A是X上的模糊集，B是Y上的模糊集。根据模糊推理的大前提条件，确定模糊关系
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A(u )
模糊集 A 称为数与模糊集 A的乘积.
特别的:
若A P(U ), 则
( A )(u)
A(u)
, ( A)(u ) A(u ) 0, 这里的 A也是一模糊集.
定义1.2 设U 为给定的论域，称 U 上的模糊集子集的全 体为模糊幂集，记为 F (U )
F (U ) {A | A : U [0,1]}
~
~
显然P(U ) F (U ) 注意F (U )是一个普通集合，它的元素是U的模糊集.
1.1.2 模糊集的表示方法 1.U 为有限集时, 设U = u1,u2, , un A(un ) un
uA uA
1.4分解定理与表现定理
1.4.1分解定理
定理1 1 (分解定理) 设 A F (U )，则有
~
A
~
[0,1]
A
或 A(u ) A (u ) ( A (u )) ~ [0,1] [0,1] 其中A (u )是A的特征函数
若u U , A(u ) 0, 则称A为空集. 若u U , A(u ) 1，则称A为全集U .
例: 设U [0， 200]，年老O，年轻Y 是两个模糊集
0， 2 1 O(u ) u 50 1 5 , 1， 2 1 Y (u ) u 25 ~ , 1 5 0 u 50 50 u 200 0 u 25 25 u 200
~ ~
u对于 A的隶属度,记为 A (u ), 简记 A， A (u )
~ ~ ~
为 A(u ).
~
几点说明:
1).模糊集 A 完全由 A(u ) 确定.不同的隶属函数确定 着不同的模糊集. 2).一般不能说u是否属于 A , 只能说u在多大程度 上属于 A , 这正是模糊集与普通集的区别. 3).当 A(u ) 的值只取0和1时， A 就退化为一个普通 子集. 这表明普通子集是模糊子集的特殊形态. 4).
~
1
(A )( u)
A( u)
A(u )
o
A
U
A(u ) A (u ) ( A )(u) ~ [0,1] [0,1]
分解定理的直观表示如图所示
1
3
2
A( u) 3 A3 ( u)
1
01 A1ຫໍສະໝຸດ ( u)2 A2 ( u)
如上例中，
1, x [- ln4 , ln 4] A0.5 x 0, x [- ln4 , ln 4]
1.3.2
截集的性质
~ ~
性质1 ( A B ) A ( A B ) A
~ ~
B , B
性质2 设、 [0，，且 1] ， 则A A 特别 A0 U
C C C C
性质3 ( A ) ( A1 ) , ( A ) A1
~ ~
性质4 设 A F (u )(t T),则
~
(t )
(
tT ~
A )
(t )
tT
A , (
(t )
tT ~
A )
(t )
tT
A
(t )
证: 仅证第一式 设
u
tT
1.3.1 截集
定义1 8 设A F (U )，对于任意 [0,1]，记 A 称为A的 截集 或水平集 ， 称为阈值或置信水平 A { A u } 称为A 的 - 强截集，相应地A也称为A 的 - 弱截集. (A) A {u | A }
~ ~ ~
Ker A ={u|A(u ) 1}=A1
~ ~
A0称为 A的支集(或支撑集)，记为Supp A ,即
~ ~
Supp A { |A(u ) 0} A0
~ ~
而Supp A A1称为 A的边界.若A1非空， A 称为正规模糊集.
~ ~ ~
关于支集与核有如下性质
1 Supp Ker , SuppU KerU U ) Supp A, Ker ( Ker A) Ker A 2 Supp( Supp A ~ ~ ~ ~ B Supp A Supp B 3 A ~ ~ ~ ~
~ ~
A(u ) B(u ) 成立，则称 A 包含 B ，记作 A B .
~ ~ ~ ~
定义1- 4 设A、B F (U )，若对于u U , 有 A(u ) B(u ) 成立，则称 A与 B相等，记作A B.
模糊集的交、并、余运算
定义1-5 设A、B、C F (U )，若对于u U , 有 C (u ) A(u ) B(u )
（3）向量表示法
A ( A(u1 ), A(u2 ),
~ ~ ~
, A(un ))
~
（4）Zaheh与向量式的结合表示法
A(u1 ) A(u2 ) A(un ) A , ，， u u u 2 n 1
2. U 为无限可列集
设无限可列集U u1 , u2 , un 此时把上述四种表示法 略加修改，都可拿来使用。
(1) Zadeh表示法 A(u1 ) A(u2 ) A u1 u2
A(ui ) 其中 不表示分数，而是U 中的元素ui与其隶属于 ui A 的程度之间的对应关系，+也不表示求和，而是表示 模糊集在论域U 上的整体，且当某元素的隶属度为零时， 可略去不写。
(2) 序偶表示法
A {( A(u1 ), u1 ),( A(u2 ), u2 ), ,( A(un ), un )}
(5) 吸收律(A B) A A，(A B)
A A
(6) 0 1律 A U U，A U A，A A，A
(7) 对偶律 ( A B)C AC (8) 复原律 (AC )C A BC， (A B)C AC BC
1.2.3模糊集的其它定义
两模糊集A、B的并、交运算，实际上是[0， 1]中的二元运算， 即逐点对隶属度A(u )、B(u )进行相应的运算，其定义的一般 形式如下：
例 设U u1 , u2 , u5 ，A、B F (U )，且 0.9 0.8 1 0.1 B u1 u2 u3 u5
1 0.9 0.4 0.2 A , u1 u2 u3 u4 求 A B, A B, AC .
1 0.9 1 0.2 0.1 0.9 0.8 0.4 解: A B , A B u1 u2 u3 u4 u5 u1 u2 u3 0.1 0.6 0.8 1 A u2 u3 u4 u5
证:
A (u ) ( A )(u ) [0,1] [0,1] ( A (u ))
[0,1] [0,1] [0,1]
~
A
~
[0,1]
A
( | A (u ) 1) ( | A(u ) )
~ ~
成立，则C称为A与B的并，记作C A B.
设 A、 B、 C F (U )，若对于u U , 有
~ ~ ~
C (u ) A(u ) B(u )
~ ~ ~
成立，则 C 称为 A 与 B 的交，记作 C A B .
~ ~ ~ ~ ~ ~
余集：定义1- 6 设 A、B F (U )，若对于u U , 有 B(u ) 1 A(u ) 成立，则B称为A的余集，记作B Ac
定义1-7 设A、B F (U )，定义交、并运算的一般形式为 (A B)(u ) A(u ) B(u ) (A B)(u ) A(u ) B(u ) 其中 ， 均为[0， 1]中的二元运算，通常简称为模糊算子.
“”、“”这对算子外，还有一些其它算子. 除了
1.3模糊集的截集
3. U 为无限不可列 集
A
U
A(u ) A(u ) , 其中 ~ 不是积分式，更不是分数，只是 u u
元素与其隶属度之间的对应；符号“ ”既不表示积分， 也不表示求和，而是U 上的元素与其隶属度对应的一个总结.
1.2 模糊集的运算及其性质 1.2.1模糊集的运算
定义1- 3 设 A、 B F (U )，若对于u U , 有
n n 1
另外由A0.5 ，可知
A0.5 ，
n
故
n n A A n 1 0.5 n 1 0.5
1.3.3 核及支集
定义1 9 设 A F (U )，A1成为 A的核，记为Ker A, 即
A ( t ) 存在t0 T使u A (t0 )，于是 A 0 (u ) A (u )
t (t ) tT
即 故有
( (
tT tT
A( t ) )(u ) u ( A (t ) )
tT
tT
A( t ) )
A ( t )
注意:
上式一般不能写成等式.例如
对u U , 设 1 1 A(u) 1 2 n
(
tT
A t0 )
)
tT
A t0
(n 1, 2,
于是
从而
1 n A ( u ) 2 n 1 n A U n 1 0.5
原因是：普通集合描述的概念具有非此即彼性，而模糊概念不具 有非此即彼性. 因此有必要将普通集合进行推广，使之能够表达 模糊概念，以解决具有模糊性现象的实际问题。