几个常用的分布和临界值

2 2 2 X 12 X 2 X n X i2 i 1 n
(3.1)
2 2 2 所服从的分布是自由度为n的 分布，简记为 ～ (n)。
自由度n是指(3.1)式右端的独立变量个数。

2
分布的概率密度为
n x 1 1 x2 e 2, n n f ( x ) 2 2 2 0,
P{T t ( n)} t

(n)
f ( x)
则称点 t (n) 为t分布的 临界值，如图所示。
已知n，，通过查t分布附表3表可求得。 如n=10， =0.05，查表得 t0.05(10)=1.8125。
注： (1) 同标准正态分布临界值的性质，对t分布亦有 t1 (n) t ( n) ( 2) n 45时附表不够用，用正态分布近似 t ( n) z
6.3 几个常用的分布及临界值
一、几个重要分布
二 几个重要分布的临界值
一、几个重要分布
前面我们学习了一些分布如二项分布、均匀分 布、正态分布等。本节再介绍几个常用的分布， 它们在数理统计中起着非常重要的作用，这些分 布均与正态分布有密切的联系。
1. 2 分布
定义2 设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且 Xi～N(0，1)(i=1，2，…，n)，则称随机变量
2 2． 分布的临界值
2 2 ~ (n) ,概率密度为 f (x).对给定的数(0＜＜1)， 定义6 设 2 若存在实数 (n) 满足
则称数 (n)为 分布的临界值，如图所示。
2
P{ (n)}
2 2

2
2
( n )
f ( x)dx
对于不同的、n,
临界值的值已制成表
格, 可以查用(见附表4） .
例如 : 对于 0.1, n 25,
2 ( n) 34 .382。
对于 0.975 , n 35,
2 ( n) 20 .569。
1 2 ( 60 ) ( 1 . 645 2 60 1 ) 78.80 如n=60, =0.05, 则 2 例2 已知 Y ~ 2 (10). 试确定c值, 使 P{Y c} 0.05 , 并把c用临 界值表示出来。
F (m, n)分布的概率密度函数为：
m m 1 2 2 [( m n) / 2]( m / n) x , m n f x) 2 ( m / 2 ) ( n / 2 )[ 1 ( mx / n )] 0,
x0 其它
(3.8)
1 由定义可知，若F ~ F (m, n), 则 ~ F (n, m) f ( X )的图形 : F
x 0, 其它.
(3.2)
由第二章知， 分布密度函数f ( x)的图像：
2
n 1 分布的密度函数正是参数为2 , 2 的 分布。
它随着自由度n的 不同而有所改变。
2 分布的性质
定理1 1)设2～ 2(n)，则 E 2=n ，D 2 =2n； 2)设Y1 ~ 2 (n1)， Y2 ~ 2 (n2) ，且Y1，Y2相互独立， Y1 + Y2 ~ 2 (n1 +n2) 。 证明 1)由2分布的定义知，Xi～N(0，1)，故
如 α=0.005 则由
( Z )=0.995，查表得Z0.005=2.57
1 当 1 时, 由 ( Z ) =1-α,表中无法查出, 此时查表 ( Z1 ) 2
再由
z z1 可求出上分位点Zα.
如α=0.975 由 ( Z 10.975 )=0.975，查表得Z1-0.975=1.96 ∴Z0.975= -Z1-0.975= -1.96
2 0.05
1 当n 45时, 近似地有 (n) ( z 2n 1) 2 2 这里, z 是标准正态分布的上分位点。
2
2 解由 分布的 临界值定义知, 通过查表n=10,
=0.05
2 c 得 0.05 (10 ) 18 .307 。
3．t分布的临界值 定义7 设T～t(n)，概率密度为f(x). 对给定的(0＜＜1).若存在 实数 t (n) 满足
1－α

t ( n)
t1 (n)
4．F分布的临界值
定义8 对于给定的正数 称满足条件 P{F F (m, n)}
F ( m , n )
f ( x)dx
的实数F (m, n)为F (m, n)分布的临界值. 如图所示：
F分布的临界值 有表可查(见附表5） .
t分布的概率密度函数 f ( x)的图像为：
f(x)
f ( x )的图形关于x 0 对称, 当n充分大时,图形接 近于标准正态变量概率密 度的图形.
x f(x)
m
n
m n
x
3. F分布
定义4 设X ~ (m), Y ~ (n), 且X , Y独立，则称随机变量 X /m （3.7） Y /n 服从自由度为m, n的F分布, 记为F ~ F (m, n).其中m称为第一自由 F 度，n称为第二自由度
1
2 2 ( X ) ~ ( n) i i 1 n
2
2. t分布
定义3 设X ~ N (0,1), Y ~ (n), 且X , Y 独立，则称随机变量 X (3.5) Y /n 所服从的分布是自由度为n的t分布, 也叫学生氏分布, 记为T ~ t (n)。 T
t分布的概率密度函数为 f ( x) n 1 x 2 ( n 1) / 2 (1 ) , n n(n / 2) x (3.6)
7 2 P X i 4 i 1
解：∵总体为N(0，0.52) ∴Xi～N (0，0.52 ) i=1，2，…，7 Xi 0 1) 从而 0.5 2 X i ～ N (0,
2 (7) 由 分布定 有 ( 2 X i ) 4 X ～
2Байду номын сангаас
7
2
7
i 1
如 =0.05, m=15, n=12, 查表得 F0.05(15，12)=2.6。
1 1 例：F0.95 (12,9) 0.357 F0.05 (9,12) 2.80
1 F分布的上分位点有如下性质：F1 (m, n) F (n, m)
例3 设(X1，X2，…，Xn)为总体 N(0，0.52)的一个样本, 求
D D X [EX i4 ( EX i2 ) 2 ] n(3 12 ) 2n
i 1
2) Y1 + Y2 ~ 2 (n1 +n2)证略。
其中2)也称为 2 分布的可加性，用数学归纳法不难推广 到任意有限个随机变量的情形。
例1 设(X1，X2，…，Xn)为总体X～N( , 2 )的样本，则
i 1
2 i
7 2 7 2 P X i 4 P 4 X i 16 i 1 i 1
P (7) 16
2

0.025
查表
2 2 E E X EX DX i ( EX i ) 1 ; i n n
则有
2 i
2
i 1
又EX
4 i
2


x
n
4
1 2 4 2 e dx 2
2 i n i 1
x
2
x2 令 t 2


0
t
5 1 t 2
e dt
4 2
5 ( ) 3 2
二 几个重要分布的临界值
1 标准正态分布的临界值 定义5：设X～N(0, 1)，对给定的数α(0＜α＜1)存 t2 在实数Zα满足 1
P{ X Z }
Z
2
e
2
dt
则称点Zα为标准正态分布X的上α临界值(或分位点)。
由标准正态分布的性质及上述定义知 ( Z ) 1 故若已知α，可通过反查正态分布表，求出上 分位点Zα .