第九章第二节U检验法

第九章
第二节 正态总体均值和方差的假
设检验
设总体()2
,~σμN X ,
n
x x x ,,,2
1
为X 的样本.
U 检验法
一：单个正态总体均值的假设检验
1． 已知方差2
σ,
检验假设：0
:μμ=H . 分析：由于x 比较集中地反映了总体均值μ的信息，所以检验函数可以从x 着手考虑。

2
11~(,)n i i x x N n n
σμ==∑ 。

由于)1,0(~N n
x U σ
μ-=，
因此很自然地选用统计量：
n
x U σ
μ0
0-=
作为检验函数，
在0
H 为真的条件下，
)
1,0(~0
0N n
x U σ
μ-=
且()00=U E ,因此，n
x U σ
μ0
0-=
应当在0
的周围随机摆动，远离0的可能性较小，所以拒绝域可选在双边区域。

基于以上分析，可得检验方法步骤如下：
(1)先提出假设0
:μμ=H ; (2)选取检验用的统计量
)1,0(~0
N n
x U σ
μ-=
；
(3)确定检验水平(或显著性水平)和拒绝域,
给定检验水平α，
查()1,0N 表得2
1α
-
z ，这里2
1α
-
z 为由
()1,0N 表得到的2
1α
-
分位点,
2
1}{)(2
12
1α
α
α
-
=≤=Φ-
-
z U P z ,
于是有
12
{||}1P U z α
α-
≤=-，
12
{}P U z
α
-
>12
1{||}1(1)P U
z
ααα-
=-≤=--=,
即得
12
{|
|}x P z
α
α-
->=，
这就是说事件}|{|
2
10
α
σ
μ
-
>-z n
是一
个小概率事件,从而拒绝域
=D ⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞--
-
,,2
12
1α
α
z z ; (4)根据样本的试验值n
x x x ,,,2
1
，
算得U 的值n
x u σ
μ0
0-=
,
比较判断下结论,
若2
10
α
-
>z u ，（小概率事件在一次试
验中发生），则拒绝原假设0
H ，
若2
10α-<z u ，则接受假设0
H .
例1：根据大量调查得知，我国健康成年男子的脉搏平均为72次/分，标准差为 6.4次/分，现从某体院男生中，随机抽出25人，测得平均脉搏为68.6次/分。

根据经验脉搏X 服从正态分布.如果标准差不变，试问该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的脉搏有无差异？并求出体院男生脉搏的置信区间()05.0=α.
解：此例是在已知4.6=σ的情况下， （1）检验假设0
H 72:=μ,
统计量)1,0(~0
N n
x U σ
μ-=
,
（2）现在25=n ,6.68=x ,
656.2|5
4.672
6.68|
0=-=-=
n
x u σ
μ, （3）对于05.0=α，查标准正态分
布表得96.1975
.02
1==-
z
z α,
（4）因为2
1096.1656.2α
-
=>=z
u ，
故拒绝0
H ，
说明该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的脉搏存在差异。

由于
1.6696.125
4.66.682
1≈⨯-
=-
-
α
σ
z
n
x ,
1.7196.125
4.66.682
1≈⨯+
=+-
ασ
z
n
x ,
所以，该体院男生脉搏的95%的置信区间为(66.1 , 71.1)。

有的时候,我们还要检验总体的均值μ是等于0
μ还是小于0
μ或是大于0
μ,
即要在假设
:μμ=H 或1
H ：0
μμ<中作出选择;
或者要在假设
00:μμ=H ;1H ：0
μμ>中作出
选择.
这里的1H 称为备选假设,而把0
H 称为原假设.
2. 已知方差2
σ,
检验假设：0
:μμ=H ;1
H ：0
μμ< ,
(事先算出样本观察值0
μ<x ,才提这样检验问题) ,
选取统计量n
x U σ
μ0
-=
，
在0
H 为真的条件下, )1,0(~0
N n
x U σ
μ-=
,
对给定的α
，选取α
-1z
，
αα
-=Φ-1)(1z ,
α
α
z z =--1,
故 }
{10
ασ
μ--<-z n
x P
()()αα
α
=Φ=-<=-z z
U P 1,
这表明在
H 为真的条件下，
}
{10
ασ
μ--<-z n
x 是一小概率事件，
由此可以得出如下判定方法：
计算n
x U σ
μ0
-=
的试验值n
x u σ
μ0
0-=
；
若α
--<10
z u ，则拒绝原假设0
H ,接受1
H ；
否则接受原假设0
H 。

例 2 已知某零件的质量),(~2σμN X ,由经验知05.0),(102
==σμg .技术改新后,抽取8个样品,测得质量(单位:g )为
9.8,9.5,10.1,9.6,10.2,10.1,9.8,10.0,
若方差不变,问平均质量是否比10为小？(取05.0=α)
解 本例是一个左边检验问题, 检验假设：10:0
=μH ;1
H ：10<μ ,
选取统计量n
x U /0
σμ
-=-
，
在0
H 为真的条件下,
)1,0(~/
10
N n
x U σ-=,
查标准正态分布表得
645.195
.01==-z z α
,
由样本值计算出9.9=x
计算n
x U /
10
σ-=的试验值并比较, α
σ--
-=->-=-=-=10
645.126.110
05
.010
9.9/10z
n x u ,
故接受假设10:0
=μH .
3. 已知方差2σ, 检验假设：0
:μμ=H ;1
H ：0
μμ>; (事先算出样本观察值0
μ>x ,才提这样检验问题) ,
选取统计量n
x U /0
σμ
-=-
，在0
H 为真
的条件下, )1,0(~/0
N n
x U σμ
-=
-
, 对给定的α，选取α
-1z
，
αα
-=Φ-1)(1z ,
()αα
α
=Φ-=>--111}{z
z U P ,
故 }/{
10
α
σμ
--
>-z n
x P ()αα
α
=Φ-=>=--111}{z
z U P ,
这表明在
H 为真的条件，
}/{10
α
σμ--
>-z n
x 是一小概率事件，由此可以得出如下判定方法：
计算n x U /0
σμ-=-的试验值n
x u /0
σμ
-=-
；
若α
->10z u ，则拒绝原假设0
H ,接受1
H ；
否则接受原假设0H 。

例3 某厂生产的一种铜丝，它的主要质量指标是折断力大小。

根据以往资料分析，可以认为折断力X 服从正态分布，且数学期望EX ＝μ＝570（N ），标准差是σ＝8（N ）。

今换了原材料新生产一批铜丝，并从中抽出10个样品，测得折断力（单位：N ）为： 578 572 568 570 572 570 570 572 596 584 从性能上看，估计折断力的方差不会发生变化，问这批铜丝的折断力是否比以往生产的铜丝的折断力较大？（取05.0=α） 解：（1）假设H 0
：570=μ；H 1
：570>μ
(2)计算统计量n
x /570
σ--
的值，
算出-
x ＝575.2
n x /570σ--
＝055.210
/8570
2.575=- （3）当05.0=α时，查标准正态分布表得临界值α
-1z ＝95
.0z ＝1.645。

（4）比较n
x /570
σ--
与α
-1z 的值的大小。

现在n
x /570σ--
＝2.055>1.645=α
-1z
故拒绝假设0
H 即接受1
H .也就是说新生产的铜丝的折断力比以往生产的铜丝的折断力要大.
以上三种检验法由于都是使用U 的分布，故又名U 检验法.。