第九章第二节U检验法

第九章

第二节 正态总体均值和方差的假

设检验

设总体()2

,~σμN X ,

n

x x x ,,,2

1

为X 的样本.

U 检验法

一：单个正态总体均值的假设检验

1． 已知方差2

σ,

检验假设：0

:μμ=H . 分析：由于x 比较集中地反映了总体均值μ的信息，所以检验函数可以从x 着手考虑。

2

11~(,)n i i x x N n n

σμ==∑ 。 由于)1,0(~N n

x U σ

μ-=，

因此很自然地选用统计量：

n

x U σ

μ0

0-=

作为检验函数，

在0

H 为真的条件下，

)

1,0(~0

0N n

x U σ

μ-=

且()00=U E ,因此，n

x U σ

μ0

0-=

应当在0

的周围随机摆动，远离0的可能性较小，所以拒绝域可选在双边区域。

基于以上分析，可得检验方法步骤如下：

(1)先提出假设0

:μμ=H ; (2)选取检验用的统计量

)1,0(~0

N n

x U σ

μ-=

；

(3)确定检验水平(或显著性水平)和拒绝域,

给定检验水平α，

查()1,0N 表得2

1α

-

z ，这里2

1α

-

z 为由

()1,0N 表得到的2

1α

-

分位点,

2

1}{)(2

12

1α

α

α

-

=≤=Φ-

-

z U P z ,

于是有

12

{||}1P U z α

α-

≤=-，

12

{}P U z

α

-

>12

1{||}1(1)P U

z

ααα-

=-≤=--=,

即得

12

{|

|}x P z

α

α-

->=，

这就是说事件}|{|

2

10

α

σ

μ

-

>-z n

是一

个小概率事件,从而拒绝域

=D ⎪⎭

⎫⎢⎣⎡∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞--

-

,,2

12

1α

α

z z ; (4)根据样本的试验值n

x x x ,,,2

1

，

算得U 的值n

x u σ

μ0

0-=

,

比较判断下结论,

若2

10

α

-

>z u ，（小概率事件在一次试

验中发生），则拒绝原假设0

H ，

若2

10α-

H .

例1：根据大量调查得知，我国健康成年男子的脉搏平均为72次/分，标准差为 6.4次/分，现从某体院男生中，随机抽出25人，测得平均脉搏为68.6次/分。根据经验脉搏X 服从正态分布.如果标准差不变，试问该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的脉搏有无差异？并求出体院男生脉搏的置信区间()05.0=α.

解：此例是在已知4.6=σ的情况下， （1）检验假设0

H 72:=μ,

统计量)1,0(~0

N n

x U σ

μ-=

,

（2）现在25=n ,6.68=x ,

656.2|5

4.672

6.68|

0=-=-=

n

x u σ

μ, （3）对于05.0=α，查标准正态分

布表得96.1975

.02

1==-

z

z α,

（4）因为2

1096.1656.2α

-

=>=z

u ，

故拒绝0

H ，

说明该体院男生的脉搏与一般健康成年男子的脉搏存在差异。

由于

1.6696.125

4.66.682

1≈⨯-

=-

-

α

σ

z

n

x ,

1.7196.125

4.66.682

1≈⨯+

=+-

ασ

z

n

x ,

所以，该体院男生脉搏的95%的置信区间为(66.1 , 71.1)。

有的时候,我们还要检验总体的均值μ是等于0

μ还是小于0

μ或是大于0

μ,

即要在假设

:μμ=H 或1

H ：0

μμ<中作出选择;

或者要在假设

00:μμ=H ;1H ：0

μμ>中作出

选择.

这里的1H 称为备选假设,而把0

H 称为原假设.