三角函数小结

1.2.4 知识回顾与解题学习

【学习目标】

1.通过本节课的学习，能正确表示某一范围的角；能熟练应用弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，能求扇形面积的最值；

2. 更好理解任意角三角三函数概念、正确作出任意角的三角函数线、如何利用三角函数线解题；能正确快速判断角所在象限及三角函数符号；运用这些知识解决有关三角函数问题.

【学习重点】运用前面所学知识解决有关三角函数问题.

【难点提示】灵活运用所学知识解决有关三角函数问题、掌握一些重要题型的解法.

【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材122P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；

2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.

【学习过程】 一．知识梳理

请感悟上、下的知识网络（建议自己在电脑自作），主动复习教材中相关知识，并将各 知识内容填写在横线上或空白处.

热身练习 1．下列各对角中终边相同的角是 ( )

（A ）πππk 22

2+-和（ｋ∈Z ） （B ）－

3π和322π （C ）－97π和911π （D ）9122320ππ和 任意角、弧度制

任意角

弧度制

角的概念

象限角 同终边上的角 轴上角 正角

负角

零角

弧度制的概念 弧度制与角度制互化

弧长、面积公式

2.1tan ,1cos ,1sin 的大小关系是（ ） A.1tan 1sin 1cos <<； B.1tan 1cos 1sin <<

C ．1tan 1sin 1cos >> ；

D ．1tan 1cos 1sin >> .

3.角α＝45°＋ｋ·360°（ｋ∈Z ），则2

α的终边落在 ( ) A ．第一或第三象限 ； B ．第一或第二象限；C.第二或第四象限；D.第三或第四象限

4.集合Z k k x x Q k x x P ∈+==+==},2

4|{},42|{ππππ，则P Q （用=，⊇⊆,， ≠

⊂等符号填空）． 5.若点P(－3，ｙ)是角α终边上一点，且3

2sin -=α，则ｙ的值是 ． 二．典例赏析

例1利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围．

（1）1sin 2x <-

； （2）23cos >x ； （3）sin cos x x > 解：

解后反思 该题的本质是什么？求解的关键在哪里？易错点在哪里？

变式练习 求符合下列条件的角x 的范围（学习链接）

（1）1|cos |2

x ≤

； （2）1sin 2x ≥且tan 1x ≤-；（3）cos sin x x > 解：

三角函数线

角α的三个三角函数的定义域、值域

诱导公式一

任意角的三角函

数的基本关系 角α的三角函数值所在象限的符号 角α的三角函

数的定义

任意角三角函

数

例2．求下列函数的定义域: (1)1cos 2-=

x y ； (2))sin 43lg(2x y -= ； （3

）y =解：

解后反思 该题的本质是什么？求解的关键在哪里？易错点在哪里？求有关三角函数的定义域与求不含三角函数的定义域有没有不同的地方？

变式练习 （1）求函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域.

解：

（2）已知sin(cos )cos cos tan 0,.cos(sin )θθθθθ=-<且试判定

的符号 解：

例3.已知tan α为非零实数，用tan α表示sin ,cos αα．

解：

解后反思 求解的关键在哪里？易错点在哪里？该题的作用在哪里？

变式练习 已知α=αcos 2sin ，求下列各式的值： (1)ααααcos 2sin 5cos 4sin +-

； 解：

例4.将长度为1特丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆心角为1的扇形，要使正方形和扇形的面积之和最小，则扇形的周长应为多少？

解：

解后反思 该题的题型是什么？求解的关键点、入手点在哪里？用的方法是什么？

变式练习 已知一扇形的中心角为α所在圆半径为R ，α=60︒ ，R=10时求扇形的弧长及该弧所在弓形面积．

解：

三、学习反思

1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：前面的知识网络理解了吗？里面的知识内容都掌握了吗？本节课有哪些题型？运用了哪些思想方法求解的？有哪些需要我们注意的？

2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？ 22(2)2sin 2sin cos cos αααα+-．

3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？

四、学习评价

1.已知)20(παα<<的正弦线与余弦线相等，且符号相同，那么α的值为（ ） A ππ434或 B ππ4745或 C ππ454或 D ππ4

74或 2.若08π

θ-<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为_____；

3.设α是第三、四象限角，m

m --=

432sin α，则m 的取值范围是_______： 4.已知是第四象限角，α+-=α+-=α,53cos ,524sin m m m m 求的值。αtan 解：

5.分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：

（1）3cos 2θ<

； （2）tan 1θ>- ； （3）3sin 2θ>- 解：

6.求函数21()sin lg(25)2

f x x x =-

-的定义域. 解： 7.已知9tan log 4tan 1tan 5,3,3421.2θθθπθπ⋅+⎛⎫∈-+

⎪⎝⎭

求：的值 解： 8.若tan(cos )cot(sin )0,θθ⋅>试指出θ所在的象限，并用图形表示出

2

θ的取值范围. 解： 【学习链接】

（1）如右图，sin cos x x 、两者的大小的区域；

（2）如右图，由已知角的终边位置确定相关角的终

边位置常用不等式法．有时也采用“数形结合”的

方法，即由α所在象限确定

2α或3α所在象限时，可以根据图示，把各象限二或三等分，α在第几象

限，2α或3α就在图中标号为几的区域．