2第二章 利率

3.到期收益率（yield to maturity） 是指来自于某种金融工具的现金流的现值总和与其 当前市场价格相等时的利率水平,它可以从下式中 求出：
n CF1 CF2 CF3 CFn CFt P0 t 1 y 1 y 2 1 y 3 1 y n 1 y t 1
F：终值 P：初始本金 i：每期的利率 N：计息期数 例1：当i=5%，N=10年时，100元存款的终值为：
F 100 (1 5%)10 162.89
若一年计息M次，则
F P (1
在本金、利率、期限一定的条件下，计息频率越快， 终值越大，但有一极限值。 F ( M ) P e iN （i为连续复利年利率，付息频率 快至极限时的利率）
A 1 1 N A [ ] AM i t i i (1 i ) N t 1 (1 i ) 1 1 M iN i i (1 i ) N P
N
M iN ：年金现值系数（利率为i的情况下，N年内每年获得1元
的年金的现值） A：年金额
普通年金的终值计算公式为：
(1 i ) N 1 F A[ ] AQiN i (1 i ) N 1 N 年金终值系数Qi i
之二：计算银行贷款的分期偿还额 分期偿还贷款的特点在于它以定期等额方式偿还，还款可每 月、每季或每年进行一次。 例：假设你以12%的利率借入22000元，要在未来的6年内还清 本金和利息，而且你决定在每年末分期等额偿还，那么每次 偿还额为
22000 x 5351

t 1
6
x xM t (1 12 %)
1000 P 789.41 12% 24 (1 ) 4
若计息次数趋于无穷大，则现值为
1000 P 12 % 2 786 . 63 e
二、年金（annuity） 当收入流量的时间单位是年，而每年的收入额相等时，这种 收入流量称为“年金”。每年的收入都在期末，这样的年金称 为普通年金。 普通年金的现值：
5 M 15 % 3.3522 5 M 16 % 3.2743
IRR 15.24%
b.迭代法：当年现金收入流量不相等时采用 例：
某资产内部收益率计算表
年份 （t) 投资 成本 收入 流量 K=24 % K=26 % 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 NPV
-170 0
0
0
0
0
0
0
注意：a:当附息债券的市场价格与面值相等时，到 期收益率等于息票率；当附息债券的市场价格低于 面值时，到期收益率大于息票率；而当附息债券的 市场价格高于面值时，到期收益率则低于息票率。 b:附息债券的价格与到期收益率负相关。
若附息债券每年付息m次，还有n年到期，则到期收益率y
P

nm
t 1
C /m F (1 y / m ) t (1 y / m ) nm
年金现值系数=投资成本/年金额 ②查年金现值系数表，找出在相同期限内，与上述年金现值 系数相邻近的两个年金现值系数以及相应的贴现率。 ③插值法计算IRR。 例：某一项投资成本为10000元，预计未来5年内每年有3000 元收入，其IRR为
10000 3000 M i5 M i5 3.3333
PN：金融资产期末价格 P0：金融资产期初价格 N：金融资产的持有期限
复利认为利息也可生息。
i [( PN / P0 )1/ N 1] *100%
例：一张4年期的债券，计息期为4年，假设债券的 发行价格为1000元，4年后的期末偿还额为1400元， 则按单利和复利计算的年利率分别为多少？（10%， 8.8%）
NPV 5.53 0 -5.98
3.对NPV和IRR的评价 NPV从绝对水平反映了投资项目或金融资产的收益水平；而 IRR从相对水平反映了投资项目或金融资产的收益水平。
四、利率的几种主要形式 1.单利和复利 单利是指在计算利息时不论金融资产期限长短，只 按面值或本金计算利息。
PN / P0 1 i * 100 % N
第二章
利率
本章学习目标：
了解终值与现值的计算 了解利率的主要类型 了解利率水平的确定 了解利率期限结构的含义及其假说

本章框架
第一节
利率概述 第二节 均衡利率决定理论 第三节 收益率曲线与利率期限结构 理论
第一节 利率概述
利率问题是金融市场最基础、最核心的问题之 一，几乎所有的金融现象都与利率有着或多 或少的联系。
对任何一种金融工具进行投资分析时，都必须考虑货币的 时间价值。货币具有时间价值是因为使用货币按照某种利 率进行投资的机会是有价值的。 货币的时间价值主要有两种表达形式，即终值和现值。 一、终值、现值 1.终值（future value）：是指今天的一笔投资在未来某个时 点上的价值。
F P (1 i ) N
C Ft 表示在 其中，P0表示金融工具的当前市场价格， 第t期的现金流，n表示时期数，y表示到期收益率。
几种主要金融工具到期收益率的计算
（1）年金的到期收益率
对于年金，如果P0代表年金的当前市价，C代表每期 的现金流，n代表期间数，y代表到期收益率，那么 我们可以得到下列计算公式：
P0 C C C C 1 y (1 y ) 2 (1 y )3 (1 y ) n
P F i NM (1 ) M
在终值、利率、期限一定的条件下，计息频率越快，现值越小， 但有一极限值。
P ( M ) F e iN
例3：在i=12%，每年付息1次，2年后可获得1000元收入流 量的现值为：
P 1000 797 . 19 2 (1 12 %)
若每年付息4次，则现值为
（2）附息债券的到期收益率
附息债券到期收益率的计算方法：使附息债券的市 场价格等于所有息票利息的现值总和再加上最终支 付的债券面值的现值的利率水平。公式化表示即：
P0 C C C C F 1 y (1 y ) 2 (1 y )3 (1 y ) n (1 y ) n
例：有一三年以后到期的债券，面值为1000元，每年支付利 息50元，若其当前的市场价格为923元，该债券的到期收 益率为多少？若该债券合理的到期收益率为6%，那么该债 券的定价如何？（y=8%)
（3）贴现债券的到期收益率
F P0 (1 y ) n
（4）一次性还本付息债券的到期收益率
F (1 i ) n P0 (1 y ) n
0
0
20
45
60
60
60
60
60
60
85
-170 16.13 29.27 31.47 25.38 20.47 16.51 13.31 10.73 12.26 5.53
-170 15.87 28.34 29.99 23.98 18.89 14.99 11.90 9.44
10.62 -5.98
贴现率 24% IRR 26% 插值求得 IRR=24.96%
2. 名义利率和实际利率 如果考虑通货膨胀对投资收益的影响，那么名义 利率并不能反映投资者所获得的实际收益率水平， 这时需要考虑实际利率。 费雪方程式：
ir i
e
ir:实际利率 i:名义利率 πe:预期通货膨胀率
这里的实际利率是事前实际利率，因为它是根据预 期价格水平的波动而调整，它是经济决策中最重要 的利率，通常经济学家所说的实际利率就是指此利 率；根据实际价格水平的波动而调整的利率是事后 实际利率，它表明了以不变价计量的贷款方的收益。
NPV
t 1
10000 40000 16502 t (1 12%)
2.内部收益率IRR（Internal Rate of Return） （1）定义：内部收益率是使一个投资项目或一种金融资产 在整个经济寿命期内净现值为0的贴现率。 n At NPV GPV C C 0 t t 1 (1 IRR ) 一个投资项目或一种金融资产净现值的大小取决于现金流的 大小、贴现时间的长短、贴现率的高低以及投资成本。在现 金流、贴现时间、投资成本一定的条件下，净现值的大小取 决于贴现率的高低。贴现率越低，NPV越高；贴现率越高， NPV越低，而且必然存在一个贴现率，该贴现率使得净现值 为0，这个贴现率就是IRR。
（2）根据IRR进行投资可行性分析的原则 a.由于IRR显示了投资者借入资金进行资产投资能承担的最大贷款利 率，所以当IRR>实际贷款利率时，投资将有收益，反之，没有。 b. 一项资产IRR越是高于市场收益率或其他资产的IRR，其经济价值 越高。 （3）IRR的计算 a.一次计算法：当年现金收入流量相等时采用 ①计算年金现值系数 因为NPV=0 投资成本=现金收入流量现值之和=年金现值系数*年金额
n：距到期日的期限
4.即期利率与远期利率 即期利率是指当前时点上无息债券的到期收益率。 远期利率是指未来两个时点之间的利率水平，是从 将来某个时点开始的一定期限的利率。 例：如果投资者以P的价格购买期限为n年的无息债 券，在债券到期后可以从发行人那里获得的一次性 现金支付为Mn，那么n年期即期利率sn为：
P 800 M 625 % 10226.72
例2：某夫妇准备为他们刚出生的女儿进行大学教育存款， 该夫妇估计当他们的女儿上大学时，每年的费用将达30000 美元，假设在以后几十年中年利率为14%，他们将在女儿一 岁时存第一笔钱，在她18岁时支付第1年的学费，问他们现 在每年要存多少钱才能够支付女儿四年大学期间的费用？ （1478.59）
Mn P (1 sn ) n
因此，对于1年期附息债券以及任何无息债券来说， 其到期收益率与即期利率是相同的，但是，对于2年 期或期限更长的附息债券，其到期收益率与即期利 率是不同的。
如果已知1年期即期利率为S1，2年期即期利率为S2，那么第二 年的远期利率f2 应满足： (1 s1 )(1 f 2 ) (1 s2 ) 2
6 0 . 12
4 . 1114 x
分期偿还表
年末 （1） 分期偿还额 （2） 年末所欠的 本金额 （3） 支付的年息 （2）t-1 ×12% (4) 支付的本金 （1）-（3）
0 1 2 3 4 5 6 5351 5351 5351 5351 5351ຫໍສະໝຸດ Baidu5351
22000 19289 16253 12853 9044 4778 0 2640 2315 1951 1542 1085 573 2711 3036 3400 3809 4266 4778
例： 永续年金（perpetuity）：没有到期期限的，每期相等的收 入流量系列 永续年金的现值：
A P i
例：1751年英国政府发行的统一公债(Consol)。
关于年金现值计算的实际应用问题
之一：对保险产品和理财产品等的投资决策 例1：假定有一位60岁的投资者去保险公司购买一理财产品， 他需支付10000元可以在余生每年获得800元，如果他将这 笔钱存银行每年可以获得6%的利息，如果投资者可以活到 85岁，其购买理财产品是否是好的投资方式？还是他应该 将钱存在银行？
i NM ) M
2.现值（present value）：终值的逆运算 i：贴现率 例2：当i=5%，N=10年时，到期收到100元本息的现值 为
100 P 61.39 5 (1 5%)
F P (1 i ) N
现值公式是计算金融资产价值的主要公式，是时间价值在金 融资产价值形成中的集中体现。 若一年计息M次，则
三、净现值和内部收益率 1.净现值NPV（Net Present Value） 净现值是指一个投资项目或一种金融资产在整个经济寿命期 内的总现值与投资成本之间的差额。
NPV GPV C
t 1 n
At C (1 k ) t
根据净现值进行投资可行性分析的原则： NPV>0 例:某资产预计在未来10年内每年可带来10000元的收入流量， 该资产的投资成本为40000元，假定市场平均收益为12%， 那么该资产值得投资吗？ 10