北京四中初二数学期中复习——几何部分

北京四中

初二数学期中复习——几何部分

编稿老师：龚剑钧审稿老师：李岩责编:邵剑英一．知识要点：

1．证明三角形全等的基本方法：

(1)已知两边：①找夹角→ SAS ，②找另一边→ SSS ；

(2)已知两角：①找夹角边→ ASA，②找任一边→ AAS或ASA ；

(3)已知一边一角：①边为角的对边：找任一角→AAS 或ASA，

②边为角的邻边：找夹角的另一边→ SAS ，找另一角→ AAS或ASA 。

2．常见的辅助线的作法：

(1)倍长中线 (2)角的平分线，构造全等三角形。

3．用类比的方法解决几何探究问题

二．例题分析：

1．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的。若∠1:∠2:∠3=28:5:3，则的度数为______。

分析与解答：由三角形内角和是180°知

∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°

由翻折知：∠ABE=∠2，∠ACD=∠3

∴

2．如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE=______度。

分析与解答：由长方形知∠BAD=90°

∴∠BAF=60°∴∠DAF=30°

由折叠知：∠DAE=∠FAE=15°

3．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到，交于点，若

，则∠A=______。

分析与解答：由旋转知：

，

，

∵，

∴55°

∴55°。

4．AD为△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是______。

分析与解答：把AB、AC、AD转移到一个三角形中

解：延长AD到E，使得DE=AD，连CE

易证：△CDE≌△BDA(SAS)

∴

∵

∴

∴

5．如图，，，。求证：

分析与解答：证明、所在三角形全等

证明：∵即

∴

在和中

∴

∴

6．已知：如图，，，。求证：。

证明：∵

∴

即

在和中，

∴

∴

∵

∴

∴

7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，，，的延长线交于。

(1)求证：； (2)图中还有哪些结论？

分析与解答：此题含有基本图形“蝴蝶翅膀”形。

证明：∵ AD是BC边上高

∴90°

在△ADC和△BDE中

∴

∴

∵

∴90°

∴

(2)

8．如图，△BAC和△DAE是等腰直角三角形，与是直角。

(1)求证：；；

(2)在△BAC绕点A旋转的过程中，(1)中的结论是否仍然成立？

分析与解答：图中含有基本图“蝴蝶翅膀”。

(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等腰Rt△

∴，，

∴

在△和△中

∴

∴，

∵

∴

∴

(2)(1)中结论仍成立

9．已知，如图，BE、CF是锐角△ABC的高，分别在射线BE与CF上取点P 与Q，使，。

(1)问：与有怎样的关系？说明理由；

(2)若为钝角三角形，其它条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？

分析：图中含有基本图形“双垂直”

(1)，

证明：∵、是△ABC的高

∴°

∴°

∴

在和中

∴

∴

∵

∴

∴

(2)(1)中结论仍成立。

10．如图，等腰Rt△ACB，AD=DB，AE=CF，求证：DE=DF，∠EDF=90°

分析：常作辅助线，连底边上中线。

证明：连CD

∵△ABC是等腰Rt△且AD=BD

∴，平分

∴

∴

在和中

∴

∴

∵

∴

∴

∴∠EDF=90°

11．已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°。求证：

证明：分析角平分线所在直线是角的对称轴

在AB上取点F使，连

∵平分

∴

在△ADC和△AFC中

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

12．如图，P为△ABC的外角平分线上任一点。求证：证明：在BA的延长线上取点D，

使，连

∵平分

∴

在△APD和△APC中

∴

∴

在△BPD中，

∵ PB+PD＞BD

∴

当且仅当A、P重合时，等号成立。

13．如图，P为等边△ABC外一点，求证：。

分析：把、、转移到一个三角形中

证明：∵是等边△

∴，

把△ACP绕点A顺时针转60°到，则

∴，

连结，则是等边△

∴

在中，

∵

∴

14．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，，于，且于，与相交于点。

求证：(1)；(2)。

证明：(1)∵，°

∴△BCD是等腰直角三角形。

∴

∵于，于

∴

，

∴

在△DBF和△DCA中

∴

∴

(2)∵,于

∴

∵

∴

15．操作：如图1，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。

关系：

关系：