幂级数解方程(偏微分方程)
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k ຫໍສະໝຸດ Baidu2
2kak x 2a1 x 2kak x
k k 1 k 2
k
l (l 1)a x
k 0 k
k
l (l 1)a0 l (l 1)a1 x l (l 1)ak x
k 2
k
因此合并x的同幂次项后有：
2a2 l (l 1)a0 6a3 2a1 l (l 1)a1 x
为 m 贝塞尔方程，不可直接求解
(2) 若 μ<0 ，作变换
2 2
k 2 , x k
d R dR x x x 2 m2 R 0 2 dx dx
为虚宗量贝塞尔方程，不可直接求解
…………………………..
用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波 动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让 德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程
( z ) ak ( z z0 )k a00 ( z ) a11 ( z )
k 0
(11.1.2)
其中a0和a1为任意常数， ω0(z)和ω1(z)为在点z0解
析的两个线性独立的函数。
三、常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解）
在x0=0的邻域求解 l 阶勒让德方程：
…………….
(2k 1 l )(2k 3 l )(1 l )(l 2)(l 4)(l 2k ) a2 k 1 a1 (2k 1)!
勒让德方程的解为：
( l )(l 1) 2 (2 l )( l )(l 1)(l 3) 4 y ( x ) a0 1 x x 2! 4!
d2 y dy 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y 0 dx dx
d2 y 2 x dy l (l 1) y0 2 2 2 dx (1 x ) dx (1 x )
方程的系数：
2x p( x ) (1 x 2 ) l (l 1) q( x ) (1 x 2 )
k (k 1)a
k 2
k
(k 2)(k 1)ak 2 2kak l (l 1)ak x 0
k
要使上述方程对任意的x都成立(=0)，则要求x各幂 次前的系数必须为0，即：
2a2 l (l 1)a0 0 6a3 l (l 1) 2 a1 0 2 (k 2)(k 1)ak 2 l (l 1) k k ak 0 (k 2,3, 4,)
（1） 任选某个点z0，在其邻域上把待求的解
表为系数待定的幂级数；
（2） 将这个幂级数形式解代入方程和定解 条件，求出所有待定幂级数系数。
说明：
(1) 级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无 特殊的要求；
(2) 既然是级数，就存在是否收敛和收敛范围的问
题； (3) 级数解法的计算较为繁琐，要求耐心和细心。
k 0
根据此解的形式，于是有：
( x ) kak x k 1 y
k 1
a1 2a2 x 3a3 x2 kak xk 1
y( x) k (k 1)ak x k 2
k 2
2a2 3 2a3 x 4 3a4 x2 k (k 1)ak xk 2
(2k 2 l )(2k 4 l )(2 l )( l )(l 1)(l 3)(l 2k 1) 2k x (2k )!
(1 l )(l 2) 3 (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) 5 a1 x x x 3! 5!
二、方程的常点和奇点概念
定义 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)都 在点z0及其邻域内解析，则称点z0为方程(11.1.1)的
常点。
定义 11.1.2 只要系数p(z)和q(z)之一在点z0不解
析，则称点z0为方程(11.1.1)的奇点。
定义 11.1.3 若(z-z0)p(z)及(z-z0)2q(z)都在点z0解
u(r , , ) R(r )Y ( , )
Y ( , ) ( )( )
d2 R dR r 2 2 2r l (l 1) R 0 dr dr
可直接求解 可直接求解
0
d d sin sin [l (l 1)sin 2 ] 0 d d
…………….
a2 k (2k 2 l )(2k 4 l )(2 l )( l )(l 1)(l 3)(l 2k 1) a0 (2k )!
(1 l )(l 2) a3 a1 3!
(3 l )(l 4) (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) a5 a3 a1 5 4 5!
代入勒让德方程，可得：
(1 x ) k (k 1)ak x
2 k 2
k 2
2 x kak x
k 1
k 1
l (l 1) ak x 0
k k 0
合并整理后可得：
k (k 1)ak x k k (k 1)ak x k 2 2kak x k
高斯判别法：
对于正项级数
u
k 1
k
，当
uk lim 1 k u k 1
时，若前后邻项之比可表示为：
uk B(k ) 1 2 uk 1 k k
其中B(k)是当k→∞时为k的有界函数，则当λ>1时级
数收敛，当λ≤ 1时级数发散。
对于足够大的k， pl(x)和ql(x) 均为正项级数。 对于pl(x)：
第十一章 幂级数解法—本征值问题
王建东
沙河校区计算机楼东206
jdwang@uestc.edu.cn
11.1二阶常微分方程的幂级数解法
11.1.1幂级数解法理论概述
一、分离变量法求解偏微分方程：
1. 球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量
1 2 u 1 u 1 2u 0 r 2 sin 2 2 2 2 r sin r r r r sin
对第3个方程作变量替换
x cos
d 2 d m2 (1 x 2 ) 2 2 x l (l 1) 0 2 dx dx 1 x
为为 l 阶连带勒让德方程，不可直接求解
若讨论问题具有旋转轴对称性，即 m=0
d 2 d 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) 0 dx dx
有界
根据高斯判别法，λ=1，级数pl(x)发散。
对于ql(x)：
uk ak (2k 3)! uk 1 ak 2 (2k 1)!(2k 1 l )(l 2k 2)
(2k 3)(2k 2) (2k 1 l )(l 2k 2)
1 (l 1)(l 2)(1 k ) 1 1 1 2 6 (l 1)(l 2) 有界 k k 4 2 k k
Z Z 0
可直接求解
可直接求解 μ =0可直接求解
d 2 R 1 dR m2 ( 2 ) R 0 2 d d
对第3个方程： (1) 若 μ>0 ，作变换 x
d2 R dR 2 x x x 2 m2 R 0 dx 2 dx
解得系数间的递推关系：
ak 2
(k l )(l k 1) ak (k 0,1, 2,) (k 2)(k 1)
因此，若知道级数系数a0 、a1 ，则可由上述递推公
式计算出任一系数ak(k=2,3,…)。
系数递推：
( l )(l 1) a2 a0 2!
(2 l )(l 3) (2 l )( l )(l 1)(l 3) a4 a2 a0 43 4!
为 l 阶勒让德方程，不可直接求解 2. 柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量
1 u 1 2 u 2 u 2 2 z 2 0
u( , , z ) R( )( )Z ( z)
0
(11.1.1)
( z0 ) C0
( z0 ) C1
这里 z 是复变量，p(z) 和 q(z) 是已知的复变函数，
称为方程的系数， ω(z)是待求的未知函数，z0为选
定的点，C0和C1为复常数。 这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的 解法解出，但可用幂级数解法解出。幂级数解法 求解二阶常微分方程的具体过程为：
等特殊函数方程。用其他坐标系对其他数学物理偏
微分方程进行分离变量，还会出现各种各样的特殊 函数方程，它们大多是二阶线性常微分方程。这向 我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定 解问题。 不失一般性，我们讨论复变函数ω(z)的
线性二阶常微分方程：
d 2( z ) d( z ) p( z ) q( z )( z ) 0 2 dz dz
在x0=0，方程的系数p(x0)=0，q(x0)=l(l+1)单值且为 有限值，因此它们必然在x0=0处解析，故x0=0为方 程的常点，根据常点邻域上解的定理11.1.2，解具有 泰勒级数形式：
y ( x ) ak x k a0 a1 x a2 x 2 ak x k
ak R lim k a k 2
2 1 (1 )(1 ) (k 2)(k 1) k k 1 lim lim k l l 1 k ( k l )(l k 1) (1 )(1 ) k k
因此，级数解 pl(x) 和 ql(x) 收敛于|x|<1而发散于 |x|>1；但勒让德方程中的x=cosθ定义于[-1,1]上， 因此还要考虑级数解在x=±1处的收敛性。
(2k 2)(2k 1) uk ak (2k 2)! uk 1 ak 2 (2k )!(2k l )(l 2k 1) (2k l )(l 2k 1)
1 l (l 1)(1 ) 1 1 k 1 2 k k 4 2 l (l 1) 2 k k
k 2 k 2 k 1
l (l 1)ak x k 0
k 0
将各求和号内k的起点统一化：
k (k 1)ak x k 2 2a2 6a3 x k (k 1)ak x k 2
k 2 k 4
2a2 6a3 x (k 2)(k 1)ak 2 x k
(2k 1 l )(2k 3 l )(1 l )(l 2)(l 4)(l 2k ) 2 k 1 x (2k 1)!
pl ( x) ql ( x)
pl(x)仅含x的偶次幂，为偶函数；ql(x)仅含x的奇次
幂，为奇函数。它们的收敛半径(达朗贝尔判别法) 为：
析，则称点z0 为方程(11.1.1)的正则奇点，否则称
为方程的非正则奇点。
定理 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)为 点z0的邻域 |z-z0|<R 中的解析函数，则方程在这个 圆中存在唯一的解析解ω(z)满足初始条件ω(z0)=C0 和ωʹ(z0)=C1 。 定理 11.1.2 若z0为方程(11.1.1)的常点，则在z0 点的邻域内，方程(11.1.1)的通解形式为
2kak x 2a1 x 2kak x
k k 1 k 2
k
l (l 1)a x
k 0 k
k
l (l 1)a0 l (l 1)a1 x l (l 1)ak x
k 2
k
因此合并x的同幂次项后有：
2a2 l (l 1)a0 6a3 2a1 l (l 1)a1 x
为 m 贝塞尔方程，不可直接求解
(2) 若 μ<0 ，作变换
2 2
k 2 , x k
d R dR x x x 2 m2 R 0 2 dx dx
为虚宗量贝塞尔方程，不可直接求解
…………………………..
用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波 动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让 德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程
( z ) ak ( z z0 )k a00 ( z ) a11 ( z )
k 0
(11.1.2)
其中a0和a1为任意常数， ω0(z)和ω1(z)为在点z0解
析的两个线性独立的函数。
三、常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解）
在x0=0的邻域求解 l 阶勒让德方程：
…………….
(2k 1 l )(2k 3 l )(1 l )(l 2)(l 4)(l 2k ) a2 k 1 a1 (2k 1)!
勒让德方程的解为：
( l )(l 1) 2 (2 l )( l )(l 1)(l 3) 4 y ( x ) a0 1 x x 2! 4!
d2 y dy 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y 0 dx dx
d2 y 2 x dy l (l 1) y0 2 2 2 dx (1 x ) dx (1 x )
方程的系数：
2x p( x ) (1 x 2 ) l (l 1) q( x ) (1 x 2 )
k (k 1)a
k 2
k
(k 2)(k 1)ak 2 2kak l (l 1)ak x 0
k
要使上述方程对任意的x都成立(=0)，则要求x各幂 次前的系数必须为0，即：
2a2 l (l 1)a0 0 6a3 l (l 1) 2 a1 0 2 (k 2)(k 1)ak 2 l (l 1) k k ak 0 (k 2,3, 4,)
（1） 任选某个点z0，在其邻域上把待求的解
表为系数待定的幂级数；
（2） 将这个幂级数形式解代入方程和定解 条件，求出所有待定幂级数系数。
说明：
(1) 级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无 特殊的要求；
(2) 既然是级数，就存在是否收敛和收敛范围的问
题； (3) 级数解法的计算较为繁琐，要求耐心和细心。
k 0
根据此解的形式，于是有：
( x ) kak x k 1 y
k 1
a1 2a2 x 3a3 x2 kak xk 1
y( x) k (k 1)ak x k 2
k 2
2a2 3 2a3 x 4 3a4 x2 k (k 1)ak xk 2
(2k 2 l )(2k 4 l )(2 l )( l )(l 1)(l 3)(l 2k 1) 2k x (2k )!
(1 l )(l 2) 3 (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) 5 a1 x x x 3! 5!
二、方程的常点和奇点概念
定义 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)都 在点z0及其邻域内解析，则称点z0为方程(11.1.1)的
常点。
定义 11.1.2 只要系数p(z)和q(z)之一在点z0不解
析，则称点z0为方程(11.1.1)的奇点。
定义 11.1.3 若(z-z0)p(z)及(z-z0)2q(z)都在点z0解
u(r , , ) R(r )Y ( , )
Y ( , ) ( )( )
d2 R dR r 2 2 2r l (l 1) R 0 dr dr
可直接求解 可直接求解
0
d d sin sin [l (l 1)sin 2 ] 0 d d
…………….
a2 k (2k 2 l )(2k 4 l )(2 l )( l )(l 1)(l 3)(l 2k 1) a0 (2k )!
(1 l )(l 2) a3 a1 3!
(3 l )(l 4) (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) a5 a3 a1 5 4 5!
代入勒让德方程，可得：
(1 x ) k (k 1)ak x
2 k 2
k 2
2 x kak x
k 1
k 1
l (l 1) ak x 0
k k 0
合并整理后可得：
k (k 1)ak x k k (k 1)ak x k 2 2kak x k
高斯判别法：
对于正项级数
u
k 1
k
，当
uk lim 1 k u k 1
时，若前后邻项之比可表示为：
uk B(k ) 1 2 uk 1 k k
其中B(k)是当k→∞时为k的有界函数，则当λ>1时级
数收敛，当λ≤ 1时级数发散。
对于足够大的k， pl(x)和ql(x) 均为正项级数。 对于pl(x)：
第十一章 幂级数解法—本征值问题
王建东
沙河校区计算机楼东206
jdwang@uestc.edu.cn
11.1二阶常微分方程的幂级数解法
11.1.1幂级数解法理论概述
一、分离变量法求解偏微分方程：
1. 球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量
1 2 u 1 u 1 2u 0 r 2 sin 2 2 2 2 r sin r r r r sin
对第3个方程作变量替换
x cos
d 2 d m2 (1 x 2 ) 2 2 x l (l 1) 0 2 dx dx 1 x
为为 l 阶连带勒让德方程，不可直接求解
若讨论问题具有旋转轴对称性，即 m=0
d 2 d 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) 0 dx dx
有界
根据高斯判别法，λ=1，级数pl(x)发散。
对于ql(x)：
uk ak (2k 3)! uk 1 ak 2 (2k 1)!(2k 1 l )(l 2k 2)
(2k 3)(2k 2) (2k 1 l )(l 2k 2)
1 (l 1)(l 2)(1 k ) 1 1 1 2 6 (l 1)(l 2) 有界 k k 4 2 k k
Z Z 0
可直接求解
可直接求解 μ =0可直接求解
d 2 R 1 dR m2 ( 2 ) R 0 2 d d
对第3个方程： (1) 若 μ>0 ，作变换 x
d2 R dR 2 x x x 2 m2 R 0 dx 2 dx
解得系数间的递推关系：
ak 2
(k l )(l k 1) ak (k 0,1, 2,) (k 2)(k 1)
因此，若知道级数系数a0 、a1 ，则可由上述递推公
式计算出任一系数ak(k=2,3,…)。
系数递推：
( l )(l 1) a2 a0 2!
(2 l )(l 3) (2 l )( l )(l 1)(l 3) a4 a2 a0 43 4!
为 l 阶勒让德方程，不可直接求解 2. 柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量
1 u 1 2 u 2 u 2 2 z 2 0
u( , , z ) R( )( )Z ( z)
0
(11.1.1)
( z0 ) C0
( z0 ) C1
这里 z 是复变量，p(z) 和 q(z) 是已知的复变函数，
称为方程的系数， ω(z)是待求的未知函数，z0为选
定的点，C0和C1为复常数。 这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的 解法解出，但可用幂级数解法解出。幂级数解法 求解二阶常微分方程的具体过程为：
等特殊函数方程。用其他坐标系对其他数学物理偏
微分方程进行分离变量，还会出现各种各样的特殊 函数方程，它们大多是二阶线性常微分方程。这向 我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定 解问题。 不失一般性，我们讨论复变函数ω(z)的
线性二阶常微分方程：
d 2( z ) d( z ) p( z ) q( z )( z ) 0 2 dz dz
在x0=0，方程的系数p(x0)=0，q(x0)=l(l+1)单值且为 有限值，因此它们必然在x0=0处解析，故x0=0为方 程的常点，根据常点邻域上解的定理11.1.2，解具有 泰勒级数形式：
y ( x ) ak x k a0 a1 x a2 x 2 ak x k
ak R lim k a k 2
2 1 (1 )(1 ) (k 2)(k 1) k k 1 lim lim k l l 1 k ( k l )(l k 1) (1 )(1 ) k k
因此，级数解 pl(x) 和 ql(x) 收敛于|x|<1而发散于 |x|>1；但勒让德方程中的x=cosθ定义于[-1,1]上， 因此还要考虑级数解在x=±1处的收敛性。
(2k 2)(2k 1) uk ak (2k 2)! uk 1 ak 2 (2k )!(2k l )(l 2k 1) (2k l )(l 2k 1)
1 l (l 1)(1 ) 1 1 k 1 2 k k 4 2 l (l 1) 2 k k
k 2 k 2 k 1
l (l 1)ak x k 0
k 0
将各求和号内k的起点统一化：
k (k 1)ak x k 2 2a2 6a3 x k (k 1)ak x k 2
k 2 k 4
2a2 6a3 x (k 2)(k 1)ak 2 x k
(2k 1 l )(2k 3 l )(1 l )(l 2)(l 4)(l 2k ) 2 k 1 x (2k 1)!
pl ( x) ql ( x)
pl(x)仅含x的偶次幂，为偶函数；ql(x)仅含x的奇次
幂，为奇函数。它们的收敛半径(达朗贝尔判别法) 为：
析，则称点z0 为方程(11.1.1)的正则奇点，否则称
为方程的非正则奇点。
定理 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)为 点z0的邻域 |z-z0|<R 中的解析函数，则方程在这个 圆中存在唯一的解析解ω(z)满足初始条件ω(z0)=C0 和ωʹ(z0)=C1 。 定理 11.1.2 若z0为方程(11.1.1)的常点，则在z0 点的邻域内，方程(11.1.1)的通解形式为