(完整word版)江苏省高一上学期数学期末考试试卷
2020-2020学年江苏省徐州市高一上期末数学试卷(含答案解析)
2020-2020学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．（5分）函数y=3tan（2x+）的最小正周期为．3．（5分）已知点A（﹣1，2），B（1，3），则向量的坐标为．4．（5分）若指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，8），则f （﹣1）的值为．5．（5分）cos240°的值等于．6．（5分）函数f（x）=的定义域是．7．（5分）已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则||=．8．（5分）若偶函数f（x）满足f（x+π）=f（x），且f（﹣）=，则f（）的值为．9．（5分）设函数f（x）=则f（log214）+f（﹣4）的值为．10．（5分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则cosα的值为．11．（5分）将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则f（）的值为．12．（5分）平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足：=3，=2，则=．13．（5分）设函数f（x）=，若函数f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知不等式（mx+5）（x2﹣n）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中m，n是整数，则m+n的取值的集合为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知集合A=[0，3），B=[a，a+2）．（1）若a=﹣1，求A∪B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．16．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．（1）若=，求（sinα+cosα）2的值；（2）若，求sin（π﹣α）•sin（）的值．17．（14分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxf（x）0 30 ﹣30 （1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数g（x）的值域；（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若=h（x）图象的一个对称中心为（），求θ的最小值．18．（16分）已知向量=（m，﹣1），=（）（1）若m=﹣，求与的夹角θ；（2）设．①求实数m的值；②若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），求的最小值．19．（16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）2020-2020学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1} ．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．2．（5分）函数y=3tan（2x+）的最小正周期为．【解答】解：由正切函数的周期公式得T=，故答案为：3．（5分）已知点A（﹣1，2），B（1，3），则向量的坐标为（2，1）．【解答】解：点A（﹣1，2），B（1，3），则向量=（1﹣（﹣1），3﹣2）=（2，1）．故答案为：（2，1）．4．（5分）若指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，8），则f （﹣1）的值为．【解答】解：指数函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（3，8），∴8=a3，解得a=2，∴f（x）=2x，∴f（﹣1）=2﹣1=，5．（5分）cos240°的值等于﹣．【解答】解：由题意得，cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣．故答案为：﹣．6．（5分）函数f（x）=的定义域是[e，+∞）．【解答】解：要使原函数有意义，则﹣1+lnx≥0，即lnx≥1，解得x≥e．∴函数f（x）=的定义域是[e，+∞）．故答案为：[e，+∞）．7．（5分）已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则||=．【解答】解：由题意可得||====，故答案为：．8．（5分）若偶函数f（x）满足f（x+π）=f（x），且f（﹣）=，则f（）的值为．【解答】解：由题意，f（x+π）=f（x），可知函数的周期T=π，则f（）=f（）∵f（﹣）=，f（x）是偶函数．∴f（）=即f（）的值为．9．（5分）设函数f（x）=则f（log214）+f（﹣4）的值为6．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（log214）=7，f（﹣4）=﹣1，∴f（log214）+f（﹣4）=6，故答案为：6．10．（5分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则cosα的值为．【解答】解：函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，即x+4=1，解得：x=﹣3，则y=4故P的坐标为（﹣3，4），角α的终边经过点P，则cosα=．故答案为：．11．（5分）将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则f（）的值为1．【解答】解：将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sinω（x﹣）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则﹣=，∴T==π，∴ω=2，f（x）=sin2x，则f（）=sin=1，故答案为：1．12．（5分）平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足：=3，=2，则=9．【解答】解：∵=3，=2，∴，，==．∴==，==﹣．∴=（）•（﹣）=﹣=36﹣=9．故答案为：9．13．（5分）设函数f（x）=，若函数f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是1≤a＜2，或a≥4．【解答】解：∵y=2x，x＜2，0＜2x＜4，∴0＜a＜4时，2x﹣a=0，有一个解，a≤0或a≥4，2x﹣a=0无解∵x2﹣3ax+2a2=（x﹣a）（x﹣2a），∴当a∈（0，1）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在[1，+∞）上无解；当a∈[1，2）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在[1，+∞）上有且仅有一个解；当a∈[2，+∞）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在x∈[1，+∞）上有且仅有两个解；综上所述，函数f（x）恰有2个零点，1≤a＜2，或a≥4故答案为：1≤a＜2，或a≥414．（5分）已知不等式（mx+5）（x2﹣n）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中m，n是整数，则m+n的取值的集合为{﹣4，24} ．【解答】解：当n≤0 时，由（mx+5）（x2﹣n）≤0，得到mx+5≤0 在x∈（0，+∞）上恒成立，则m不存在；当n＞0 时，由（mx+5）（x2﹣n）≤0，可设f（x）=mx+5，g（x）=x2﹣n，那么由题意可知：，再由m，n是整数得到或，因此m+n=24或﹣4．故答案为：{﹣4，24}．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知集合A=[0，3），B=[a，a+2）．（1）若a=﹣1，求A∪B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A=[0，3），B=[a，a+2）=[﹣1，1），∴A∪B=[﹣1，3）；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，∴，解得：0≤a≤1．16．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．（1）若=，求（sinα+cosα）2的值；（2）若，求sin（π﹣α）•sin（）的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．=2sinα﹣2cosα=，∴解得：sinα﹣cosα=，两边平方，可得：1﹣2sinαcosα=，解得：2sinαcosα=﹣，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1﹣=．（2）∵，∴2cosα+2sinα=0，解得：cosα+sinα=0，∴两边平方可得：1+2sinαcosα=0，解得：sinαcosα=﹣，∴sin（π﹣α）•s in（）=sinα•cosα=﹣．17．（14分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πx﹣f（x）0 30 ﹣30 （1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数g（x）的值域；（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若=h（x）图象的一个对称中心为（），求θ的最小值．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=3，ω=2，φ=，数据补全如下表：ωx+φ0π2πx﹣f（x）0 30 ﹣30函数表达式为f（x）=3sin（2x+）．（2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到图象对于的函数解析式为：g（x）=3sin（x+）．由x∈[﹣，]，可得：x+∈[﹣，]，可得：sin（x+）∈[﹣，1]，可得：函数g（x）=3sin（x+）∈[﹣，3]．（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若h（x）图象的一个对称中心为（），由（Ⅰ）知f（x）=3sin（2x+），得g（x）=3sin（2x+2θ+）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ+=kπ，解得x=﹣θ，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令：﹣θ=，解得θ=﹣，k∈Z．由θ＞0可知，当k=1时，θ取得最小值．18．（16分）已知向量=（m，﹣1），=（）（1）若m=﹣，求与的夹角θ；（2）设．①求实数m的值；②若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），求的最小值．【解答】解：（1）向量=（m，﹣1），=（），若m=﹣，与的夹角θ，则有cosθ===﹣，∴θ=．（2）①设，则=﹣=0，∴m=．②由①可得，=（，﹣1），=﹣=0，若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），故有[+（t2﹣3）]•（﹣k+t）=0，∴﹣k+[﹣k（t2﹣3）+t]+t（t2﹣3）=﹣k•4+0+t（t2﹣3）=0，∴4k=t（t2﹣3），∴=+t==≥﹣，当且仅当t=﹣2时，取等号，故的最小值为﹣．19．（16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．【解答】解：（1）由题意知，x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x=．则当0≤x≤1时，y=（5x+3x）×2.6=20.8x当1＜x≤时，y=5×2.6+（5x﹣5）×4+3x×2.6=27.8x﹣7，当x＞时，y=（5+5）×2.6+（5x+3x﹣5﹣5）×4=32x﹣14；即得y=（2）由于y=f（x）在各段区间上均单增，当x∈[0，1]时，y≤f（1）=20.8＜34.7；当x∈（1，]时，y≤f（）≈39.3＞34.7；令27.8x﹣7=34.7，得x=1.5，所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=5×2.6+2.5×4=23元乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=4.5×2.6=11.7元20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）【解答】解：（1）由题意得：f（x）的对称轴是x=﹣2，故f（x）在区间[﹣1，1]递增，∵函数在区间[﹣1，1]存在零点，故有，即，解得：0≤a≤8，故所求实数a的范围是[0，8]；（2）若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，a=0时，f（x）=x2+4x﹣5，x∈[1，2]的值域是[0，7]，下面求g（x），x∈[1，2]的值域，令t=4x﹣1，则t∈[1，4]，y=mt﹣2m+7，①m=0时，g（x）=7是常数，不合题意，舍去；②m＞0时，g（x）的值域是[7﹣m，2m+7]，要使[0，7]⊆[7﹣m，2m+7]，只需，解得：m≥7；③m＜0时，g（x）的值域是[2m+7，7﹣m]，要使[0，7]⊆[2m+7，7﹣m]，只需，解得：m≤﹣，综上，m的范围是（﹣∞，﹣]∪[7，+∞）；（3）由题意得，解得：t＜，①t≤﹣6时，在区间[t，2]上，f（t）最大，f（﹣2）最小，∴f（t）﹣f（﹣2）=t2+4t+4=6﹣4t，即t2+8t﹣2=0，解得：t=﹣4﹣3或t=﹣4+3（舍去）；②﹣6＜t≤﹣2时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（﹣2）最小，∴f（2）﹣f（﹣2）=16=6﹣4t，解得：t=﹣；③﹣2＜t＜时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（t）最小，∴f（2）﹣f（t）=﹣t2﹣4t+12=6﹣4t，即t2=6，解得：t=或t=﹣，故此时不存在常数t满足题意，综上，存在常数t满足题意，t=﹣4﹣3或t=﹣．。
江苏省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．函数的定义域为（ ） ()ln 1y x =+A ． B ． ()1,+∞()1,-+∞C ． D ．[)1,-+∞(),1-∞-【答案】B【分析】根据对数的真数大于零可得出关于x 的不等式，即可解得函数的定义域. ()ln 1y x =+【详解】令，解得， 10x +>1x >-故函数的定义域为. ()ln 1y x =+()1,-+∞故选：B.2．“”是“”的（ ） 1x >21x >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为，则，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不1x >21x >21x >1x >1x >21x >必要条件． 故选：A ．3．在某个物理实验中，测得变量x 和变量y 的几组数据，如下表： x0.500.99 2.01 3.98y 0.99-0.010.982.00则下列选项中对x ，y 最适合的拟合函数是（ ）A ． B ． C ．2y x =21y x =-22y x =-D ．2log y x =【答案】D【分析】根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论． 【详解】解：根据，，代入计算，可以排除； 0.50x =0.99y =-A 根据，，代入计算，可以排除、； 2.01x =0.98y =B C 将各数据代入检验，函数最接近，可知满足题意 2log y x =故选：．D【点睛】本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题．4．《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十二步，外周一百二十1R 2R α二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，，解得.1R 2R α1221921225R R R R αα=⎧⎪=⎨⎪-=⎩6α=故选：C5．已知函数，则的值为（ ）()12cos ,0,0x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪≥⎩π3f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ABC ．4D ．14【答案】B【分析】根据分段函数运算求解.【详解】由题意可得：，故πππ1cos cos 3332f ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12π11322f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：B.6．函数的图像大致为（ ）()2sin f x x x =A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数是奇函数，且函数在时函数值的正负，从而得出结论．()2sin f x x x =()0,πx ∈【详解】由函数定义域为,,故()2sin f x x x =R ()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-()2sin f x x x=为奇函数，故它的图像关于原点对称，可以排除C 和D ；又函数在时,函数，可以排除B ，所以只有A 符合．()2sin f x x x =()0,πx ∈()2sin 0f x x x =>故选:A ．7．在科学技术中，常常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数.若取，e 2.71828...=3e 20≈，则（ ）7e 1100≈ln 55≈A ．B ．C ．4D ．673113【答案】C【分析】根据题意结合指、对数运算求解.【详解】由题意可得：.7431100e ln 55ln ln ln e 420e =≈==故选：C.8．函数的零点为，函数的零点为，若()2log 4f x x x =+-1x ()()()log 151a g x x x a =+-->2x ，则实数的取值范围是（ ） 211x x ->aA ．B ．C ．D ．(()1,2)+∞()2,+∞【答案】D【分析】根据函数单调性,再由确定范围,即可确定实数的取值范围. 211x x ->a 【详解】已知,, ()2log 4f x x x =+-()()()log 151a g x x x a =+-->函数的零点为，()2log 4f x x x =+-1x函数的零点为， ()()()log 151a g x x x a =+-->2x 则()12122log 4log 150a x x x x +-=+--=()12122log 41log 14a x x x x +-=-+--()12122log 1log 1a x x x x +=-+-121x x <-又因为,这两函数均单调递增， 2log y x x =+()()log 111a y x x a =+-->当时，,解得. 121x x <-()212log >log 1a x x -2a >故选:D.二、多选题9．已知角的终边经过点，则（ ） θ()()2,0P a a a >A ．B ．sin θ=cos θ=C ．D ．1tan 2θ=tan 2θ=【答案】AC【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】因为角的终边经过点， θ()()2,0P a a a >所以，故A 正确；sin θ=B 错误；cos θ==，故C 正确，D 错误. 1tan 22a a θ==故选：AC.10．若，则（ ） 01m a b <<<<A ． B ． a b m m <m m a b <C ．D ．log log m m a b >b aa mb m>++【答案】BCD【分析】对于A ：构造函数，利用单调性判断；对于B ：构造函数，利用单调()x f x m =()mg x x =性判断；对于C ：构造函数，利用单调性判断；对于D ：利用作差法比较大小.()log m h x x =【详解】对于A ：因为，所以单调递减.01m <<()xf x m =因为，所以.故A 错误；a b <a b m m >对于B ：因为，所以单调递增.01m <<()mg x x =因为，所以.故B 正确；a b <m m a b <对于C ：因为，所以单调递减. 01m <<()log m h x x =因为，所以.故C 正确；a b <log log m m a b >对于D ：因为，所以.故D 正()()()()()()220b a b a m b a b bm a am a m b m a m b m a m b m -+-+---==>++++++b aa mb m>++确. 故选：BCD11．已知函数，则（ ） ()1tan tan f x x x=+A ．的最小正周期为B ．的图象关于轴对称()f x π()f x y C ．的最小值为2 D ．在上为增函数()f x ()f x ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AD【分析】先利用三角函数基本关系式化简得，再利用周期函数的定义与诱导公式即可()2sin 2f x x=判断A 正确；举反例即可排除B ；取特殊值计算即可判断C 错误；利用三角函数的单调性与复合函数的单调性即可判断D 正确.【详解】对于A ，因为， ()221sin cos sin cos 2tan tan cos sin sin cos sin 2x x x x f x x x x x x x x+=+=+==设的正周期为，则，即， ()f x T ()()f x T f x +=()22sin 2sin 2T x x =+所以，()sin 22sin 2T x x +=由诱导公式可得，即， 22π,Z T k k =∈π,Z T k k =∈又，故，即，则，故， 0T >π0k >0k >1k ≥ππT k =≥所以的最小值为，即的最小正周期为，故A 正确；T π()f x π对于B ，因为， ππ1ππ1tan 2,tan 2ππ4444tan tan 44f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭又与不关于轴对称， π,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,24⎛⎫⎪⎝⎭y 所以的图象关于轴对称，故B 错误；()f x y 对于C ，因为，所以2不是的最小值，故C 错误；π24f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()f x 对于D ，因为，所以，故在上单调递减，且，ππ42x <<π2π2x <<sin 2y x =ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭sin 20x >又在上单调递减， 2y x=()0,∞+所以在单调递增，故D 正确. ()2sin 2f x x =ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭故选：AD.12．已知函数，对于任意，，则（ ） ()y f x =,R x y ∈()()()f x f x y f y =-A ． B ．()01f =()()22f x f x =C ． D ．()0f x >()()22f x f y x y f ++⎛⎫⎪⎝⎭≥【答案】ACD【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可. 【详解】令，故A 正确； ()()()()001f x x y f f f x =⇒=⇒=由已知，① ()()()()()()()()()f x f x y f x f y f x y f x y f x f y f y =-⇒=-⇒+=令满足题干要求，则，故B 错()()(),0,11,x f x a a =∈+∞ ()()2222,,x xf x a f x a ==()()22f x f x ≠误；由①可知，令，则，2x x y ==()2222x x x f x f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦又因为，则，所以，故C 正确； ()()()f x f x y f y =-02x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭()202x f x f ⎡⎤⎛⎫=> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦因为，所以，()0f x>()()f x f y +≥=又由①，令，则， 2x y x y +==()2222x y x y x y f x y f f f ⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，故D 正确.()()22f x f y x y f ++⎛⎫⎪⎝⎭≥故选：ACD.三、填空题13．函数的图象关于点_________中心对称.（写出一个正确的点坐标即可） 2cos y x =【答案】（答案不唯一）π,02⎛⎫⎪⎝⎭【分析】对称中心的横坐标满足，取得到2cos y x =ππ,Z 2x k k =+Î0k =【详解】对称中心的横坐标满足：，取得到对称中心为.2cos y x =ππ,Z 2x k k =+Î0k =π,02⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：π,02⎛⎫⎪⎝⎭14．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为x 0ax b +>()3,-+∞x 20ax bx +<_________. 【答案】()3,0-【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. ,a b a 【详解】由的解集为， 0ax b +>()3,-+∞可得，且方程的解为， 0a >0ax b +=3-所以，则， 3ba-=-3b a =所以，()222303030ax bx a x x x x x +=+<⇒+<⇒-<<即关于的不等式的解集为. x 20ax bx +<()3,0-故答案为：.()3,0-15．已知定义在上的函数满足，且当时，，若R ()f x ()()4f x f x +=[)0,4x ∈()2xf x m =+，则___________.()()202331f f =m =【答案】1【分析】由题意可得函数的周期为4，根据题意结合周期性可得答案.【详解】由可得的函数周期为4，则， ()()4f x f x +=()f x ()()()20235054338f f f m =⨯+==+由，则，解得.()()202331f f =()832m m +=+1m =故答案为：1.四、双空题16．对于非空集合，定义，若，是两个非空集合，且，则M ()0,Φ1,x Mx x M ∉⎧=⎨∈⎩A B A B ⊆___________；若，，且存在，()()1A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦1sin 2A x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭(),2B a a =x R ∈，则实数的取值范围是_______________.()()2A B x x Φ+Φ=a 【答案】 0513,,12612πππ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】第一空分，和且三种情况来研究，第二空根据已知分析出a 的大致x A ∈x B ∉x A ∉x B ∈范围，最后列出不等式求解即可.【详解】即则一定有，所以分三段研究：A B ⊆x A ∈x B ∈时，，，即； x A ∈()1A x Φ=()1B x Φ=()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦时，，，即； x B ∉()0A x Φ=()0B x Φ=()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦且时，，，即.x A ∉x B ∈()0A x Φ=()1B x Φ=()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦综上所述，；()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦由已知()()()()21A B A B x x x x Φ+Φ=⇒Φ=Φ=且， 522,66A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(),20B a a a =⇒>要满足题意则，此时区间长度时一定满足，故下研究时，（其中A B ⋂≠∅43a π≥403a π<<，即为集合的补集中一段的区间长） 452366ππππ=+-A 此时，因此满足题意的反面情况有或，8023a a π<<<026a a π<<≤513266a a ππ<≤≤解得或，因此满足题意的范围为. 012a π<≤513612a ππ≤≤a 513,,12612πππ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭五、解答题17．求下列各式的值：(1)； 6213222⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭(2).ln3213log 8log 9e -+【答案】(1)128 (2)8【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）根据对数和指数的运算性质求解.【详解】（1）.612216723322222128⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⋅=== ⎪⎝⎭（2）. ln3213log 8log 9e 3238-+=++=18．若.()π5sin 4sin cos π12ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭(1)求的值； sin cos αα⋅(2)若，求的值. ()0,πα∈tan α【答案】(1) 12sin cos 25αα=-(2)43-【分析】（1）化简得到，平方得到，得到答案. 1sin cos 5αα+=112sin cos 25αα+=（2）根据得到，解得，得到答案.12sin cos 025αα=-<7sin cos 5αα-=4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【详解】（1），则，()π5sin 4sin cos π12ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭5sin 4cos cos 1ααα+=-+，，，则；1sin cos 5αα+=()21sin cos 25αα+=112sin cos 25αα+=12sin cos 25αα=-（2），所以，即，， 12sin cos 025αα=-<2απ<<πsin 0α>cos 0α<. 7sin cos 5αα-===，解得， 7sin cos 51sin cos 5αααα⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩sin tan s 43co ααα==-19．已知集合，. 14x A xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭()(){}230B x x m x m =---<(1)若，求；3m =-A B ⋃(2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.若A B B = A B ⋂=∅_________，求实数的取值范围.m 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)；(),0A B ⋃=-∞(2)选①；若选②. (]{},73-∞-⋃[)2,-+∞【分析】(1)代入的值，求出集合B ，用并集的运算性质计算即可.m (2)若选①，即，则对的值进行分类讨论，根据集合包含关系即可得到的取值A B B = B A ⊆m m 范围.若选②，对的值进行分类讨论，依次根据，求实数的取值范围. m A B ⋂=∅m 【详解】（1），即， ()36060m x x x =-⇒+<⇒-<<()6,0B =-而，即，所以； 441004444x x x x x x x -->⇒>⇒<⇒<-+++(),4A =-∞-(),0A B ⋃=-∞（2）若选①即A B B = B A ⊆时，，即，要满足题意则，与前提矛盾，舍； 3m >23m m >+()3,2B m m =+24m ≤-时，，即，符合题意；3m =23m m =+B =∅时，，即，要满足题意则，即.3m <23m m <+()2,3B m m =+34m +≤-7m ≤-综上所述，实数的取值范围是. m (]{},73-∞-⋃若选②，若，A B ⋂=∅时，，即，要满足题意则，则满足，解得3m >23m m >+()3,2B m m =+A B ⋂=∅34m +≥-，则；7m ≥-3m >若时，，即，满足；3m =23m m =+B =∅A B ⋂=∅时，，即，要满足题意则解得，即；3m <23m m <+()2,3B m m =+24,m ≥-2m ≥-23m -≤<综上，实数的取值范围是.m [)2,-+∞20．函数（，）在一个周期内的图象如图所示.()()sin f x A x =+ωϕ0,0A ω>>0πϕ<<(1)求的解析式； ()f x (2)将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：()f x 2π3()g x ()()()h x f x g x =-为偶函数.()h x 【答案】(1)()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由图得到，求得，代入点，求得，2,πA T ==2ω=π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭()ππ2π62k k ϕ-+=+∈Z 结合题意得到，即可求得函数的解析式；23ϕπ=（2）由三角函数的图象变换求得，根据偶函数的定义证明即可.()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】（1）由最值得， 2A =由相邻两条对称轴距离得，则，即，5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭2ππT ω==2ω=此时，()()2sin 2f x x ϕ=+代入点得：，π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭πsin 16ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则，即， ()ππ2π62k k ϕ-+=+∈Z ()2π2π3k k ϕ=+∈Z 又因为，所以， 0πϕ<<230,k πϕ==故.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由题意得， ()2π2π2π2sin 22sin 2333g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则， ()2π2π2sin 22sin 233h x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为， ()()2π2π2π2π2sin 22sin 22sin 22sin 23333h x x x x x h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+---=--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以为偶函数.()h x 21．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单x C 位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与x ()()2005C x x x =>+安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. y (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； y x (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ x y 【答案】(1)[]11,20(2)设备占地面积为时，的值最小. 215m y【分析】（1）由题意解不等式，即可求得； 800.27.25x x ++≤（2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得. ()800.205y x x x =+>+要满足题意,则， 7.2y ≤即，解得：. 800.27.25x x ++≤1120x ≤≤即设备占地面积的取值范围为.x []11,20（2）， 805800.21117555x y x x x +=+=+--=++≥=当且仅当时等号成立. 5801555x x x +=⇒=+所以设备占地面积为时，的值最小. 215m y 22．已知函数，. ()()1222x x f x -=+()()1222x x g x -=-(1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数； ()f x [)0,∞(2)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实()()()2449F x fx mf x =-+m []20,log x m ∈()0F x ≥数的取值范围； m (3)当，判断与的大小，并注明你的结论. 0a ≥()()g x f x ()()1af x a +-【答案】(1)证明见解析 (2)(]1,3(3) ()()()()1g x af x a f x <+-【分析】按照函数单调性的定义的证明步骤：设值，作差，变形，定号，下结论，即可证明；（2）先换元，再分离常数，最后再利用基本不等式即可求出实数的取值范围； m （3）采用作差法，结合基本不等式和指数函数的值域即可比较出大小. 【详解】（1）解：， 120x x ∀>≥()()()()11221211222222x x x x f x f x ---=+-+ 2112121212121222222222221212222x x x x x x x x x x x x x x --++--+-+--⎛⎫===- ⎪⎝⎭因为，所以，，所以， 120x x >≥12220x x ->1221x x +>()()120f x f x ->即在上是增函数.()f x [)0,∞+（2）解：由已知 ()2222244922x x x xF x m --⎛⎫⎛⎫++=⋅-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭设，由（1）得在上单调递增，即，222xxt -+=()f x []20,log m 11,2m m t ⎡⎤+⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以， ()229044904494F x t mt mt t m t t⇔-+⇔+⇔+≥≥≤≤①时，，即，当且仅当时取等， m 1322m m +≥934t t+=≥32t =此时要满足恒成立，即；94m t t +≤min 934m t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭≤3m ≤②，此时在上单调递减， 1m <<1322m m +<94y t t =+11,2m m ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦即， min119,1222m m m m t ym m ++==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭此时要满足恒成立，即，化简得， 94m t t+≤min 1991422m m m t t m m +⎛⎫+=+⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭≤42910m m --≤此时因为，此时恒成立211m m <<⇒<<42910m m --≤综上所述，实数的取值范围是.m (]1,3（3）解：()()()()112222111222x xx x xxg x af x a a a f x -+---=-⋅-++ 2112222222111222222x xxxxx xxxx a a a ⎛⎫++ ⎪=--⋅=--⎪⎪++⎝⎭因为（当且仅当时取等），所以，即， 1222xx +≥0x =12212x x +≥122102x x+-≤由已知，所以， 0a ≥122102xx a ⎛⎫+ ⎪- ⎪⎪⎝⎭≤又因为，所以，即，20x >220122xxx>+220122xxx-<+因此，所以. ()()()()122221101222xx x x x g x af x a a f x ⎛⎫+ ⎪---=--< ⎪⎪+⎝⎭()()()()1g x af x a f x <+-。
苏教版高一上册数学期末综合试题及答案
苏教版高一上册数学期末综合试题及答案1.已知向量a=(cos75°,sin75°),b=(cos15°,sin15°)，求|a-b|的值。
解：|a-b|=|(cos75°-cos15°,sin75°-sin15°)|=√[(cos75°-cos15°)²+(sin75°-sin15°)²]2-2cos60°]=√32.函数y=sin(2x+π/6)的图象的对称中心的坐标是？解：sin(2x+π/6)=sin(2x+π/3-π/6)=sin(2(x+π/6))，所以函数y=sin(2x+π/6)的图象以x=-π/6为对称中心。
3.设P和Q是两个集合，定义集合P-Q={x|x∈P,且x∉Q}，如果P={x|log2x<1}，Q={x|x(x-2)<1}，那么P-Q=？解：P={x|log2x<1}={x|0<x<2}，Q={x|x(x-2)<1}={x|1<x<2}，所以P-Q={x|0<x<1}。
4.定义在R上的函数f(x)满足关系式：f(x)+f(1-x)=2，则f(1/2)+f(1/4)+…+f(1/2^n)的值等于多少？解：将x=1/2代入关系式得f(1/2)+f(1/2)=2，所以f(1/2)=1.将x=1/4代入关系式得f(1/4)+f(3/4)=2，所以f(1/4)=f(3/4)=3/4.以此类推，可以得到f(1/2^n)=1/2^n。
所以f(1/2)+f(1/4)+…+f(1/2^n)=1+3/4+5/8+…+(2n-1)/2^n=2-1/2^n。
5.已知向量a=(1,1,1),b=(2,2,-1)，则向量a+b,a-b,a·b的夹角的大小分别是多少？解：a+b=(3,3,0)，a-b=(-1,-1,2)，a·b=1×2+1×2+1×(-1)=3.所以a+b与a-b的夹角的cos值为(a+b)·(a-b)/(∣a+b∣∣a-b∣)=0，即它们垂直；a与b的夹角的cos值为a·b/(∣a∣∣b∣)=1/√3，所以它们的夹角的大小为arccos(1/√3)。
江苏省高一上学期数学期末考试试卷word版本
高一上学期数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题纸相应．．．．．位置上．．．. 1． 已知全集{12345}U =，，，，，集合{134}{23}A B ==，，，，，则()U A B = __2.已知：,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭8且，用列举法表示集合A = . 3.方程)2(log )12(log 255-=+x x 的解集为4. 函数23)(-=xx f 的定义域为5. 8120()log x x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪⎩，，已知函数，≥0，若001()4f x x =，则的值为 ________6． 若函数()y f x =的定义域为R ，值域为[a ，b ]，则函数()y f x a =+的最大值与最小值之和为 ______7.若函数262+-=x mx y 的图像与x 轴只有一个公共点，则=m8.方程x x 24lg -=的根(),1x k k ∈+，k Z ∈，则k = ． 9.已知：定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时2()2,f x x x =+则当0x <时，()f x = ____________10．设函数e ()1exx a f x a -=+(a 为常数)在定义域上是奇函数，则a = ____11．函数21-=+x a y （a>0,且a ≠1）的图象恒．过一定点，这个定点是 ． 12. 已知函数(2)75,1()1,1x a x a x f x a x -+-≤⎧=⎨+>⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是_______.13．已知奇函数f(x)是定义在()1,1-上的增．函数，且(21)()0f m f m ++<.则实数m 取值范围_____________________.14．给定集合A 、B ，定义一种新运算：},|{B A x B x A x x B A ∉∈∈=*但或.已知{0,1,2}A =，{1,2,3}B =，用列举法．．．写出=*B A ．二. 解答题15．（14分）已知：{}{}3,15A x a x a B x x x =≤≤+=<->或 （1）若,A B =∅求实数a 的取值范围;（2）若,A B B =求实数a 的取值范围。
江苏省高一(上)期末数学试卷(附参考答案)
江苏省高一（上）期末数学试卷（附参考答案）一、单选题（共8小题）.1．集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{0，1}，则集合A∩B中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{0，1}，∴A∩B＝{0，1}，∴集合A∩B中元素的个数是2．故选：B．2．函数y＝tan（2x﹣）的周期为（）A．2πB．πC．D．解：函数y＝tan（2x﹣），所以T＝＝．故选：C．3．方程的解的个数为（）A．0B．1C．2D．3解：因为方程的解的个数即为函数y＝与函数y＝log x的交点个数，在同一直角坐标系中，画出草图可得：交点个数只有一个，故方程的解的个数为1，故选：B．4．对于全集U，命题甲“所有集合A都满足A∪∁U A＝U”，命题乙为命题甲的否定，则命题甲、乙真假判断正确的是（）A．甲、乙都是真命题B．甲、乙都不是真命题C．甲为真命题，乙为假命题D．甲为假命题，乙为真命题解：因为命题乙为命题甲的否定，所以命题乙“存在集合A都满足A∪∁U A≠U”．对于A，因为命题与命题的否定只有一个为真，所以A错；对于B，因为A∪∁U A＝U对任何U的子集都成立，所以B错；对于C，因为任何集合A，A∪∁U A＝U都成立，但不存在集合A使A∪∁U A≠U，所以C 对；对于D，由C知，D错；故选：C．5．如图，有一个“鼓形”烧水壶正在接水．水壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起．已知单位时间内注水量不变，壶中水面始终为圆形，当注水t＝t0时，壶中水面高度h达到最高h0．在以下图中，最能近似的表示壶中水面高度h与注水时间t的关系是（）A．B．C．D．解：由于壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起，则注水过程中，水面逐步增加，一开始递增速度较慢，超过中间部分后，单位时间内递增速度较快，则对应的图象为B，故选：B．6．函数f（x）＝log3（x+2）+x﹣1的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：∵f（x）＝log3（x+2）+x﹣1，∴f（0）＝log32﹣1＜0，f（1）＝1，∴f（0）f（1）＜0，∴f（x）在（0，1）上存在零点．故选：A．7．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质．已知函数的图象可能为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝＝＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B，C，当0＜x＜1时，f（x）＞0，排除D，故选：A．8．为了提高资源利用率，全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为了新时代的要求．假设某地2020年全年用于垃圾分类的资金为500万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元的年份是（）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）A．2025年B．2026年C．2027年D．2028年解：设经过n年后的投入资金为y万元，则y＝500（1+20%）n，令y≥1600，即500（1+20%）n≥1600，故，所以＝，所以第7年即2027年市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元．故选：C．二、多项选择题9．下列命题中正确的是（）A．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bdB．若a＞b，则ka＞kbC．若a＜b，则|a|＜|b|D．若a＞b＞0，则解：对于A，若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd，故A正确；对于B，当k≤0时，不等式ka＞kb不成立，故B不正确；对于C，若a＜b＜0，则|a|＞|b|，故C不正确；对于D，若a＞b＞0，则显然成立，故D正确．故选：AD．10．已知点P（1，t）在角θ的终边上，下列关于θ的论述正确的是（）A．如果，B．如果，则t＝2C．如果t＝3，则sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ＝2D．如果sinθ+cosθ＝a（a为常数，0＜a＜1），则解：对于A，＜0⇒θ角终边在三、四象限，又因为点P（1，t）在角θ的终边，所以θ在第四象限，所以A对；对于B，当t＝﹣2时，也有，所以B错；对于C，t＝3⇒cosθ＝，sinθ＝⇒sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ＝＝2，所以C对；对于D，sinθ+cosθ＝a（a为常数，0＜a＜1）⇒sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ＝a2⇒＜0，又⇒sinθ＜0⇒sinθ﹣cosθ＝﹣＝﹣＝﹣，sin3θ﹣cos3θ＝（sinθ﹣cosθ）•（sin2θ+sinθcosθ+cos2θ）＝（sinθ﹣cosθ）（1+sinθcosθ）＝﹣[1+]⇒，所以D对．故选：ACD．11．若2x＝3，3y＝4，则下列说法正确的是（）A．xy＝2B．C．D．x＞y解：∵2x＝3，3y＝4，∴x＝log23，y＝log34，∴xy＝log23•log34＝2，故A正确；x＝log23＞＝，故B错误；x+y＝log23+log34＞＝2，故C正确；x﹣y＝log23﹣log34＝﹣＝＞＞＝0，即x＞y，故D正确．故选：ACD．12．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面3米．已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，经过t秒后，水车旋转到P点，则下列说法正确的是（）A．在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为30秒B．当t＝[0，15]时，点P距水面的最大距离为6米C．当t＝10秒时，PP0＝6D．若P第二次到达最高点大约需要时间为80秒解：以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心O为坐标原点，以平行于水面的直线为x 轴建立平面直角坐标系，点P距离水面的高度h关于时间t的函数为h＝f（t）＝A sin（ωt+φ）+B．则，解A＝6，B＝3，又水轮每分钟转动一周，则，∴f（t）＝6sin（φ）+3，由f（0）＝6sinφ+3＝0，得sinφ＝，∴φ＝，则f（t）＝6sin（）+3．对于A，由f（t）＝6sin（）+3＞3，得0π，解得5＜t＜35，则在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为35﹣5＝30秒，故A正确；对于B，f（15）＝6sin（）+3＝＞6米，故B错误；对于C，当t＝10时，，又OP＝6，∴，故C正确；对于D，由6sin（）+3＝9，得，即t＝20，则P第二次到达最高点大约需要时间为60+20＝80秒，故D正确．故选：ACD．三、填空题13．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则f（2）的值为．解：设幂函数为：y＝x a，∵幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），∴2＝4a，∴a＝，∴f（2）＝．故答案为：14．函数在上的值域为．解：对于函数，当x∈时，2x﹣∈[﹣，π]，故当2x﹣＝时，y取得最大值为2，当2x﹣＝﹣时，y取得最小值为﹣，∴函数在上的值域为[﹣，2]，故答案为：[﹣，2]．15．若正数a，b满足a+b＝2，则ab的最大值为1；的最小值为．解：∵正数a，b满足a+b＝2，∴2≥2，解得ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴ab有最大值为1．＝（+）（a+b）＝（5++）（5+2）＝，当且仅当b＝2a＝时取等号．∴的最小值为，故答案为：1，．16．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成．两岸连接点间距离为米．其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米．某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为（40+30）π米．解：由题意，如图所示，可得QT＝60米，PQ＝60米，连接PO，可得PO⊥QT，因为sin∠QPO＝，所以∠QPO＝，∠QPT＝，所以绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为L＝2π×（）+60×＝（40+30）π米．故答案为：（40+30）π．四、解答题17．求下列各式的值．（1）（e为自然对数的底数）；（2）．解：（1）＝＝．（2）＝＝＝．18．已知函数定义域为A，集B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0}．（1）求集合A，B；（2）若x∈B是x∈A成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知：，解得x＞3或x＜1，∴集合A＝（﹣∞，1]∪（3，+∞），对于集合B满足：x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）≤0，其中m﹣2＜m+2，∴B＝[m﹣2，m+2]；（2）若x∈B是x∈A的充分不必要条件，则集合B是A的真子集，由（1）知，只需满足m+2＜1或m﹣2＞3即可，此时解得m＜﹣1或m＞5，综述，满足题意的m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．19．设函数．（1）解不等式．（2）若x∈[1，9]，求函数f（x）的最大值．解：（1）令，则原式变为，而t2﹣t+2＞0恒成立，∴，即，所以2t＞t2﹣t+2，即t2﹣3t+2＜0，解得t∈（1，2），∴，解得x∈（3，9）；（2）当x∈[1，9]时，由（1）中换元知t∈[0，2]．当t＝0时，f（t）＝0；当t＝（0，2]时，∵，当且仅当时取等，∴f（x）的最大值为，经检验满足题意，综上所述，f（x）的最大值为．21．已知函数f（x）＝x3﹣3x．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）用定义证明函数f（x）在[0，1]上为减函数；（3）已知x∈[0，2π]，且f（sin x）＝f（cos x），求x的值．【解答】解．（1）奇函数；证明：函数f（x）＝x3﹣3x，定义域x∈Rf（﹣x）＝（﹣x）3﹣3（﹣x）＝﹣（x3﹣3x）＝﹣f（x）故f（x）为奇函数（2）任取0≤x1＜x2≤1，＝，因为，，0≤x1x2＜1所以则f（x1）﹣f（x2）＞0⇒f（x1）＞f（x2）所以f（x）在[0，1]上为减函数．（3）x∈[0，2π]，﹣1≤sin≤1，﹣﹣1≤cos x≤1f（x）在R上为奇函数且f（x）在[0，1]为减函数，则有f（x）在[﹣1，1]也是减函数，又f（sin x）＝f（cos x）⇒sin x＝cos x，又x∈[0，2π]，则或．22．已知函数（a为常数，且a≠0，a∈R）．请在下面四个函数：①g1（x）＝2x，②g2（x）＝log2x，③，④中选择一个函数作为g（x），使得f（x）具有奇偶性．（1）请写出g（x）表达式，并求a的值；（2）当f（x）为奇函数时，若对任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，求实数m的取值范围；（3）当f（x）为偶函数时，请讨论关于x的方程f（2x）＝mf（x）解的个数．解：（1）若选①g1（x）＝2x，则f（x）＝，定义域为R，当f（x）为奇函数，f（0）＝≠0，不满足条件．奇函数的性质；当f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），即f（﹣x）＝＝＝，整理得2a＝不是常数，不满足条件．若选②g2（x）＝log2x，则函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．若选③，则f（x）＝．定义域为R，当f（x）为奇函数，f（0）＝≠0，不满足条件．奇函数的性质；当f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），即＝＝＝，整理得a＝＝﹣＝﹣不是常数，不满足条件．若选④g（x）＝8x，，，当f（x）为奇函数，f（x）＝﹣f（﹣x）⇒a＝﹣1；当f（x）为偶函数，f（x）＝f（﹣x）⇒a＝1．（2）当f（x）为奇函数时，f（x）＝2x﹣2﹣x，x∈[1，2]，2x∈[2，4]，，若对于任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，，所以m的取值范围是．（3）当f（x）为偶函数时，f（x）＝2x+2﹣x，f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x+2﹣x）2﹣2，令t＝2x+2﹣x≥2，则t2﹣2＝mt（t≥2），，又在[2，+∞）单调递增，所以h（t）≥1，1．当m＜1，此时方程无解；2．当m≥1，存在唯一解t0∈[2，+∞），又因为f（x）＝2x+2﹣x为偶函数，不防设0≤x1＜x2，，所以f（x）在[0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0]单调递减，①当m＝1时，t0＝2，此时方程有唯一解x0＝0；②当m＞1时，t0＞2，此时方程有两个解，下证必要性：令h（x）＝2x+2﹣x﹣t0，h（x）为偶函数，h（x）在[0，+∞）单调递增，h（0）＝2﹣t0＜0，所以h（x）在有一个零点，又因为函数时偶函数，则在也有一个零点，所以当m＞1，t0＞2时一共有2两个零点．。
2023-2024学年江苏省南通市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若扇形的圆心角为2rad，半径为1，则该扇形的面积为（）A．12B．1C．2D．42．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣2≤x＜4}3．函数f(x)=4x+9x+1，x∈（﹣1，+∞）的最小值为（）A．6B．8C．10D．124．若角θ的终边经过点P（1，3），则sinθcosθ+cos2θ＝（）A．−65B．−25C．25D．655．函数f（x）＝2log3x+2x﹣5的零点所在区间是（）A．（0，1）B．(1，32)C．(32，2)D．（2，3）6．设函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω＞0)的最小正周期为T．若2π＜T＜3π，且对任意x∈R，f(x)+f(π3)≥0恒成立，则ω＝（）A．23B．34C．45D．567．已知函数f（x）的定义域为R，y＝2f（x）﹣sin x是偶函数，y＝f（x）﹣cos x是奇函数，则[f(x)]2+[f(π2+x)]2=（）A．5B．2C．32D．548．已知函数f（x）＝lg|x|﹣cos x，记a＝f（log0.51.5），b＝f（1.50.5），c＝f（sin（1﹣π）），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列各式中，计算结果为1的是（）A．sin75°cos15°+cos75°sin15°B．cos222.5°﹣sin222.5°C．√3−tan15°1+√3tan15°D．tan22.5°1−tan222.5°10．若a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．a （a +c ）＞b （b +d ）C ．d a+d＜c b+cD ．b+d b+c＜a+d a+c11．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y =x −23B ．y ＝2|x |+1C ．y ＝x 2﹣x ﹣2D ．y ＝2x ﹣2﹣x12．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10（单位：cm ），它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度hcm 由关系式ℎ=Asin(πt +π4)确定，其中A ＞0，t ≥0．则下列说法正确的是（ ）A ．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2sB ．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20cmC ．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为12sD ．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是[2014，2114)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高一年级上学期数学期末试题(苏教版)
高一年级上学期数学期末试题〔苏教版〕数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。
小编准备了高一年级上学期数学期末试题，希望你喜欢。
一、填空题(每题5分，共70分)1. 不等式x21的解集为________。
2. 甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是__________。
3. 给定以下四个命题：①假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行;点击进入???高一数学期末试卷②假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直;③垂直于同一直线的两条直线互相平行;④假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。
其中，为真命题的是________(填序号)。
4. 设点P(x，y)在圆x2+(y-1)2=1上，那么的最小值是__________。
5. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，那么这个多面体最长的一条棱的长为________。
6. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，假设a1=-11，a4+a6=-6，那么当Sn取最小值时，n等于________7. 设x，y满足约束条件，那么z=x-2y的取值范围为________。
8. 直线y=x+b，b[-2，3]，那么直线在y轴上的截距大于1的概率是________。
9. 等比数列中，各项都是正数，且a1、a3、2a2成等差数列，那么的值为________。
10. 一个算法：(1)m=a。
(2)假如b(3)假如c假如a=3，b=6，c=2，那么执行这个算法的结果是________。
11. 在边长为a的等边三角形ABC中，ADBC于点D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC=a，这时二面角B-AD-C的大小为________。
12. M(x0，y0)为圆x2+y2=a2 (a0)内异于圆心的一点，那么直线x0 x+y0 y=a2与该圆的位置关系为________。
2023-2024学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 1．已知集合M ＝{﹣1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2} B ．{﹣1，0，1} C ．{﹣1，0，2}D ．{0，1}2．命题“∀x ∈R ，x +2≤0”的否定是（ ） A ．∃x ∈R ，x +2＞0 B ．∃x ∈R ，x +2≤0 C ．∀x ∈R ，x +2＞0D ．∀x ∉R ，x +2＞0 3．若函数f （x ）＝x 2﹣mx +3在区间（﹣∞，2）上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2]B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，4]D ．[4，+∞）4．已知角θ的终边经过点P （x ，﹣5），且tanθ=512，则x 的值是（ ） A ．﹣13B ．﹣12C ．12D ．135．已知a ＝log 0.32，b ＝log 0.33，c ＝log 32，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c6．北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （km /s ）和燃料的质量M （kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （kg ）的函数关系的表达式为v =2ln(1+Mm )，若火箭的最大速度v 达到10km /s ，则M m的值是（ ） A ．5e ﹣1B ．e 5﹣1C ．510﹣1D ．105﹣17．已知定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)的值是（ ）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√328．在等式a b ＝N 中，如果只给定a ，b ，N 三个数中的一个数，那么a b ＝N 就成为另两个数之间的“函数关系”．如果N 为常数10，将a 视为自变量x （x ＞0且x ≠1），则b 为x 的函数，记为y ，那么x y ＝10，现将y 关于x 的函数记为y ＝f （x ）．若f （m 2）＞f （2m ），则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（0，1）∪（1，2）D ．(0，12)∪（1，2）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 9．若a ＜b ＜0，c ∈R ，则（ ）A ．a +c ＜b +cB ．ab ＜b 2C ．1a ＜1bD ．b a ＜ab10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是{x |1＜x ＜3}，则（ ） A ．a ＜0B ．a +b +c ＝0C ．4a +2b +c ＜0D ．不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集是{x |x ＜﹣1或x ＞−13}11．古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念．余切函数可以用符号表示为f （x ）＝cot x ，其中cotx =tan(π2−x)，则下列关于余切函数的说法正确的是（ ）A ．定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }B ．在区间(π2，π)上单调递增C ．与正切函数有相同的对称中心D ．将函数y ＝﹣tan x 的图象向右平移π2个单位可得到函数y ＝cot x 的图象12．已知扇形的半径为r ，弧长为l ．若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A ．该扇形面积的最小值为8 B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2 C ．r +2l 的最小值为9D ．1r 2+4l 2的最小值为12三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上 13．已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），则f （8）的值是 ． 14．已知sin(x +π6)=13，则sin 2(π3−x)的值是 ．15．已知定义在实数集R 上的偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f （lgx ）＜f （1），则实数x 的取值范围是 ．16．已知函数f(x)=log 9x +12x −1的零点为x 1．若x 1∈（k ，k +1）（k ∈Z ），则k 的值是 ；若函数g （x ）＝3x +x ﹣2的零点为x 2，则x 1+x 2的值是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明， 17．（10分）（1）已知a +a﹣1＝3，求a 12+a−12的值；（2）求值：e ln 2+（lg 5）2+lg 5lg 2+lg 20．18．（12分）设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x |x 2﹣5x +4≤0}，B ＝{x |m ≤x ≤m +1}． （1）若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数y ＝f （x ）在区间[﹣π，0]上的单调减区间．20．（12分）已知函数f(x)=a⋅2x−12x +1(a ∈R)．（1）若函数f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）当a ＝3时，用函数单调性的定义证明：函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增；（3）若函数y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．21．（12分）如图，有一条宽为30m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC ）种植荷花用于观赏，C ，B 两点分别在两岸l 1，l 2上，AB ⊥AC ，顶点A 到河两岸的距离AE ＝h 1，AD ＝h 2，设∠ABD ＝α．（1）若α＝30°，求荷花种植面积（单位：m 2）的最大值； （2）若h 2＝4h 1，且荷花的种植面积为150m 2，求sin α．22．（12分）若存在实数对（a ，b ），使等式f （x ）•f （2a ﹣x ）＝b 对定义域中每一个实数x 都成立，则称函数f （x ）为（a ，b ）型函数．（1）若函数f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，求a 的值； （2）若函数g(x)=e 1x 是（a ，b ）型函数，求a 和b 的值；（3）已知函数h （x ）定义在[﹣2，4]上，h （x ）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2．若h （x ）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m 的取值范围．2023-2024学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符1．已知集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，2}D．{0，1}解：因为集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{﹣1，0，1，2}，故选：A．2．命题“∀x∈R，x+2≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x+2＞0B．∃x∈R，x+2≤0C．∀x∈R，x+2＞0D．∀x∉R，x+2＞0解：命题为全称命题，则命题的否定为“∃x∈R，x+2＞0”．故选：A．3．若函数f（x）＝x2﹣mx+3在区间（﹣∞，2）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，4]D．[4，+∞）解：函数f（x）＝x2﹣mx+3开口向上，对称轴方程为x=m 2，所以函数的单调递减区间为（﹣∞，m2 ]，要使在区间（﹣∞，2）上单调递减，则m2≥2，解得m≥4．即m的范围为[4，+∞）．故选：D．4．已知角θ的终边经过点P（x，﹣5），且tanθ=512，则x的值是（）A．﹣13B．﹣12C．12D．13解：由题意得，tanθ=512=−5x，故x＝﹣12．故选：B．5．已知a＝log0.32，b＝log0.33，c＝log32，则下列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c解：∵log0.33＜log0.32＜log0.31＝0，∴b＜a＜0，∵log32＞log31＝0，∴c＞0，∴b＜a＜c．故选：D．6．北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （km /s ）和燃料的质量M （kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （kg ）的函数关系的表达式为v =2ln(1+Mm )，若火箭的最大速度v 达到10km /s ，则M m的值是（ ） A ．5e ﹣1B ．e 5﹣1C ．510﹣1D ．105﹣1解：由题意知火箭的最大速度v 达到10km /s ，故10=2ln(1+M m )，即1+Mm =e 5，∴M m =e 5−1． 故选：B ．7．已知定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)的值是（ ）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32解：定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)=f(83π)=f(5π3)=f(2π3)=f(−π3)=cos(−π3)=12． 故选：C ．8．在等式a b ＝N 中，如果只给定a ，b ，N 三个数中的一个数，那么a b ＝N 就成为另两个数之间的“函数关系”．如果N 为常数10，将a 视为自变量x （x ＞0且x ≠1），则b 为x 的函数，记为y ，那么x y ＝10，现将y 关于x 的函数记为y ＝f （x ）．若f （m 2）＞f （2m ），则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（0，1）∪（1，2）D ．(0，12)∪（1，2）解：因为x y ＝10，（x ＞0且x ≠1），所以lgx y ＝lg 10＝1，即ylgx ＝1， 所以y ＝f （x ）=1lgx，所以函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上单调递减， 若f （m 2）＞f （2m ），则0＜m 2＜2m ＜1，或1＜m 2＜2m ，解得0＜m ＜12或1＜m ＜2．故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 9．若a ＜b ＜0，c ∈R ，则（ ） A ．a +c ＜b +cB ．ab ＜b 2C ．1a ＜1bD ．b a ＜ab解：对于A ，由a ＜b ，两边都加上c ，可得a +c ＜b +c ，故A 正确； 对于B ，a ＜b ＜0，两边都乘以b ，可得ab ＞b 2，故B 不正确； 对于C ，a ＜b ＜0，则1a −1b =b−a ab ＞0，可知1a ＞1b，故C 不正确；对于D，a＜b＜0，则ba −ab=b2−a2ab=(b+a)(b−a)ab＜0，可得ba＜ab，故D正确．故选：AD．10．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则（）A．a＜0B．a+b+c＝0C．4a+2b+c＜0D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是{x|x＜﹣1或x＞−13}解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，所以a＜0且1，3为方程ax2+bx+c＝0的两根，A正确；故{1+3=−ba1×3=ca，所以b＝﹣4a，c＝3a，所以a+b+c＝a﹣4a+3a＝0，B正确；4a+2b+c＝4a﹣8a+3a＝﹣a＞0，C错误；由不等式cx2﹣bx+a＝3ax2+4ax+a＜0可得3x2+4x+1＞0，解得x＜﹣1或x＞−13，D正确．故选：ABD．11．古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念．余切函数可以用符号表示为f（x）＝cot x，其中cotx=tan(π2−x)，则下列关于余切函数的说法正确的是（）A．定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}B．在区间(π2，π)上单调递增C．与正切函数有相同的对称中心D．将函数y＝﹣tan x的图象向右平移π2个单位可得到函数y＝cot x的图象解：根据cotx=tan(π2−x)，所以余切函数的图象如图所示：对于A：函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，故A正确；对于B：在区间(π2，π)上单调递减，故B错误；对于C ：与正切函数有相同的对称中心，都为（kπ2，0）（k ∈Z ），故C 正确；对于D ：将函数y ＝﹣tan x 的图象向右平移π2个单位可得到函数y ＝﹣tan （x −π2）＝cot x 的图象，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知扇形的半径为r ，弧长为l ．若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A ．该扇形面积的最小值为8 B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2 C ．r +2l 的最小值为9D ．1r 2+4l 2的最小值为12解：因为扇形的半径为r ，弧长为l ，所以扇形的周长为2r +l ，面积为12lr ；因为2r +l ＝2×12lr ，所以l =2rr−1，且r ＞1；所以扇形的面积为S =12×2r r−1×r =r 2r−1=(r−1)2+2(r−1)+1r−1=（r ﹣1）+1r−1+2≥2√(r −1)⋅1r−1+2＝4，当且仅当r ﹣1=1r−1，即r ＝2时取等号，所以选项A 错误； 扇形的周长为L ＝2r +2r r−1=2（r ﹣1）+2r−1+4≥2√2(r −1)⋅2r−1+4＝8， 当且仅当2（r ﹣1）=2r−1，即r ＝2时取等号，此时圆心角为|α|=l r =42=2，α＝±2，选项B 错误； r +2l ＝r +4r r−1=r +4+4r−1=（r ﹣1）+4r−1+5≥2√(r −1)⋅4r−1+5＝9， 当且仅当r ﹣1=4r−1，即r ＝3时取等号，选项C 正确； 1r 2+4l 2=1r 2+(r−1)2r 2=1−2r +2r 2=2(1r −12)2+14]≥12，当r ＝2时取等号，所以选项D 正确．故选：CD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上 13．已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），则f （8）的值是 2√2 ． 解：根据幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），可得9α＝3，求得α=12，故f （x ）=x 12=√x ．故f （8）=√8=2√2．故答案为：2√2．14．已知sin(x +π6)=13，则sin 2(π3−x)的值是 89 ．解：∵cos （π3−x ）=sin(x +π6)=13，∴sin2(π3−x)=1﹣cos2（π3−x）＝1−19=89．故答案为：8 9．15．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（lgx）＜f（1），则实数x的取值范围是110＜x＜10．解：∵f（x）定义在实数集R上的偶函数，在区间[0，+∞）上是单调增函数∴f（x）中（﹣∞，0）上是减函数又f（lgx）＜f（1）∴﹣1＜lgx＜1∴110＜x＜10故答案为：110＜x＜1016．已知函数f(x)=log9x+12x−1的零点为x1．若x1∈（k，k+1）（k∈Z），则k的值是1；若函数g （x）＝3x+x﹣2的零点为x2，则x1+x2的值是2．解：函数f(x)=log9x+12x−1是增函数，f（1）=−12＜0，f（2）＝log92＞0，满足f（1）f（2）＜0，所以函数的零点x1∈（1，2），所以k的值为1．函数f(x)=log9x+12x−1=12（log3x+x﹣2），函数的零点是y＝log3x与y＝2﹣x两个函数的图象的交点的横坐标x1，函数g（x）＝3x+x﹣2的零点为x2，是函数y＝3x与y＝2﹣x图象交点的横坐标，由于y＝log3x与y＝3x是反函数，关于y＝x对称，并且y＝2﹣x与y＝x垂直，交点坐标（1，1），所以x1+x2的值是2．故答案为：1；2．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，17．（10分）（1）已知a+a﹣1＝3，求a 12+a−12的值；（2）求值：e ln2+（lg5）2+lg5lg2+lg20．解：（1）因为（a 12+a−12）2＝a+a﹣1+2＝3+2＝5，又因为a 12+a−12＞0，所以a12+a−12=√5；（2）e ln2+（lg5）2+lg5lg2+lg20＝2+1g5（lg5+1g2）+1g2+1＝2+1g5+1g2+1＝2+1+1＝4．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，B＝{x|m≤x≤m+1}．（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．解：（1）由x 2﹣5x +4≤0，解得1≤x ≤4，所以A ＝{x |1≤x ≤4}． 因为A ∩B ＝∅，且B ≠∅，所以m +1＜1或m ＞4，得m ＜0或m ＞4， 所以实数m 的取值范围是{m |m ＜0或m ＞4}．（2）因为“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，所以B ⊆A ， 所以{m ≥1m +1≤4，解得1≤m ≤3，所以实数m 的取值范围是{m |1≤m ≤3}．19．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数y ＝f （x ）在区间[﹣π，0]上的单调减区间．解：（1）由图可知A ＝2，T =4×(π3−π12)=π，所以ω=2πT=2．∵f （x ）＝2sin （2x +φ）的图象经过点(π12，2)， ∴π6+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，即φ=π3+2kπ，k ∈Z ．∵0＜φ＜π，所以φ=π3，∴f(x)=2sin(2x +π3)．（2）令π2+2kπ≤2x +π3≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得π12+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z ，∴f(x)=2sin(2x +π3)的减区间为[π12+kπ，7π12+kπ]，k ∈Z ，∴f(x)=2sin(2x +π3)在[﹣π，0]上的减区间为[−11π12，−5π12]．20．（12分）已知函数f(x)=a⋅2x−12x +1(a ∈R)．（1）若函数f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）当a ＝3时，用函数单调性的定义证明：函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增；（3）若函数y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．解：（1）由 f （0）＝0，得a ＝1，此时f(x)=2x−12x +1．因为f(−x)=2−x−12−x +1=1−2x1+2x =−f(x)，所以f （x ）为奇函数，故a ＝1． 证明：（2）当a ＝3时，f(x)=3⋅2x−12x +1=3−42x +1．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=42x 2+1−42x 1+1=4(2x1−2x2)(1+2x 1)(1+2x 2)， 因为x 1＜x 2，所以2x 1＜2x 2，2x 1+1＞0，2x 2+1＞0， 所以4(2x 1−2x 2)(1+2x 1)(1+2x 2)＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增．解：（3）y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，等价于（2x ）2+（1﹣a ）2x +1＝0有两个不同的实数解． 令t ＝2x （t ＞0），则t 2+（1﹣a ）t +1＝0在（0，+∞）有两个不同的实数解， 所以{(1−a)2−4＞0a −1＞0，解得a ＞3．所以a 的取值范围为（3，+∞）．21．（12分）如图，有一条宽为30m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC ）种植荷花用于观赏，C ，B 两点分别在两岸l 1，l 2上，AB ⊥AC ，顶点A 到河两岸的距离AE ＝h 1，AD ＝h 2，设∠ABD ＝α．（1）若α＝30°，求荷花种植面积（单位：m 2）的最大值； （2）若h 2＝4h 1，且荷花的种植面积为150m 2，求sin α．解：由题可得，AB =ℎ2sinα，AC =ℎ1cosα． （1）当α＝30°时，AB ＝2h 2，AC =2√31， 所以S △ABC =12AB ⋅AC =2√31ℎ2，又因为h 1+h 2＝30，h 1，h 2≥0， 所以S △ABC =√31ℎ2≤√3(ℎ1+ℎ22)2=150√3，当且仅当h 1＝h 2＝15时取等号．所以荷花种植区域面积的最大值为150√3m 2．（2）因为h 1+h 2＝30，h 2＝4h 1，所以h 1＝6，h 2＝24，故AB =24sinα，AC =6cosα，α∈(0，π2)， 从而S △ABC =12AB ⋅AC =72sinαcosα=150， 所以sinαcosα=1225，① 所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=4925． 又因为α∈[0，π2]，所以sinα+cosα=75，② 由①②解得：sinα=35或45． 22．（12分）若存在实数对（a ，b ），使等式f （x ）•f （2a ﹣x ）＝b 对定义域中每一个实数x 都成立，则称函数f （x ）为（a ，b ）型函数．（1）若函数f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，求a 的值；（2）若函数g(x)=e 1x 是（a ，b ）型函数，求a 和b 的值；（3）已知函数h （x ）定义在[﹣2，4]上，h （x ）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2．若h （x ）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）由f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，得f （x ）•f （2a ﹣x ）＝2x •22a ﹣x ＝1，即22a ＝1，所以a ＝0． （2）由g(x)=e 1x是（a ，b ）型函数，得g(x)⋅g(2a −x)=e 1x ⋅e 12ax −x =b ，则1x +12a−x =lnb ，因此x 2lnb ﹣2axlnb +2a ＝0对定义域{x |x ≠0}内任意x 恒成立，于是{lnb =02alnb =02a =0，解得a ＝0，b ＝1，所以a ＝0，b ＝1．（3）由h （x ）是（1，4）型函数，得h （x ）•h （2﹣x ）＝4，（1）当x ＝1时，h （1）•h （1）＝4，而h （x ）＞0，则h （1）＝2，满足h （x ）≥1；（2）当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2≥1恒成立，令log 2x ＝t ，则当t ∈（0，2]时，﹣t 2+mt +2≥1恒成立，于是m ≥t −1t 恒成立，而函数y =t −1t在（0，2]单调递增，则t −1t ≤32，当且仅当t ＝2时取等号，因此m ≥32； （3）当x ∈[﹣2，1）时，2﹣x ∈（1，4]，则ℎ(x)=4ℎ(2−x)=4−[log 2(2−x)]2+m⋅log 2(2−x)+2，由h （x ）≥1，得0＜−[log 2(2−x)]2+m ⋅log 2(2−x)+2≤4，令log 2（2﹣x ）＝u ，则当u ∈（0，2]时，0＜﹣u 2+mu +2≤4，由（2）知﹣u 2+mu +2≥1，则只需u ∈（0，2]时，﹣u 2+mu +2≤4恒成立，即m ≤2u +u 恒成立，又u +2u≥2√u ⋅2u =2√2，当且仅当u =√2时取等号，因此m ≤2√2， 所以实数m 的取值范围是：[32，2√2]．。
(完整word版)江苏省高一上学期数学期末考试试卷
高一上学期数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1. 已知全集U 31, 2, 3, 4, 5},集合A={1, 3, 4}, B={2, 3},则(euA p B：r 一8 1 ... .... .2.已知：A = 4xx w N且--------- w N卜，用列举法表本集合A= .I , 6-x J、一一 23.方程log5(2x+1) =log5(x —2)的解集为34.函数f (x) =x 2的定义域为2 x ：：0 15.已知函数f(x)=/ 右f(x o)=—,则x o的值为log81 x, x>0, 46.若函数y=f(x)的定义域为R,值域为[a, b],则函数y = f (x+a)的最大值与最小值之和为______ ______27.右函数y=mx —6x+2的图像与x轴只有一个公共点，则m=8.方程lg x =4 -2x 的根x w (k, k +1), k w Z ,则k =.9.已知：定义在R上的奇函数f (x),当x之0时f(x) = x2+2x,则当x<0时，f(x); ______________x10.设函数f (x)=且『J (a为常数)在定义域上是奇函数，则a=1 ae11.函数y=a x4—2 (a>0,且aw1)的图象恒.过一定点，这个定点是 .(2-a)x 7-5a,x<1 口12.已知函数f(x)=：是R上的增函数，则a的取值范围是_________ .a x1,x 113.已知奇函数f(x)是定义在(—1,1)上的单函数，且f(2m+1) + f(m)<0.则实数m取值范围.14.给定集合A、B,定义一种新运算：A*B={x|x W A或x W B,彳I x^A^B}.已知A={0, 1, 2} B ={1,2,3},用列举话写出A* B =.二.解答题15. (14 分)已知：A ={x a E x E a+3}, B = {x x < —1或x a 5}(1)若A「|B=0,求实数a的取值范围；(2)若AUB =B,求实数a的取值范围。
2023-2024学年江苏省常州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．cos840°＝（ ） A ．√32B ．12C ．−√32D ．−122．设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x |x ＞1}，则{x |1＜x ≤3}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U N ）∪MD ．（∁U M ）∩N3．已知幂函数f （x ）的图象经过点(2，14)，则f （x ）（ ）A ．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增B ．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减C ．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增D ．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减4．已知扇形的周长为10cm ，圆心角为3rad ，则扇形的面积为（ ） A ．3cm 2B ．4cm 2C ．5cm 2D ．6cm 25．设a ，b ，m 都是正数，且a ＜b ，记x =a+m b+m ，y =ab，则（ ） A ．x ＞y B ．x ＝yC ．x ＜yD ．x 与y 的大小与m 的取值有关6．“函数f （x ）＝e x （e x ﹣3）在区间[m ，+∞）上单调递增”的充要条件是（ ） A ．m ≥32B ．m ≤32C ．m ≥ln 32D ．m ≤ln 327．将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π6个单位得到曲线C 1，再将曲线C 1上的每一点的横坐标变为原来的12得到曲线C 2，最后将曲线C 2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的C 3．若曲线C 3恰好是函数f （x ）的图象，则f （x ）在区间[0，π2]上的值域是（ ）A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，2]C ．[1，2]D ．[﹣2，2]8．已知函数f(x)=log 2(12x −a)的定义域为[﹣2，0]，若存在x 1，x 2∈[﹣2，0]，满足|f （x 1）﹣f （x 2）|≥3，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[47，+∞)B ．[25，1)C ．[25，4)D ．[47，1)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若函数f （x ）＝a x +b （其中a ＞0且a ≠1）的图象过第一、三、四象限，则（ ） A ．0＜a ＜1B ．a ＞1C ．﹣1＜b ＜0D ．b ＜﹣110．下列不等式中，正确的有（ ） A ．0.2﹣3＜0.3﹣3＜0.4﹣3B ．0.81.1＜0.80.9＜0.80.7C ．log 0.25＜log 0.24＜log 0.23D ．cos3π7＜cos 2π7＜cos π711．若函数f （x ）对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)+f(x 1)2≤f(x 1+x 22)，则称f （x ）具有性质M ．下列函数中，具有性质M 的有（ ） A ．f(x)=√x B ．f （x ）＝e x C ．f （x ）＝lnxD ．f(x)=−1x+212．已知函数f （x ）＝cos （ωx +φ）+1（其中ω，φ均为常数，且ω＞0，|φ|＜π）恰能满足下列4个条件中的3个：①函数f （x ）的最小正周期为π； ②函数f （x ）的图象经过点(0，32)；③函数f （x ）的图象关于点(5π12，1)对称； ④函数f （x ）的图象关于直线x =−π6对称．则这3个条件的序号可以是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={(−x)12，x ≤0lgx ，x ＞0，则f （f （0.01））＝ ．14．已知α为第二象限角，且满足sinα+cosα=−713，则tan α＝ ． 15．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，BC ＝40，若△ABC 的内接矩形的一边在BC 边上，则该内接矩形的面积的最大值为 ．16．设f （x ），g （x ）分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，若f （x ）+g （x ）＝2x ，则曲线y =f(x)g(x)与曲线y ＝sin x 在区间[﹣2024π，2024π]上的公共点个数为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）计算：3log 32+(0.125)−23−0.25×(−12)−4；（2）已知3x ＝5y ＝15，计算1x +1y的值并证明xy ＞4．18．（12分）设集合A ={x|x +1x ＞103，x ∈R}，集合B ＝{x ||2x ﹣1|＜1，x ∈R }，集合I ＝（∁R A ）∩B ．（1）求I ；（2）当x ∈I 时，求函数f(x)=log 3x4x−1的值域． 19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P （1，m ），且cosα=−√510m ．（1）求m 的值；（2）求sin(α+π2)⋅tan(π−α)⋅sin(α+3π2)cos(−α)的值．20．（12分）已知函数f （x ）＝（2x ﹣2tan θ）（2x ﹣tan θ），其中x ∈R ，θ∈(−π2，π2)．（1）当θ=π4时，求f （x ）在区间[0，3]上的最值及取最值时x 的值；（2）若f （x ）的最小值为−34，求θ．21．（12分）已知结论：设函数f （x ）的定义域为R ，a ，b ∈R ，若f （a +x ）+f （a ﹣x ）＝2b 对x ∈R 恒成立，则f （x ）的图象关于点（a ，b ）中心对称，反之亦然．特别地，当a ＝b ＝0时，f （x ）的图象关于原点对称，此时f （x ）为奇函数．设函数g(x)=2e 2x +1． （1）判断g （x ）在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）计算g （x ）+g （﹣x ）的值，并根据结论写出函数g （x ）的图象的对称中心； （3）若不等式g(m −1x)+g(−4x)≥2对x ＞0恒成立，求实数m 的最大值．22．（12分）已知f(x)=ln(√x 2+1−x)+ax 2，g （x ）＝a （cos x +1），a ∈R ． （1）若f （x ）为奇函数，求a 的值，并解方程f(tanx)=−ln32； （2）解关于x 的不等式f(sinx)+f(cos(x +π2))≤g(x)．2023-2024学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．cos840°＝（ ） A ．√32B ．12C ．−√32D ．−12解：cos840°＝cos （2×360°+180°﹣60°）＝﹣cos60°=−12．故选：D ．2．设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x |x ＞1}，则{x |1＜x ≤3}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U N ）∪MD ．（∁U M ）∩N解：因为M ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x |﹣1≤x ≤3}，N ＝{x |x ＞1}，则{x |1＜x ≤3}＝M ∩N ． 故选：B ．3．已知幂函数f （x ）的图象经过点(2，14)，则f （x ）（ ）A ．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增B ．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减C ．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增D ．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减解：设幂函数为f （x ）＝x α，幂函数f （x ）的图象经过点(2，14)，则2α=14，解得α＝﹣2，故f （x ）＝x ﹣2，所以f （x ）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减． 故选：B ．4．已知扇形的周长为10cm ，圆心角为3rad ，则扇形的面积为（ ） A ．3cm 2B ．4cm 2C ．5cm 2D ．6cm 2解：令扇形的半径为r ，则2r +3r ＝5r ＝10，解得r ＝2cm ，所以扇形的面积S =12×3×22＝6． 故选：D ．5．设a ，b ，m 都是正数，且a ＜b ，记x =a+m b+m ，y =ab，则（ ） A ．x ＞y B ．x ＝yC ．x ＜yD ．x 与y 的大小与m 的取值有关解：由a ＞0，b ＞0，m ＞0，且a ＜b ，可得x −y =a+m b+m −a b =m(b−a)b(b+m)＞0，所以x ＞y ，A 项符合题意． 故选：A ．6．“函数f （x ）＝e x （e x ﹣3）在区间[m ，+∞）上单调递增”的充要条件是（ ） A ．m ≥32B ．m ≤32C ．m ≥ln 32D ．m ≤ln 32解：f （x ）＝e x （e x ﹣3），f ′（x ）＝e x （e x ﹣3）+e x •e x ＝2e x （e x −32），令f ′（x ）＝0，解得x ＝ln 32，∴函数f （x ）在（﹣∞，ln 32）上单调递减，在（ln 32，+∞）上单调递增．∴“函数f （x ）＝e x （e x ﹣3）在区间[m ，+∞）上单调递增”的充要条件是m ≥ln 32．故选：C ．7．将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π6个单位得到曲线C 1，再将曲线C 1上的每一点的横坐标变为原来的12得到曲线C 2，最后将曲线C 2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的C 3．若曲线C 3恰好是函数f （x ）的图象，则f （x ）在区间[0，π2]上的值域是（ ）A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，2]C ．[1，2]D ．[﹣2，2]解：将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π6个单位得到曲线C 1：y ＝sin （x +π6）的图象；再将曲线C 1上的每一点的横坐标变为原来的12得到曲线C 2：y ＝sin （2x +π6）的图象；最后将曲线C 2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的C 3：y ＝2sin （2x +π6）的图象．由于曲线C 3恰好是函数f （x ）＝2sin （2x +π6）的图象．在区间[0，π2]上，2x +π6∈[π6，7π6]，sin （2x +π6）∈[−12，1]，2sin （2x +π6）∈[﹣1，2]．故f （x ）在区间[0，π2]上的值域是[﹣1，2]．故选：B ．8．已知函数f(x)=log 2(12x −a)的定义域为[﹣2，0]，若存在x 1，x 2∈[﹣2，0]，满足|f （x 1）﹣f （x 2）|≥3，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[47，+∞)B ．[25，1)C ．[25，4)D ．[47，1)解：令u （x ）=12x −a 在[﹣2，0]单调递减，所以u 的最小值为u （0）＝1﹣a ＞0，可得a ＜1， 且u （x ）∈[1﹣a ，4﹣a ]，所以g （u ）＝log 2u 在[﹣2，0]单调递减，所以g （u ）∈[log 2（1﹣a ），log 2（4﹣a ）]， 因为存在x 1，x 2∈[﹣2，0]，满足|f （x 1）﹣f （x 2）|≥3，则f （x ）max ﹣f （x ）min ≥3，所以g （u ）max ﹣g （u ）min ＝log 2（4﹣a ）﹣log 2（1﹣a ）＝log 24−a 1−a ，由题意可得log 24−a 1−a ≥3，解得47≤a ＜1．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若函数f （x ）＝a x +b （其中a ＞0且a ≠1）的图象过第一、三、四象限，则（ ） A ．0＜a ＜1B ．a ＞1C ．﹣1＜b ＜0D ．b ＜﹣1解：∵函数f （x ）＝a x +b （a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限， ∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0+b ＜0，即a ＞1，b ＜﹣1． 故选：BD ．10．下列不等式中，正确的有（ ） A ．0.2﹣3＜0.3﹣3＜0.4﹣3B ．0.81.1＜0.80.9＜0.80.7C ．log 0.25＜log 0.24＜log 0.23D ．cos3π7＜cos 2π7＜cos π7解：对于A ，幂函数y ＝x﹣3在（0，+∞）上单调递减，所以0.2﹣3＞0.3﹣3＞0.4﹣3，故A 错误；对于B ，指数函数y ＝0.8x 在（﹣∞，+∞）上单调递减，0.81.1＜0.80.9＜0.80.7，故B 正确； 对于C ，对数函数y ＝log 0.2 x 在（0，+∞）上单调递减，log 0.25＜log 0.24＜log 0.23，故C 正确； 对于D ，余弦函数y ＝cos x 在（0，π2）上单调递减，cos 3π7＜cos 2π7＜cos π7，故D 正确．故选：BCD ．11．若函数f （x ）对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)+f(x 1)2≤f(x 1+x 22)，则称f （x ）具有性质M ．下列函数中，具有性质M 的有（ ） A ．f(x)=√x B ．f （x ）＝e x C ．f （x ）＝lnxD ．f(x)=−1x+2解：根据题意，若函数f （x ）对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)+f(x 1)2≤f(x 1+x 22)，则函数的图象在（0，+∞）上为直线或向上凸， f （x ）＝e x 和f （x ）=−1x+2的图象不符合该特点，而f （x ）=√x 和f （x ）＝lnx 的图象符合该特点． 故选：BC ．12．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）+1（其中ω，φ均为常数，且ω＞0，|φ|＜π）恰能满足下列4个条件中的3个：①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）的图象经过点(0，32 )；③函数f（x）的图象关于点(5π12，1)对称；④函数f（x）的图象关于直线x=−π6对称．则这3个条件的序号可以是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解：若满足①，则π=2πω，可得ω＝2，即函数的解析式为f（x）＝cos（2x+φ）+1，若满足②，则cosφ=12，|φ|＜π，可得φ=−π3或φ=π3，若①②正确时，则③代入可得cos（2×512π+π3）+1≠1，所以函数不关于（5π12，1）对称，或者cos（2×512π−π3）+1＝1，此时关于点(5π12，1)对称，④代入因为sin[2×（−π6）+π3]+1＝1，所以关于直线x=−π6对称，或者sin[2×（−π6）−π3]+1≠±1，所以不关于x=−π6对称，此时φ=−π3时，符合①②③；φ=π3时，符合①②④；②③④不能同时成立；若满足①③正确时，则cos（2×5π12+φ）+1＝1，|φ|＜π，可得φ=−π3，则②正确，④不正确，所以符合条件；若满足①④正确时，则2•（−π6）+φ＝kπ，k∈Z，|φ|＜π，可得φ=π3，此时②正确，③不正确，符合条件；②③④不能同时成立；综上所述：①②③或①②④符合条件故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={(−x)12，x≤0lgx ，x ＞0，则f （f （0.01））＝ √2 ．解：函数f(x)={(−x)12，x ≤0lgx ，x ＞0，则f （f （0.01））＝f （﹣2）=√2．故答案为：√2．14．已知α为第二象限角，且满足sinα+cosα=−713，则tan α＝ −512． 解：∵sinα+cosα=−713， ∴两边平方，可得1+2cos αsin α=49169， ∴2cos αsin α=−120169， ∴（cos α﹣sin α）2=289169， ∵α为第二象限角， ∴cos α﹣sin α=−1713， ∴cos α=−1213，sin α=513， ∴tan α=sinαcosα=−512． 故答案为：−512． 15．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，BC ＝40，若△ABC 的内接矩形的一边在BC 边上，则该内接矩形的面积的最大值为 150 ．解：设矩形与AB 、AC 分别交于点E 、F ，与B C 交于点G 、H ，且GH ＝x ，那么EG ＝FH ＝y ， 根据题意，得y =3(40−x)8，矩形的面积为S ＝xy =3(40−x)x 8≤38×(x+40−x 2)2=150， 当且仅当x ＝40﹣x ，即x ＝20时，S 取得最大值150． 故答案为：150．16．设f （x ），g （x ）分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，若f （x ）+g （x ）＝2x ，则曲线y =f(x)g(x)与曲线y ＝sin x 在区间[﹣2024π，2024π]上的公共点个数为 4047 ． 解：因为f （x ）+g （x ）＝2x ①，所以f （﹣x ）+g （﹣x ）＝2﹣x ， 又因为f （x ），g （x ）分别为定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），g （﹣x ）＝g （x ）， 故﹣f （x ）+g （x ）＝2﹣x ②， 由①②可知，f(x)=2x−2−x2，g(x)=2x +2−x2，y =f(x)g(x)=2x−2−x2x +2−x =4x −14x +1=1−24x +1为奇函数，图象关于原点对称， 当x →+∞，y →1，且y ＜1，sin x 最大值为1，如图，曲线y =f(x)g(x)与曲线y ＝sin x 在区间[﹣2024π，2024π]上的公共点个数为1011×2×2+3＝4047个． 故答案为：4047．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（1）计算：3log 32+(0.125)−23−0.25×(−12)−4；（2）已知3x ＝5y ＝15，计算1x +1y的值并证明xy ＞4．解：（1）3log 32+(0.125)−23−0.25×(−12)−4＝2+823−14×（﹣2）4＝2+4﹣4＝2；（2）因为3x ＝5y ＝15，所以x ＝log 315，y ＝log 515， 1x+1y=log 153+log 155＝log 1515＝1，因为1=1x +1y，所以xy ＝x +y ，x ＞0，y ＞0，x ≠y ， 所以xy ＝x +y ＞2√xy ，即xy ＞4，18．（12分）设集合A ={x|x +1x ＞103，x ∈R}，集合B ＝{x ||2x ﹣1|＜1，x ∈R }，集合I ＝（∁R A ）∩B ．（1）求I ；（2）当x ∈I 时，求函数f(x)=log 3x4x−1的值域． 解：（1）因为A ={x|x +1x ＞103，x ∈R}={x |x ＞3或0＜x ＜13}，集合B ＝{x ||2x ﹣1|＜1，x ∈R }＝{x |0＜x ＜1}，所以∁R A ＝{x |13≤x ≤3或x ≤0}，故I ＝（∁R A ）∩B ＝{x |13≤x ＜1}；（2）当13≤x ＜1时，x 4x−1=14−1x∈[13，1），所以﹣1≤f （x ）＜0， 故函数f （x ）的值域为[﹣1，0）．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P （1，m ），且cosα=−√510m ．（1）求m 的值；（2）求sin(α+π2)⋅tan(π−α)⋅sin(α+3π2)cos(−α)的值．解：（1）因为角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P （1，m ）， 所以cosα=1√12+m2=−√510m ，即√1+m 2=−√510m ，且m ＜0，解得m ＝﹣2； （2）sin(α+π2)⋅tan(π−α)⋅sin(α+3π2)cos(−α)=cosα⋅(−tanα)⋅(−cosα)cosα=cos αtan α＝sin α，因为P （1，﹣2），所以sin α=−2√1+4=−2√55，所以原式=−2√55． 20．（12分）已知函数f （x ）＝（2x ﹣2tan θ）（2x ﹣tan θ），其中x ∈R ，θ∈(−π2，π2)．（1）当θ=π4时，求f （x ）在区间[0，3]上的最值及取最值时x 的值；（2）若f （x ）的最小值为−34，求θ．解：（1）当θ=π4时，f(x)=(2x −2tan π4)(2x −tan π4)=(2x −2)(2x −1)，令2x ＝t ，t ∈[1，8]，则f （x ）＝g （t ）＝（t ﹣2）（t ﹣1）， g （t ）的图象对称轴为t =32，开口向上，∴当t =32即x =log 232，时，f （x ）取得最小值，最小值为−14；当t ＝8即x ＝3时，f （x ）取得最大值，最大值为42，∴f （x ）在区间[0，3]上的最小值为−14，此时x =log 232；最大值为42，此时x ＝3．（2）∵f （x ）＝（2x ﹣2tan θ）（2x ﹣tan θ）＝（2x ）2﹣（3tan θ）2x +2（tan θ）2=(2x−32tanθ)2−14(tanθ)2的最小值为−34，∴−14(tanθ)2=−34⇒tanθ=±√3，又−π2＜θ＜π2，∴θ=±π3．21．（12分）已知结论：设函数f（x）的定义域为R，a，b∈R，若f（a+x）+f（a﹣x）＝2b对x∈R恒成立，则f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，反之亦然．特别地，当a＝b＝0时，f（x）的图象关于原点对称，此时f（x）为奇函数．设函数g(x)=2e2x+1．（1）判断g（x）在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）计算g（x）+g（﹣x）的值，并根据结论写出函数g（x）的图象的对称中心；（3）若不等式g(m−1x)+g(−4x)≥2对x＞0恒成立，求实数m的最大值．解：（1）g（x）在R上单调递减，证明如下：任取x1＞x2，则e2x1+1＞e2x2+1＞0，所以21+e2x1＜21+e2x2，即g（x1）＜g（x2），所以g（x）在R上单调递减；（2）g（﹣x）+g（x）=21+e−2x+21+e2x=2⋅e2x1+e2x+21+e2x=2，所以g（x）的图象关于（0，1）对称；（3）令h（x）＝g（x）﹣1，则h（x）的图象关于（0，0）对称，即h（x）为奇函数且h（x）在R上单调递减，若g(m−1x)+g(−4x)≥2对x＞0恒成立，即h（m−1x）+h（﹣4x）≥0，即h（m−1x）≥﹣h（﹣4x）＝h（4x），所以m−1x≤4x，即m≤4x+1x在x＞0时恒成立，因为4x+1x≥2√4x⋅1x=4，当且仅当4x=1x，即x=12时取等号，所以m≤4，即m的最大值为4．22．（12分）已知f(x)=ln(√x2+1−x)+ax2，g（x）＝a（cos x+1），a∈R．（1）若f（x）为奇函数，求a的值，并解方程f(tanx)=−ln3 2；（2）解关于x的不等式f(sinx)+f(cos(x+π2))≤g(x)．解：（1）f(x)=ln(√x2+1−x)+ax2的定义域为R，若f（x）为奇函数，则f（﹣1）+f（1）＝ln（√2+1）+ln（√2−1）+2a＝ln1+2a＝0，解得a＝0，故f（x）=ln(√x2+1−x)，又y=√x2+1与y＝﹣x在[0，+∞）上均为增函数，故奇函数f（x）在[0，+∞）上均为增函数，所以f（x）在R上为增函数，又f(tanx)=−ln32=−ln√3=ln√33，所以tan x=√33，解得x＝kπ+π6（k∈Z）；（2）因为g（x）＝a（cos x+1），a∈R．y=ln(√x2+1−x)为奇函数，cos（x+π2）＝﹣sin x，所以关于x的不等式f(sinx)+f(cos(x+π2))≤g(x)．可转化为2a sin2x≤a（cos x+1），a∈R．即a（2﹣2cos2x﹣cos x﹣1）≤0⇔a（cos x+1）（2cos x﹣1）≥0，①当a＝0时，x∈R；②当a＜0时，x＝2kπ+π或2kπ+π3≤x≤5π3+2kπ（k∈Z）；③当a＞0时，x＝2kπ+π或2kπ−π3≤x≤π3+2kπ（k∈Z）；综上，当a＝0时，原不等式的解集为R；当a＜0时，原不等式的解集为{x|＝2kπ+π或2kπ+π3≤x≤5π3+2kπ（k∈Z）}；当a＞0时，原不等式的解集为{x|＝2kπ+π或2kπ−π3≤x≤π3+2kπ（k∈Z）}．。
江苏省高一上学期期末考试数学试题
高一年级期末考试数学参考答案及评分标准一、选择题： 1~8 CCBD ABDD 二、多项选择题：9.BD 10. AB 11. BC 12.BCD 三、填空题：13．4- 14．2 15．45 16．1(,1]2- 四、解答题17解：（1）由题意知，43sin ,cos 55αα==， ..................................................2分故 432sin 2cos 551043sin cos 55αααα+⨯+==--. ........................................................... 4分 （2）由ππ(,)22αβ+∈-，31)sin(-=+βα,得322)31(1)(sin 1)cos(22=--=+-=+βαβα ........................6分 所以，αβααβααβαβsin )sin(cos )cos(])cos[(cos ⋅++⋅+=-+=..........8分314()535+-⨯=分18解：)3,2(),1,1(-=-=k AC AB（1）当3=k 时，)3,1(=AC ，)4,0(=+AC AB .............................................3分44022=+=............................................5分（2）假设存在实数k ，满足AB 与AC 的夹角为045.因为k k AC AB -=⨯+-⨯-=⋅531)2()1(，13432(2222+-=+-==k k k ）， .......................................8分所以，AC AB =45cos即22134252=+-⋅-k k k ....................................10分 解得2=k所以存在实数2=k ，使AB 与AC 的夹角为045. .............................................12分19．解：（1）依题意得，,4ABD CBD π∠=∠=延长MN 交BC 于点H .因为//MN AB ，且四边形ABCD 为正方形，所以NMB ABM θ∠=∠=，.4HNB CBD π∠=∠=…….1分在BMH Rt 中，sin 2sin .BH BM θθ==cos 2cos .MH BM θθ== ………………………3分在BNH Rt 中，因为4HNB CBD π∠=∠=，所以2sin .NH BH θ==所以2(cos sin ).MN MH NH θθ=-=-……………………4分 所以1π()2sin (cos sin )((0,)).24S MN BH θθθθθ==-∈………………………6分 （2）由（1）得，()2sin (cos sin )S θθθθ=- sin 2(1cos 2)θθ=--sin 2cos 21)14θθπθ=+-=+- ……………………………9分因为4πθ∈（0，），所以32+444πππθ∈（，），所以当max 2+==() 1.428S πππθθθ=，即时， ……………………………11分答： ()S θ1百米平方，此时.8πθ= ……………………………12分20解：方法一（1）在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AB = 2CD ，所以AO = 2OC ，ABCDMNθ（第19题）HH=()AM BD AO OM BD AO BD OM BD AO BD ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅23AC BD =⋅…………2分 222=()()=()33AD DC AD AB AD DC AB +⋅--⋅ 28(424)33=-⨯=-； ………………………5分 (2) 令=AM AB λ, ()AM BD AB BD AB AD AB λλ⋅=⋅=⋅- 28163AB λλ=-=-=-则16λ=，即1=6AM AB ， ……………6分 22()cos 45o AN MN AN AN AM AN AN AM AN AN AM ⋅=⋅-=-⋅=-⨯⨯2212cos 4563o AN AN AB AN AN =-⨯⨯⨯=- ……………8分令AN t =，则 0t ≤≤，221(18AN MN t t ⋅==-， 所以当26AN = AN MN ⋅有最小值118-. ………………………12分方法二（1）以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系；则 (0,0),(4,0),(2,2),(0,2);A B C D 则4,2BD =-（），由相似三角形易得44(,).33O设(,0),M λ则44,33OM λ=（--），……………2分 448)(4)(240333OM BD λλ⋅=⨯-+⨯=-+=（--).得23λ=.则203AM =（,），28(4)02.33AM BD ⋅=⨯-+⨯=-…………………5分 （2）设(,),N a a 显然02a ≤≤，222211(,)(,)22()33618AN MN a a a a a a a ⋅=⋅-=-=--………………10分所以当16a=时， AN MN ⋅有最小值118-.……………………………12分（第20题）21解：（1）由222a -≤得6a ≤，所以a 的取值范围(,6]-∞；………………………2分 （2）2()(2)1||h x x a x a x a =--++--22(1)21,(3)1,x a x a x a x a x x a ⎧--++≥⎪=⎨--+<⎪⎩①若32a a -≤即3a ≤-， 当x a ≤时2()(3)1h x x a x =--+递减，且min ()()31h x h a a ==+，当x a >时2()(1)21h x x a x a =--++最小值为2min 11()()(5)724a h x h a -==--+， 此时有2131(5)74a a +>--+，所以21()(5)74a a ϕ=--+；………………5分 ②若3122a a a --<<即31a -<<-时， 当x a ≤时2()(3)1h x x a x =--+在32a x -=时取得最小值2min 31()()(3)124a h x h a -==--+， 当x a >时2()(1)21h x x a x a =--++在12a x -=时取得最小值为 2min 11()()(5)724a h x h a -==--+， 若21a -<<-，则2211(5)7(3)144a a --+>--+，此时21()(3)14a a ϕ=--+，若32a -<≤-，则2211(5)7(3)144a a --+≤--+，此时21()(5)74a a ϕ=--+；……9分 ③若12a a -≥即1a ≥-， 当x a≤时2()(3)1h x x a x =--+在32a x -=时取得最小值2min 31()()(3)124a h x h a -==--+， 当x a >时，2()(1)21h x x a x a =--++递增()()31h x h a a >=+， 此时有2131(1)14a a +>--+，所以21()(3)14a a ϕ=--+；综上，221(3)1,24()1(5)7, 2.4a a a a a ϕ⎧--+>-⎪⎪=⎨⎪--+≤-⎪⎩，………………………12分22解：（1）当0k =时，函数2()log (21)x f x =+定义域为R ，任取12x x <，121222()()log (21)log (21)x x f x f x -=+-+12221log 21x x +=+，因为12x x <，所以1212(21)(21)220x x x x +-+=-<，所以1202121x x <+<+，12210121x x+<<+， 所以12221log 021x x+<+， 所以12()()f x f x <，故函数()f x 在R 上单调递增；………………………3分（2）（i ）因为函数()f x 是偶函数，所以22log (21)log (21)x x kx kx -+-=++，即2221log log (21)2x x x kx kx +-=++， 即22log (21)(1)log (21)x x k x kx +-+=++， 所以(1)k x kx -+=恒成立， 所以12k =-；（用特殊值求出k 值，若不进行验证的扣1分）………………………5分 （ii ）由题意得22111log (21)log (2)222x x x a a x +-=⋅-+， 所以2221log (21)log (2)log 22x x x a a +=⋅-+，所以121422x x x a a +=⋅-⋅，即14(1)2102x x a a ⋅-+⋅-=，设2x t =，则t 与x 一一对应，原方程化为21(1)102a t a t ⋅-+-=，…………7分设21()(1)12h t a t a t =⋅-+-，因为112=(2)022x x a a a ⋅-->，所以122x a -与符号相同，①当0a >时，122x t =>，则方程21(1)102a t a t ⋅-+-=在1(,)2+∞上只有一个正根， 因为21()(1)12h t a t a t =⋅-+-开口向上，(0)10h =-<，13()022h =-<，136(+)02h a a=>， 当0a >时，所以方程在1(,)2+∞上只有一个正根；………………………9分②当0a <时，1022x t <=<，则方程21(1)102a t a t ⋅-+-=在1(0,)2上只有一个正根， 因为21()(1)12h t a t a t =⋅-+-开口向下，(0)10h =-<，13()022h =-<，则21(1)4021112022a a a a ⎧∆=++=⎪⎪⎨+⎪<<⎪⎩，解得102a a ⎧=-±⎪⎨<-⎪⎩，所以10a =-- 故当0a >或10a =--………………………12分。
苏教版高一上期末数学试卷1(附答案及详细解析)
苏教版高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知角的终边经过点，则x的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．﹣42．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝，BC＝，则C＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．（5分）下列函数中，不满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x﹣|x|C．f（x）＝x+1D．f（x）＝﹣x4．（5分）函数y＝2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[]C．[0，]D．[]5．（5分）函数y＝|sin x|+|cos x|，x∈R的大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”也把这种方法称为“三斜求积术”，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则S＝．若c2sin A＝4sin C，B＝，则用“三斜求积术”求得的△ABC的面积为（）A．B．2C．D．47．（5分）△ABC的内角A，C的对边分别为a，c，若∠C＝45°，，且满足条件的三角形有两个，则a的取值范围为（）A．B．C．（1，2）D．8．（5分）已知函数f（x）是奇函数，g（x）为偶函数，若f（x）+g（x）＝e x，则f（1）等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知曲线C1：y＝sin x，，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2D．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C210．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．211．（5分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或12．（5分）设a＝log0.12，b＝log302，则（）A．2ab＞a+b＞ab B．2ab＜a+b＜abC．ab＜a+b＜ab D．ab＞a+b＞ab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）如图，将三个相同的正方形并列，则∠AOB+∠AOC＝．14．（5分）若三角形的一内角θ满足，则＝．15．（5分）已知sin10°+m cos10°＝2cos140°，则m＝．16．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出下列命题：①若a2+b2＜c2，则C＞；②若ab＞c2，则C＞；③若a3+b3＝c3，则C＜；④若2ab＞（a+b）c，则C＞；⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＜．其中正确的是．（写出所有正确命题的编号）三、解答题：共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝lgx+lgy的最大值；（2）若不等式+4m恒成立，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式和对称中心；（2）设g（x）＝f（x）+8sin2x，求g（x）≤7的解集．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）若b2＝ac，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若，求△ABC周长l的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝．（1）当λ＝时，求函数f（x）的值域；（2）若方程f（x）＝0有解，求实数λ的取值范围．21．（12分）如图，游客从某旅游景区的景点A处上山至景点C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处出发，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发1min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min 后，再匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为10m/min，山路AC长为1260m，经测量得，．（参考数据：，，第（3）问结果精确到0.1）（1）求索道AB的长；（2）当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少min？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，问乙步行的速度应控制在什么范围内？22．（12分）如图，边长为2的等边三角形ABC中，O是BC的中点，D，E分别是边AB，AC上的动点（不含端点），记∠BOD＝θ．（1）在图①中，∠DOE＝120°，试将AD，AE分别用含θ的关系式表示出来，并证明AD+AE为定值；（2）在图②中，∠DOE＝60°，问此时AD+AE是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出AD+AE 的取值范围．苏教版高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知角的终边经过点，则x的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．﹣4【解答】解：∵已知角的终边经过点，∴tan＝tan＝﹣tan＝﹣＝，则x＝﹣2，故选：C．2．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝，BC＝，则C＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由正弦定理得：，∴，∴，又∵a＞b，∴A＞B，且0＜B＜π，∴B＝300，∴C＝1800﹣A﹣B＝900，故选：D．3．（5分）下列函数中，不满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x﹣|x|C．f（x）＝x+1D．f（x）＝﹣x【解答】解：f（x）＝|x|，f（2x）＝|2x|＝2|x|＝2f（x），故满足条件；f（x）＝x﹣|x|，f（2x）＝2x﹣|2x|＝2（x﹣|x|）＝2f（x），故满足条件；f（x）＝x+1，f（2x）＝2x+1≠2（x+1）＝2f（x），故不满足条件；f（x）＝﹣x，f（2x）＝﹣2x＝2（﹣x）＝2f（x），故满足条件；故选：C．4．（5分）函数y＝2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[]C．[0，]D．[]【解答】解：y＝2sin（）＝﹣2sin（2x﹣），求y＝2sin（）的递增区间，等价于求y＝2sin（2x﹣）的递减区间，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，当k＝0时，≤x≤，即函数y＝2sin（2x﹣）的递减区间为[]，则函数y＝2sin（），x∈[0，π]的单调递增区间为[]，故选：B．5．（5分）函数y＝|sin x|+|cos x|，x∈R的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：当0≤x≤时，f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+），当≤x≤π时，f（x）＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣），当π≤x≤时，f（x）＝﹣sin x﹣cos x＝﹣sin（x+），当≤x≤2π时，f（x）＝﹣sin x+cos x＝﹣sin（x﹣），则对应的图象为D，故选：D．6．（5分）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”也把这种方法称为“三斜求积术”，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则S＝．若c2sin A＝4sin C，B＝，则用“三斜求积术”求得的△ABC的面积为（）A．B．2C．D．4【解答】解：∵c2sin A＝4sin C，∴ac2＝4c，∴ac＝4，又∵B＝，∴，∴a2+c2﹣b2＝ac＝4，则S＝＝，故选：A．7．（5分）△ABC的内角A，C的对边分别为a，c，若∠C＝45°，，且满足条件的三角形有两个，则a的取值范围为（）A．B．C．（1，2）D．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得：，可得：sin A＝a，由题意得：当A∈（45°，135°）且A≠90°时，满足条件的△ABC有两个，所以＜a＜1，解得：＜a＜2，则a的取值范围是（，2）．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）是奇函数，g（x）为偶函数，若f（x）+g（x）＝e x，则f（1）等于（）A．B．C．D．【解答】解：数f（x）是奇函数，g（x）为偶函数，由f（x）+g（x）＝e x，f（1）+g（1）＝ef（﹣1）+g（﹣1）＝﹣f（1）+g（1）＝，联立解上面方程组，得f（1）＝，故选：C．9．（5分）已知曲线C1：y＝sin x，，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2D．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2【解答】解：对于A，，对于B，，对于C，，对于D，，，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．2【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ＝．所以：f（x）＝cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k＝0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．11．（5分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又0＜sin2α＝＜，∴2α∈（，π），即α∈（，），∴β﹣α∈（，），∴cos2α＝﹣＝﹣；又sin （β﹣α）＝，∴β﹣α∈（，π），∴cos （β﹣α）＝﹣＝﹣，∴cos （α+β）＝cos[2α+（β﹣α）]＝cos2αcos （β﹣α）﹣sin2αsin （β﹣α）＝﹣×（﹣）﹣×＝． 又α∈（，），β∈[π，]，∴（α+β）∈（，2π），∴α+β＝，故选：A ．12．（5分）设a ＝log 0.12，b ＝log 302，则（ ） A ．2ab ＞a +b ＞ab B ．2ab ＜a +b ＜ab C ．ab ＜a +b ＜abD ．ab ＞a +b ＞ab【解答】解：a ＝log 0.12，b ＝log 302，则2ab ﹣（a +b ）＝2﹣（﹣lg 2+）＝﹣lg 2（﹣1+）＝﹣lg 2•＜0，∴2ab ＜a +b ．ab ﹣（a +b ）＝﹣（﹣lg 2+）＝﹣lg 2（﹣1+）＝﹣lg 2•＞0，∴ab＞a +b ．a +b ﹣a b ＝（﹣lg 2+）﹣×＝lg 2（﹣1++）＝lg 2•＜0，∴a+b＜ab．∴2ab＜a+b＜ab．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）如图，将三个相同的正方形并列，则∠AOB+∠AOC＝．【解答】解：设∠AOB＝α，∠AOC＝β，由题意可得tanα＝，tanβ＝，故tan（α+β）＝＝＝1，因为，，故α+β∈（0，π），所以α+β＝．故答案为：14．（5分）若三角形的一内角θ满足，则＝．【解答】解：由，可得sinθ+cosθ＝，两边同时平方可得，1+2sinθcosθ＝即2sinθcosθ＝﹣因为θ∈（0，π），所以sinθ＞0，cosθ＜0，解可得sinθ＝，cosθ＝﹣则＝＝．故答案为：15．（5分）已知sin10°+m cos10°＝2cos140°，则m＝﹣．【解答】解：由题意可得m＝＝＝＝＝﹣，故答案为：﹣．16．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出下列命题：①若a2+b2＜c2，则C＞；②若ab＞c2，则C＞；③若a3+b3＝c3，则C＜；④若2ab＞（a+b）c，则C＞；⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＜．其中正确的是①③⑤．（写出所有正确命题的编号）【解答】解：①由余弦定理得，＜0，则C＞，即①正确；②，则0＜C＜，即②错误；③因为a3+b3＝c3，所以c最大，所以＜，即有a2+b2＞c2，则C＜，即③正确；④不妨取a＝b＝2，c＝1，满足2ab＞（a+b）c，此时，所以C＜，即④错误；⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则，由②中的推导可知，0＜C＜，即⑤正确．故答案为：①③⑤．三、解答题：共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝lgx+lgy的最大值；（2）若不等式+4m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为x＞0，y＞0，由基本不等式，得．又因为2x+5y＝20，所以，xy≤10，当且仅当，即时，等号成立．此时xy的最大值为10．所以u＝lgx+lgy＝lgxy≤1g10＝1．所以当x＝5，y＝2时，u＝lgx+lgy的最大值为1；（2）因为x＞0，y＞0，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为．不等式恒成立，只要，解得．所以m的取值范围是．18．（12分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式和对称中心；（2）设g（x）＝f（x）+8sin2x，求g（x）≤7的解集．【解答】解：（1）由图可得A＝2，＝•，所以T＝π，所以ω＝2．当时，f（x）＝2，可得，因为，所以．所以函数f（x）的解析式为，令 2x﹣＝kπ+，k∈Z，则x＝+，所以函数f（x）的对称中心为（+，0），k∈Z．（2）＝＝＝．g（x）≤7，即为，所以，.．所以，g（x）≤7的解集为．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）若b2＝ac，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若，求△ABC周长l的取值范围．【解答】解：（1）由题设，及正弦定理得，，因为sin A≠0，所以，由A+B+C＝π，可得，故．因为，故，所以，因为b2＝ac，又由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac，所以a2+c2﹣ac＝ac，即（a﹣c）2＝0，所以a＝c，故，所以△ABC是等边三角形；（2）解法一：△ABC的周长．由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，，故（a+c）2≤24，，所以，当且仅当时，等号成立．又在△ABC中a+c＞b，所以，所以△ABC周长l的取值范围为．解法二：因为，，由正弦定理，得，所以△ABC的周长＝＝＝，因为，所以，，．所以△ABC周长l的取值范围为．20．（12分）已知函数f（x）＝．（1）当λ＝时，求函数f（x）的值域；（2）若方程f（x）＝0有解，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1），设，得g（t）＝3t2﹣2λt+8，，当时，，，所以，g（t）max＝g（2）＝14，所以函数f（x）的值域为；（2）方程f（x）＝0有解等价于函数g（t）＝3t2﹣2λt+8在上有零点，也即在上有解，而函数在上的值域为；所以实数λ的取值范围为．21．（12分）如图，游客从某旅游景区的景点A处上山至景点C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处出发，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发1min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min 后，再匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为10m/min，山路AC长为1260m，经测量得，．（参考数据：，，第（3）问结果精确到0.1）（1）求索道AB的长；（2）当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少min？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，问乙步行的速度应控制在什么范围内？【解答】解：（1）在△ABC中，由，，可得，，所以，由正弦定理得，；（2）设乙出发tmin，甲、乙的距离为d，由余弦定理得，，即d2＝500（13t2﹣2t+5），因为，即0≤t≤5，所以当时，d取得最小值，所以当乙出发了后，乙在缆车上与甲的距离最短；（3）由正弦定理得，乙从B出发时，甲已经走了50（1+5+1）＝350m，还需走910m才能到达C，设乙步行的速度为vm/min，则，所以，解得，即49.1≤v≤68.4，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在[49.1，68.4]范围内．22．（12分）如图，边长为2的等边三角形ABC中，O是BC的中点，D，E分别是边AB，AC上的动点（不含端点），记∠BOD＝θ．（1）在图①中，∠DOE＝120°，试将AD，AE分别用含θ的关系式表示出来，并证明AD+AE为定值；（2）在图②中，∠DOE＝60°，问此时AD+AE是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出AD+AE 的取值范围．【解答】解：（1）由∠DOE＝120°，∠BOD＝θ，则∠BDO＝120°﹣θ，∠COE＝60°﹣θ，∠CEO ＝60°+θ，在△BOD和△COE中，分别应用正弦定理可得，，，故，，所以，，θ∈（0，60°）．从而＝＝＝，从而AD+AE＝3为定值；（2）当∠DOE＝60°，∠BOD＝θ，则∠BDO＝120°﹣θ，∠COE＝120°﹣θ，∠CEO＝θ，在△BOD和△COE中，分别应用正弦定理可得，，，故，，所以，，θ∈（30°，90°），，θ∈（30°，90°）．令，θ∈（30°，90°），下面先求y的取值范围：解法一：＝＝＝＝＝＝，由于θ∈（30°，90°），2θ﹣30°∈（30°，150°），2sin（2θ﹣30°）+1∈（2，3]，所以，因此；解法二：，设，则，＝，由θ∈（30°，90°），，，，又在上单调递减，在（1，2）上单调递增，而当或2时，，当u＝1时，y＝2，所以，因此．。
(完整word版)高一数学上学期期末考试试题苏教版
江苏省清江中学 高一上学期期末考试数学试题时间：120分钟 满分：160分一.填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.)1.集合{}a A ,2,0=，{}2,1a B =，若{}0,1,2,3,9A B =U ，则a 的值为 ．2.函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 2πωx x f (0>ω)的最小正周期为π,则=ω__________. 3. 已知α是第二象限角且4sin 5α=，则tan α= ．4.若函数12()log (21)f x x =-的定义域是 ．5. 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝ ．6.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝3x，则f (sin 6π)的值为 7. 已知定义域为R 的函数121()2x x f x a+-+=+是奇函数，则a = .8.44sin 22.5cos 22.5︒-︒= 9.已知(0,)2πα∈，若1sin()33πα-=，sin α的值为 .10.设向量)3,(k OA =，)2,0(k OB -=，OA ，OB 的夹角为︒120，则实数=k ．11.设函数2sin (0)y x x π=≤≤的图象为曲线C ，动点(,)A x y 在曲线C 上，过A 且平行于x 轴的直线交曲线C 于点(B A B 、可以重合），设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 单调递增区间 ．12.如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC ,DCAD =,12AE EB =u u u r u u u r , 若12BD AC ⋅=-u u u r u u u r , 则AB CE ⋅= 13. 已知)2sin ,2(),sin ,1(2x b x a ==，其中()0,x π∈，若a b a b ⋅=⋅r r r r，则tan x =14.已知直线x=a(0<a<π2)与函数f(x)=sinx 和函数g (x )=cos x 的图象分别交于M ,N 两点,若MN= 15 ,则线段MN 的中点纵坐标为_______.O2ππ xy AB二. 解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15.(1)设α为第四象限角,其终边上一个点为()5,-x ,且x 42cos =α,求αsin ;(2)若cos 2sin αα+=求αtan 的值.16. 函数()sin()4f x A x πω=+（其中0,0A ω>>）的振幅为2，周期为π．（1）求()f x 的解析式并写出()f x 的单调增区间；（2）将()f x 的图像先左移4π个单位，再将每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图像，求()g x 解析式和对称中心（m ，0），[0,]m π∈。
(完整word版)江苏省高一上学期数学期末考试试卷
高一上学期数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题纸相应．．．．．位置上．．．. 1． 已知全集{12345}U =，，，，，集合{134}{23}A B ==，，，，，则()U A B = __2.已知：,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭8且，用列举法表示集合A = . 3.方程)2(log )12(log 255-=+x x 的解集为4. 函数23)(-=xx f 的定义域为5. 8120()log x x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪⎩，，已知函数，≥0，若001()4f x x =，则的值为 ________6． 若函数()y f x =的定义域为R ，值域为[a ，b ]，则函数()y f x a =+的最大值与最小值之和为 ______7.若函数262+-=x mx y 的图像与x 轴只有一个公共点，则=m8.方程x x 24lg -=的根(),1x k k ∈+，k Z ∈，则k = ． 9.已知：定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时2()2,f x x x =+则当0x <时，()f x = ____________10．设函数e ()1exx a f x a -=+(a 为常数)在定义域上是奇函数，则a = ____11．函数21-=+x a y （a>0,且a ≠1）的图象恒．过一定点，这个定点是 ． 12. 已知函数(2)75,1()1,1x a x a x f x a x -+-≤⎧=⎨+>⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是_______.13．已知奇函数f(x)是定义在()1,1-上的增．函数，且(21)()0f m f m ++<.则实数m 取值范围_____________________.14．给定集合A 、B ，定义一种新运算：},|{B A x B x A x x B A ∉∈∈=*但或.已知{0,1,2}A =，{1,2,3}B =，用列举法．．．写出=*B A ．二. 解答题15．（14分）已知：{}{}3,15A x a x a B x x x =≤≤+=<->或 （1）若,A B =∅求实数a 的取值范围;（2）若,A B B =求实数a 的取值范围。
江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷含解析
江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．（5分）已知f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x+1，则f（﹣1）=．3．（5分）若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于．4．（5分）已知A（﹣3，4）、B（5，﹣2），则||=．5．（5分）函数y=e2x﹣1的零点是．6．（5分）把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位，所得函数图象所对应的解析式为．7．（5分）若函数f（x）=，则f（log23）=．8．（5分）函数的单调递增区间为．9．（5分）设是两个不共线向量，，，，若A、B、D三点共线，则实数P的值是．10．（5分）若=﹣，则sin2α的值为．11．（5分）f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．12．（5分）如图，O是坐标原点，M、N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则的范围为．13．（5分）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕l的长度=cm．14．（5分）函数是奇函数，且f（﹣2）≤f（x）≤f （2），则a=．二、解答题：本大题共6小题，计90分．15．（14分）已知=（1，2），=（﹣3，1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设的夹角为θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．16．（14分）已知，，，．（I）求tan2β的值；（II）求α的值．17．（14分）已知函数f（x）满足f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）解不等式f（x）＜1；（3）判断并证明f（x）的单调性．18．（16分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）19．（16分）如图1，在△ABC中，，，点D是BC的中点．（I）求证：；（II）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：为常数，并求该常数；（III）如图2，若，F为线段AD上的任意一点，求的范围．20．（16分）已知g（x）=x2﹣2ax+1在区间[1，3]上的值域[0，4]．（1）求a的值；（2）若不等式g（2x）﹣k•4x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数k的取值范围．江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1} ．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．2．（5分）已知f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x+1，则f（﹣1）=2．【解答】解：∵f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x+1，∴当x＜0时，f（x）=﹣x+1，∴f（﹣1）=﹣（﹣1）+1=2．故答案为：2．3．（5分）若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于．【解答】解：tan（α﹣β）===，故答案为．4．（5分）已知A（﹣3，4）、B（5，﹣2），则||=10．【解答】解：由题意A（﹣3，4）、B（5，﹣2），∴||===10故答案为105．（5分）函数y=e2x﹣1的零点是0．【解答】解：令y=0，即e2x=1，解得：x=0，故答案为：0．6．（5分）把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位，所得函数图象所对应的解析式为y=sin （2x﹣）．【解答】解：把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到y=sin2x，再函数y=sin2x的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin[2（x﹣）]=sin （2x﹣）对图象，∴所求函数的解析式为：y=sin（2x﹣）．故答案为：y=sin（2x﹣）．7．（5分）若函数f（x）=，则f（log23）=9．【解答】解：∵函数f（x）=，log23＞log22=1，∴f（log23）===9．故答案为：9．8．（5分）函数的单调递增区间为．【解答】解：令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为故答案为．9．（5分）设是两个不共线向量，，，，若A、B、D三点共线，则实数P的值是﹣1．【解答】解：∵，，∴，∵A、B、D三点共线，∴，∴2=2λ，p=﹣λ∴p=﹣1，故答案为：﹣1．10．（5分）若=﹣，则sin2α的值为﹣．【解答】解：∵=﹣，∵2cos2α=sin（﹣α），∴2（cos2α﹣sin2α）=cosα﹣sinα，∴cosα﹣sinα=0，或cosα+sinα=，平方可得1﹣sin2α=0，或1+sin2α=，∴sin2α=1，或sin2α=﹣，∵若sin2α=1，则co s2α=0，代入原式可知应舍去，故答案为：﹣．11．（5分）f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【解答】解：f（x）=x2，x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，即|x+t|≥|x|在[t，t+2]恒成立，即：x≤（1+）t在[t，t+2]恒成立，或x≤（1﹣）t在[t，t+2]恒成立，解得：t≥或t≤﹣，故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．12．（5分）如图，O是坐标原点，M、N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则的范围为[0.）．【解答】解：设的夹角为θ，，则cosθ∈[﹣1，0），2==2+2cosθ∈[0，2）的范围为：[0，），故答案为[0，）．13．（5分）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕l的长度=cm．【解答】解：由已知及对称性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，又∠GEA=∠GFB=2θ，∴AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，又由AE+BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6得：l===．故答案为：．14．（5分）函数是奇函数，且f（﹣2）≤f（x）≤f（2），则a=．【解答】解：∵函数是奇函数且定义域内有0∴f（0）=0解得c=0，故f（x）=．x＞0，a＞0，f（x）==≤（ax=时取等号）∵f（﹣2）≤f（x）≤f（2），∴2a=，∴a=．故答案为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．15．（14分）已知=（1，2），=（﹣3，1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设的夹角为θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）=（1，2）﹣2（﹣3，1）=（1+6，2﹣2）=（7，0）．（Ⅱ）=﹣．（Ⅲ）因为向量与互相垂直，所以，（）•（）=0，即因为=5，，所以，5﹣10k2=0，解得．16．（14分）已知，，，．（I）求tan2β的值；（II）求α的值．【解答】（本题满分为14分）解：（I）∵，，可得：sin=， (2)分∴tan==﹣2，…4分∴tan2β==…7分（II）∵，，∴α+β∈（，），又∵，∴cos（α+β）=﹣=﹣，…9分∴cosα=cos（α+β﹣β）=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=（）×（﹣）+×（）=，∵，∴α=．…14分17．（14分）已知函数f（x）满足f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）解不等式f（x）＜1；（3）判断并证明f（x）的单调性．【解答】解：（1）f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x），可令t=x+1，则x=t﹣1，可得f（t）=lg（1+t）﹣lg（1﹣t），即有f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x），由1+x＞0且1﹣x＞0，解得﹣1＜x＜1，则函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；（2）由f（x）＜1即lg（1+x）﹣lg（1﹣x）＜1，即为lg（1+x）＜lg10（1﹣x），可得0＜1+x＜10（1﹣x），解得﹣1＜x＜，则不等式的解集为（﹣1，）；（3）证明：f（x）在（﹣1，1）上为增函数．理由：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）=lg（1+m）﹣lg（1﹣m）﹣[lg（1+n）﹣lg（1﹣n）]=lg﹣lg=lg•=lg•，由于﹣1＜m＜n＜1，可得1﹣m＞1﹣n＞0，1+n＞1+m＞0，可得0＜＜1，0＜＜1，则0＜•＜1，即有lg•＜0，则f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），故f（x）在（﹣1，1）上为增函数．18．（16分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则（个）因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元．…（2分）（2 ）当0≤x≤100时，p=60；…（3分）当100＜x＜550时，；…（4分）当x≥550时，p=51．…（5分）所以…（6分）（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则…（9分）当0＜x≤100时，L≤2000；…（10分）当x≥500时，L≥6050；…（11分）当100＜x＜550时，．由，解得x=500．答：当销售商一次订购500个时，该厂获得的利润为6000元．…（13分）19．（16分）如图1，在△ABC中，，，点D是BC的中点．（I）求证：；（II）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：为常数，并求该常数；（III）如图2，若，F为线段AD上的任意一点，求的范围．【解答】（I）证明：延长AD到A1使得AD=DA1，连接CA1，A1B，∵D是BC的中点，∴四边形ACA1B是平行四边形，∴=+，∵；（II）证明：∵=+，∴•（﹣）=（+）•（﹣）=•+•，∵DE⊥BC，∴•=0，∵•=（）=，∴•（﹣）=（III）解：△ABC中，||=2，||=1，cosA=，，∴||==，同理+=2，∴•（+）=•2=||•||，设||=x，则||=﹣x（0），∴•（+）=2x（﹣x）≤2=1，当且仅当x=时取等号，∴•（+）∈（0，1]．20．（16分）已知g（x）=x2﹣2ax+1在区间[1，3]上的值域[0，4]．（1）求a的值；（2）若不等式g（2x）﹣k•4x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=x2﹣2ax+1=（x﹣a）2+1﹣a2在区间[1，3]上的值域[0，4]．若1≤a≤3时，g（x）的最小值为g（a）=1﹣a2，由1﹣a2=0，可得a=1（﹣1舍去），g（x）=（x﹣1）2满足在区间[1，3]上的值域[0，4]；若a＞3时，g（x）在[1，3]递减，g（x）的最小值为g（3），由g（3）=10﹣6a=0，解得a=（舍去）；若a＜1，则g（x）在[1，3]递增，g（x）的最小值为g（1），由g（1）=2﹣2a=0，解得a=1．综上可得，a=1；（2）由g（2x）﹣k•4x≥0即（2x）2﹣2•2x+1﹣k•4x≥0，化为k≤（2﹣x）2﹣2•2﹣x+1，令t=2﹣x，由x≥1可得0＜t≤，则k≤t2﹣2t+1，0＜t≤，记h（t）=t2﹣2t+1，0＜t≤，由单调递减，可得h（t）的最小值为（﹣1）2=，则k的取值范围是k≤；（3）令y=0，可化为|2x﹣1|2﹣2•|2x﹣1|+1+2k﹣3k•|2x﹣1|=0（|2x﹣1|≠0）有3个不同的实根．令t=|2x﹣1|，则t＞0，由2x﹣1＞﹣1，当x＜0时，t=|2x﹣1|=1﹣2x，t∈（0，1]且递减，当0＜x＜1时，t=|2x﹣1|=2x﹣1，t∈（0，1）且递增，当x=1时，t=1．当x＞1时，t=|2x﹣1|=2x﹣1，t∈（1，+∞）且递增，t2﹣（3k+2）t+1+2k=0有两个不同的实数解t1，t2，已知函数有3个零点等价为0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2=1，记m（t）=t2﹣（3k+2）t+1+2k，则或，解得k＞0或k无实数解，综上可得，k的取值范围是（0，+∞）．。
江苏省高中高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设集合，且，则（ ）{}2||2,2a A x x B x x =⎧-≤⎫⎨≤=-⎩≤⎬⎭{}|21A B x x ⋂=-≤≤=a A ．-4 B ．-2 C ．2 D ．4【答案】B【分析】直接根据条件得关于的方程求解即可.a 【详解】集合，且.{}2||2,2a A x x B x x =⎧-≤⎫⎨≤=-⎩≤⎬⎭{}|21A B x x ⋂=-≤≤则，解得.12a-=2a =-故选：B.2．下列命题正确的是（ ） A ．l 是最小的自然数 B ．所有的素数都是奇数C ．D ．对任意一个无理数x ，也是无理数,sin 20x x ∀∈+>R 2x 【答案】C【分析】根据全称量词命题的知识确定正确答案. 【详解】是最小的自然数，所以A 选项错误.0是素数，但是偶数，所以B 选项错误.22由于，所以，C 选项正确.1sin 1x -≤≤,sin 20x x ∀∈+>R是无理数，但是有理数，所以D 选项错误.22=故选：C3．一个扇形的弧长与面积的数值都是4，则该扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.【详解】因为一个扇形的弧长与面积的数值都是4， 即 4,4S l ==所以，所以圆心角为22S r l==2lr =故选：C4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）ππ,π2⎛⎫⎪⎝⎭A ．B ． cos y x =sin y x =C ．D ．tan y x =cos 2xy =【答案】A【分析】依次判断选项的周期和单调性，即可得到答案．【详解】选项A ，即在轴上方的图象保持不变，下方图象沿轴翻折到上方，cos y x =cos y x =x x 翻折后最小正周期为，在区间上单调递增，正确；ππ,π2⎛⎫⎪⎝⎭选项B ，最小正周期为，不合题意，错误；sin y x =2π选项C ，即在轴上方的图象保持不变，下方图象沿轴翻折到上方，翻折后最小tan y x =tan y x =x x 正周期为，在区间上单调递减，错误；ππ,π2⎛⎫⎪⎝⎭选项D ，最小正周期为，不合题意，错误；cos 2xy =4π故选：A5．若，则（ ） ln ln a b >A ．B ．2211a b >20222022b b a a -<-C ． D ． π3a b a b --<11a b a b->-【答案】D【分析】先求得的大小关系，然后根据作差比较法、函数的单调性能知识确定正确答案. ,a b 【详解】由于，所以，ln ln a b >0a b >>A 选项，， ()()22222222110b a b a b a a b a b a b +---==<所以，A 选项错误.2211a b<B 选项，，()()()20222022202220222022b a a b b b a a a a -----=--()()20222022a b a a -=-无法确定符号，所以B 选项错误.C 选项，，函数在上递增， 0a b ->a b y x -=()0,∞+所以，所以B 选项错误.π3a b a b -->D 选项， 11b a a b a b a b a b a b ab ab --⎛⎫---=--=-+ ⎪⎝⎭，()()()111a b ab a b ab ab -+⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭其中，所以，0,10,0a b ab ab ->+>>11110,a b a b a b a b ⎛⎫--->->- ⎪⎝⎭所以D 选项正确. 故选：D6．已知实数x 满足﹐实数x 满足，当时，若q 是p 的充分条:p ()()30x a a x -->:q 302x x +≤+a<0件，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ．()2,1--[)2,1--C ． D ．[]2,1--()(),21,-∞-⋃-+∞【答案】B【分析】先解一元二次不等式以及分式不等式，然后根据充分条件的知识求得正确答案. 【详解】对于，由于，所以由解得； p a<0()()30x a a x -->3a x a <<对于，，所以； q ()()32030220x x x x x ⎧++≤+≤⇔⎨++≠⎩32x -≤<-若是的充分条件，则，解得.q p 332a a <-⎧⎨≥-⎩21a -≤<-故选：B7．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度为安全范30.1mg/m ≤围．已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为，使用了甲醛喷剂并处于良好通风36.05mg/m 环境下时，室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位；()t μ3mg/m ()t t ∈N 天）近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安()()7e0.05tt λλμ-=+∈R 全开放标准，至少需要放置的时间为（）（ ） ln 20.7,ln 3 1.1,ln 5 1.6≈≈≈A ．32天 B ．33天 C ．34天 D ．35天【答案】C【分析】先代入计算出值，写出函数关系，再根据题意写出函数表达式解出时间. 0=t λt 【详解】依题意可知当时，， 0=t () 6.05t μ=即， 076.050.056e λλ-=+⇒=所以，()76e 0.05t t μ-=+由，()750.16e 0.0t t μ-≤=+得， 711e ln ln1203ln 2ln 3ln 512071207tt t -≤⇒-≤⇒≥=++即， 3ln 2ln 3ln 530.7 1.1 1.6 4.87t≥++≈⨯++=所以，33.6t ≥至少需要放置的时间为34天， 故选：C.8．设，计算机程序中用表示不超过x 的最大整数，则称为取整函数．例x ∈R ()INT x ()INT y x =如； ．已知函数，则()()INT 2.13,INT 1.21-=-=()()222311log log 42f x x x=⨯++16x <<函数的值域为（ ） ()()INT y f x =A ． B ． {}1,0,1-{}1,0,1,2-C ．D ．121,28⎡⎫-⎪⎢⎣⎭{}0,1,2【答案】B【分析】化简，令，，由二次函数的性质求出函数()f x 2log t x =()21134,,422f t t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭()f x 的值域，根据定义求函数的值域.INT(())y f x =【详解】因为()()()22322223111log log 4log log 422f x x x x x -=⨯++=⨯++， ()2221log 3log 42x x =⨯-+令，所以，2log t x =16x <<1,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，()21134,,422f t t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭因为的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，()f t 3t =()f t 1,32⎛⎫⎪⎝⎭()3,4当时，，3t =()()min 132f t f ==-当时，. 12t =()max 12128f t f ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以的值域为.()f x 121,28⎡⎫-⎪⎢⎣⎭当时，，()102f x -≤<()()INT 1y f x ==-当时，， ()01f x ≤<()()INT 0y f x ==当时，， ()12f x ≤<()()INT 1y f x ==当时，， ()2128f x ≤<()()INT 2y f x ==所以函数的值域为， ()()INT y f x ={1,0,1,2}-故选：B .二、多选题9．若函数，则的解析式可能为（ ）()()()2f x f x x +-=∈R ()f x A ．B ．()21f x x =-()1cos f x x =+C ． D ．()1f x x x =+()1e e x xf x -=+-【答案】CD【分析】根据条件逐一代入计算验证即可.【详解】对于A ：，不符合； ()()()2222211f x x x x f x +--=+--=-对于B ：，不符合； ()()()1cos 1cos 22cos x x x f x f x ++-=++-=+对于C ：，符合；()()211f x f x x x x x ++=+--=-对于D ：，符合.()()1e e 1e e 2x x x xf x f x --+-=+-++-=故选：CD.10．设，若，则m 的值可以为（ ） {}5NN ,|403A x B x mx x ⎧⎫=∈∈=-=⎨⎬-⎩⎭A B A ⋃=A ．0 B ．C ．1D ．212【答案】ABC【分析】先求出集合A 中元素，当明显符合，当时，根据可得m 的值. 0m =0m ≠{}44,8m∈【详解】， {}5NN 4,83A x x ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭，A B A =Q U 当时，，符合；0m =B =∅当时，，0m ≠4|B x x m ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭或， 44m ∴=48m =或. 1m ∴=12m =故选：ABC. 11．对于函数，下列结论正确的是（ ）()sin cos sin cos 2x x x xf x +--=A ．()cos ,sin cos sin ,sin cos x x xf x x x x ≥⎧=⎨<⎩B ．的单调递减区间为()f x ()π2π,π2πZ 4k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．的最大值为1()f xD ．若关于x 的方程在上有四个实数解，则()f x a =[)0,2π1a -<<【答案】AD【分析】根据绝对值的性质化简不等式，判断A ，根据正弦函数和余弦函数的单调性判断B ，C ，结合函数图象判断D. 【详解】因为，()sin cos sin cos 2x x x xf x +--=所以当，即，时，， sin cos x x ≥π5π2π2π44k x k +≤≤+Z k ∈()sin cos sin cos cos 2x x x x f x x +-+==当，即，时，， sin cos x x <3ππ2π2π44k x k -<<+Z k ∈()sin cos sin cos sin 2x x x x f x x ++-==所以，A 正确； ()cos ,sin cos sin ,sin cos x x xf x x x x ≥⎧=⎨<⎩因为函数在，上单调递减， cos y x =[]2π,2ππk k +Z k ∈函数在，上单调递增，cos y x =[]2ππ,2πk k -Z k ∈函数在，上单调递增，sin y x =ππ2π,2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈函数在，上单调递减，sin y x =π3π2π+,2π+22k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦Z k ∈又当，时，， 3ππ2π2π44k x k -<<+Z k ∈()sin f x x =当，时，， π5π2π2π44k x k +≤≤+Z k ∈()cos f x x =所以函数的单调递减区间为和，B 错()f x ()3ππ2π,2πZ 42k k k ⎛⎤-+-+∈ ⎥⎝⎦()π2π,π2πZ 4k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦误；当，时，， 3ππ2π2π44k x k -<<+Z k ∈()sin f x x =<当，时， π5π2π2π44k x k +≤≤+Z k ∈()cos f x x =≤当且仅当，时取等号； π2π4x k =+Z k ∈所以，C 错误；()f x 因为方程在上有四个实数解，()f x a =[)0,2π所以函数的图象与函数的图象有四个交点，()y f x =y a =作函数在上的图象如下，()f x [)0,2π观察可得D 正确； 1a -<<故选：AD.12．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．一般地，个税税额的计算方式有两种； 方式一；分级累积计算税额．计算公式；个税税额=应纳税所得额×税率； 方式二；快速计算税额．计算公式；个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数． 假定；应纳税所得额=税前收入-免征额．其中，免征额为每年60000元． 下表为个人所得税率表（2019年1月1日起执行）级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1[]0,36000 3 02 (]36000,14400010 25203(]144000,30000020 169204(]300000,42000025 X5 (]420000,66000030 529206(]660000,96000035 859207()960000,+∞45 181920下列说法正确的是（ ）A ．若小李2021年全年应纳税所得额为30000元，则小李应缴纳个税税额为900元B ．若小林2021年全年应缴纳个税税额为7480元，则小林全年税前收入为160000元C ．按个税计算办法，表中的数30920X =D ．若小华2021年税后所得为200000元，则他的全年应纳税所得额为153850元 【答案】AD【分析】根据已知条件，结合速算法，即可求解各选项对应数值，从而判断正误. 【详解】对于A ，若小李2021年全年应纳税所得额为30000元，则小李应缴纳个税税额为（元），故A 正确；300003%900⨯=对于B ，若小林全年税前收入为160000元，基数为2，则小林全年应纳税所得额为元，16000060000100000-=则小林2021年全年应缴纳个税税额为元， ()1000003600010%360003%25204960-⨯+⨯-=故若小林2021年全年应缴纳个税税额为7480元，则小林全年税前收入不为160000元，故B 不正确；对于C ，假设个人全年应纳税所得额为元，且，可得：x (]300000,420000x ∈，解得，C 不正25%(300000)25%15600020%10800010%360003%x X x -=-⨯+⨯+⨯+⨯31920X =确；对于D ，按照表中，级数3，，按照级数2，300000(30000020%16920)256920-⨯-=；144000(14400010%2520)132120-⨯-=显然， 1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+所以应该参照“级数3”计算，假设他的全年应纳税所得额为元，所以此时，解得t (20%16920)20000060000t t -⨯-=-153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元，故D 正确. 故选：AD .三、填空题13．已知幂函数的图象关于y 轴对称，则的值为_________．()()21mf x m m x =+-m 【答案】2-【分析】先通过函数为幂函数求出的值，再通过图象关于y 轴对称来确定的值. m m 【详解】由已知得，解得或，211m m +-=2m =-1m =当时，，其图象关于y 轴对称，2m =-()2f x x -=当时，，其图象关于原点对称. 1m =()f x x =故答案为：2-14．已知，且的值：_________．[]3π,3πα∈-πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭α【答案】（答案不唯一） π【分析】解三角方程求得正确答案.【详解】由于或，πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭1π5π2π66k α-=+2π5π2π66k α-=-所以或，其中， 12ππk α=+22π2π3k α=-12,Z k k ∈由于，所以一个满足条件的的值为. []3π,3πα∈-απ故答案为：（答案不唯一）π15．已知函数满足；①，都有；②，使得()2–2f x x kx =-[]1,3x ∀∈-()4f x ≤[]01,3x ∃∈-，则k 的值为___________．()04f x =【答案】或. 2-52【分析】根据已知可得函数在的最大值为，由二次函数的性质，分()2–2f x x kx =-[]13,x ∈-4，和三种情况，即可求出k 的值.1k -≤-13k -<-<3k -≥【详解】由题意可得，在的最大值为，()2–2f x x kx =-[]13,x ∈-4因为，对称轴为，开口向下， ()()22–f x x k k =++x k =-当，即，在上单调递减， 1k -≤-1k ≥()f x []1,3-所以，解得：. ()()max 1124f x f k =-=-+=52k =当，即，在上单调递增，在上单调递减，13k -<-<31k -<<()f x []1,k --[],3k -所以，解得：.()()22max 24f x f k k k =-=-+=2k =±因为，所以.31k -<<2k =-当，即，在上单调递增，3k -≥3k ≤-()f x []1,3-所以，解得：，不符合题意. ()()max 3964f x f k ==--=136k =-故k 的值为或. 2-52故答案为：或. 2-52四、双空题16．已知函数． ()()()2ln 3,e1x af x x ag x -=-=-（1）当时，函数的定义域是__________；1a =()f x （2）若对任意的恒成立，则实数__________．()()0f x g x ≥,3a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭=a 【答案】 21,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由对数函数的性质可求的定义域，结合对数函数和指数函数性质化简不等式，由此()f x 可求.a 【详解】当时，，由有意义可得， 1a =()()ln 31f x x =-()()ln 31f x x =-310x ->所以函数的定义域为，()()ln 31f x x =-1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭因为对任意的恒成立，()()0f x g x ≥,3a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭又当时，，所以当时，， 031x a <-<()ln 30x a -<133a a x +<<()2e10x ag x -=-≤又当时，，所以当时，， 31x a ->()ln 30x a ->a 1x 3+>()2e10x ag x -=-≥当时，，所以当时，可取任意实数， 31x a -=()ln 30x a -=13a x +=()2e1x ag x -=-又函数在单调递增，()2e 1x ag x -=-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以，123e 10a a +⨯--=故.2a =故答案为：；2.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭五、解答题17．如图，以x 轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆O 相交于点P ，已知点ππ2ααæöç÷<<ç÷ç÷èøP 的横坐标为(1)求的值；tan α(2)求的值． ()()πsin 3sin 23πsin sin π2αααα⎛⎫--++ ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭【答案】(1)2-(2) 13-【分析】（1）利用三角函数的定义及同角三角函数基本关系计算即可；（2）利用诱导公式化简，然后转化为用表示，代入的值计算即可.tan αtan α【详解】（1）点P的横坐标为， cosα∴=ππ2α<<， sin α∴==； sin tan 2cos ααα∴===-（2）. ()()πsin 3sin sin 3cos tan 323123πcos sin tan 1213sin sin π2αααααααααα⎛⎫--++ ⎪++-+⎝⎭====--+---⎛⎫++- ⎪⎝⎭18．已知函数． ()π2cos 2,6f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R (1)求函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值；()f x x (2)求函数在区间上的单调递增区间．()f x []0,π【答案】(1)答案见解析(2)和 π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）直接利用余弦函数的性质求最值及取最值时的集合；x （2）先通过求出的范围，再根据余弦函数的性质求解单调增区间.0πx ≤≤π26x -【详解】（1）对于函数， ()π2cos 2,6f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R 当，即时，函数取得最大值； π22π,Z 6x k k -=∈π|π,Z 12x x x k k ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭()f x 2当，即时，函数取得最小值． π2π2π,Z 6x k k -=+∈7π|π,Z 12x x x k k ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭()f x 2-（2），， 0πx ≤≤ ππ11π2666x ∴-≤-≤由和可得 ππ2066x -≤-≤π11ππ266x ≤-≤函数的单调增区间为和. ()f x π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．已知关于x 的不等式对恒成立．20x ax a ++≥x ∀∈R (1)求实数的取值集合；a M (2)已知集合，若“，都有成立”为真命题，求实数m 的取值范{}1|3N x m x m =-<<N x ∀∈R x M ∈ð围．【答案】(1)[]0,4(2)或0m ≤5m ≥【分析】（1）直接通过可得结果；0∆≤（2）根据题意可得，对是否为空集讨论，然后根据包含关系列不等式求解即可.R N M ⊆ðN 【详解】（1）关于x 的不等式对恒成立，20x ax a ++≥x ∀∈R ，240a a ∴∆=-≤解得；[]0,4M =（2）由（1）得，()()R ,04,M =-∞+∞ ð若“，都有成立”为真命题，N x ∀∈R x M ∈ð则，R N M ⊆ð当，即时，，符合 13m m -≥12m ≤-N =∅R N M ⊆ð当，即时，或， 13m m -<12m >-30m ≤14m -≥解得或. 102m -<≤5m ≥综合得或.0m ≤5m ≥20．现有一个无盖长方体形箱体，如图所示，该长方体的长为2米，宽为x 米，高为y 米．(1)如果箱体容积为100立方米，那么至少需要多少平方米制箱材料；(2)如果制箱材料为60平方米，那么怎样设计箱体能使箱体的容积最大?最大容积是多少?【答案】(1)至少需要平方米制箱材料140(2)当米时，箱体的容积最大，最大容积是立方米26x y ==18【分析】（1）先求得几何体的表面积的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案.（2）先求得几何体的体积的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案.【详解】（1）依题意，，2100,50xy xy ==需要材料平方米，()24224100100140x x y x y ++=++≥+=当且仅当且，即时，等号成立，24x y =50=xy 210x y ==所以至少需要平方米制箱材料.140（2）依题意，，()6024224222x x y x y xy xy xy =++=++≥=则，即， 22600+-≤2030≤+所以，故， 0≤018xy <≤<≤所以箱体的容积，221836xy ≤⨯=当且仅当且，即时，等号成立,24x y =60242x y xy =++26x y ==所以当米时，箱体的容积最大，最大容积是立方米.26x y ==1821．已知指数函数的图象过点，令，（b 是常数），且是定义在()f x 13,8⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()1f x b g x f x -=+()g x R 上的奇函数．(1)求b 的值；(2)若关于x 的不等式在上恒成立，求整数m 的最大值．()()()()0g g x g mf x +≤[]0,1x ∈【答案】(1)b 的值为1；(2)整数m 的最大值为-1．【分析】(1)由条件结合指数函数定义求，再根据奇函数的定义求b 的值；()f x (2)判断函数的单调性，根据函数性质化简不等式可得，()g x ()()()()0g g x g mf x +≤()12221xx x m -≤+求函数的最小值确定的范围，由此可得结论. ()12221xx x y -=+m 【详解】（1）因为函数为指数函数，故可设且，()f x ()x f x a =(0a >)1a ≠又函数的图象过点，所以， ()f x 13,8⎛⎫- ⎪⎝⎭318a -=所以，故，， 2a =()2xf x =()221x x bg x -=+又是定义在上的奇函数，()g x R 所以，即恒成立， ()()g x g x -=-222121x x x x b b ----=-++所以恒成立，所以恒成立， 1221221x x x x b b --=++()112x b b -=-所以；1b =（2）由(1)可得， ()21212121x x x g x -==-++因为函数在上单调递增，值域为，21x y =+R ()1,∞+所以函数在上单调递减， 221x y =+R 所以函数在上单调递增，()g x R 所以不等式可化为，()()()()0g g x g mf x +≤()()()()g g x g mf x ≤-则，即，即， ()()()()g g x g mf x ≤-()()g x mf x ≤-21221x x x m -≤-+所以，()221210x x x m ++-≤由已知在上恒成立，()221210x x x m ++-≤[]0,1x ∈故在上恒成立， ()12221xx x m -≤+[]0,1x ∈令，则在上恒成立， 21xt =-()()21t m t t -≤++[]0,1t ∈当时，， 0=t ()()021t t t -=++当时，， 01t <≤()()12213t t t t t-=-++++设，任取，且， ()23h t t t=++(]12,0,1t t ∈12t t <则， ()()()12121212122221h t h t t t t t t t t t ⎛⎫-=+--=-- ⎪⎝⎭因为，，所以， 12t t <(]12,0,1t t ∈121220,10t t t t -<-<故，所以函数在上单调递减， ()()12h t h t >()23h t t t=++(]0,1所以，故， 236t t++≥()()1216t t t -≥-++所以在上最小值为，故， ()()21t y t t -=++[]0,116-16m ≤-所以整数m 的最大值为-1．22．已知函数． ()[]22,2,212x f x x x -=∈-+(1)判断并证明在定义域上的单调性； ()f x []22-,(2)设，试比较a ，b ，c ，d 的大小并()()()237π34πlog 3,cos ,tan ,sin 3π911a f b f c f d f ⎛⎫⎛⎫====+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭用“<”将它们连接起来；(3)若不等式对于函数定义域内的任意实数恒成()()()()4123kf x f x f x f x ≥++()f x 1234x x x x 、、、立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)函数在定义域上单调递增，证明见解析；()f x []22-,(2)；d c b a <<<(3)k 的取值范围为．(],0-∞【分析】(1)根据函数单调性的定义证明即可；(2)先比较的大小，结合函数单调性比较a ，b ，c ，d 的大小， ()237π34πlog 3,cos ,tan ,sin 3π911+(3)分化简条件，由此可求k 的取值范围．0,0k k ≤>【详解】（1）函数在定义域上单调递增，证明如下：()f x []22-,任取，且，则[]12,2,2x x ∈-12x x < ()()()()()()12121221212222212122122212121212x x x x x x x x f x f x x x x x -------=-=++++所以，()()()()()()()121221222122161212x x x x f x f x x x ----⎡⎤⎣⎦-=++因为，所以，12x x <120x x -<因为，所以，又，[]12,2,2x x ∈-12420,420x x -≤-≤-≤-≤12x x <所以，()()1222160x x ---<所以，()()21f x f x >所以函数在定义域上单调递增；()f x []22-,（2）因为函数在上单调递增，，2log y x =()0,∞+234<<所以，21log 32<<， 37πππcos cos 4πcos 999⎛⎫=+= ⎪⎝⎭又在， cos y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππcos cos cos 0169=<<=， 34πππtan tan 3πtan 111111⎛⎫=+= ⎪⎝⎭又在上单调递增，所以， tan y x=ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ0tan 0tan tan 116=<<=，()()()sin 3πsin 2ππ3sin π3+=--=--⎡⎤⎣⎦因为函数在上单调递增，所以， sin y x =ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦()π10sin 0sin π3sin 62=<-<=故， ()1sin 3π02-<+<所以， ()234π37πsin 3πtan cos log 3119+<<<又函数在定义域上单调递增，()f x []22-,所以， ()()()234π37πsin 3πtan cos log 3119f f f f ⎛⎫⎛⎫+<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；d c b a <<<（3）因为在定义域上单调递增； ()[]22,2,212x f x x x -=∈-+[]22-,所以， ()104f x -≤≤所以当时，对任意实数，0k ≤1234x x x x 、、、，，()40kf x ≥()()()1230f x f x f x ++≤所以满足已知条件，当时，由不等式对任意实数恒成立，0k >()()()()4123kf x f x f x f x ≥++1234x x x x 、、、可得()()min max 3kf x f x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦所以，满足条件的不存在， 104k -≥k 所以，0k ≤所以k 的取值范围为．(],0-∞【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.。
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高一上学期数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题纸相应．．．．．位置上．．．. 1． 已知全集{12345}U =，，，，，集合{134}{23}A B ==，，，，，则()U A B = __2.已知：,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭8且，用列举法表示集合A = . 3.方程)2(log )12(log 255-=+x x 的解集为4. 函数23)(-=xx f 的定义域为5. 8120()log x x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪⎩，，已知函数，≥0，若001()4f x x =，则的值为 ________6． 若函数()y f x =的定义域为R ，值域为[a ，b ]，则函数()y f x a =+的最大值与最小值之和为 ______7.若函数262+-=x mx y 的图像与x 轴只有一个公共点，则=m8.方程x x 24lg -=的根(),1x k k ∈+，k Z ∈，则k = ． 9.已知：定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时2()2,f x x x =+则当0x <时，()f x = ____________10．设函数e ()1exx a f x a -=+(a 为常数)在定义域上是奇函数，则a = ____11．函数21-=+x a y （a>0,且a ≠1）的图象恒．过一定点，这个定点是 ． 12. 已知函数(2)75,1()1,1x a x a x f x a x -+-≤⎧=⎨+>⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是_______.13．已知奇函数f(x)是定义在()1,1-上的增．函数，且(21)()0f m f m ++<.则实数m 取值范围_____________________.14．给定集合A 、B ，定义一种新运算：},|{B A x B x A x x B A ∉∈∈=*但或.已知{0,1,2}A =，{1,2,3}B =，用列举法．．．写出=*B A ．二. 解答题15．（14分）已知：{}{}3,15A x a x a B x x x =≤≤+=<->或 （1）若,A B =∅求实数a 的取值范围;（2）若,A B B =求实数a 的取值范围。
16．（14分）已知关于x 的方程022=-+-a ax x . (1) 求证：方程有两个不相等实根。
(2) 11(1,)(,2)22---若方程的一个根在上,另一个根在上.求a 的取值范围17.(15分)已知函数9()f x x x=+ (1)判断函数的奇偶性;(2)求证:函数()f x 在区间(]0,3上是单调减函数,在区间[)3,+∞上是单调增函数. (3) 求函数()f x 在[][]2,13,6x ∈--上的值域.18．（15分）某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 品的利润与投资成正比，其关系如图一；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二(注：利润和投资单位：万元)，(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到18万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产。
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元。
))图一图二评卷得分19.（16分）二次函数的图像顶点为A(1,16),且图像在x 轴上截得的线段长8. （1）求这个二次函数的解析式；（2）在区间[－1，1]上，y ＝f (x )的图象恒在一次函数y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的范围．20.（本小题满分16分）已知函数()()()2log 41,x f x kx k =++∈R 是偶函数. （1）求k 的值；（2）设函数()24log 23xg x a a ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，其中0.a >若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围..高一上学期期末考试试卷答案一．填空题1. {2}2. {2,4,5}3. }3{=x x4. (0,∞+)5. 36. a+b7. 0或298. 1 9. 22x x -+ 10. 1 11. （-1,-1） 12 . 827a ≤< 13.113m -<<-14. {0,3}二．计算题15、解：（1）[]1535121272853112a A B a a a A B B A B a a a ≥-⎧=∅∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨+≤⎩∴-≤≤-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∴⊆⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴>+<-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴>分即的取值范围是，分（）分或分544514a a <--∞-⋃+∞⋅⋅⋅或即的取值范围是（，）（，）分16.解：（1）由044)2(84)2(4)(222>≥+-=+-=---=∆a a a a a 知方程有两个不相等实根。
…………………….4/(2)设2)(2-+-=a ax x x f …………………….6/(若方程的两个根中，一根在)21,1(--上，另一根在)2,21(-上,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->-0)2(0)21(0)1(f f f …8/.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>⇒26721a a a .6721<<⇒a 当6721<<a 时方程的两个根中,一根在)21,1(--上，另一根在)2,21(-上. …………14/17. 解：(1))()9(9)(x f xx x x x f -=+-=-+-=-,所以函数)(x f 为奇函数 (4)/(2)任设2x x x <,且),0(),,0(21+∞∈+∞∈x x (6)/())9()()9(9)(212121221121--=+-+=-x x x x x x x x x x x f x f ……………….8/ 当302≤<<x x x 时,0,092121<-<-x x x x , ()0)(21>-x f x f ,则()21)(x f x f >; 故函数)(x f 在区间(]0,3上是单调减函数,-----10/当23x x x <≤时,0,092121<-<-x x x x , ()0)(21>-x f x f ,则()21)(x f x f >;-故函数)(x f 在区间[)3,+∞上是单调增函数. ------------12/(3)因为[]3,6[)+∞⊆,3,且根据(2)知, ()f x 在区间[]3,6上是单调增函数,则[]6,3∈x 时,215)6()()3(6=≤≤=f x f f ……13/又由(1)知函数)(x f 为奇函数,则[]2,1x ∈--时,函数)(x f 为单调减函数, 10)1()()2(213-=-≤≤-=-f x f f ……14/ 综上, 函数()f x 在[][]2,13,6x ∈--上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--215,6213,10 .……16/18．解：(1) 设甲乙两种产品分别投资x 万元(x ≥0)，所获利润分别为f(x) 、g(x)万元由题意可设f(x)=1k x,g(x)=k ∴根据图像可解得 f(x)=0.25x 0)x ≥（，g(x)=0)x ≥ ……3/(没有定义域扣1分)(2)①由Ⅰ得f(9)=2.25，g(9)==6, ∴ 总利润y=8.25万元 (5)/②设B 产品投入x 万元，A 产品投入18－x 万元，该企业可获总利润为y 万元，则 y=14(18－x)+0≤x ≤18 …………………………………………8/=t ，其中 0t ≤≤则y=14(－t 2+8t+18)=21(4)4t --+344…………9/∴当t=4时，y max =344=8.5，此时x=16,18-x=2 …………………………………………11/∴ A 、B 两种产品分别投入2万元、16万元，可使该企业获得最大利润8.5万元.…12/19. 2224≤<-=m a ，或20. 解：（1）∵2()log (41)()xf x kx k =++∈R 是偶函数，∴2()log (41)()xf x kx f x --=+-=对任意x R ∈，恒成立 2分 即：22log (41)2log (41)x xx kx kx +--=++恒成立，∴1k =- 5分（2）由于0a >，所以24()log (2)3xg x a a =⋅-定义域为24(log ,)3+∞， 也就是满足423x>7分 ∵函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，∴方程224log (41)log (2)3xxx a a +-=⋅-在24(log ,)3+∞上只有一解 即：方程414223x xxa a +=⋅-在24(log ,)3+∞上只有一解 9分 令2,xt =则43t >，因而等价于关于t 的方程 24(1)103a t at ---=（*）在4(,)3+∞上只有一解 10分① 当1a =时，解得34(,)43t =-∉+∞，不合题意； 11分 ② 当01a <<时，记24()(1)13h t a t at =---，其图象的对称轴203(1)a t a =<- ∴函数24()(1)13h t a t at =---在(0,)+∞上递减，而(0)1h =- ∴方程（*）在4(,)3+∞无解 13分③ 当1a >时，记24()(1)13h t a t at =---，其图象的对称轴203(1)a t a =>- 所以，只需4()03h <，即1616(1)1099a a ---<，此恒成立 ∴此时a 的范围为1a > 15分 综上所述，所求a 的取值范围为1a > 16分。