三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧

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三角函数的求值

问题7.已知问题已知 0 < α < 4 ,0 < β < 4 ,且3 sin β = sin(2α + β )， α 2α 的值. 4tan = 1− tan , 求 α + β 的值. 2 2
π
π
若a ⋅ b = 0, 求 tanθ .
问题5.已知问题已知
1 11 π π cosα = ， (α + β ) = − ，α ∈ 0，，α + β ∈ ，π 式)求角 ①求角的某一三角函数值；求角的某一三角函数值； ②确定角的范围；确定角的范围；写出角的值。 ③写出角的值。 π π 问题6.已知已知0＜＜问题已知＜α＜ 2 ，＜β＜0，＜， 2 1 11 cos(α-β)= ,cos2α= - ,求α+β的值求的值. 的值 14 7
三角函数的求值
三种类型的求值问题
问题1.⑴ 的值. 问题 ⑴求tan(-1995°)的值的值 ⑵求sin10°sin30°sin50°sin70° 的值. 的值问题2.求的值. 问题求tan20°+4sin20°的值一.给角求值采用①诱导公式变形; 化为锐角; 求值 ⑴采用①诱导公式变形 ②化为锐角 ③求值. ⑵采用三角恒等变换化特殊角或抵消的项采用三角恒等变换,化特殊角或抵消的项, 三角恒等变换化特殊角,或抵消的项或约分等. 或约分等
问题3.已知问题已知6sin α +sinα cos − 2cos α = 0,α ∈[ ,π ), α 2 π 的值. 求 sin( 2α + )的值
2 2
π
3
二.给值(式)求值给值( ①从角上分析 ②从函数名上分析 ③从式子结构上分析

三角恒等变换解题秘籍(二)

劳技课… 刀的使用技巧…
我们学会的招数… 我们学会的招数
三、三种基本题型种本题型给值求值给值求角我们面对的问题给角求值 tanβ sinα 我们面对的问题 cosγ
1
值——三角函数值；角——角度大小；
三、三种基本题型种本题型 1 给值求值 ⑴确定已知、未知 ⑴确定已知未知 ⑵观察已知和未知的形式角运算型：绝招1 值运算型：绝招2、3、4
总结：问题
所有公式有公
基础
确定题目类型选择合适招数
练习
ห้องสมุดไป่ตู้
解题
3
三、三种基本题型种本题型 2 给值求角 ⑴确定未知：所求角的某个三角函数值 ⑴确定未知所求角的某个三角函数值 ⑵給值求值 ⑶根据题目条件确定所求角范围的限定 ⑷综合⑵、⑶，得出结论
2
三、三种基本题型 3 给角求值 ⑴确定已知和未知： (两种情况) ( ) 1> 常用角(0°，30°，45°，60°，90°)为未知，题目所给角为已知 2> 题目所给角中的一些为未知，一些为已知 ⑵确定已知未知后，变为給值求值问题做法及招数选法同前面

三角函数“给值求值”的求解策略

Ｓｎ十ｎＪ十牟ｔ口』口ａ
一
ｎ
ＣＯＳ
２亏（一
１一百＋（２）
ｃｚ。ｓｎ一
１２
１３
口＋，）：（＋÷）一÷ 等．视题目要求，有时化
‘ ｆ
Ｓ十Ｓ＝十ｎ ≤ｎ异ｔａＩＣａ１ｎａＯ
一
单角为复角，时化复角为单角．有
４切弦互化，异为同．变
１（号一一
１（２）＋一
・
５
切弦互化就是正切、切与正切、弦之间的余余互相转化，常用的是 “ 化弦 ” 但有时候如果所最切，求式子的分子、母都是关于正弦，弦的一次或分余二次齐次式时我们也可采用用 “ 化切 ”两种变名弦．的目的都是使函数名称 “ 多为少 ”“ 异为同” 化，化．
・．．
ｃ２＝Ｃ－ｓｎ一 ——ｚｓｎ２。ｓ０ＯＳ０－ｉａｃｓ０ｏ－ｉ
— —
＿
Ｉ￣答题键之，察到手ｉｌ解本关点一观（ｇ＋ｎ（２一然利诱公进２＋手一ｎ号，后用导式行））
化简．如果没有利用诱导公式结合２倍角公式求出ｎ运算过程会变得复杂．此化简时要特别注，因意观察角之间的特殊关系，能否利用诱导公式．看
‘ ．．
ｃｓａｏＥａ）（－ｐ］ｏ（＋ｐｏＺ —ｃｓ（＋ｐ＋ Ⅱ ）一ｃｓａ）

三角函数中的求值问题

3 12 4 5 56 ∴sin2= 5 13 5 13 65
2 12 。继续 1.已知t anα = 2， t an( α－β) = －，那么t anβ = _____ 5 3 12 2. 已知，cos( - ) ， 2 4 13 3 sin( ) －，求 sin2的值。 5

小结：给值求角问题
实质上可转化为给值求值问题,即先求出该角的某一三角函数的值,然后讨论角的范围,判断该角的大小.
基础训练三： 1 1、已知 ,- 0, tan = - , 2 3 1 tan = - , 求2 + 的值. 7
tan 2 tan 解：∵ tan(2 ) , 1 tan 2 tan
3 1.sin660的值为______. 2
2.化简sin50 (1 + 3t an10 ) .

基础训练一：
继续
1 3 2( cos10 sin10 ) 3sin10 2 2 解:原式= sin50 (1 ) = sin50 cos10 cos10 sin 30 cos10 cos30 sin10 = 2sin 50 cos10 化切为弦
2 2 2
② 注意三角公式的“活用”；
③ 重视角的范围对三角函数值所起的影响，注意角的
范围的讨论。
2 5 3 10 在ABC中， cos A ， cos B , 5 10 求A B的值。 1 10 变式：在ABC中， tan A , sin B , 2 10 求角C的值。
归纳与总结：
三角函数的求值要注意以下几点：
2 ( ) ( ) ① 注意“变角”如， ( ) ( ) 等；

锐角三角函数的题型及解题技巧

锐角三角函数的题型及解题技巧锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。

一、化简或求值例1 （1）已知tan 2cot 1a a -=，且a 是锐角，求22tan cot 2a a +-的值。

（2）化简()()22sin cos cos sin a b a b a a a a ++-。

分析分析（1）由已知可以求出tan a 的值，化简22tan cot 2a a +-可用1tan cot a a =×；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1a a +=化简。

化简。

解（1）由tan 2cot 1a a -=得2tan 2tan a a -=，解关于tan a 的方程得tan 2a =或tan 1a =-。

又a 是锐角，∴tan 2a =。

∴22tan cot 2a a +-＝22tan 2tan cot cot a a a a -×+＝2(tan cot )a a -＝tan cot a a -。

由tan 2a =，得1cot 2a =，∴22tan cot 2a a +-＝tan cot a a -＝13222-=。

（2）()()22sin cos cos sin a b a b a a a a ++-＝2222sin 2sin cos cos a ab b a a a a +××+＋2222cos 2cos sin sin a ab b a a a a -××+＝()()222222sin cos sin cos a b a a a a +++＝22a b +。

说明说明在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1a a +=，tan cot 1a a ×=等。

等。

二、已知三角函数值，求角例2 在△ABC 中，若223cos sin 022A B æö-+-=ç÷ç÷èø(),A B ÐÐ均为锐角，求C Ð的度数。

三角函数求值问题

则 cosβ ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)， 1 13 4 3 3 3 ＝ × ＋ × 7 14 7 14 1 ＝ . 2 π π 而 β∈(0， )，则 β＝ . 2 3

1 π π 练习：已知 tanα＝，tanβ＝－2，其中 0<α< ， <β<π. 3 2 2 求：(1)tan(α－β)；(2)α＋β 的值．
2．角的变换常见途径有： ( ) ， ( ) ( )， 2
2 等．对公式会“正用”“逆用”“变形用”．
2

3.“给值求角”问题，一般都需先求出待求角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角的值；一般地，若 α∈ π π (－， )，则求 sinα 或 tanα；若 α∈(0，π)，则求 cosα 2 2 或 tanα，避免增角．
1.对于 “给角求值”问题：在不查表前提下，求三角函数值，其一般方法是：（1）非特殊角三角函数化为特殊角的三角函数；（2）将非特殊角的三角函数消去.
2.对于“给值求值”问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于 “变角”使“所求角”变为“已知角”；若角所在象限没有确定，则应分类讨论.
【点评】对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，基本思路有： (1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正、负相消的项，消去求值； (3)化分子，分母出现公约数进行约分求值．
二、给值求值问题给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数式的值,解题关键在于“变角”及活用公式.
练习：
1 ＋2 tanα－tanβ 3 解:(1)tan(α－β)＝＝＝7. 1 1＋tanαtanβ 1＋ · －2 3 1 －2 tanα＋tanβ 3 (2)tan(α＋β)＝＝＝－1， 1 1－tanαtanβ 1－ · －2 3 π π π 3 又 0<α< ， <β<π，所以 <α＋β< π， 2 2 2 2 3 所以 α＋β＝ π. 4

三角函数的求值

・．．
５＋Ｕ＝６
２Ｉ（２），ｎ卢＝一０Ｂ∈ 订，ｔ２ａ３
，
例知（）（，，。３已。，寻）ｃ号，卢且ｓ｛（ ÷ｓ．一，ｉ＋的．，＋：言求ｎ卢值ｉ８ｎ）（ｓ）（解０＼７ａ（予，析ｎ（￣４ｏ）ｒ，一一（一＝ｎ一＝｛ ÷ ｓ｛，）ｉ）（ｐ（，￣－号竹２叭ｑｐ（，，Ｔ－订一）＋。ｑ）
角的运算及函数名称的差异，已知式与欲求式施以适当对
的变形，达到解决问题的目的．以
ｓ
＝
、Ｓａ＝一ｔ．，０，
例２知已｝１
一
ｔｌａｌ
＝＋，５求
ｃｏｓ二
的．值
兰＝５＋
２ｏ４ｃｓ０。＋ｃｓ０。ｃｓｏ８ｏ４０。＋ｃｓｏ
３．给值求角给出＝角函数值求角的关键有两点：三
（）出要求角的某一角函数值（常以正弦或余弦１求通
ｃ。ｓ
・
．
．
＜２卢＜２Ｔ．＋２１，．－卢∈（１，盯）２『３．
而在（１，上正切值等于一ｌ的角只有２Ｔ３）
・
．
，
．
＋
＝
．
总结评述
给值求角问题中，出三角函数值后，注求要
煮限锦ｌ的范围．伟
ＣＳ０Ｏ１。

三角函数式的求值

三角函数式的求值角度1 给角求值[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°＝6 .解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80° ＝(2sin50°＋2sin10°·12cos10°＋32sin10°cos10°)·2cos10° ＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6. 角度2 给值求值(2019·聊城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝4－3310 . 解析：由题意可得，cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝－sin2θ＝－45，即sin2θ＝45.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010＞0，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以0＜θ＜π4，2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin2θcos π3－cos2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310. 角度3 给值求角设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( C )A.3π4 B.5π4 C.7π4D.5π4或7π4解析：∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α＋β＝7π4.【条件探究1】本典例中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝π4 .解析：∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22. 又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4.【条件探究2】本典例中，若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是7π4 . 解析：∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，∵sin2α＝55，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2且cos2α＝－255，又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4.三角函数式求值的常见题型及求解策略1．给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．2．给值求值：给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来．3．给值求角：通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：①已知正切函数值，则选正切函数．②已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦较好．(1)(2019·新疆第二次适应性检测)cos10°(1＋3tan10°)cos50°的值是2__.解析：依题意得cos10°(1＋3tan10°)cos50°＝cos10°＋3sin10°cos50°＝2sin (10°＋30°)cos50°＝2sin40°sin40°＝2.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，17π12＜α＜7π4，则sin2α＋2sin 2α1－tan α的值为－2875 .解析：sin2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1－sin αcos α ＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝sin2α1＋tan α1－tan α＝sin2α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.由17π12＜α＜7π4得5π3＜α＋π4＜2π，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－45， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－43. cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝－210，sin α＝－7210，sin2α＝725.所以sin2α＋2sin 2α1－tan α＝725×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－2875.。

三角函数解题技巧最实用的解题方法推荐

三角函数解题技巧最实用的解题方法推荐下面给大家介绍一下三角函数解题技巧，希望能够帮助到大家哦！三角函数解题技巧一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间(-90o，90o)的公式.1.sin(kπ α)=(-1)ksinα(k∈Z);2. cos(kπ α)=(-1)kcosα(k∈Z);3. tan(kπ α)=(-1)ktanα(k∈Z);4. cot(kπ α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα cosα>0(或<0)óα的终边在直线y x=0的上方(或下方);2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方(或下方);3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理：熟记常用勾股数(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，仍然注意“符号看象限”。

四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，用平方法则：(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:tanα tanβ=tan(α β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)1.函数y=Asin(wx φ)和函数y=Acos(wx φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;2.函数y=Asin(wx φ)和函数y=Acos(wx φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称;3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx φ)和函数y=Acot(wx φ)的对称性质。

三角函数求值的八种常用方法

ʏ摆扬虎三角函数求值的常用方法有:巧用三角函数的定义,弦切互化,和积转换, 1 的变换,巧用三角公式,以及利用三角函数的图像等㊂下面举例分析,供同学们学习与参考㊂方法一:巧用三角函数的定义例1 已知角α的终边经过点(3,-4),则s i n α+1c o s α=㊂因为角α的终边经过点(3,-4),所以r =5㊂由三角函数的定义得s i n α=-45,c o s α=35,所以s i n α+1c o s α=-45+53=1315㊂评注:已知角α终边上一点P (x ,y ),且P (x ,y )不是单位圆上的点,可先求r =x 2+y 2,再求s i n α=y r ,c o s α=x r的值㊂方法二:巧用弦切互化例2 若s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,则s i n θ㊃c os θ=㊂由s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,整理可得t a n θ=4,所以s i n θc o s θ=s i n θc o s θs i n 2θ+c o s 2θ=t a n θ1+t a n 2θ=417㊂评注:解答本题的关键是利用公式t a n α=s i n αc o s α进行弦切互化㊂方法三:巧用和积转换例3 如果s i n x +c o s x =15,且0<x <π,那么ta n x 的值是㊂由已知等式两边平方得s i n x c o s x =-1225㊂因为0<x <π,所以s i n x >0,c o s x <0㊂结合s i n 2x +c o s 2x =1解得s i n x =45,c o s x =-35,所以t a n x =-43㊂评注:解答本题的关键是利用(s i n x ʃc o s x )2=1ʃ2s i n x c o s x 和s i n 2x +c o s 2x =1的关系进行变形和转化㊂方法四:巧用 1 的变换例4 化简s i n 2α+c o s 4α+s i n 2αc o s 2α的结果是㊂原式=s i n 2α+c o s 2α(c o s 2α+s i n 2α)=s i n 2α+c o s 2α=1㊂评注:解题时要灵活应用 1的变换,常见的 1 的变换有1=s i n 2θ+c o s 2θ=c o s 2θ㊃(1+t a n 2θ)=t a nπ4等㊂方法五:巧用诱导公式例5c o s (-585ʎ)s i n 495ʎ+s i n (-570)ʎ的值等于;s i n 585ʎc o s 1290ʎ+c o s (-30ʎ)s i n 210ʎ+t a n 135ʎ的值等于㊂结合诱导公式求值㊂原式=c o s (360ʎ+225ʎ)s i n (360ʎ+135ʎ)-s i n (360ʎ+210ʎ)=c o s (180ʎ+45ʎ)s i n (180ʎ-45ʎ)-s i n (180ʎ+30ʎ)=-c o s 45ʎs i n 45ʎ-(-s i n 30ʎ)=-2222+12=2-2㊂原式=s i n585ʎc o s1290ʎ+c o s30ʎ㊃s i n 210ʎ+t a n 135ʎ=s i n (360ʎ+225ʎ)c o s (3ˑ360ʎ+210ʎ)+c o s 30ʎs i n210ʎ+t a n (180ʎ-45ʎ)=s i n225ʎc o s 210ʎ+c o s 30ʎs i n210ʎ-t a n 45ʎ=s i n (180ʎ+45ʎ)c o s (180ʎ+30ʎ)+c o s 30ʎs i n (180ʎ+30ʎ)-t a n45ʎ=s i n45ʎ㊃c o s 30ʎ-c o s 30ʎs i n 30ʎ-t a n 45ʎ=22ˑ32-32ˑ12-1=6-3-44㊂评注:利用诱导公式求任意角的三角函数值的四个步骤: 负化正 ,即用三角公式转31知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.化; 大化小 ,即用三角公式将角化为0ʎ到360ʎ间的角; 小化锐 ,即用三角公式将大于90ʎ的角转化为锐角; 锐求值 ,即得到锐角三角函数后求值㊂方法六:巧用和差公式例6 若s i n 2α=55,s i n (β-α)=1010,且αɪπ4,π,βɪπ,3π2,则α+β的值是㊂因为αɪπ4,π,所以2αɪπ2,2π ㊂因为si n2α=55>0,所以2αɪπ2,π ,所以αɪπ4,π2 ,且c o s2α=-255㊂又因为s i n (β-α)=1010,βɪπ,3π2,所以β-αɪπ2,5π4,c o s (β-α)=-31010㊂故c o s (α+β)=c o s [(β-α)+2α]=c o s (β-α)c o s2α-s i n (β-α)s i n2α=-31010ˑ-255-1010ˑ55=22㊂又α+βɪ5π4,2π,所以α+β=7π4㊂评注:三角函数常见的角变换有:α=(α-β)+β,α=α+β2+α-β2,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β)等㊂方法七:巧用倍角公式例7 已知函数f (x )=s i n2x -c o s 2x -23s i n x c o s x (x ɪR ),则f 2π3的值为㊂因为f (x )=s i n 2x -c o s 2x-23s i n x c o s x =-c o s 2x -3s i n 2x =-2s i n 2x +π6 ,所以f 2π3=-2s i n4π3+π6=-2s i n 3π2=2㊂评注:三角函数的角变换的常见公式有:1ʃs i n2α=s i n 2α+c o s 2αʃ2s i n αc o s α=(s i n αʃc o s α)2,1+c o s2α=2c o s 2α,1-c o s 2α=2s i n 2α,c o s 2α=1+c o s 2α2,s i n 2α=1-c o s 2α2等㊂方法八:巧用三角函数的图像例8 图1是函数f (x )=A s i n (ωx +φ)A >0,ω>0,|φ|<π2的图像的一部分,对任意的x 1,x 2ɪ[a ,b ],且x 1ʂx 2,若f (x 1)=f (x 2),都有f (x1+x 2)=1,则φ的值为( )㊂图1A .π12B .π6C .π4D .π3由图得A =2㊂由题意知x 1,x 2关于函数f (x )图像的对称轴对称,直线x =x 1+x 22是函数f (x )图像的一条对称轴,且fx 1+x 22=2,所以2s i n ω㊃x 1+x 22+φ =2,所以ωx 1+x22 +φ=π2+2k π(k ɪZ )㊂因为f (x 1+x 2)=1,所以2s i n [ω(x 1+x 2)+φ]=1,所以ω(x 1+x 2)+φ=π6+2k π(k ɪZ )或ω(x 1+x 2)+φ=5π6+2k π(k ɪZ )㊂令k =0,据上消去ω(x 1+x 2),可得φ=π6或φ=5π6㊂又因为|φ|<π2,所以φ=π6㊂应选B ㊂评注:解答本题的关键是熟练掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质㊂作者单位:甘肃省临夏州积石山县积石中学(责任编辑郭正华)41 知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

高中数学：三角函数求值的方法

高中数学：三角函数求值的方法
1. 角的拼凑
适当地变化角的表达式，可以给三角函数求值带来便利。

如单角α可以看成角α＋β与角β的差，也可以
看成角α－β与角β的和，既可以看成是的二倍，也可以看成是2α的一半。

角的分拆与配凑也是变角的常用策略。

如2α＝（α＋β）＋（α－β），α－β＝2α－（α＋β）等。

当条件所给角都是非特殊角时，要仔细观察非特殊角与特殊角之间的联系，可通过三角公式转化为特殊角，并且消除非特殊角的三角函数值而得解。

例1. 已知，
，求cos（α＋β）的值。

分析：所求余弦中的角与已知正、余弦中的角，其运算结构不同，所以要做角的拆拼，注意到。

解：因为，
所以，
于是
所以
从而
例2. 求的值。

分析：此题给出的是非特殊角，要设法把非特殊角化为特殊角，相互低消、约分求出值。

解：
2. 化弦（切）法
当已知的式子中切、割、弦混合时，从函数名称的角度去考虑，切割化弦是三角函数求值的常用方法。

例3. 求的值。

解：原式
3. 公式变形
对三角公式不仅要正用，还要注意逆用和变用，要熟悉公式的变形，只有这样才能全面掌握公式。

如
可变化为
特别地，若，有
可变形为；
例4. 化简
解：原式
例5. 化简
解：利用结论：若，得
原式
例6. 计算
解：原式
▍ ▍ ▍。

三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧

三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧1.三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。

（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。

（3）常见的配角技巧22()()1[()()]21[()()]2()424ααααββαββαααβαββαβαβπππαα=⋅=+-=--=++-=+--+=-- 〖例〗已知33350,cos(),sin()4445413ππβαπαπβ<<<<-=+=，求sin()αβ+的值。

思路解析：比较题设中的角与待求式中的角，不难发现3()()()442πππβααβ+--=++或将cos()4πα-变化为sin()4πα+，再由()3()44ππαβπαβ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭求解。

解答：方法一：∵344ππα<<，3,0.4424ππππαα∴-<-<--<-<又34cos ,sin()4545ππαα⎛⎫-=∴-=-⎪⎝⎭。

又330,.444πππββπ<<∴<+<又35sin()413πβ+=3sin()cos[()]cos[()()]24433cos()cos()sin()sin()444412354362056()()135135656565πππαβαββαππππβαβα∴+=-++=-+--=-+--+-=--⨯-⨯-=+=方法二：3cos()sin()445ππαα-=+= 4,cos()24453533sin(),,41344312cos().4133sin()sin()4433[sin()cos()sin()cos ]44445665πππαπαπππββππβππαβαβππππαββα<+<∴+=-+=<+<∴+=-∴+=-+++=-+++++=2、三角函数的给值求角问题（1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。

三角函数求角的常见类型及应注意问题

ｍｇ。
ｓｉｎ２ａ—ＣＯＳ
Ｏｃｏｓ卢
①，ＣＯＳ２口一ｓｉｎＯｓｉｎｐ
②。
ｓｉｎ（口＋卢），求口＋卢的值。解：由ａ，卢为锐角，可知ｓｉｎａ＞Ｏ，ｓｉｎＪ９＞Ｏ。由已知条件可得ｓｉｎ口（ｓｉｎ口一ＣＯＳ卢）一ｓｉｎＪ９・（ｃｏｓ口一ｓｉｎ卢）。要使上式成立，只能有下列三种情况：
由①＋②可得ＣＯＳ（口一卢）一１净日一卢一２ｋｎ（ｋ∈ ｚ），即得口一２ｋ７【＋卢（是∈Ｚ）。所以ｓｉｎ２口
１１９，ＣＯＳｆｌ＋ｃｏｓｙ—ＣＯＳ口，求ａ一卢的值。
（３）Ｉｏ＜５ｉｎ口＜。。５卢’
ＩＯ＜ＣＯＳ口＜ｓｉｎ卢。第（１）种情况将产生矛盾：１一ｓｉｎ２口＋ＣＯＳ２口＞ＣＯｓｉｎ２口＋ＣＯＳ２口＜ＣＯＳ２Ｊ９＋ｓｉｎ２Ｊ９一ｌ。
解：由已知条件可得』ｓｉｎｙ—ｓｌｎ卢一５ｍ口，
牛奶可以说是很好的补钙食物。一袋牛奶（２５０ｇ）含２６０ｍｇ钙，虽然看上去很可观，但也少于１００ｇ泥鳅所含的
２９９ｍｇ钙。万方数据
２７０。，就会得出口＋ｆｌ＝４５。或口＋ｐ一２２５。。二要准确选择解题的方法，如例３中，如果利用ｓｉｎ（ａ＋ｐ）的值求ａ＋卢的话，就会扩大解集，而合理解法是利用ＣＯＳ（口＋ｐ）的值，因为余弦函数在（ｏ，７ｃ）上是单调的，这样就不会扩大解集了。二、已知三角函数式求角倒簟已知ａ，Ｊ９，ｙ成公比为２的等比数列，口∈
由上可得口一警，卢一警，ｙ一警或ｄ一等，卢一
８，ｔ
了，ｙ一了。
１６芤
倒芗锐角口，ｐ满足条件鬲ｓｉｎ币４ａ＋詈嚣一１，求
口＋口的值。
倒了已知ａ，卢∈（ｏ，号），Ｒｃｏｓ一４ｉ５，ｃ。ｓ卢一
钙的摄入量应为每人每天７００ｍｇ～１万方数据
０００

三角函数给角求值

三⾓函数给⾓求值前⾔三⾓函数中的给⾓求值类问题，⼤多给定的是分式形式，或者可以化为分式形式的，⽐如含有弦和切，当切化弦后就变成了分式；并且这类题⽬往往需要将⾮特殊⾓拆分，然后最后⼀步约掉含有⾮特殊⾓的代数式，就得到了最终的值。

注意⾼频变形：分式约分，和加减抵消；相关变形切化弦[整式变分式]，1的代换，分式通分约分，根式升幂；配⽅展开，提取公因式，公式的逆⽤，变⽤，常⽤的互余、互补代换：sin70^{\circ}=cos20^{\circ}，cos40^{\circ}=sin50^{\circ}；sin140^{\circ}=sin40^{\circ}，cos110^{\circ}=-sin70^{\circ}=-cos20^{\circ}；常见的⾓的拆分：47^{\circ}=17^{\circ}+30^{\circ}；8^{\circ}=15^{\circ}-7^{\circ}；1+sin\theta+cos\theta=(1+cos\theta)+sin\theta=2cos^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}1+sin\theta-cos\theta=(1-cos\theta)+sin\theta=2sin^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}常见的互余，倍⾓等(\cfrac{\pi}{4}+\theta)+(\cfrac{\pi}{4}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{3}+\theta)+(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}；2x\pm\cfrac{\pi}{2}=2(x\pm\cfrac{\pi}{4})；2\alpha\pm\cfrac{\pi}{3}=2(\alpha\pm\cfrac{\pi}{6})；常见的配⾓技巧：2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)；2\beta=(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)；3\alpha-\beta=2(\alpha-\beta)+(\alpha-\beta)；3\alpha+\beta=2(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)；\alpha=(\alpha+\beta)-\beta；\beta=\alpha-(\alpha-\beta)；\alpha=\cfrac{\alpha+\beta}{2}+\cfrac{\alpha-\beta}{2}；\beta=\cfrac{\alpha+\beta}{2}-\cfrac{\alpha-\beta}{2}；\alpha=(\alpha+\beta)-\beta；(\cfrac{\pi}{6}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{3}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{4}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{3}-\alpha)+(\cfrac{2\pi}{3}+\alpha)=\pi；(\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{3\pi}{4}+\alpha)=\pi；难点变形常涉及“切化弦”，“分式通分”，“辅助⾓公式”等⾼频变形；\tan\theta-\sqrt{3}=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}-\cfrac{\sqrt{3}\cos\theta}{\cos\theta}=\cfrac{2(\sin\theta\cdot \cfrac{1}{2}-\cos\theta\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2})}{\ cos\theta}1+\sqrt{3}\tan\theta=\cfrac{\cos\theta}{\cos\theta}+\cfrac{\sqrt{3}\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{2(\cos\theta\cd ot \cfrac{1}{2}+\sin\theta\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2})}{\cos\theta}注：在具体题⽬中，⾓\theta可以是具体的值，⽐如\tan12^{\circ}-\sqrt{3}，或1+\sqrt{3}\tan21^{\circ}典例剖析№1求值：\cfrac{cos85^{\circ}+sin25^{\circ}cos30^{\circ}}{cos25^{\circ}}分析：这类题⽬往往需要将⾮特殊⾓拆分，然后约掉含有⾮特殊⾓的代数式，就得到了最终的值。

常用三角函数公式及口诀

一、诱导公式1、诱导公式（一~六）诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z ∈诱导公式三： sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式四：sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z ∈ 诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 2、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.3、用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．二、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤1、“负化正”：用公式一或三来转化．2、“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．3、“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．4、“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．三、利用诱导公式求值与求解解题策略1、条件求值问题的策略（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．3、观察互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．。

高考数学总复习三角函数中的求值问题

高考数学总复习三角函数中的求值问题
三角函数的求值问题包括三类题型：
1、给角求值型：一般所给的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时要利用观察到的关系，结合三角公式转化为特殊角的三角函数求解。

2、给值求值型：给出某些角的三角函数式的值，求另一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，从而求值。

3、给值求角型：实质上也转化为“给值求值”，关键也是“变角”，把所求的角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

注意：
（1）上述问题除了用到“变角”的技巧以外，还要注意函数名称和次数的变化。

一般地，如果待求值的三角式子中涉及到弦函数、切函数、割函数，则需要考虑“切割话弦”或“弦化切割”；如果涉及到高次式则用倍角公式或其变形统一次数。

（2）如果所给的式子比较复杂，则需要先将其化简，再求值。

（3）要注意条件中所给的角的范围（有时需要进一步缩小角的范围）以及所给的角的函数值对所求角的函数值的制约作用，否则极易出错。

（4）“知一求二”的问题：如果已知θθcos sin +，θθcos sin -，θθcos sin 中的一个，那么可以求出另外的两个。

注意这三者之间有内在的联系，比如：若设]2,2[cos sin -∈+=θθt ，则θθcos sin =21
2-t 。

专题05 帮你解决给值求角问题(解析版)

帮你学好给值求角问题给值求角问题比给值求值问题，又多了一步，需由三角函数值求角。

有两个难解决的问题，一个是求哪一个三角函数值；另一个是确定所求角的个数（大小）。

现结合实例阐述如下：一、由所求角的范围确定求哪个三角函数值给值求角时，一般根据已知条件（特别是角的范围）确定求哪个角的三角函数值，一般要求三角函数值与角构成一一对应关系，这样所求的角才只有一个值。

例1.设,αβ为钝角，且sin αβ==，求αβ+的值。

分析：要求角αβ+的值，要先求其某一三角函数值。

要由αβ+的范围确定求哪个三角函数值。

解：∵,αβ为钝角，且sin αβ==，cos α∴=，==sin β===∴()cos cos cos sin sin 5105102αβαβαβ⎛⎫+=-=---= ⎪ ⎪⎝⎭。

又2παβπ<+<，所以74αβπ+=。

点评：分析由2παβπ<+<知，余弦值与角一一对应，而正弦值则不行，故求αβ+的余弦值。

例2.已知,αβ均为锐角，且cos ,cos 510αβ==，求αβ-的值。

分析：要求αβ-的值，首先求αβ-的某一三角函数值；求αβ-的哪一三角函数值，需根据αβ-的范围。

解：∵,αβ均为锐角，且cos 510αβ==，sin α∴5==，sin 10β===。

()sin sin cos cos sin 5105102αβαβαβ∴-=-=-⨯=-。

0,0,22ππββ<<∴-<-<又02πα<<，22ππαβ∴-<-<。

所以4παβ-=-。

点评：注意由αβ-的范围确定应求αβ-的正弦值，这样所求角与正弦值构成一一对应关系，不会出现多解的情形，若求余弦值很容易出现两解的错误情形。

二、由已知的三角函数值缩小角的范围由已知的三角函数值缩小角的范围，从而确定所求的角的个数，一般为一个，一般将角的范围缩小到所求角只有一个。

例3.已知()0,,0,4παβπ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，且()11tan ,tan 27αββ-==-，求()tan 2αβ-的值，并求角2αβ-的值。

高三数学第一轮复习：三角函数的最值与给角求值知识精讲

高三数学第一轮复习：三角函数的最值与给角求值知识精讲【本讲主要内容】三角函数的最值与给角求值y ＝a sin x +b cos x 型函数最值的求法、已知三角函数求角。

【知识掌握】【知识点精析】1. y ＝a sin x +b cos x 型函数最值的求法：常转化为y ＝（x +ϕ） 2. y ＝a sin 2x +b sin x +c 型常通过换元法转化为y ＝at 2+bt +c 型3. y ＝dx c bx a ++cos sin 型（1）当x R ∈时，将分母与y 乘转化变形为sin （x +ϕ）＝()f y 型（2）转化为直线的斜率求解（特别是定义域不是R 时，必须这样作） 4. 已知三角函数求角：求角的多值性法则： 1. 先决定角的象限。

2. 如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x ；如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x 。

3. 由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。

【解题方法指导】例1. 求函数y ＝cot2xsin x +cot x sin2x 的最值。

分析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题。

解：y ＝x x sin cos 1+·sin x +x x sin cos ·2sin x cos x ＝2（cos x +41）2+87∵sin x ≠0，∴cos x ≠±1 ∴当cos x ＝－41时，y 有最小值87，无最大值点评：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件。

例2. 求函数y ＝xxcos 2sin 2--的最大值和最小值。

分析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y 看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）。

解法一：去分母，原式化为sin x －y cos x ＝2－2y ，即sin （x －ϕ）＝2122yy +-故21|22|y y +-≤1，解得374-≤y ≤374+ ∴y max ＝374+，y min ＝374- 解法二：令x 1＝cos x ，y 1＝sin x ，有x 12+y 12＝1它表示单位圆，则所给函数y 就是经过定点P （2，2）以及该圆上的动点M （cos x ，sin x ）的直线PM 的斜率k ，故只需求此直线的斜率k 的最值即可。

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