高考数学压轴专题最新备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编附答案
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【高中数学】数学《三角函数与解三角形》高考知识点(1)
一、选择题
1．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3
π
+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．
12
B ．
14
C ．
34
D ．
22
【答案】A 【解析】 【分析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，再求最值. 【详解】
已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3
π
+
）， =21cos 21cos 2322
x x π⎛
⎫
-+
⎪-⎝⎭
+
， =1cos 23sin 2111cos 222223x x x π⎛⎫⎛
⎫--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫
+
∈- ⎪⎝
⎭
， 所以f （x ）的最小值为12
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
2．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）
A ．
2
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π
【答案】C 【解析】 【分析】
设AE BF a ==，13
B EBF EBF
V S B B '-'=
⨯⨯，利用基本不等式，确定点
E ，
F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】
设AE BF a ==，则()()2
3119333288B EBF
a a V a a '-+-⎡⎤
=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦
，当且仅当3a a =-，即3
2
a =
时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=
，352AF =，2292
A F AA AF ''=+=，132
22
EF AC =
=
， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，
由余弦定理得2
2
2
81945
2424cos 93222222
A F EF A E A FE A F EF +-
''+-'∠=
=='⋅⋅⨯⨯， ∴4
A FE π
'∠=．
方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴3,3,32A F ⎛⎫
'=--
⎪⎝⎭
，()3,3,0AC =-， 所以9
9
22cos ,9322
A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯
所以异面直线A F '与AC 所成的角为4
π． 故选：C 【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.
3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，
0AB BC ⋅>
，2
a =
，则b c +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B
．32⎫⎪⎪⎝⎭
C ．13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
利用余弦定理222
cos 2b c a A bc
+-=，可得3A π=，由
|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->，可得B
为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解
【详解】
由余弦定理有：222
cos 2b c a A bc
+-=，又222b c a bc +-=
故2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-===
又A 为三角形的内角，故3
A π
=
又2
a
=sin sin sin(120)o
b c c B C B ==
- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅-> 故cos 0B B <∴为钝角
3sin sin(120)sin 30)2o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+
(90,120)o o B ∈，可得
130(120150)sin(30)(,22
o o o o B B +∈∴+∈，