振动力学第8章第3、4、5节

2 2 2 f f f f f0 2 1 1 2 0 0 0 2 0 2 1 1 x2 x x1 x1 x x 2 2 x 2! x xx 2! x x
(8.4-8)
将式(8.4-5)和式(8.4-8)同时代入式(8.4-2)得到
自激振动是一种特殊的周期运动，它的振幅 和频率由系统的物理参数唯一确定，与初始运动 状态无关。
因此自激振动在相平面内的相轨迹是孤立的 封闭曲线，庞加莱 (Poincare) 称此闭轨迹为极限 环。 在封闭曲线周围布满了螺线型的相轨迹逐渐 地趋近极限环，它们或者盘向极限环，或者盘向 奇点。
极限环又有稳定的和不 稳定之分。如果极限环两侧 的相轨线都趋近于它，既当 相点由于扰动偏离极限环后， 即沿新的相轨迹运动，若扰 动后的相轨迹仍渐近地贴近 极限环，则称极限环是稳定 的如图8.3-5中的M2。
描述物理系统的微分方程，可分为一部分只 包含常系数的线性项，另一部分与前者相比是微 小的非线性项 (自治的或非自治的 )，其微分方程 为如下形式
x f x, x ,t x
2 0
(8.4-1)
解析的非 式中为一个小参数，函数f是关于x和x 线性函数，也可以与时间t有关。这样的系统称为 弱非线性系统，相应地方程 (8.4-1)称为弱非线性 方程，使系统成为非线性的微小项称为摄动项。
基本的摄动方法
摄动方法是针对所谓弱非线性系统的渐近的 解析法，也称为小参数法，它是求解非线性振动 方程最有效的方法之一，是由庞加莱和李亚普诺 夫所拟定、在解决各种问题时广泛应用的方法， 其基本做法是把解展开成小参数 的幂级数，以 寻求满足一定误差要求的渐近解。 求解非线性振动的摄动法中有各种渐近的解 析方法，包括基本摄动法和各种奇异摄动法。奇 异摄动法主要包括林斯泰特法和KBM法等。非线 性振动的许多特性都可以用摄动渐近解描述出来。
线性系统不可能产生自激振动，能产生自激 振动的系统必为非线性系统。前面介绍的范德波 方程和瑞利方程所代表的振动都属于自激振动。
自激振动与保守系统的自由振动不相同。保 守系统的自由振动的振幅由初始条件确定，而自 激振动的振幅与初始条件无关，它决定于系统本 身的参数。
自激振动由于能源恒定而不同于强迫振动。 系统依靠自身运动状态的反馈作用调节能量输入， 以维持不衰减的持续振动。也就是说，在自激振 动中，外界恒定的能源给予振动系统的交变力是 由运动本身产生或控制的，运动一旦停止，交变 力也随之消失。而在强迫振动中，交变力是由外 部能源独立产生的，它不依赖于运动，即使运动 消失了，交变力仍可存在。这样，强迫振动的频 率完全决定于外加激励频率，而自激振动的频率 则很接近于系统的固有频率。
最后，必须指出，对于呈现有极限环的系统， 在其原点周围用线性化分析是不适当的。
对于 >0 的情况线性化分析会判定不稳定， 其运动要无限增大。控制振幅大小的是非线性 , 2 。在这种情形，恰当的线性化必须在极限 x 即 x 环的附近，这样会得出一个带有周期性系数的线 性系统。
8.4
8.3 自激振动 极限环
极限环或自激振动是一种非线性现象。
工程中有很多自激振动的实例，如钟表的摆、 干摩擦自振、输电线舞动、管内流体喘振、机翼 的颤振、机床颤振和车轮制动闸瓦的尖叫声等。
经典的皮带问题如图8.3-1(a)所示，皮带以等 速v移动，在适当条件下，此质量-弹簧系统可能 为动力不稳定；图8.3-1(b)表示棒在稳定流场中的 可能振动。
(5)自激振动的稳定性取决于能量的输入与耗 散的相互关系。若振幅偏离稳态值时，能量的增 减能促使振幅回至稳态值，则自激振动稳定 ( 图 8.3-4a)。反之，自激振动不稳定(图8.3-4b)。
图 8.3-4
3. 极限环 自激振动是稳态的周期性运动，所以它在相 平面上的相轨线构成一条封闭的轨迹，相平面内 的封闭相轨迹与实际系统的周期运动相对应。保 守系统在稳定平衡位臵附近的等幅自由振动对应 于相平面内围绕中心奇点的封闭相轨迹族，在密 集的封闭相轨迹族中，实际相轨迹的振幅由初始 运动状态确定。
例8.3-1 分析电铃(图8.3-2)的自激振动。
解：电铃的铃锤和 弹簧片组成了振动系统， 电源为恒定的能源，电 磁断续器为调节器。
图 8.3-2
通电后铃锤在电磁力的作用下产生位移敲 击铜铃，同时使电路断开，铃锤在弹簧恢复力作 用下回到原处，如此往复循环以产生持久的自激 振动。
例 8.3-2 分析蒸汽机(图8.3-3)的自激振动。
2 2 2 2 x x x x x 0 0 0 1 0 1 2 0 x2
把式(8.4-4)代入式(8.4-2)的左端，有 2 2 2 2 x 0 x x0 x1 x2 0 x0 x1 x2 (8.4-5) , 因为 f x, x 把式(8.4-4)代入式(8.4-2)的右端的 f x, x 0 的邻域展成 是解析函数，故可将它在母解 x0 , x 泰勒级数，即 f x0 x, x 0 x f x, x
x2 , 则方程(8.3-1)可以用两个一 令 x x1 , x 阶微分方程来代替 1 x2 , x 2 x1 1 x12 x2 0 x (8.3-2)
显然，原点是一个平衡点。为了了解这个平衡点 的性质，列出下面线性化系统的系数矩阵
0 1 a 1
(8.3-3) (8.3-4)
它导致特征方程
2 1 0
有根
2 1 1 2 2 2
(8.3-5)
当 >2 时根 1 与 2 都是正实数，所以原点是 不稳定结点。另一方面，当 <2 时根 1 与 2 是具 有正实部的共轭复数，所以这个原点是不稳定焦 点。不管怎么样，原点是不稳定平衡点，而在它 邻域内开始的任何运动趋向于离开这个邻域而达 到极限环。 为得到轨迹的方程，把式(8.3-2)的第二式除 以第一式，结果有
解：蒸汽机的活塞、 连杆和飞轮组成了振动 系统，锅炉供应的蒸汽 为恒定能源，配汽阀为 调节器。
图 8.3-3
蒸汽推动活塞，并通过连杆带动飞轮转动， 同时使配汽阀移动以改变进汽方向，使蒸汽朝相 反的方向推动活塞。活塞在蒸汽的往复推动下的 运动带动飞轮作持久的转动。
2. 自激振动的特征
(1)振动过程中，存在能量的输入与耗散，因 此自振系统为非保守系统。 (2)能源恒定，能量的输入仅受运动状态，即 振动系统的位移和速度的调节，因此自振系统不 显含时间变量，为自治系统。 (3)振动的特征量，如频率和振幅，由系统的 物理参数确定，与初始条件无关。 (4)自治的线性系统只能产生衰减自由振动， 无耗散时也只能产生振幅由初始条件确定的等幅 自由振动。因此自振系统必为非线性系统。
方程(8.4-2)的解除了依赖于时间t还依赖于小 参数，通常方程(8.4-2)没有精确解，根据庞加莱 展开定理，解 x(t,) 可以展开为 的幂级数的形式， 即
xt , x0 t x1 t x2 t
2
(8.4-4)
式中函数xi(t)( i 0,1,2, )为各阶渐近解，是时 间 t的函数而与 无关。 x0(t) 是方程 (8.4-2) 当 =0 时 的解，即方程(8.4-3)的解，称为零次渐近解或母 解。
式中 2 2 2 x x1 x2 , x x1 x
f 0 x
(8.4-7)
是指
f x, x x 在
x x0 , x x 0 取值，其余的类同。
将式(8.4-7)代入式(8.4-6)，按的幂次整理得到
f 0 f 0 f x0 , x 0 1 f x, x x1 x x x
图 8.3-5
反之，若扰动后的相轨迹远离极限环，其中 只要有一侧的相轨线是离开极限环的，则这样的 极限环称为不稳定的，如图8.3-5中的M1和M3。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
不稳定的极限环是实际系统不能实现的运动， 它是用几何作图法画不出来的。稳定的极限环对 应于系统的稳态周期运动，即自激振动。 自激振动在各种技术问题中占有极重要的地 位，因此确定极限环的存在及其稳定性就成为非 线性自治系统理论中的一个重要问题。从上面的 定性分析可知，极限环的存在是明显的，但是对 于一个给定的系统要想从理论上证实极限环的存 在并具体地找到该极限环却是困难的。在很多情 况下，问题的解决还是要借助于图解法。
如果f中不显含时间t，则得到弱非线性自治方程
2 0 x x f x, x
(8.4-2)
设有弱非线性自治系统由微分方程 (8.4-2) 所 描述。当=0时，此方程成为
2 x 0 x 0
(8.4-3)
这是大家所熟知的最简单的无阻尼单自由度线性 振动问题，0为固有频率。
f 0 f 0 0 f x0 , x x x (8.4-6) x x 2 f0 2 f0 2 1 2 f0 2 2 x 2 x 2 x x 2! x xx x
2 2 2 x0 0 x0 x1 0 x1 2 x2 0 x2
dx2 x1 2 1 x1 dx1 x2


(8.3-6)
要求得上式的一个封闭解是不可能的。
轨线可以用某种图解方法来求得，例如用等 倾线法，或者用计算机摸拟。图 8.3-6 给出了对 =0.2和=1.0的值用计算机摸拟求得的极限环。
图 8.3-6
从图8.3-6显然可见极限环的形状决定于参数 。事实上，当 0 极限环趋于一个圆。因为所 有轨迹不论从外面或从里面都趋近于极限环，所 以这极限环是稳定的。 注意到，当 <0 时得到的是一个不稳定极限 环，而这个极限环是轨道不稳定的；当 >0 时则 是轨道渐近稳定的。 可见，一个稳定的极限环包围一个不稳定平 衡点，而一个不稳定极限环包围了一个稳定平衡 点。
一个具有极限环系统的经典例子是范德波振 子。这个例子可以说明极限环的一些性质。 范德波振子是由下面的微分方程所描述，即
x0 x x 2 1 x
0
(8.3-1)
上式可认为是一个具有可变阻尼的振子。确实, x 2 1 这一项可以看成一个与振幅相关的阻尼 系数。对于|x|<1这个系数是负的，而对|x|>1它是 正的。因此当运动在|x|<1的范围内时负阻尼有助 于增加振幅，而当|x|>1时正阻尼有助于减小振幅 ，所以预期会有极限环而且确实得到了极限环。
图 8.3-1
这些例子说明：一个非线性系统在一个常数激励 作用下，可能产生周期振动。
1. 自激振动 所谓的自激振动是系统内部的非振动的能量 转换为振动的激励而产生的振动。 对于自激振动可以做如下的物理解释：
存在一个与系统有关的外部恒定的能源，自激 振动靠系统外部的来源补充能量，使运动的系统与 恒定能源之间产生交变力，这个交变力在运动方程 中体现为阻尼项。当系统振动较小时，方程中的阻 尼项成为负阻尼，使系统周期性地从恒定能源吸收 能量而使运动增长；当运动增长到一定程度，方程 中的阻尼项成为正阻尼而使运动衰减。当系统在一 个周期内损失的能量和吸入的能量相等时，系统呈 现稳态的周期运动。这种的稳态周期运动就称为自 激振动，或简称自振。