求数列通项公式的十种方法

1． 观察法（求出a1、a2、a3，然后找规律）
即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳法加以证明即可。

例1.设11=a ，)(222
1*+∈++-=
N n b a a a n n n ，若1=b ，求32,a a 及数列}{n a 的通项公式． 解：由题意可知：11111+-==a ， 11221221212+-==++-=a a a ，
113121222223+-=+=++-=a a a . 因此猜想11+-=n a n .
下面用数学归纳法证明上式．
（1）当n ＝1时，结论显然成立．
（2）假设当n ＝k 时结论成立，即11+-=k a k .
(3)则11)1(11)1(11)1(12222
1+-+=++-=++-=++-=+k k a a a a k k k k ， 即当n ＝k ＋1时结论也成立．
由（1）、（2）可知，对于一切正整数n ，都有)(11*
∈+-=N n n a n ．（最后一句总结很重要）
2． 定义法（已知数列为等差或者等比）
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。

例2.已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=，求{}n a 的通项公式。

解：设等差数列{}n a 的公差为d .
因为432a a -=，所以2d =.
又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =.
所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.
3．公式法
若已知数列的前n 项和与的关系，求数列的通项可用公式
求解。

（一定要讨论n=1，n≥2）
例3.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23 3.n n S =+
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式。

解：（Ⅰ）由 233n n S =+
可得：当1=n 时， 111(33)32
a S ==
+=， 当2≥n 时，11111(33)(33)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥ 而 11133a -=≠，
所以 13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩
4．累加法
当递推公式为)(1n f a a n n +=+时，通常解法是把原递推公式转化为。

例4.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列{a n }的前10项和为
解：由题意得：
112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
12)1(+++-+= n n 2
)1(+=n n 5．累乘法
当递推公式为)(1n f a a n n =+时，通常解法是把原递推公式转化为
)(1n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

n s n a {}n a n a 1()n n a a f n +-=
例5.已知数列满足，求的通项公式。

解：由条件知 ， 在上式中分别令)1(,,3,2,1-=n n ，得1-n 个等式累乘之，
即 n n a a a a a a a a n n 14332211342312-⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅- ， 即 n
a a n 11= 又 321=a n
a n 32=∴
6.构造法（拼凑法）-共5种题型，第2、3种方法不必掌握
1、当递推公式为q pa a n n +=+1（其中q p ,均为常数，且0)1(≠-p pq ）时，通常解法是把原递推公式转化为)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=
1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例题：已知数列}{n a 满足13,111+==+n n a a a ，求}{n a 的通项公式。

解：由 131+=+n n a a
得 )21(3211+=+
+n n a a 又 2
3211=+a 所以}21
{+n a 是首项为
23，公比为3的等比数列 所以 2
3323211n
n n a =⨯=+- 因此数列}{n a 的通项公式为2
13-=n n a . 2、当递推公式为)0,,(1≠++=+pk b k p b kn pa a n n 均为常数，且其中时，通常解法是把原递推公式转化为)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，其中y x ,的值由方程⎩⎨⎧=--=-b
y x py k x px 给出。

（了解即可，不必掌握） {}n a 112,31
n n n a a a n +==+n a 11
n n a n a n +=+
例题：在数列}{n a 中，=2，=，求数列}{n a 的通项。

解：由 1341+-=+n a a n n
得 )(4)1(1n a n a n n -=+-+
又 111=-a 所以数列}{n a n -是首项为1，公比为4的等比数列
所以 14-=-n n n a ，即 n a n n +=-14.
3、当递推公式为n n n c pa a +=+1（其中c p ,均为常数，且0≠pc ）时，通常解法是把原递推公式转化为
c c a c p c a n n n n 111+⋅=++。

①若c p =，则c
c a c a n n n n 111=-++，此时数列}{n n c a 是以c a 1为首项，以c 1为公差的等差数列，则c n c a c a n n 1)1(1⋅-+=，即11)1(--+=n n c a n a 。

②若c p ≠，则可化为)1)((11p
c t t c a c p t c a n n n n -=-=-++其中形式求解。

（了解即可，不必掌握） 例题：已知数列{}中，=1，=，求数列的通项公式。

解：由 n n n a a 321+=+
得 )3(2311n n n n a a -=-++
所以数列是首项为=，2=q 的等比数列
所以 = ， 即 =
4、当递推公式为（s q p ,,为常数，且0≠pqs ）时，通常两边同时取倒数，把原递推公式转化为p q pa s a n n +=+11。

①若s p =，则}1{n a 是以11a 为首项，以p q 为公差的等差数列，则p q n a a n ⋅-+=)1(111，即1
1)1(pa n q a p a n -+=。

②若s p ≠，则可转化为1a 1n a +431
n a n -+n a n a 1a 1n a +23n n a +{3}n n a -113a -2-3n n a -122n --⨯n a 32n n -1n n n pa a qa s
+=+
)1(11t a p s t a n n -=-+（其中s
p q t -=）形式求解。

例10.已知数列{}满足，且（），求数列{}的通项公式。

解：原式可变形为
两边同除以3得 …… ⑴ 构造新数列，使其成为公比=q 的等比数列 即
整理得 满足⑴式使 ∴ ∴数列是首项为，q= 的等比数列 ∴ ∴。

5、当递推公式为=p q +（q p ,均为常数）（又称二阶递归）时，将原递推公式=p q +转化为-＝（-）.其中、由解出，由此可得到数列｛-｝是等比数列。

例题：设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．证明：为等比数列；
证明：因为 )2(854112≥+=+-++n S S S S n n n n
所以 )2(44441112≥-=-+-+-++n S S S S S S n n n n n n
n a 132a =
11321n n n na a a n --=+-2n ≥n N *∈n a 112(1)3n n n n a a n a na --+-=1n n a a +111233
n n n n a a --=+{}n n a λ+13
1
11()3n n n n a a λλ--+=+11233n n n n a a λ--=-2233λ-=1λ=-{1}n n a -11113a -=-13
11111()()333n n n n a --=-=-331
n
n n n a ⋅=-2n a +1n a +n a 2n a +1n a +n a 2n a +α1n a +β1n a +αn a αβp q
αβαβ+=⎧⎨=-⎩1n a +αn a
即 )2(4412≥=+++n a a a n n n
因为 21344a a a =+
所以 1244++=+n n n a a a
因为 21)2(22242424242
12111111112112=--=---=--=--+++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a 所以数列}21{1n n a a -+是以12112=-a a 为首项，以21为公比的等比数列。