习题课二重积分的计算

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二重积分的习题课(无解题过程)

Ik f ( x, y)d (k 1, 2, 3)
Dk
试比较I1, I2 , I3之大小。
y
2 D1 D2 1 D3
o
x
12
例2 设f (x, y)是有界闭域D : x2 y2 a2上的
连续函数,
试求极限
lim
a0
1
a
2
D
f (x, y)dxdy。
例3 把 f (x, y)d表为极坐标下的二次积分, D

2
D1
f
( x,
y)d ,
当f ( x, y) f ( x, y)时当f ( x, y) f ( x, y)时
其中D1是D的右半区域（奇零偶倍）
8
2、若D关于x轴对称
即当(x,y)∈D时，必有(x, y) ∈D，则
f ( x, y)d
D
0,

如D的边界是由直角坐标方程:y =f (x) 给出，通常可从几何意义去确定D的极坐标表示（图
形是重要的）或利用x=rcos， y=rsin 进行变换。
r 2( )
D

O
r 1( )
r x2( ) D

O
r 1( )
x
r ( )
oD
x
6
(3)坐标系的选取
D
D
1 [ f ( x, y) f ( y, x)]d
2D
（轮换对称）
（四）有关二重积分的一些证明题
中值定理、变上限积分、换元等
11
例1 设D1是以(0,1)为中心,边长为2的正方形,
D2, D3分别为D1的内切圆和外接圆 f ( x, y) (2 y x2 y2 )e x2 y2

习题课10--二重积分部分

8求
9计算二重积分 ,其中
10计算二重积分，其中D是由直线，，以及曲线
所围成的平面区域。
11设函数在区间上连续，并设，
求。
解法1：化为二重积分，然后利用二重积分的性质。
如图，：，：。
∵ ，
∴
。
解法2：更换二次积分顺序
∵
∴
。
解法3：利用定积分换元法。
。
解法3：利用分部积分
，
得所求二重积分的方程，解之得。
宁波工程学院高等数学AI教案
习题课10--重积分
1选择填空
（1），其中的大小
关系为:（）
(A) (B) (C) (D)无法判断
（2），且在上连续.
(A) (B) (C) (D)
（3）区域 ,按Y型区域应为（）
(A) (B) (C) (D)
（4）已知
，则（）
(A) (B) (C) (D)
12设连续，且，其中D是由，，
所围成区域，则等于（C）
（A）；（B）；（C）；（D）。
解：设（常数）。在D上对两边积分得：
，解得，
故。
（5）设连续,且 ,其中D由所围成,则
(A) (B) (C) (D)
2 填空
（1）在Y型区域下的二次积分为
（2）将转换为极坐标形式下的二次积分
（3）所围成，且连续。
（4）
（5）。
解：。
（6）。
解：
。
（7）。
解：该积分不是二重积分的二次积分。
。
（8）在极坐标系下的二次积分
为。
（二）、客观题
1设在上连续,证明： .

多元微积分第7次习题课(二重积分概念、性质、计算)答案(2015)

2 2 2 2
I = ∫∫ (1 −
D
x2 y2 − )dxdy 9 4
就会达到最大值，所以积分域应取为
D = {( x, y ) x2 y2 + 9 4
≤1} ．（二重积分与累此积分的关系）设函数 f ( x, y) 连续，交换下列累次积分的积分次序： 2．（1） ∫ dx∫ f ( x, y)dy ；（2） ∫ dx∫ f ( x, y)dy + ∫ dx∫ f ( x, y)dy ；
多元微积分第 7 次习题课
多元微积分第 7 次习题课参考答案
1
1/9
．（比较定理，区域可加性）确定积分区域 D ，使得二重积分 I = ∫∫ (1 − x9 − y4 )dxdy 达到
2 2 D
最大值．解：根据重积分的比较定理和积分区域的可加性性质，只要积分域 D 包含了使得被积函数 x y x y f ( x, y ) = 1 − − ≥ 0 的所有点，而没有包含 f ( x, y ) = 1 − − < 0 的点，那么二重积分 9 4 9 4
=
6 8 2 3 4 x dx + ∫ (8x 2 − x3 )dx ∫ 2 3 0 3
=
2 4 x 3
1
π
0
3 0
（4） ∫
(1, 0)
π 2 π − 2
dθ ∫
2 cos θ
0
f (r cos θ , r sin θ ) rdr
对应的积分域 D 是一个圆心在
ห้องสมุดไป่ตู้
D
1
，半径为1 的圆（如图），所以
2 cos θ 0
∫
dθ ∫
f (r cos θ , r sin θ ) rdr

高数二重积分习题加答案

高数二重积分习题加答案用二重积分求立体的表面积二重积分习题课例1 比较I 1 = ∫∫ ( x + y ) 2 dσ 与I 2 = ∫∫ ( x + y ) 3 dσ 的大小,D D其中D 由( x 2 ) 2 + ( y 1) 2 = 2 围成 .y由重积分的性质x+y1I1 I21212xx + y =1用二重积分求立体的表面积例2 将二重积分化成二次积分I = ∫∫ f ( x , y )d xdy ,D: x + y =1 , x C y = 1,x = 0 所围所围. ,1 yD先对y 积分y =1C xI =01∫ dx ∫011 xx 1f ( x , y )d yxy = x C1 C1用二重积分求立体的表面积先对x 积分1 yI =x =1C yD1∫∫ + ∫∫D1 D21 y=1∫ dy ∫01f ( x , y )d x +y +10D2x+∫dy ∫f ( x , y )d xx = y +1 C1用二重积分求立体的表面积例3 将二次积分换序I = D: x ≤ y ≤ 2ax x 2∫0 dx ∫xya2 ax x 2f ( x , y )dy .ax = a a2 y20≤ x≤ay 2 = 2ax x 2即y + ( x a) = a又Q x ≤ a,∴x a = a y2 2222a xI=ady∫y2 2a a yf ( x , y )d x用二重积分求立体的表面积例4 将I = ∫ d y ∫ 0 0 区域边界：区域边界：边界y 2R2 Ry y 2f ( x , y )d x 变为极坐标形式 .即r =2Rsinθπ 即θ = 2x = 2 Ry y 2x=0r =2Rsinθ2R∴ I = ∫ dθ ∫0π 2 02 Rsin θf ( rcos θ , rsin θ )rdr用二重积分求立体的表面积1 x2 例5 计算∫∫ 2 dσ , 其中D由y = x, y = , x = 2 x D y 解围成. 围成. 1 D : ≤ y ≤ x , 1 ≤ x ≤ 2. x∫∫ y2 dσ = ∫1 dx∫Dx22x 1 xx y2D2dyx = ∫ 1 y222 3 dx= ( x x)dx = 9. 1 1 4x∫用二重积分求立体的表面积例6 计算∫∫ y x dσ , 其中D : 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.2 D 先去掉绝对值符号，解先去掉绝对值符号，如图∫∫Dy x2 dσ2D3D12=D +D2 1∫∫ ( x1 1y)dσ + ∫∫ ( y x )dσD3D2= ∫ dx ∫ ( x y )dy + ∫ dx ∫ 2 ( y x2 0 1 xx211211 )dy = . 15用二重积分求立体的表面积例7 证明∫a dx∫a ( x y)证b xxn 21 b f ( y)dy = (b y)n 1 f ( y)dy. n 1∫an 2∫a dx∫a ( x y)b bf ( y)dyy by= xD= ∫ dy∫ ( x y)n 2 f ( y)dxaya=∫ba1 n 1 f ( y) ( x y) dy n 1 yboabx1 b (b y)n 1 f ( y)dy. = n 1 ∫a用二重积分求立体的表面积例8 计算解1∫0 dy∫yy1ysin x dx. x∫0 dy∫y1 01 x sin x sin x dx = ∫ dx∫2 dy 0 x x x= ∫ (1 x)sin xdx= 1 sin1.用二重积分求立体的表面积x2 y2 例9 设D为圆域x 2 + y 2 ≤ R 2 , 求∫∫ 2 + 2 dxdy . a b D y解2由对称性1 y dxdy = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy 2 D2ORx∫∫ x dxdy = ∫∫D Dx2 y2 1 1 1 ∴ ∫∫ 2 + 2 dxdy = 2 + 2 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy a b 2 a b D D R 2 1 1 1 2π 1 4 1 1 = 2 + 2 ∫ dθ ∫ r rdr = πR 2 + 2 . 0 4 b 2 a a b 0用二重积分求立体的表面积例10 求半球面z = 3a x y 与旋转抛物面2 2 2z x 2 + y 2 = 2az ( a 0 ) 所围成立体的表面积 .oxy用二重积分求立体的表面积S = S1 + S 2zz =3a 2 x 2 y 2 共同的D : 2 x + y 2 = 2azS1 S2x 2 + y 2 ≤ 2a 2 即z = 0oD2ayx用二重积分求立体的表面积S1 : z = 3a 2 x 2 y 23a z z dxdy dA1 = 1 + + dxdy = 2 2 2 3a x y x y 2 2x2 + y2 S2 : z = 2a 2a z z a2 + x2 + y2 dA2 = 1 + + dxdy = dxdy x y a2 2所求面积：所求面积：A = A1 + A2 = ∫∫D3a 3a x y2 2 2dxdy + ∫∫Da2 + x2 + y2 dxdy a用二重积分求立体的表面积= 3a ∫2π 0dθ ∫2a 02a 02a 1 2π rdr + ∫ dθ ∫ a 2 + r 2 rdr 0 a 0 3a 2 r 2 1= 6π a ∫2π rdr + a 3a 2 r 2 12a∫2a 0a 2 + r 2 rdr= 3π a ∫ +1 3a2 r 20 2ad (3a 2 r 2 )πa∫a 2 + r 2 d (a 2 + r 2 )4 2 2 2 = 6 3 + 6 π a . 3 3用二重积分求立体的表面积练习题交换下列二次积分的次序: 交换下列二次积分的次序1 2y 3 3 y1. ∫ dy ∫01 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1f ( x , y )dx;2. ∫ dx ∫R 21+ 1 x 2 xf ( x , y )dy;计算下列二次积分：计算下列二次积分：二次积分3. ∫ey2dy ∫ e0yx2dx + ∫R R 2ey2dy ∫R2 y 2ex2dx;4.∫155 dx 1 dy ∫ . y ln x y用二重积分求立体的表面积练习题答案1.∫ dx ∫ x0 223 xf ( x , y )dy2 2 y y2 0 R22.∫ dy ∫01y2 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1R r2f ( x , y )dx).3. I = ∫ π dθ ∫ e2 4 0πrdr =π8(1 e4. I = ∫ dx ∫15x 15 1 dy =∫ ln xdx = 4. 1 ln x y ln x用二重积分求立体的表面积设( x )为[0D关于直线y = x对称, 则若闭区域,1]上的正值连续函数, a ( x )∫∫ f b )( σ ) ∫∫ f ( y, x)dσ1 + (x, y dy = 证明：证明：∫∫ ( x ) D+ ( y ) d Dxdy = 2 (a + b) D为常数，其中a, b为常数，D = {( x , y ) 0 ≤ x , y ≤ 1}. y a ( x ) + b ( y ) 证设I = ∫∫ d xd y y= x 1 ( x) + ( y) Dy 由区域关于直线= x的对称性得a ( y ) + b ( x ) O I = ∫∫ d xd y ( y) + ( x) D1x1 所以, 所以2 I = ∫∫ (a + b )dxdy = a + b I = ( a + b ). 2 D。

二重积分的计算习题课

y= x
x x = ∫1 (− ) 1 dx y x
2
2
x
1
o
D
1
x=2
9 = ∫1 ( x − x)dx = . 4
2 3
2
x
型区域计算可以吗? 按Y-型区域计算可以吗型区域计算可以吗
6
P155:15(2) P155:15(2)
∫∫
D
π 2 1 1− ρ 1 − x2 − y2 dxdy = ∫ 2 dθ ∫ ρ dρ 2 2 2 0 0 1+ x + y 1+ ρ
• 确定积分序
• 写出积分限
• 计算要简便 (充分利用对称性，几何意义和性质等充分利用对称性，充分利用对称性几何意义和性质等)
2
P154:2(3) P154:2(3)
e x + y d σ , 其中 D = {( x , y ) x + y ≤ 1 ∫∫
D
}.
1
0 ≤ x ≤1 解: X-型 D1：型 x − 1 ≤ y ≤ 1 − x
12
6. (10分)计算二重积分 ∫∫ r 2 sin θ 1 − r 2 sin 2θ drdθ ,
D
π 其中D = ( r ,θ ) 0 ≤ r ≤ sec θ , 0 ≤ θ ≤ . 4
(10数学二数学二) 数学二
7. (10分)计算二重积分 ∫∫ ( x + y )3 dxdy , 其中D由曲线x = 1 + y 2
二重积分复习课
1.∫∫ f ( x, y)d xdy = 极点在区域D的外部 D 极坐标系下计算极点在区域D的边界上极点在区域D的内部 y x =ψ ( y) y = ϕ ( x) y ρ = ρ2(θ) ρ = ρ(θ ) ρ = ρ(θ) d ρ=ρ (θ)

二重积分习题课(简)

1
错误点：大多同学都做错了，错误点：大多同学都做错了，可能是正切函数的导数不清楚了。不清楚了。
11
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第三次作业共有2 第三次作业共有2题 P13）多元函数微分法习题课二（习题册第一本 P13）填空 1. f ( x, y )在 ( x0 , y0 ) 处有极值，则 D 处有极值， (A) f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 ) 内唯一驻点, (B) ( x0 , y0 ) 是D内唯一驻点,则必为最大值点;且 ) 内唯一驻点则必为最大值点;
1 2 1 2 −0 ≤ x + y < × 2ε = ε 2 2 x2 + y2 xy
即
( x , y ) →(0,0)
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0).
处连续。因此函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处连续。错误作法：取极限，错误作法：有的同学令 y = kx 取极限，得到
∆y →0
= lim
∆y ∆y
∆y →0
g (0, 0),
存在，因为 f x (0, 0) 和 f y (0, 0) 存在，并且
∆x → 0
lim
∆x ∆x
不存在，不存在，所以 g (0, 0) = 0.
错误：多数同学做得不好，从偏导数的形式得不到错误：多数同学做得不好，
g (0, 0) = 0
x →0, y = kx →0
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0) 从而得到结论。从而得到结论。
3
目录上页下页返回
第二节：（：（习题册第一本 P4）（2）第二节：（习题册第一本 P4）四四、设 f ( x, y ) = x − y g ( x, y ), 其中 g ( x, y ) 在点 (0, 0) 的邻域内连续。应满足什么条件，的邻域内连续。问：g ( x, y ) 应满足什么条件，使

重积分习题课

重积分习题课1．计算σd yx D ⎰⎰22，其中D 由x y =，x y 1=，2=y 围成。

2．计算积分dxdy y x I D⎰⎰+=)(，其中D 由x y22=，4=+y x ，12=+y x 所围成。

3．计算[]dxdy y x yf x I D⎰⎰++=)(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。

4.计算dxdy xye x I Dy x⎰⎰++=)(222，其中：（1）D 为圆域122≤+y x ；（2）D 由直线x y =，1-=y ，1=x 围成。

5．计算二重积分：（1）dxdy x y I D⎰⎰-=||2，其中D ：11≤≤-x ，10≤≤y 。

（2）dxdy xy y x I D⎰⎰+-+=)22(22，D 为圆域122≤+y x 在第一象限的部分。

6．交换积分次序：⎰⎰=xdy y x f dx I sin 020),(π。

7．计算dxdy y x I D⎰⎰+=22，其中D 是由心脏线)cos 1(θ+=a r 和圆a r =所围的区域（取圆的外部）。

8.在极坐标系下计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )(，其中D 是曲线y x y x +=+22围成区域。

9．在极坐标系下把二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(化为两种不同次序的累次积分，其中区域D 由222R y x Rx ≤+≤所确定，),(y x f 在D 上连续。

10．计算dxdy yx yx I D⎰⎰+-=)cos(，其中D 是由1=+y x ，0=x 及0=y 所围成。

11．将积分dz z y x f dx dy y x y y yy ⎰⎰⎰+---++)(3022212222)(化成柱坐标和球坐标下的累次积分。

12.计算⎰⎰⎰Ω++=dxdydz y x xy x I )sin 5(2222，其中Ω由)(2122y x z +=，1=z ，4=z 围成。

13.计算⎰⎰⎰Ω-++=dxdydz z y x I |1|222，其中Ω由2223z y x =+，1=z 围成。

二重积分的计算习题课

2 x 1
d y d x
0 x y 1 x
e x y d y
d x e x 1 1
)dx (e
1 0
(e e
D D1
2 x 1
x y x y 问： e d 4 e d ？
1 e )d x e . e
1
3
0
2 d
2 0
3!! 3 4 a 4a cos d 4a 4!! 2 4
4 4
4
4
P155:13(1)(3)
(1) dx
0 2a 2 ax x 2 0
把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值.
2 2
( x y )d y
(3) dx 2 ( x 2 y 2 ) d y
• 确定积分序
积分域分块要少.
累次积分好算为妙(首先内积分易积). “平行线穿越法” “射线穿越法”
• 写出积分限
• 计算要简便 (充分利用对称性，几何意义和性质等)
2
P154:2(3)
x y e d , 其中D ( x , y ) x y 1 D
.
1
0 x 1 解: X-型 D1： x 1 y 1 x
V 2 x y d x y d
2 2
D
2
2
D
D
o x
y
d
0
2
1
0
2 2 ρd d ρd
0 0
2
1
y
x2 y2 1
1
o D
x
9
P155:10
计算曲面z x 2 2 y 2及z 6 2 x 2 y 2所围成的立体的体积.

二重积分习题课

D
几何意义
设f ( x , y ) ≥ 0, ( x , y ) ∈ D , 则曲顶
为高和以M为高的为高和以柱体的体积介于以D为底柱体的体积介于以为底,以m为高和以为高的为底两个平顶柱体体积之间. 两个平顶柱体体积之间
6
在闭区性质6(二重积分中值定理) 性质6(二重积分中值定理) 设f (x, y)在闭区 6(二重积分中值定理的面积, 上连续, 域D上连续 σ为D的面积则在上至少存在一点上连续为的面积则在D上至少存在一点 (ξ ,η ), 使得
ψ1( y)
f ( x, y)dx
c
O
x
先对x 后对y的二次积分的二次积分. 先对后对的二次积分
11
三、在极坐标系中化二重积分为累次积分
(1)设f (x, y)在平面有界平面闭区域上连续设在平面有界平面闭区域D上连续在平面有界平面闭区域上连续.
D = {( x, y)α ≤ θ ≤ β ,ϕ1(θ ) ≤ r ≤ ϕ2(θ )}
β
ϕ(θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr;
r = ϕ (θ )
D β θα
O
A
13
(3)设f (x, y)在平面有界平面闭区域上连续设在平面有界平面闭区域D上连续在平面有界平面闭区域上连续.
D = {( x, y) 0 ≤ θ ≤ 2π,0 ≤ r ≤ ϕ(θ )}
其中函数 ϕ(θ )在区间[α, β ]上连续.
则
∫∫ f ( x, y)dxdy = 0, D
f (x, y)对x为偶函数即为偶函数, 对为偶函数
f ( − x , y ) = f ( x , y ), ∀( x , y ) ∈ D ,

二重积分习题及答案

在第一象限部分.
y
解: (1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
1 D1
D1, D2 两部分, 则
1 o 1 x
I D1 dxdy D2 dxdy
D2
1
dx
1
1
x2 dy
1 dx
1
x2
dy
0
2 3
(2) 提示:
I D ( x2 y2 2xy 2) dxdy
y
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
1 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号.
解采用直角坐标
1
( x y )dxdy 4 dx
1 x2 ( x y)dy 8
D
0
0
3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域

二重积分的计算方法例题及解析

二重积分的计算方法例题及解析一、利用直角坐标计算二重积分1. 例题- 计算∬_D(x + y)dσ，其中D是由直线y = x，y = x^2所围成的闭区域。

2. 解析- （1）首先确定积分区域D的范围：- 联立方程<=ft{begin{array}{l}y = x y = x^2end{array}right.，- 解得<=ft{begin{array}{l}x = 0 y = 0end{array}right.和<=ft{begin{array}{l}x = 1 y = 1end{array}right.。

- 所以在x的范围是0≤slant x≤slant1，对于每一个x，y的范围是x^2≤slant y≤slant x。

- （2）然后将二重积分化为累次积分：- ∬_D(x + y)dσ=∫_0^1dx∫_x^2^x(x + y)dy。

- （3）先计算内层积分：- ∫_x^2^x(x + y)dy=∫_x^2^xxdy+∫_x^2^xydy。

- ∫_x^2^xxdy=x<=ft(y)<=ft.rve rt_x^2^x=x(x - x^2)=x^2-x^3。

- ∫_x^2^xydy=(1)/(2)y^2<=ft.rvert_x^2^x=(1)/(2)(x^2-x^4)。

- 所以∫_x^2^x(x + y)dy=x^2-x^3+(1)/(2)(x^2-x^4)=(3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4。

- （4）再计算外层积分：- ∫_0^1((3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4)dx=(3)/(2)×(1)/(3)x^3-(1)/(4)x^4-(1)/(2)×(1)/(5)x^5<=ft.rvert_0^1。

- =(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(10)=(10 - 5 - 2)/(20)=(3)/(20)。

重积分二重积分的习题课ppt课件.ppt

2
1 ln sec
2
tan
C
于是
a3 1
I
a3 2 ln( 2 1)
2 ln( 2 1) 。
32
6
18
例6 计算I y2dxdy,其中D是由x轴和摆线 D
L
:
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
(0 t
2 )
的一拱所围成的区域。
y
解 I
2a
dx
D
D
xdxdy xdxdy xdx
D 0
dx
1
x3
D1 D2
xdy 2
x3
D2
0 x4dx
1
2。 5
30
解法二设F(u)是f (u)的一个原函数， y
x sin yf ( x2 y2 )dxdy
D
1
1
dy
y 3 x sin yf ( x2 y2 )dx
1 1
1
o
1
32 2。 15
28
例8 计算I x[1 sin yf (x2 y2)]dxdy,其中D D
是由y
x3,
y
1,
x
1所围区域,
f
为连续函数。
y
解法一利用对称性。
作曲线y =－x3，将区域D
D1
分成两部分D1 和D2 D1关于y轴对称
D2 1 o
1x
D2关于x轴对称
因为连续函数 xsiny f (x2+y2) 关于变量 x、y 分别都是奇函数， x 关于变量 x 是奇函数，所以有
1
D 3
f ( x, y)d
D2
D3

10-二重积分习题课

1 2 1
1 1 1 1 故 I f ( x) f ( y )dxdy f ( x)dx f ( y )dy 0 2 D1 D2 2 0
1 2 A 2
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15/26
例4
计算二重积分 I
(1) D为圆域 (2) D由直线
(x D
2
2 2
D2 {( x, y ) | 1 x 2 y 2 2, x 0, y 0}
2 2 则有 [1 x y ] 1, ( x, y ) D1
于是
D
[1 x 2 y 2 ] 2, ( x, y ) D2
2 2 xy [ 1 x y ]dxdy xy dxdy 2 xy dxdy
0
2
sin cosd 3[1 2 ]d
0
4 2 3 1 1 3 3 ( d 2 d ) 1 8 2 0
4
2
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9/26
解Ⅱ 利用直角坐标系记 D1 {( x, y ) | x y 1, x 0, y 0}
I f ( x , y )d 2 f ( x , y )d
( 2) f ( x , y ) f ( x , y ), 则 I f ( x , y )d 0
D
D1
oD
D1
x
当区域关于y轴对称, 函数关于变量x有奇偶性时,仍有类似结果.
2.若D关于原点对称,
2
D3
2
(x D D
2
y )d ( y x )d
D3
2 1 1 2

9-2-二重积分的计算法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

r
2
3
)2
R
cos
d
2
0
3 2 y
0
1
2
3
[R3 (R2 R2 cos2 )2 ]d
3
o
2
r R cos
D Rx
R3
2
[1 sin3 ]d
3 2
3
(注意(sin2 )2 | sin3 |)
2R3 2 (1 sin3 )d R3 ( 4)
30
33
25
例16. 求球体 x2 y2 z2 4 a2 被圆柱面 x2 y2 2 ax
D
c
1( y)
X型区域旳特点：穿过区域且平行于y轴旳直
线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域旳特点：穿过区域且平行于x轴旳直
线与区域边界相交不多于两个交点. 3
注ⅰ）二重积分化累次积分旳环节
①画域，②选序，③定限
ⅱ）累次积分中积分旳上限不不大于下限 ⅲ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域旳形状来拟定，这首先要画好区域旳草图，——画好围成D旳几条边界线，
(a 0) 所截得旳(含在柱面内旳)立体旳体积.
解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0
2
z
由对称性可知
V 4 D 4 a2 r 2 r d r d
o
y
4 2 d
2 acos
0
0
4a2 r2 rdr
2a
x
32 a3
2 (1 sin3 ) d
32 a3(
2)
30
化二重积分为累次积分时选择积分顺序旳主要性，有些题目两种积分顺序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种顺序能积出来，而对另一种顺序却积不出来.

二重积分习题课

，积分上下限或者为常数或者是后积分变量的函数。
1 1x
【例1】设
f(x,y)dxdydx f(x,y)d ，y则改变其 00
D
积分次序后为
。
1x
1
(a) dy f(x,y)dx
0
0
1 1x
(b) dy f(x,y)dx 00
11
(c) dy f(x,y)dx 00
1 1y
(d) dy f(x,y)dx 00
[解] （a）显然是错的，因为后积分的上、下限不能含有变量；（b）也是错的，因为先积分的上、下限或者为常数或者后积分变量的函数，而（b）违背了；（c）也是错的，原因是改变积分次序不会改变积分域，由排除法可知（d）该入选。
二极坐标系中积分限的确定
积，又因 f(,)0.
故 f(x,y)d0 (P0,)
与假设矛盾，即知在D内有f(x,y) 0. 2. 累次积分型的命题的证明证题思路：累次积化分为重积分化为另一次序的累次证题过程中，常用到重积分对积分域的可加性，对积分变量的无关性。
再以过 x z y 向 ( (x (y X 过 , z y [O [面 a ) , ， b Y (]投 D 作 )x x y ]D )zy 作影 z/作 )作 r Y /Z X /轴 / 轴轴 Y /Z X 用轴轴射轴极的的的 D 的的线的坐 r的得直直直标 D D 直直 x y 穿直 y x , y z ,变 z 得入得得线 r 得线得线 1(线线越线 )[和化入点入入 y 穿 ,入 z x 穿 y 入穿 1 z 1 1 x 1 (1 (1 (x (z ]穿 (z y 穿 x 穿 x ))y ,和出 ,和 ,z r 范点 y 点 2 点 z)越点越点 )越 (和 ) 和和 )越越越出点出 y 围 x z2 2 出 ((出 y 出 z x zzy x 2 )2 )2 ()((x 点点 xy ,,z ,y 点 z )点点 )) 再(r过 ,) (D r)作 /Z /轴的直得线入 z1(穿 r,点 )和越出 z2(r,点 )

3东南大学高等数学习题课-数量值函数积分(二重,三重,第一型曲线,曲面)

所围成的区域。 z = 8 所围成的区域。
z
8
336π .
O
D(z )
2
x
y
东南大学
贺传富
5.
z=
计算 ∫∫∫
Ω
x 2 + y 2 + z 2 − 1dv , 其中 Ω 由圆锥面
x 2 + y 2 与平面 z = 1 所围成 .
z
1
z
1
Ω1
Ω2
O
O
y
y
x
x
π
6
( 2 − 1).
东南大学
贺传富
6. 计算 ∫∫∫
6-2. 设f ( x )连续， : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 Ω 证明： f ( z )dV =π ∫ f ( x )(1 − x )dx , ∫∫∫
2 Ω −1 1
东南大学
贺传富
2 2 2
6-3. 设立体Ω由 z = a + a − x − y z=
与
x 2 +y 2围成，求Ω 的质量。Ω内任意点
2
∫∫
Σ2
1+ 4z dA = ∫∫ 1+ 4 dA = 5 ∫∫1 dA
Σ2 Σ2
东南大学
贺传富
3 . ∫∫ ( x + y + z ) dA ,
Σ
Σ : y + z = 5 , x + y ≤ 25
2 2
解:
dA =
Σ
2 dx dy , 2 dx dy
x 2 + y 2 ≤ 25
∫∫ ( x + y + z ) dA = ∫∫ ( x + 5)

重积分习题课

重积分典型例题一、二重积分的概念、性质1、二重积分的概念：d 01(,)lim(,)niiii Df x y f λσξησ→==∆∑⎰⎰其中：D ：平面有界闭区域，λ：D 中最大的小区域的直径（直径：小区域上任意两点间距离的最大值者），i σ∆：D 中第i 个小区域的面积2、几何意义：当(,)0f x y ≥时，d (,)Df x y σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为曲顶，D 为底的曲顶柱体的体积。

所以d 1Dσ⎰⎰表示区域D 的面积。

3、性质（与定积分类似）：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理（03年）二、二重积分的计算1、在直角坐标系下计算二重积分（1）若D 为X 型积分区域：12,()()a x b y x y y x ≤≤≤≤，则21()()(,)(,)by x ay x Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰（2）若D 为Y 型积分区域：12,()()c y d x y x x y ≤≤≤≤，则21()()(,)(,)dx y cx yf x y dxdy dy f x y dx =⎰⎰（X －型或者Y －型区域之和，如图，则123(,)(,)(,)(,)D D D f x y d x d y f x y d x d y f x y d x d y f x y d x=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4）被积函数含有绝对值符号时，应将积分区域分割成几个子域，使被积函数在每个子域保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号。

（5）对称性的应用1(,)2(,),(,)0(,)DD f x y dxdy f x y dxdy f x y y D x f x y y ⎧=⎪⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于为偶函数区域关于轴对称，关于为奇函数1(,)2(,),(,)0(,)DD f x y dxdy f x y dxdy f x y x D y f x y x ⎧=⎪⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于为偶函数区域关于轴对称，关于为奇函数（6）积分顺序的合理选择：不仅涉及到计算繁简问题，而且又是能否进行计算的问题。

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