椭圆(讲义)

椭圆（讲义）

知识点睛

一、曲线与方程

1． 曲线C 上的点与二元方程()0f x y =，的对应关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2． 求曲线的方程的一般步骤：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合

{|()}P M p M =；

（3）用坐标表示条件p (M )，列出方程()0f x y =，； （4）化方程()0f x y =，为最简形式；

（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 二、椭圆及其标准方程

我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆．

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 如图，设( )M x y ，是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为( 0)c -，，( 0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的和等于2(0)a a >．

由椭圆的定义，椭圆就是集合

12{|||||2}P M MF MF

a =+=．

因为12|| ||MF MF =

=

所以

2a =．

为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得

2a =

将这个方程两边平方，得

22222()44()x c y a x c y ++=--+，

整理得

2a cx -=

上式两边再平方，得

4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++，

整理得

22222222()()a c x a y a a c -+=-，

两边同除以222()a a c -，得

22

2221x y a a c

+=-． ① 由椭圆的定义可知，22220a c a c a c >>->，即，所以．

由图可知，1212|||| |||| ||PF PF a OF OF c PO =====，，

令||b PO ==那么①式就是22221(0)x y a b a b

+=>>．

椭圆的标准方程：22

221(0)x y a b a b

+=>>．

三、椭圆的几何性质

精讲精练

1. 已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点(12)M -，

，Q 是线段PM 延长线上的一点，且||||PM MQ =，则点Q 的轨迹方程是（ ） A ．210x y ++= B ．250x y --= C ．210x y --=

D ．250x y -+=

2. 已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2．

一条曲线也在l 的上方，它上面每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．

3. 过原点的直线与圆22650x y x +-+=相交于A ，B 两点，求弦AB 的中点M 的

轨迹方程．

4. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）4a =，1b =，焦点在x 轴上； （2）4a =

，c =，焦点在y 轴上； （3）10a b +=

，c =．

5. 如图，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标

等于右焦点的横坐标，纵坐标等于短半轴长的2

3

，则椭圆的离心率为__________．

6. 设e 是椭圆

2

2

14x y k +=的离心率，且1(1)2

e ∈，，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(03)，

B ．16

(3)3

，

C ．16

(03)()3

+∞，，

D ．(02)，

7. 设1F ，2F 分别是椭圆22

1259

x y +

=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是1F P 的中点，O 为坐标原点，||3OM =，则点P 到椭圆左焦点的距离为（ ） A ．4 B ．6 C ．3

D ．7

8. 已知椭圆的方程是22

21(5)25

x y a a +

=>，它的两个焦点分别为 1F ，2F ，且12||8F F =，过点1F 的直线AB 交椭圆于A ，B 两点，

则△2ABF 的周长为（ ） A ．10

B ．20

C

．

D

．

9. 已知点P 是椭圆22

1259

x y +

=上的一点，M ，N 分别是两圆： 22(4)1x y ++=和22(4)1x y -+=上的点，则||||PM PN +的

最小值、最大值分别为（ ） A ．9，12 B ．8，11

C ．8，12

D ．10，12

10. 如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点．线段

AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点 Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？

11.点M与定点(20)

F，的距离和它到定直线x = 8的距离之比是1:2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

12.如图，从椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>上一点P向x轴作垂线，

垂足恰为左焦点

1

F．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴

正半轴的交点，且AB

∥OP

，

1

||

F A=