高数下册试卷B及答案

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0910高等数学B( 二)试题答案济南大学

一、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 1．过点 M 0 (3,0, 1)且与平面 3 x 7 y 5 z 12 0 垂直的直线方程为为；
解
所求直线的一个方向向量 n (3, 7,5)
所求直线方程为 x 3 y0 z 1 3 7 5
2.设函数 z f ( x , y )是由方程 x 2 y 2 z 2 4z 给出，则全微分 dz ；xdx ydy
2 n 1 x n arctan x ( 1) 2n 1 n 0
见教材P282
二、选择题（每小题2分，共10分） 1、 f ( x, y )在点 ( x0 , y0 ) 可微是两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )
都存在的 [ A. C.
(1)
n 1

n 1
n ; n 1 3
解 (1) 记 un sin
而级数
n 1

3
n
,
vn

3
n
.
因为 limsin
n

3
n

3
n
1

3
n
收敛，故原级数收敛.
n 1
un1 n1 3 1 lim n . ( 2) lim n u n 3 n 3 n
2 z u z v 2x 3x z 2 ln(3 x 2 y ) 2 x u x v x y y (3 x 2 y )
2. 计算

D
yd , 其中D 是抛物线
及直线
y 2 y2 x
所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 则

11-12(下)高数B参考答案及评分标准

高数期末试题B 参考答案及评分标准一、判断题二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）（6） 2 （7）x z y 522=+（8）－1 （9）9122≤+<y x （10）2ln 162（11） 6 （12）yPx Q ∂∂=∂∂ （13）右手（14）⎰20)2sin(21πdt t （15）偶（16）求曲面42222=++z y x 在点(1,1,1)处的切平面方程，并求过原点与该切平面垂直的直线方程。

()())2(112)3(042111)2()2,2,4(|),,(11142),,()1,1,1(222分直的直线方程为：通过原点与该切平面垂分点处的切平面方程为，，曲面在分点处的法向量，，则曲面在解：记 zy x z y x F F F z y x z y x F z y x ===-++∴==-++=（17）设函数),(y x z z =由方程23222320x z y z x y +-+=所确定，求全微分dz 。

)1(43344322)3(4334)3(43222),,(222222223222222223322232分分分则解：记 dy zy z x y yz dx z y z x x xz dz zy z x y yz F F y z zy z x xxz F F x z y x z y z x z y x F z y z x ++-+--=∴++-=-=∂∂+--=-=∂∂+-+=（18）计算Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由0,1z z ==和222x y x +=围成的区域。

)1(9163238cos 38cos 34)1(21)2(21)1(21)2()1)1(D (203223cos 202222221222212222分分分分分：其中解： =⋅=====+=+=≤+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ωπππθππθθθθρρθθρρd d d d d d dxdy y x zdz dxdy y x y x dz y x z dxdy dv y x z DDDD（19）计算,)536()24(L⎰+++-+dy y x dx y x 其中L 为三角形(3,0)，(3,2),(0,0)的正向边界。

第二学期高等数学(B)Ⅱ期末考试试卷答案

5 ⎛2 3 4 2 1 3 1 4⎞ 1 2 =⎜ x − x − x + x ⎟ = ⎜3 ⎟ 5 3 2 ⎠ 30 ⎝ 0 G G G G G 4．设向量场为 A = (2 z − 3 y ) i + (3 x − z ) j + ( y − 2 x ) k ，试求 rot A ． 1
解：
G G i j G ∂ ∂ rot A = ∂x ∂y 2 z − 3 y 3x − z
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
北方
交
通
大
学
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分）， 1．设 z = arctan 解：
y ，求 dz ． x
⎛ y⎞ ⋅ d⎜ ⎟ ， ⎝ x⎠ ⎛ y⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ 1
z = 4 1−
求下雨时过房顶上点 P 1, 解：
x2 y2 − ． 16 36
(
3,
11 处的雨水流下的路线方程（不考虑摩擦）．
)
雨水沿 z 轴下降最快的方向下流，即沿着 z 的梯度
grad z =
∂z G ∂z G i+ j ∂y ∂x
的反方向下流．因而雨水从椭球面上流下的路线在 xOy 坐标面上的投影曲线上任一点处的切线应与
G k G G G ∂ = 2 i + 4 j + 6k ∂z y − 2x
5．求解微分方程 y ′′ + 4 y = 4 cos 2 x ．解：先解对应的齐次方程 y ′′ + 4 y = 0 ．其特征方程为 r + 4 = 0 ，得其解为 r1 = 2i ， r2 = −2i ．因而对

高等数学b1期末考试试题及答案

高等数学b1期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处的极限是：A. 0B. 1C. 无穷大D. 不存在答案：D2. 设 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处可导，则下列说法正确的是：A. \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处连续B. \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处不可导C. \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处不连续D. \( f'(a) \) 不存在答案：A3. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{6} \)答案：A4. 函数 \( y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1 \) 的导数是：A. \( 3x^2 + 6x - 9 \)B. \( 3x^2 + 6x + 9 \)C. \( x^2 + 6x - 9 \)D. \( 3x^2 + 6x - 9 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^2 \) 在 \( x = 2 \) 处的切线方程是：A. \( y = 4x - 4 \)B. \( y = 4x + 4 \)C. \( y = 4x - 8 \)D. \( y = 4x + 8 \)答案：C6. 级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \) 的和是：A. 1B. \( \frac{1}{2} \)C. 0D. 无穷大答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的极值点是 \( \boxed{0} \)。

2. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是 \( \boxed{\frac{1}{x}} \)。

《高数B》练习册(下)答案与提示2016 -2017 -

参考答案与提示第7章向量代数与空间解析几何§7.1 空间直角坐标系1． (1)b=c=0; c=0; 0,0,0>>>c b a . (2)222c b a ++;22b a +; c .(3) )0,0,(a ;),,0(c b 2．)2,1,0(-§7.2 柱面与旋转曲面1．绕x 轴：22249()36x y z -+=是一个双叶双曲面绕y 轴：2224()936x z y +-=是一个单叶双曲面 2(1)表示母线平行于z 轴，准线为xoy 平面上的椭圆22410x y z +=⎧⎨=⎩的椭圆柱面; (2)表示母线平行于x 轴，准线为yoz 平面上的双曲线2210y z x -=⎧⎨=⎩的双曲柱面; §7.3空间曲线及其在坐标面上的投影1．221168y x += 2. (1)222(1)90x y x z ++-=⎧⎨=⎩ (2)22360z x y +-=⎧⎨=⎩3．0,222=≤+z y x§7.4 二次曲面1．22224116()(1)()339x y z +++++=2433表示的是以(-,-1,-2．(1)表示椭球面; (2)表示单叶双曲面; (3)表示双叶双曲面; (4)表示椭圆抛物面; (5)表示圆锥面.§7.5 向量及其线性运算1.j 2;0);1,2,0(2．向量与x 轴、y 轴垂直，即垂直于xOy 面或平行于z 轴. 32= ,21cos ,22cos ,21cos =-=-=γβα;3,43,32πγπβπα===,)21,22,21(021--=M M§7.6 数量积、向量积1．(1) 正确 (2) 错误 (3)正确 (4) 错误 (5) 正确(6) 错误 2．C 3．3(1)1(2)2--4．10 5．)2,2,3(171--±6.§7.7 平面与直线1．(1)37540x y z -+-= (2) 1,1,3-交点坐标为()(3) 1d = (4) 143215y x z +--==2．(1)两平面平行但不重合 (2)两平面垂直相交。

南邮-《高数B》练习册(下)答案(第10章)备课讲稿

南邮-《高数B》练习册(下)答案(第10章)参考答案与提示第10章微分方程与差分方程§10.1 微分方程的基本概念2. 0)()(='+p x p p x§10.2 一阶微分方程1、(1)))1(212+=x y e e (2)xCxy -=44(3)Cx xe y = (4) 322y x y =- (5) )(C x e y x +=- (6)21x x y -+=(7) 3221Cy y x +=2、xe xf cos 1)(--=§10.3 一阶微分方程在经济学中的综合应用1、（1）P P Q -= （2）0lim =+∞→Q P ,即需求趋于稳定2、N t x t =+∞→)(lim ，表明，在题目给出的条件下，最终每个人都要染上传染病. 3. 33911000)(t t y -⋅+=,500,6==y t 时.§10.4 可降阶的二阶微分方程1. (1) 213sin 61C x C x x y ++-=(2) 21)(C e x C y x +-=- 2.(1)x y 11+= (2))1ln(1+-=ax ay §10.5 二阶常系数线性微分方程1、(1) B (2) C2、2)(21x e x C C y += 3.(1) x x e C e C y 3231-+= (2) x e x C C y 221)(+= (3) )23sin 23cos(2121x C x C ey x +=- 4. (1)=*y x e b ax 2)(+(2) =*y )(2c bx ax x ++(3)=*y x axe(4)=*y x e b ax x )(2+(5) =*y ]2sin )(2cos )[(4x d cx x b ax xe x +++ (6)=*y x e dx x c bx ae x sin )(cos )(++++5.(1) xx e e C C y 2421121-++= (2) )sin (x x e y x-=-§10.6 差分与差分方程的概念、常系数线性差分方程解的结构1.(1)1462++=∆x x y x , 10122+=∆x y x(2)1)21(2+-=∆x x x y , 22)21(2++=∆x x x y(3)x x x y 3)32(⋅+=∆, x x x y 3)124(2⋅+=∆ 2.(1)6阶 (2)1阶§10.7 一阶常系数线性差分方程1.(1) C (2) x C )1(-2 (1) x x y )23(-= (2) x y x 32+=(3) 435-=x x y(4) t t t C y 2)2(⋅-+=(5) )8181()4()4(+--+-=x x C y x x x§10.8 二阶常系数线性差分方程1.(1) x x x C C y )5)((21-+= (2) x x x y 2)3(2--=(3) )3sin 3(cos 4x x y x x ππ+=* (4) 8)21)((21++=x x x C C y* (5) )507101()4(21-+-+=x x C C y x x总习题十1.(1) x Ce y tan = (2)C y x =++)21)(1(2 (3)y x y '=(4)02=+'-''y y y(5))3sin 3cos (21x C x C e y x +=-(6)=*y x e c bx ax x )(2++2.(1)B (2)C (3)C3.(1)ee y x+++=11ln 21 (2))sin(x yCe x =(3)221121xx y +-=(4) x y arcsin =(5) xy -=11(6) 21)cos(C x C y +-=(7) x e x C C y λλ-+==)(,1212时当xxe C e C y )1(2)1(1222,1----+-+=>λλλλλ时当)1sin 1cos (,122212x C x C e y x λλλλ-+-=<-时当(8) x x e e x x y -+++=41)212343(2 (9) x xe y xsin 2=(10) x x C x C ey x 2cos 263)23sin 23cos(2121++=- 212sin 131+-x 4.(1) x x y 41+=(2)27591035)2(2--+-=x x C y x x(3) x x x x C y 3)2(+-+= 5. x e x f 2)(-= 6. x x x y --=ln 41 7. (1)3ba P e = (2) 31333])1([)(bkt eee P P t P --+=(3) e t P t P =+∞→)(lim8. 31323123+-=x x y9. x x xe e y --+=210. x x x x f cos 21sin 21)(+=11. rr f 12)(-=。

高等数学试题下BWord版

高等数学试题(B)：一、填空题：（每空3分共30分）1、曲线t z t y t x 3cos ,sin ,2===在（0，0，1）处切线的方程为_______________________。

2、已知)12sin(++=y x eu xy,则=du ________________________。

3、 xyz u =在点M )2,1,5(处沿点（5，1，2）到点（9，4，14）的方向的方向导数为__________。

4、幂级数∑+∞=--11212n n n x n 的收敛半径为_________________________。

5、把321+x 展开成麦克劳林（Maclaurin ）级数为___________。

6、设)(x f 是周期为π的周期函数，它在区间],0(π上定义为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<<=)2(,1)20(,)(2πππx x x x x f ,则)(x f 的傅立叶级数在π处收敛于______。

7、微分方程2'x y xy -=-的通解为______________。

8、更换⎰⎰-2210),(y ydx y x f dy 的积分次序为___________________。

9、L为逆时针方向的圆周:4)3()2(22=++-y x ,则=-⎰Lxdy ydx ______________。

10、斯托克斯(Stokes)公式指出了下列两类积分：______________________________之间关系。

格林(Green)公式指出了下列两类积分：______________________________________之间关系。

二、(8分)已知),,2(xy y x f w +=，f 具有二阶连续偏导数，求yx w∂∂∂2。

三、(10分)求函数22212y xy x z ++=在区域D ：25422≤+y x 上的最大值。

四、(10分)计算⎰⎰++Dd y xy x σ)(22，其中D 由1,0,0=+==y x y x 所围。

大一高数b下期末考试题及答案

大一高数b下期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处的导数是（）。

A. 0B. 2C. 4D. 8答案：B2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -2D. 2答案：C4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=ln(x)的定义域是（）。

答案：(0, +∞)2. 微分方程dy/dx + y = e^x的通解是（）。

答案：y = Ce^(-x) + e^x3. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的切线方程是（）。

答案：y = 18x - 424. 定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx的值是（）。

答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。

当x<0时，f'(x)>0；当0<x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0。

因此，x=0是极大值点，x=2是极小值点。

2. 求极限lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+x+1)。

答案：lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+x+1) = lim(x→∞) (1-1/x^2)/(1+1/x+1/x^2) = 1/1 = 13. 求曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程。

已知切线斜率k=f'(1)=-2，切点为(1,0)。

因此，切线方程为y-0=-2(x-1)，即y=-2x+2。

4. 求定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。

《高等数学(Ⅱ)》B类练习题答案

《高等数学(Ⅱ)》B 类练习题答案一、单项选择题1—5：CCCCC 6—10：BBCCA 11—15：AAABD二、填空题1、xy e yz x z z -=∂∂ ，xy e xz y z z -=∂∂ ；2、yzxy z y z z x z x z 2+=∂∂+=∂∂，； 3、）（）（，）（）（xyz xysin 1xyz xzsin 1y z xyz xysin 1xyz yzsin 1x z -+=∂∂-+=∂∂ ； 4、dz x ylnx dy x zlnx dx yz.x du yz yz 1yz ⋅⋅+⋅⋅+=- ； 5、dy -dx dz -= ； 6、dy 12dx 41-2dz +-=），（ 7、()⎰⎰313ydx y x f dy ，； 8、⎰⎰y-2y10dx y x f dy），（；9、⎰⎰2x x1dy y x f dx ），（； 10、）（）（2yx 121e 1y +=+- ； 11、1x y 22+= ； 12、1y x 5y 325=-；三、判断题1--5：对对对错错 6—10：对对错对对 11—15：对错对对对四、计算题1、求下列函数的偏导数（1）、22232232()2 (2) (3)()2(2)(6)xy xy xy xy xy xy ze y x y e x xe yx y x ze x x y e y ye x xy y ∂=⋅⋅++⋅∂=++∂=⋅⋅++⋅∂=++分分（2）、(3)(6)x y x y x y x y x y x y z e e x e z e e y e ++++++∂=∂=∂=∂=分分（3）、222222222222222222212ln(12[ln()](3)2ln(2ln( (6)z x xx y x y y x y x x y y x y z x x y x y y y y x y x x x y x y y ∂=⋅+⋅∂+=++∂=-⋅+⋅∂+=-++)+)+分)+)分（4）22222212ln ()2ln(3)12ln(6)x y y z x x y x x y x yx x xy z y x y x y '=⋅+⋅-+=-'=⋅+⋅+（）分+（）分（5）22221[sin()]2 (3)1[sin()]22 (6)x y z x y z x y y'=-+='=-+⋅=分分（6）22221cos()22(3)1cos()2(6)xyz x y xz x y'=+⋅='=+=分分（7）2222221ln1(ln) (3)12ln1(2ln) (6) x y x yxx yx y x yyx yz e xy exe xyxz e xy eye xyy++++++'=⋅+⋅=+'=⋅⋅+⋅=+分分（8）22222222222222222ln()2[ln()] (3)2ln()2[ln()] (6) xy xyxxyxy xyyxyxz e y x y ex yxe y x yx yyz e x x y ex yye x x yx y'=⋅⋅++⋅+=+++'=⋅⋅++⋅+=+++分分（9）sin 2cos 22 22cos 2)(3)sin 2cos 22 22cos 2) (6x y z xy xy yxy y xy z xy xy xxy x xy '=+⋅=+'=+⋅⋅=+分)分（10）2222222222222222sin()cos()2 [sin()2cos()] (3)sin()cos()2 [sin()2cos()](xy xy x xy xy xy y xy z e y x y e x y x e y x y x x y z e x x y e x y y e x x y y x y '=⋅⋅++⋅+⋅=+++'=⋅⋅++⋅+⋅=+++分6)分2、求下列函数的全微分（1）222222222222222 (2(3)2 (2(5)(2x y x y x y x y x y xy xy z e x e y x ez ey e x ye dz e +++++++∂=⋅∂=∂=⋅∂=∴=分分22(2(6)x y dx e dy ++分（2）2222222222242233()2 (2)(3)2()2 2()(5)xy xy xy xy x xy xy ze y x y e x xe x y y x z e xy x y e y ye x y xy y dz e ∂=⋅⋅++⋅∂=++∂=⋅⋅++⋅∂=++∴=分分2222433(2)2()(6)y xy x y y x dx e x y xy y dy +++++分（3）2221ln (1ln )(3)11 ln ()1 (ln 1)(5)1(1ln )(ln 1)z y x y x x y x xy xx y z x y y x y x yxx y y x xdz dx dy x y x y ∂=-⋅⋅∂=-∂=⋅⋅-∂=-∴=-+-+分+分(6)分（4）22211ln ()1 (ln 1)(3)1 ln (1ln )(5)1(ln 1)(1ln)z y x x y x y xyyx z x y xy y x y yx yy x y x ydz dx dy yx y x ∂=⋅⋅-∂=-∂=-⋅⋅∂=-∴=-+-+分+分(6)分（5）sin (3)sin 2(5)2)x y z z ydz dx ydy '=-='=-==+分分(6)分（6）2(3)(5)) (6) xyz xzdz xdx dy'=='===+分分分（7）1ln1) (3)1ln()1) (5)1)xyxzy xxy xxzy yxy yx xdz dxy x'=+⋅=+'=+⋅-=-=++分分1)(6)dyy y-分（8）221ln1(ln(3)()ln(5)1(x xy yxxyx xy yyxyx xy yz e eyeyxz e eyxeydz e dx ey'=⋅⋅='=⋅-⋅==+分分2ln(6xdyy-分（9）22221sin + cos ()(3)1(sin cos )1()sin + cos1(cos sin )(5)x xyy x x yx xyy y x yy y yz e e y x x x y y ye y x x xx y y z e e y x x x y x ye x x y xd '=⋅⋅⋅⋅-=-'=⋅-⋅⋅⋅=⋅-分分2211(sin cos )(cos sin )(6)x xyy y y y y x yz e dx e dy y x x x x x y x=-+⋅-分（10）3、计算下列二重积分（1）解：D 的图形(略)，{}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰--=--=xx D dy y x dx dxdy y x I 2)2(21)2(2110……2分⎰++-=1432)412147(x x x x 12011=……2分（2）解： D 的图形为: (略){}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰==xx Dxydy dx xydxdy I 21……2分⎰-=153)(21dx x x ……1分241=……1分（3）解：D 的图形为: (略){}1,11),(≤≤≤≤-=y x x y x D ……2分⎰⎰-=Dd y x y I σ)(22⎰⎰-=-12211)(xdy y x y dx ……2分⎰---=1122)1(41dx x 154-=……2分（4）解：D 的图形为: (略)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=y x y y y x D 1,21),(……2分 ⎰⎰Dd y x σ22⎰⎰=21122yydx y x dy ……2分 ⎰-=215)313(dy y y ……1分6427=……1分（5）解：⎰⎰⎰⎰-++==210222x y x D y x dy edxdxdy eI ……2分⎰-=22)(dx e e x ……2分2=……2分（6）解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,10),(πy x y x D ……2分 ⎰⎰⎰⎰=2212sin sin πσydy x dx yd xD……2分⎰=12dx x 31=……2分（7）解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=x y x y x D 20,20),(ππ……2分⎰⎰⎰⎰-+=+xDdy y x dx d y x 22)sin()sin(ππσ……2分⎰=2cos πxdx ……1分1=……1分（8）解：⎰⎰⎰⎰=11dx ye dy d ye xyDxyσ……2分 ⎰-=1)1(dy e y ……2分2-=e ……2分（9）解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=x y x y x D 20,20),(ππ……2分⎰⎰⎰⎰-+=+xDdy y x x dx d y x x 22)sin()sin(ππσ……1分⎰⎰=+-=-2220cos )cos(πππxdx x dx y x x x……1分12-=π……2分（10）解：{}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰+=+xx Ddy y x xy dx y x xy 2)()(10……2分⎰⎰+--=+=146710322)652131()3121(2dx x x x dx xy y x x x ……1分 563=……1分4、求下列微分方程的通解（1）解：方程变形为23)(3)(1xy x y dxdy +=令x y u =，则ux y =，dxdux u dx dy +=，代入方程中得2331u u dx du x u +=+……2分分离变量得x dxdu u u =-32213……1分两边积分得13ln ln )12ln(21C x u +=--……2分微分方程的解为：Cx x y =-332……1分（2）解：方程变形为1)(2-=xy x y dx dy令x y u =，则ux y =，dxdux u dx dy +=，代入方程中得12-=+u u dx du x u ……2分分离变量得xdxdu u =-)11(……1分两边积分得1ln ln C x u u +=-……2分微分方程的解为：C xyy +=ln ……1分（3）解：方程变形为)ln 1(xy x y dx dy += 令x y u =，则ux y =，dx dux u dx dy +=，代入方程中得)ln 1(u u dxdu x u +=+……2分分离变量得xdxu u du =ln ……1分两边积分得1ln )ln(ln C x u +=……2分微分方程的解为：Cx e xy=……1分（4）解：方程变形为3)(1xx ydx dy +=令x y u =，则ux y =，dx dux u dx dy +=，代入方程中得31u u dx du x u +=+……2分分离变量得xdxu du u =+-43)1(……1分两边积分得143ln ln 31C x u u+=-……2分微分方程的解为：333yx Ce y =……1分（5）解：原方程变为：1sin 1222+-=++x x y x x dx dy ()122+=x x x p ，()1sin 2+-=x xx q()()⎰⎰+=+=1ln 1222x dx x xdx x p()()()x dx x dx e x x dx e x q x dxx p cos sin 1sin 1ln 22=-=+-=⎰⎰⎰⎰+所以 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dxx p dx x p =()()()c x x c x ex ++=++-cos 11cos 21ln 2 （c 为任意常数）（6）解：原方程变为：x x y x y 122+=-' ()x x p 2-= , ()xx x q 12+=()⎰⎰-=-=2ln 2x dx xdx x p ()()⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰-23ln 2211112x x dx x dx e x x dx ex q x dxx p所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dx x p dx x p =2121232ln 2-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cx x c x x ex （c 为任意常数）（7）解：()xx p 1-= , ()x x q ln =()⎰⎰-=-=x dx x dx x p ln 1()()()()2ln ln ln 2ln x dx x x dx e x dx e x q x dx x p ===⎰⎰⎰⎰- 所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dx x p dx x p =()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+c x x c x e x2ln 2ln 22ln （c 为任意常数）（8）解：原方程变为：x e x y xy 32=-' ()xx p 2-= , ()x e x x q 3=()⎰⎰-=-=2ln 2x dx x dx x p()()⎰⎰⎰-===⎰-x x x x x dxx p e xe dx xe dx e e x dx e x q 2ln 3所以 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dxx p dx x p =()()c e xe x c e xe e x x x x x +-=+-2ln 2（c 为任意常数）（9）解：两边积分，得⎰+-=='12ln 2ln 2c x x x xdx y两边再积分，得()dx c x x x y ⎰+-=12ln 2212223ln c x c x x x ++-= （1c ，2c 为任意常数）（10）解：两边积分，得()11cos sin sin 1cos c x x x x c x x xd dx x x y +++=++=+='⎰⎰两边再积分，得()21212sin 2cos cos sin c x c x x x x dx c x x x x y ++++-=+++=⎰（1c ，2c 为任意常数）五、应用题1、求下列函数的极值（1）解：解：⎩⎨⎧=-+==++=012012y x f y x f yx解得驻点(-1,1). ……………4分又,2,1,2======yy xy xx f C f B f A ……………7分0032>>=-A B AC 且，故0)1,1(=-f 是极小值. ……………10分（2）解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-=01230622''y f x f y x 解得驻点(3,2)，(3, -2). ……………4分又 y f f f yy xy xx 6,0,2''''''==-= ……………6分关于驻点(3,2)有，,12,0,2==-=C B A,0242<-=-B AC 故函数在点(3,2)没有极值。

福建农林大学高数一(下)试题B与答案

一、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，每小题3分，共18分） 1．向量{1,1,4}a =-在{1,2,2}b =-上的投影等于（）（A ）3 （B ）3- （C （D ） 2．函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度是（）（A ）i （B ）i - （C ）j （D ）j - 3．二次积分/41(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⋅=⎰⎰（）（A ）20(,)x dx f x y dy（B ）200(,)dx f x y dy（C ）20(,)ydy f x y dx （D ）2(,)dy f x y dx4．若曲线积分2()Lxy dx yf x dy +⎰与路径无关，f 有连续导数，(0)0f =，则(1,1)2(0,0)()xy dx yf x dy +=⎰（）（A ）0（B ）1（C ）2 （D ）1/25．若∑是球面2221x y z ++=的下半部分的下侧，则曲面积分zdxdy ∑⎰⎰（）（A ）小于0（B ）大于0 （C ）等于0（D ）等于16．幂级数n的收敛域是（）（A ）(0,2) （B ）[0,2) （C ）(0,2] （D ）[0,2] 二、填空题（每小题3分，共12分）1．点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为___________ ． 2．若2x yz e-=，则全微分(2,1)dz =_____ ____ ．3．曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩的弧长微元是ds = ．4．球面2229x y z ++=在点(1,2,2)处的外法向量对x 轴的方向余弦cos α= ___ ．三、计算题（每小题8分，共24分）1．求函数(),()f x x x ππ=-≤≤的傅立叶系数(1,2,)n a n =，并判别级数1n n a ∞=∑是否收敛．2．求点(0,0,0)O 关于直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的对称点．3．设函数(,)z z x y =由22()x z yf x z +=-确定，其中f 连续可导，验证z zzy x y∂∂+∂∂与f 的表示式无关．四、计算题（前两小题各9分，后两小题各11分，共40分） 1．求二次积分211y xdx e dy -⎰⎰．2．设立体Ω由z =和2221x y z ++=所围成三属于0z ≥的部分，求三重积分222()xy z dV Ω++⎰⎰⎰．3．设L 是sin2y x π=上从点(0,0)O 到(1,1)A 的一段，利用格林格式求曲线积分222(2)()2Lx xy y dx x y dy π+-++⎰．4．设∑是抛物面22z x y =+与平面1z =围成立体的表面取外侧，求曲面积分22xy dydz yx dzdx xydxdy ∑++⎰⎰．五、证明题（按规定专业，只选做1小题，共6分） 1．（计算机、电信、软件、电气、电科专业做）求证：1(2)102nn n n ∞=+=∑． 2．（非计算机、电信、软件、电气、电科专业做）求证：12152nn n ∞=+=∑．答案：一、单项选择题（每小题3分，共18分）1．B ． 2．A ． 3．C ． 4．D ． 5．B ． 6．B ．二、填空题（每小题3分，共12分）1． 2．2dx dy -． 3．d θ． 4．1/3．三、计算题（每小题8分，共24分）1．22[(1)1]nn a n π=--，1n n a ∞=∑收敛． 2．(2,2,2)-．3．z z zy x x y∂∂+=∂∂，与f 无关．四、计算题（前两小题各9分，后两小题各11分，共40分） 1．11(1)2e --． 2．(25π． 3．23． 4．6π．五、证明题（按规定专业，只选做1小题，共6分） 1．（计算机、电信、软件、电气、电科专业做）提示：证出1(2)n n n n x ∞=+=∑3(3),1(1)x x x x -=<-，然后令12x =． 2．（非计算机、电信、软件、电气、电科专业做）提示：证出2213(21),1(1)nn x x n x x x ∞=-+=<-∑，然后令12x =．。

高等数学(下)B卷参考答案

由zx zyຫໍສະໝຸດ 3 3x2 33y20 0
，得驻点 (1, 1), (1,
1), 1, 1,1,
1
2分 2分
D zxx zxy 6x 0
z yx z yy
0 6y
D1,1 36 0 , D1,1 36 0 D1,1 36 0 D1,1 36 0
zxx (1,1) 6 0 , zxx (1,1) 6 0
令
2x2 1 得
x 1
2
2分 2分
2分
收敛半径为
R 1 2
六、解答下列各题(本大题分 2 小题, 每小题 8 分, 共 16 分)
1. 方程分离变量得 ydy xdx
两边积分得
1 y2 1 x2 1 C 2 22
代入初始条件y 3 得 C 9 x0
故所求特解为
y2 x2 9
2分
2分 2分 2分 2分
成人教育&网络教育 20XX 年 9 月试题答案
课程名称：高等数学（下） A 卷□ B 卷 √ 考试时间 100 分钟评分教师一、单项选择题（每小题 4 分，共 12 分）
职称
1． C. (或 D、或 C 与 D 都给分) 2． B.
3. D
二、填空题（每小题 4 分，共 8 分）
1． 9 2 105
2、 y y x 对应齐次方程的特征根为 r1 1 , r2 1
2分
齐次方程的通解为
y C1e x C2ex
1分
设原方程的一个特解为
y Ax ，
1分
代入原方程得 A 1， y x
2分
故所求方程的通解为 y C1e x C2ex x
2分
esin xy[( x x 2 y cos xy) sin(x y)]dy

华南理工网络教育高等数学B(下)参考答案

dx
+ C ，其中 C为任意常数
（? ） .
2. 函数 f (x, y)
1ห้องสมุดไป่ตู้
定义域为｛x，y| + > 16 ｝ .
x 2 y 2 16
3. 若D是由x y=2、x轴、y轴围成的闭区域,则在计算 f (x, y)d 等于
D
（） .
4. 级数（2 3n）收敛性为发散（填“收敛”、“发散”或“无法判断敛散性” ）.
一、判断题
1. y y
y4
y
4
+xy
0 是三阶微分方程 .
2. y y
y4
y
4
+xy
0 是四阶微分方程 .
（? ）（? ）
3. 设函数 f ( x, y) 在 ( x0, y0) 点的偏导数存在，则 f ( x, y) 在 (x0, y0) 点可微 .
4. 设函数 f ( x, y) 在 ( x0, y0) 点的可微，则 f ( x, y) 在 ( x0 , y0) 点偏导数存在 .
D
解： D区域为如右图所示的阴影部分
原式 =
=
=
=
∴二重积分
=
6. 计算二重积分 x2d ，其中 D 是由圆 x2 y2 4 和 x2 y2 16 之间的环形区域 .
D
解： D区域为右图所示的阴影部分
由于是环形区域，所以可以用极坐标来表示
即 2 ≤r ≤4 ，0≤ ≤2 ，而被积函数则可
写成 f(r
由公式 y =
(C+
) 可得该方程的通解
y=
（ C+
）
=
（C+ ）
∴ 该微分方程的通解是 y =

高数b2考试题及答案

高数b2考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间(-∞, -2)上的单调性为：A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案：B4. 函数f(x)=e^x的导数为：A. e^(-x)B. -e^xC. e^xD. 0答案：C5. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在点(1,-1)处的切线斜率为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 定积分∫(0,1) x dx的值为______。

答案：1/22. 函数f(x)=x^2+2x+1的极小值点为______。

答案：-13. 微分方程dy/dx=2x的通解为y=______。

答案：x^2+C4. 函数f(x)=ln(x)的定义域为______。

答案：(0, +∞)5. 曲线y=e^x与y=ln(x)互为______函数。

答案：反三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算定积分∫(0,2) (x^2-2x+1) dx。

答案：(2/3)x^3 - x^2 + x |(0,2) = (8/3 - 4 + 2) - 0 = 2/32. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值。

答案：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。

f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，极小值点x=0，f(0)=2；f''(2)=6>0，极大值点x=2，f(2)=-2。

3. 求曲线y=x^2+2x+1在x=1处的切线方程。

答案：y'=2x+2，y'(1)=4，切点(1,4)，切线方程为y-4=4(x-1)，即4x-y=0。

大学高等数学考试试题B答案

《高等数学》课程试卷（ B ）参考答案及评分标准一、单项选择题（每题3分，共15分）BACBD二、填空题（每题3分，共15分）1. 6e ，2. (0,0)，3.21xy y y '=-，4.221(1)2x C --+ ， 5. 2. 三、计算与解答题（小题各6分，共48分）1. 解：记 2222123()123n nI n n n n n =++++++++，则221111(1)(1)212n n n I n n n n n +<<+++ …(+3分)而2211111lim (1)lim (1)2122nn n n n n n n n →∞→∞+=+=++，所以由夹逼定理得 22221231lim()1232n n n n n n n →∞++++=++++ …(+3分) 2．解：223404300cos 2cos lim lim 4x x x t t dtx x x x →→=⎰ …(+3分)4011limcos 22x x →== …(+3分)3. 解：因为2,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在点1x =处可导必连续，所以1=+b a (3分)又在点1x =处可导，所以(1)2(1)f f a -+===，所以 1 ,2-==b a (+3分)4. 求微分方程 2y xdx dy-= 的通解。

解：2y dy xdx =-，…(+3分)321132y x c =-+. …(+3分)5. 计算不定积分⎰解：令t = 则2dx tdt =，2122(1)1ttdt t t dtt-==-+⎰⎰⎰...(+3分)322(11)3t t C x C=-+=++.(+3分)6. 设sin1cosx t ty t=-⎧⎨=-⎩确定了函数()y y x=，求()y y x=对应3tπ=时的切线方程解：因33sin211cos2t tdy tdx tππ=====-，…(+3分)而当3tπ=时有1322x yπ=-=，所求切线方程为1232y xπ-=-+或2y=+-…(+3分)7.解：22sinx xdxπ⎰2222200cos cos2cosx d x x x x xdxπππ=-=-+⎰⎰…(+3分) 222002sin2(sin sin)2xd x x x xdxππππ==-=-⎰⎰…(+3分)8. 2100y y y'''++=解：方程的特征方程为：22100r r++=，其特征根为1,213r i=-±，（+3分）故方程的通解为：12(sin3cos3)xy c x c x e-=+(+3分)四、应用题（12分）1、已知直角三角形的一直角边与斜边之和为常数l，要做一个面积为最大的直角三角形，问怎样取三角形的各边？解：设直角三角形的三边分别为cba,,，其中ca,为直角边，并设lba=+。

《高数B》同步练习册(下)答案与提示(第7、8章)

参考答案与提示第7章向量代数与空间解析几何§7.1 空间直角坐标系1． (1)b=c=0; c=0; 0,0,0>>>c b a . (2)222c b a ++;22b a +; c . (3) )0,0,(a ;),,0(c b (4) ),,(c b a - 2．)2,1,0(-§7.2 向量及其线性运算1．j 2;0};1,2,0{2．(1)向量与x 轴垂直，即平行于yOz 平面 (2) 向量与y 轴垂直，即平行于zOx 平面(3) 向量既与x 轴垂直又与y 轴垂直，即垂直于xOy 平面 32= ,21cos ,22cos ,21cos =-=-=γβα;3,43,32πγπβπα===,}21,22,21{021--=M M §7.3 数量积、向量积、混合积1．(1) 正确 (2) 错误 (3)正确 (4) 正确 (5) 错误 (6) 正确 (7) 错误 2．(1)C (2)C 3．3(1)1(2)2--4．105．提示：作数量积6. 2,2}±--7．(2)683§7.4 平面与直线1．(1)37540x y z -+-= (2)320x y z --= (3)5y =- (4)920y z --= 2．1,1,3-交点坐标为()3．1d =4．(1)两平面平行但不重合 (2)两平面垂直相交。

5.对称式：149710y x z --==，参数式：971104x t y t z t =⎧⎪=+⎨⎪=+⎩6.(1)143215y x z +--== （2）24231y x z --==-7．15(0,1,1),arcsin 19ϕ-=交点为夹角为8．(1)161411650x y z ---= (2)0x y z -+= 9. 024147=++y x§7.5 曲面及其方程1．22224116()(1)()339x y z +++++=2433表示的是以(-,-1,-)为球心,以半径的球面2．（1）绕x 轴：22249()36x y z -+=是一个双叶双曲面绕y 轴：2224()936x z y +-=是一个单叶双曲面 3(1)表示母线平行于z 轴，准线为xoy 平面上的椭圆22410x y z +=⎧⎨=⎩的椭圆柱面;(2)表示母线平行于x 轴，准线为yoz 平面上的双曲线2210y z x -=⎧⎨=⎩的双曲柱面;(3)表示椭球面; (4)表示单叶双曲面; (5)表示双叶双曲面; (6)表示椭圆抛物面;(7)表示圆锥面.§7.6 空间曲线1．(1) co s sin 0x R t y R t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ , π20≤≤t ;(2)3sin x ty tz t⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩,π20≤≤t .2.221168y x +=3．(1)222(1)90x y x z ++-=⎧⎨=⎩(2)223600z x y +-=⎧⎨=⎩4. (1) 0,122=≤+z y x ; (2) 0,222=≤+z y x .总习题七1．(1)D (2)B (3)B (4)C (5)B (6)D (7) D 2．(1)6-, (2) 23-,(3) }1,0,1{-, (4) d =, (5) 2=y ,(6) }2,2,1{, (7) )724,72,71(--, (8)334231--=-=-z y x ,(9)1, (10)224x y z +=；225x y z ++=;2240x y z +=⎧⎨=⎩3. 30±4.d =5. 111011y x z l --- ==：　6. 111-=-=-z y x第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念1、(1)}14),{(22≥+y x y x (2)}1),{(<+y x y x (3)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (4)连续 (5)x y =22、提示：kx y =令3、(1) 41-(2) 0§8.2 偏导数1.(1) 1-; (2) 2e π2. (1)yxy x y z y x yxz 2csc2,2csc22-=∂∂=∂∂; (2)xyyxy z yx ++=1)1(2, ]1)1[ln()1(xyxy xy xy z y y ++++=3.22222)(2y x xy xz +=∂∂, 222222)(y x xy yx z +-=∂∂∂,22222)(2y x xy yz+-=∂∂4.(1)r zz r r y y r r x xr =∂∂=∂∂=∂∂,,, (2)322223222232222,,rz r zr ry r yr rx r xr -=∂∂-=∂∂-=∂∂§8.3 全微分及其应用1. (1)dx 2 (2) 0.25e2. (1) ))(cos(xdy ydx xy dz += (2) )ln ln (1ydz xy xzdy ydx yz y du xz ++=-§8.4 多元复合函数求导法1、(1) 212f xe f y xy '+'- (2) 12+'ϕx (3) t t t 232423-+2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'=, 32f xz f x u y '+'=, 3f xy u z '=;(2) f x f z xx''+'=''242, f xy z xy ''=''4 (3)2231122121f yx f xy f yf yx z ''-''+'-'=∂∂∂ 3. z xyxyf 2)(2或§8.5 隐函数的求导公式1、yx y x -+ 2、zx 2sin 2sin -, zy 2s i n 2s i n -3、322224)()2(xy zy x xyz zz --- 4、 2121F y F x dy F z dx F z dz '+''+'=§8.6 多元函数的极值及其应用1、极小值2)1,21(e f -=-2. 4)1,2(,64)2,4(==-==f M f m3.两直角边边长为l 21时，周长最大.4. 140,90==y x总习题八1、(1) }10),{(22<+<y x y x ϕϕ''+'+''y f y(2) 1 (3)232)43(1123t t t-+- (4) )(2dy dx e +(5) 既非充分也非必要，充分，必要2、(1) B (2) C (3) A (4) D (5) B3、 2331213sin cos cos sin f y e f x e f x y f e y x y x y x ''-''+''-'+++ 33)(2f e y x ''++ 4.θθsin cos yu x u r u ∂∂+∂∂=∂∂,θθθcos )sin (r yu r xu u ⋅∂∂+-⋅∂∂=∂∂5、)2()2(222122112221f e f ye x f y x f e y x x f x xy xy xy''+''+''+'++' 6. 222yx e--7. yz xy z y z z x zx z+=∂∂+=∂∂2，,3222)(z x zx z +-=∂∂8. ϕϕϕϕ''+=∂∂'-=∂∂xy xz y y z x y xy x z322，9.3232)1(22---z x zz z11. 8)2,0(,0)0,0(====f M f m12. 338abc13.359m ax +=d 359m i n -=d14. 最近点)21,21,21(-，距离为632，最远点)21,21,21(--，距离为63415.(1) 25.1,75.021==x x (2) 5.1,021==x x16.(1) 7,5,10,42211====P Q P Q 时有最大利润52=L ； (2) 4,5,82121====Q Q P P 时有最大利润49=L ，实行价格差别策略时利润较大.。