高数下册试卷B及答案

高等数学(2)期末考试试题【B 卷】
姓名 班级 学号
填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1． 设有向量)1,2,1(=→
a ，)0,2,1(-=→
b ，则=-→
→b a 2＿＿＿＿＿ 2． 过点)1,1,1(且与平面042=--+z y x 垂直的直线方程是＿＿＿＿＿ 3．
=+→xy
y
x y x )
2,1(),(lim
＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4． 曲线积分⎰
+)
(AB L Qdy Pdx 与积分路径)(AB L 无关的充要条件为＿＿＿＿＿
5． 幂级数∑∞
=0
n n
nx
的收敛半径为＿＿＿＿＿＿＿＿＿
选择题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1. 函数y
x y x z -++=
1
1
的定义域是（ ） Ａ. {}0,0|),(≥≥y x y x Ｂ. {}0,0|),(<<y x y x Ｃ. {}0,0|),(>->+y x y x y x Ｄ. {}0,0|),(≤-≤+y x y x y x
2. 过点)0,1,2(且与平面0422=-+-z y x 平行的平面方程( )
Ａ. 0422=-+-z y x Ｂ. 0422=-++z y x Ｃ．0222=-+-z y x Ｄ. 0222=-++z y x
3. 设22y y x Z +=，则===1
1|y x dz ( )
Ａ.dy dx 32+ Ｂ.dy dx 32- Ｃ．dy dx + Ｄ.0
4. 若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，
),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=D
d y x f σ),(（ ）
Ａ. 2⎰⎰2
),(D d y x f σ Ｂ.2⎰⎰1
),(D d y x f σ Ｃ.4⎰⎰1
),(D d y x f σ Ｄ.0
5. 设级数∑∞=1
n n a 收敛，∑∞=1
n n b 发散，则级数∑∞
=+1
)(n n n b a 必是( )
Ａ. 发散 Ｂ.收敛 Ｃ.条件收敛 Ｄ.敛散性不确定
判断题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1. 两个空间向量的数量积的结果不一定为常数 ( )
2. 函数),(y x f z =的偏导数
y
z
x z ∂∂∂∂,在点),(y x 连续是函数),(y x f z =在该点可微的必要条件 ( )
3. 二重积分对于积分区域具有可加性 ( )
4. 格林公式表示二重积分与第一类曲线积分之间的关系 ( )
5. 如果∑∞
=1
n n
u
绝对收敛，则级数
∑∞
=1
n n
u
必定收敛 ( )
计算题：（本题共5小题，每小题8分，满分40分）
1. 求223y xy x z ++= 在点)2,1(处的偏导数
y
z x z ∂∂∂∂, 2. 设22v u z +=，而y x v y x u -=+=,.求x
z ∂∂和y
z ∂∂.
3. 计算二重积分
⎰⎰D
xyd σ，其中D 是由直线1=y ,2=x 及x y =所围成的闭
区域.
4. 计算第二类曲线积分
dy x xydx L
⎰+22，其中L 是抛物线2
x y =上从点)0,0(到点)1,1(的一段弧.
5. 求幂级数
∑
∞
=0
!
n n
n x 的收敛域.
高数B 参考答案
填空题：1. )1,6,1-( 2.
111121--=
-=-z y x 3. 2
3
4.
xdy dx y x dz --=)4(
5. x
Q
y
P
∂∂=
∂∂ 6.收敛 7.1 选择题：1.C 2.C 3.A 4.D 5.A
判断题：1. 错 2.对 3.错 4. 错 5. 对 6.对 7. 对 8.错 计算题：
1. 解：把y 看做常量，得
y x x
z
32+=∂∂，把x 看做常量，得y x y z 23+=∂∂ …4分
将)2,1(代入上面的结果，就得
823122
1=⋅+⋅===∂∂y x x
z
，722132
1=⋅+⋅===∂∂y x y
z
…8分 2.解：
x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂=∂∂，y
v
v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ …2分 u u z 2=∂∂，v v z 2=∂∂，1=∂∂x u ，1=∂∂y u ，1=∂∂x v ，1-=∂∂y v …5分 []x y x y x v u x
v
v z x u u z x z 421212=-++=⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ []y y x y x v u y
v v z y u u z y z 42)1(212=+-+=-⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ …8分
3.解：积分区域D 既是X 型，又是Y 型的 …2分
D 是X 型，
dx y x dx xydy xyd x
D
x
1
2
1
22
1
12⎰
⎰⎰⎰
⎰⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
σ…5分 89
48222
1
2
4
2
1
3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
⎰
x x dx x x …8分 或
D 是Y 型，
dy x y dy xydx xyd y
D
y 2
2
1
22
1
2
2⎰
⎰⎰⎰
⎰⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
σ…5分 89
8222
14
22
1
3
=
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=
⎰
y y dy y y …8分
4.解：化为对x 的定积分.其中 L 方程为10,2
≤≤⎩⎨⎧==x x
x x y ，所以 …3分
14])(2[21
3'
221
'22
==⋅+⋅⋅=+⎰⎰⎰
dx x dx x x x x x dy x xydx L
…8分
5.解：因为!
1
n a n =，)!1(11+=+n a n …2分
!)1(!lim )!1(!lim !
1
)!
1(1
lim lim
1
n n n n n n n a a n n n n
n n ⋅+=+=+==→∞→∞→∞+→∞
ρ 0)
1(1lim
=+=∞
→n n 所以收敛半径为+∞==ρ1
R …6分
从而收敛域是),(+∞-∞. …8分。