高中数学第三章推理与证明1归纳与类比1.2类比推理北师大版选修
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(2)合情推理归类纳比推推理理
归纳推理与类比推理的区别与联 系
区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个 别到个别的推理或是由一般到一般的推理．
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真 可假．
1．下面几种推理是类比推理的是( ) A．因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角 和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2) B．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 C．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位 团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员 D．4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶数能 被2整除 答案： B
1.类比推理的基本原则是根据当 前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数 目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比 得到空间中的相关结论．
2．平面图形与空间图形类比
平面图形 点 线 边长 面积
线线角 三角形
空间图形 线 面 面积 体积
二面角 四面体
1．如图所示，在△ABC中，射影定理可
课堂互动讲义
平面图形与空间图形的类比
三角形与四面体有下列共同的性 质：
(1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形；四 面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形．
(2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上 的各点连线所形成的图形；四面体可以看做三角形外一点与这 个三角形上各点连线所形成的图形．
于第三边的一半并
且平行于第三边
四面体 四面体任意三个面的面积之和大 于第四个面的面积 四面体的中位面的面积等于第四 个面面积的14，且平行于第四个面
三角形
四面体
三角形的三条内角平 四面体的四个面的二面角的平分
分线交于一点，且这 面交于一点，且这个点是四面体的
个点是三角形内切圆 内切球的球心
的圆心
三角形的面积为 S＝12 四面体的体积为 V＝13(S1＋S2＋S3 (a＋b＋c)r(r 为三角 ＋S4)r，S1、S2、S3、S4 为四面体四 形内切圆的半径) 个面的面积，r 为内切球的半径
答案： D
3．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广 到空间正四面体，类似的结论是________．
解析： 原问题的解法为等面积法，即 S＝12ah＝3×12ar⇒ r＝13h，类比问题的解法应为等体积法，V＝13Sh＝4×13Sr⇒r＝14 h，即正四面体的内切球的半径是高的14.
答案： 正四面体的内切球半径是高的14
找类比对象对二者“内在”性质进行探究．
[边听边记] 三角形和四面体分别是平面图形和空间图
形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比空间的面；
三角形的中位线对应四面体的中位面，三角形的内角对应四面
体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下
表：
三角形
三角形两边之和大
于第三边
三角形的中位线等
表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分
别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出
对空间四面体性质的猜想． 解析： 如图所示，在四面体 P－ABC 中，
S1，S2，S3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA， △ABC 的面积，α，β，γ 依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大 小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为
解析： 如图①所示，在平面△DEF 中，正弦定理为sDinEF ＝siEnFD＝sDinFE.如图②，已知平面 SAB，SAC，SBC 与底面 ABC 所成的角分别为 α1，α2，α3.
类比可得，在四面体 S－ABC 中，有sSi△nSAαB1＝sSi△nSAαC2＝sSi△nSBαC3. 即sinS1α1＝sinS2α2＝sinS3α3.
1.2 类比推理
课前预习学案
已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面积公式 S 底×高 ＝ 2 ，可推知扇形面积公式 S 扇等于________．
提示： 我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高为扇 形的半径 r，∴S 扇＝12lr.
1．类比推理
(1)两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据 一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特 征，我们把这种推理过程称为_类__比__推__理___．
4 ． 已 知 在 三 棱 锥 S － ABC 中 ， SA⊥SB ， SB⊥SC ， SA⊥SC ， 且 平 面 SAB ， SAC ， SBC 与 底 面 ABC 所 成 角 分 别 为 α1，α2，α3，三侧面△SAB，△SAC，△SBC的面积分别为S1， S2 ， S3 ， 类 比 三 角 形 中 的 正 弦 定 理 ， 给 出 空 间 情 形 的 一 个 猜 想．
2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b8b9＝29，若 {an}为等差数列，a5＝2，则{an}类似的结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29 C．a1a2a3…a9＝2×9 D．a1＋a2＋百度文库＋a9＝2×9 解析： 在等差数列中“积”变“和”得a1＋a2＋…＋a9 ＝2×9.
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质 填写下表：
三角形 三角形两边之和大于第三边 三角形的中位线等于第三边的一半并且平 行于第三边 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个 点是三角形内切圆的圆心
三角形的面积 S＝12(a＋b＋c)r(r 为三角形内 切圆的半径)
四面体
[思路导引] 已知三角形和四面体的“外在”性质，合理寻
(2)类比推理是两类事物__特__征__之间的推理．即类比推理是 由_特__殊__到__特__殊___的推理．
(3)根据解决问题的需要，可对__概__念__、_结__论___、_方__法___进 行类比．
2．合情推理 (1) 合 情 推 理 是 根 据 __实__验__和__实__践__ 的 结 果 ， 个 人 的 _经__验__和__直__觉___、已有的_事__实___和正确的_结__论___(定义、公理、定 理等)，推测出某些结果的推理方式．
归纳推理与类比推理的区别与联 系
区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个 别到个别的推理或是由一般到一般的推理．
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真 可假．
1．下面几种推理是类比推理的是( ) A．因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角 和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2) B．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 C．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位 团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员 D．4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶数能 被2整除 答案： B
1.类比推理的基本原则是根据当 前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数 目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比 得到空间中的相关结论．
2．平面图形与空间图形类比
平面图形 点 线 边长 面积
线线角 三角形
空间图形 线 面 面积 体积
二面角 四面体
1．如图所示，在△ABC中，射影定理可
课堂互动讲义
平面图形与空间图形的类比
三角形与四面体有下列共同的性 质：
(1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形；四 面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形．
(2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上 的各点连线所形成的图形；四面体可以看做三角形外一点与这 个三角形上各点连线所形成的图形．
于第三边的一半并
且平行于第三边
四面体 四面体任意三个面的面积之和大 于第四个面的面积 四面体的中位面的面积等于第四 个面面积的14，且平行于第四个面
三角形
四面体
三角形的三条内角平 四面体的四个面的二面角的平分
分线交于一点，且这 面交于一点，且这个点是四面体的
个点是三角形内切圆 内切球的球心
的圆心
三角形的面积为 S＝12 四面体的体积为 V＝13(S1＋S2＋S3 (a＋b＋c)r(r 为三角 ＋S4)r，S1、S2、S3、S4 为四面体四 形内切圆的半径) 个面的面积，r 为内切球的半径
答案： D
3．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广 到空间正四面体，类似的结论是________．
解析： 原问题的解法为等面积法，即 S＝12ah＝3×12ar⇒ r＝13h，类比问题的解法应为等体积法，V＝13Sh＝4×13Sr⇒r＝14 h，即正四面体的内切球的半径是高的14.
答案： 正四面体的内切球半径是高的14
找类比对象对二者“内在”性质进行探究．
[边听边记] 三角形和四面体分别是平面图形和空间图
形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比空间的面；
三角形的中位线对应四面体的中位面，三角形的内角对应四面
体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下
表：
三角形
三角形两边之和大
于第三边
三角形的中位线等
表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分
别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出
对空间四面体性质的猜想． 解析： 如图所示，在四面体 P－ABC 中，
S1，S2，S3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA， △ABC 的面积，α，β，γ 依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大 小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为
解析： 如图①所示，在平面△DEF 中，正弦定理为sDinEF ＝siEnFD＝sDinFE.如图②，已知平面 SAB，SAC，SBC 与底面 ABC 所成的角分别为 α1，α2，α3.
类比可得，在四面体 S－ABC 中，有sSi△nSAαB1＝sSi△nSAαC2＝sSi△nSBαC3. 即sinS1α1＝sinS2α2＝sinS3α3.
1.2 类比推理
课前预习学案
已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面积公式 S 底×高 ＝ 2 ，可推知扇形面积公式 S 扇等于________．
提示： 我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高为扇 形的半径 r，∴S 扇＝12lr.
1．类比推理
(1)两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据 一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特 征，我们把这种推理过程称为_类__比__推__理___．
4 ． 已 知 在 三 棱 锥 S － ABC 中 ， SA⊥SB ， SB⊥SC ， SA⊥SC ， 且 平 面 SAB ， SAC ， SBC 与 底 面 ABC 所 成 角 分 别 为 α1，α2，α3，三侧面△SAB，△SAC，△SBC的面积分别为S1， S2 ， S3 ， 类 比 三 角 形 中 的 正 弦 定 理 ， 给 出 空 间 情 形 的 一 个 猜 想．
2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b8b9＝29，若 {an}为等差数列，a5＝2，则{an}类似的结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29 C．a1a2a3…a9＝2×9 D．a1＋a2＋百度文库＋a9＝2×9 解析： 在等差数列中“积”变“和”得a1＋a2＋…＋a9 ＝2×9.
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质 填写下表：
三角形 三角形两边之和大于第三边 三角形的中位线等于第三边的一半并且平 行于第三边 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个 点是三角形内切圆的圆心
三角形的面积 S＝12(a＋b＋c)r(r 为三角形内 切圆的半径)
四面体
[思路导引] 已知三角形和四面体的“外在”性质，合理寻
(2)类比推理是两类事物__特__征__之间的推理．即类比推理是 由_特__殊__到__特__殊___的推理．
(3)根据解决问题的需要，可对__概__念__、_结__论___、_方__法___进 行类比．
2．合情推理 (1) 合 情 推 理 是 根 据 __实__验__和__实__践__ 的 结 果 ， 个 人 的 _经__验__和__直__觉___、已有的_事__实___和正确的_结__论___(定义、公理、定 理等)，推测出某些结果的推理方式．