第38讲 数列的综合运用(原卷版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

A．－38
B．38
C．－17
D．17
5、已知 x>0，y>0，x，a1，a2，y 成等差数列，x，b1，b2，y 成等比数列，那么（a1＋a2）2的最小值是____． b1b2
6、(2019·河北石家庄 4 月模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn，定义{an}的“优值”为 Hn＝a1＋2a2＋…＋2n－1an， n
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2an－1－1，n 为偶数， 则解下 4 个环所需的最少移动次数 a4 为( )
2an－1＋2，n 为奇数，
A．7
B.10
C．12
D．22
变式 1、（河北衡水中学 2019 届模拟）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里
关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：
共行走了 700 里．那么这匹马在最后一天行走的里程数为________．
方法总结：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化成数列问题，并分清数列是等差数列还是等比数 列
考点二 等差数列与等比数列的综合 例 1、(2018 苏中三市、苏北四市三调）已知实数 a ，b ，c 成等比数列， a 6 ，b 2 ，c 1 成等差数列，
法等对式子化简变形． 注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊
性． 2．数列与不等式综合问题的求解策略 解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、
分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．
于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也
是巨大的．
考点二 数列与函数、不等式等内容的综合问题
例
1、（黑龙江大庆第一中学
2019
届模拟）已知数列{an}的前
n
项和为
Sn，点(n，Sn)在曲线
y＝1x2＋5x 22
上，
数列{bn}满足 bn＋bn＋2＝2bn＋1，b4＝11，{bn}的前 5 项和为 45.
入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．
变 式 3 、 (2019· 山 东 临 沂 三 模 ) 意 大 利 数 学 家 斐 波 那 契 以 兔 子 繁 殖 为 例 ， 引 入 “ 兔 子 数 列 ” ：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…即 F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、化
学等方面都有着广泛的应用．若此数列被 2 除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前 2 019 项的和
为( )
A．672
B．673
C．1 346
D．2 019
变式 4、(2019 苏锡常镇调研）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减
半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一
通项公式 bn＝( )
A．20n－20
B．14－4n
C．2n＋1
D．20n－10
变式 4、设{an}是首项为 a，公差为 d 的等差数列(d≠0)，Sn 是其前 n 项和．记 bn＝nn2＋Snc，n∈N*，其中 c 为 实数．
(1)若 c＝0，且 b1，b2，b4 成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)； (2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.
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第 38 讲：数列的综合运用
一、课程标准 1、理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用。 2、了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。 3、会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题。 二、基础知识回顾
的一端截下 1 尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细
是均匀变化的，其重量为 M，现将该金箠截成长度相等的 10 段，记第 i 段的重量为 ai(i＝1,2，…，10)，且
a1<a2<…<a10，若 48ai＝5M，则 i＝( )
A．4
B．5
C．6
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则 b的最大值为
．
变式 1、(2018 无锡期末） 已知等比数列{an}满足 a2a5＝2a3，且 a4，5，2a7 成等差数列，则 a1·a2·…·an 的最大 4
值为________．
变式 2、(2019 无锡期末）设公差不为零的等差数列{an} 满足 a3＝7，且 a1－1，a2－1，a4－1 成等比数列，
现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则 Sn＝________. 四、例题选讲
考点一 数列在数学文化与实际问题中的应用
例 1、(1)(2020·长沙模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重
四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长 5 尺，一头粗，一头细，在粗
1、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 n 项和公式、求和方
法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊
a1，12a3，2a2
成等差数列，则a10＋a11 a8＋a9
＝( )
A. 1＋ 2
B. 1－ 2
C. 3＋2 2 D. 3－2 2
4、(2019·吉林长春
5
月联考)已知等差数列{an}的前
n
项和为
Sn，公差
d>0，a6
和
a8
是函数
f(x)＝15ln 4
x＋1x2 2
－8x 的极值点，则 S8＝( )
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)设
cn＝
(2an
1 3)(2bn
8)
，数列{cn}的前
n
项和为
Tn，求使不等式
Tn＞ k 恒成立的最大正整数 54
k
的
值．
变式 1、[2017·徐州、连云港、宿迁三检]已知两个无穷数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，a1＝1，S2 ＝4，对任意的 n∈N*，都有 3Sn＋1＝2Sn＋Sn＋2＋an.
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四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤．若
该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重( )
A．6 斤
B.7 斤
C．9 斤
D．15 斤
3、（2019·南充高三第二次诊断）已知等比例{an}中的各项都是正数，且
三、自主热身、归纳总结
1. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(a1 010，a1 012)在直线 x＋y－2＝0 上，则 S2 021 等于(
)
A. 4 042
B. 2 021 C. 1 010 D. 1 012
2、(2019·广东潮州二模)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重
长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第一天长高
3 尺，莞草第一天长高 1 尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的 2 倍．问第几天蒲
草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只
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变式 1、（2020 届江苏省南通市如皋中学高三下学期 3 月线上模拟）如果无穷数列{an}满足条件：①
an an2 2
an1 ；②
存在实数 M，使得 an≤M，其中 n∈N*，那么我们称数列{an}为Ω数列.
（1）设数列{bn}的通项为 bn＝20n－2n，且是Ω数列，求 M 的取值范围；
方法总结：等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要
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先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．
(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等
(2)求证： 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 <2.
a1a2 a2a3 a3a4
anan＋1
方法总结：数列与函数综合问题的主要类型及求解策略 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题． (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 n 项和公式、求和方
考点三、数列中的“定义型问题” 例 1、（2019·苏州调研改编）定义：对于任意 n∈N*，xn＋xn＋2－xn＋1 仍为数列{xn}中的项，则称数列{xn}为“回 归数列”．
(1)已知 an＝2n(n∈N*)，判断数列{an}是否为“回归数列”，并说明理由； (2)若数列{bn}为“回归数列”，b3＝3，b9＝9，且对于任意 n∈N*，均有 bn<bn＋1 成立，求数列{bn}的通项 公式．
1
7
（2）设{cn}是各项为正数的等比数列，Sn 是其前 n 项和，c3＝ 4 ，S3＝ 4 ，证明：数列{Sn}是Ω数列；
（3）设数列{dn}是各项均Leabharlann Baidu正整数的Ω数列，求证：dn≤dn＋1.
变式 2、(2019 南京学情调研）如果数列{an}共有 k(k∈N*，k≥4)项，且满足条件： ①a1＋a2＋…＋ak＝0； ②|a1|＋|a2|＋…＋|ak|＝1， 则称数列{an}为 P(k)数列． (1) 若等比数列{an}为 P(4)数列，求 a1 的值； (2) 已知 m 为给定的正整数，且 m≥2. ①若公差为正数的等差数列{an}是 P(2m＋3)数列，求数列{an}的公差； qn－1，1≤n≤m，n∈N*， 3 ②若 an＝ m－n，m＋1≤n≤2m，n∈N*，其中 q 为常数，q<－1.判断数列{an}是否为 P(2m)数列，说明理 12
D．7
(2)(2019·北京市石景山区 3 月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成
串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．” 在某种玩法中，用 an 表示解下 n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足 a1＝1，且 an＝
则 a10 等于________．
变式 3、（黑龙江哈尔滨三中 2019 届模拟）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，
等差数列{bn}中，bn＞0(n∈N*)，且 b1＋b2＋b3＝15，又 a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3 成等比数列，则数列{bn}的
是公比；
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第 n
项 an 与第 n＋1 项 an＋1 的递推关系还是前 n 项和 Sn 与前 n＋1 项和 Sn＋1 之间的递推关系． 2．解决数列实际应用题的 3 个关键点
(1)根据题意，正确确定数列模型；
(2)利用数列知识准确求解模型；
“有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后
到达目的地．”则此人第 4 天和第 5 天共走了( )
A．60 里
B．48 里
C．36 里
D．24 里
变式 2、（江苏常州高级中学 2019 届模拟）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，对任意的 n∈N*，都有 Sn>Tn，求证：an>bn.
1 变式 2、设函数 f(x)＝12＋1x，正项数列{an}满足 a1＝1，an＝f an－1 ，n∈N*，且 n≥2.
(1)求数列{an}的通项公式；
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性．
数列在实际问题中的应用
2、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识
去解决．
1．数列实际应用中的常见模型
(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就