近五年高考数学数列压轴题解题方法研究

中文摘要本文对近五年高考理科数学数列压轴题的解题方法进行了研究，在数列通项公式方面和数列不等式方面分别总结了几点解题方法。

为了让读者能够更好地理解每一种方法，本文在每一种方法后面都进行了说明，并且也给出了相应的例子。

关键词：数列压轴题，数列通项公式，数列不等式AbstractThis entrance examination for the past five years mathematical science series finale the theme of problem-solving methods have been studied,Term Formula in a few aspects of the column and several columns the respective inequality problem-solving method of summing up the following points.In order to give readers a better understanding of each method,in this paper, each method are described later in both.And also gives the corresponding examplesKeywords ：Series finale title，Sequence by the formula，Seriesinequality绪论数列作为中学数学的传统内容，无论是原教学大纲还是新课程标准中都是中学数学的主干知识之一，在高考中占有非常重要的位置，是历年高考必考内容之一。

数列题的题目往往比较简洁，条件比较少，所以需要比较强的综合运用所学知识解决问题的能力。

正因为数列的这一特点，使得它越来越受到出题者的青睐，从而把它作为高考压轴题，用以拉开考生的成绩。

这一点，我们可以从下表得到说明：数列压轴题的分布表2005年 福建卷 湖北卷 山东卷 天津卷 浙江卷 重庆卷 江苏卷2006年 北京理 福建理 江苏理 江西理 全国1 全国2 山东理 浙江理2007年 广东理 重庆理 湖南理 江西理 全国1 陕西理 安徽理2008年 北京理 福建理 广东理 湖北理 全国1理 陕西理 上海理 天津理 浙江理 重庆理2009年 江苏 安徽理 北京理 广东理 湖南理 江西理 陕西理 上海理 四川理 天津理 重庆理从上表我们可以看到，数列作为压轴题在全国各省市的高考题中出现的比例越来越大，因此，对高考数列压轴题的解题方法研究就显得很有必要的，既可以帮助学生进行有针对性的学习，少走弯路，也可以帮助教师进行有针对性的教学，提高教学效率。

纵观近几年的关于高考数列的论文，不少人对高考数学数列压轴题的解题进行了研究，也总结了不少的精妙的解题方法。

但大多数人都是针对某一道题、某一种解题方法或者某一年高考题的研究，还没有人对近几年高考题进行过一次比较系统的方法总结，下面是笔者结合近年各省理科高考题数列压轴题，在数列通项公式，数列不等式方面总结了一些解题方法，希望对大家有所帮助。

1. 数列的通项公式近几年高考题虽然题目变来变去的，但涉及到求通项公式的问题，总是有一点方法可以遵循的。

1.1定义法此种方法是直接根据等差数列和等比数列的定义来求数列的通项公式，一般用来求比较简单的题目。

譬如，在压轴题第一问出现求数列通项公式时，次种方法往往适用。

根据定义法来证明数列是等比数列时，一般是证明00111≠=≠=-++m m m m m m a aa a q a a 或例1（2006年高考理科数学·山东卷）已知12a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中1,2,3,n =（1）证明数列{lg(1)}n a +是等比数列；（2）设12(1)(1)(1)n n T a a a =+++，求n T 及数列{}n a 的通项；（3）记112n n n b a a =++，求数列{}n b 的前n 项n S ，并证明2131n n S T +=- 证明：（1）本题要证明{lg(1)}n a +是等比数列根据定义，只要证明即可0)1lg(,)1lg()1lg(1≠+=+++n n n a q a a 要证明0)1(l q,)1lg()1lg(1≠+=+++n n n a g a a ，即要证明0)1lg(,)1lg()1(lg 1≠++=++n q n n a a a 即要证明11,)1(11≠++=++n qn n a a a 由已知212n nn a a a +=+得21)1(1+=++n n a a 又因为21=a ，所以1311≠=+a所以{lg(1)}n a +是等比数列（2）略 （3）略根据定义法来证明数列是等差数列时，一般是证明为常数d d a a m m ,1=-+或11-+-=-m m m m a a a a例2（2005年高考数学·江苏卷22）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列；⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立解：⑴8,20-=-=B A （过程略）⑵由（Ⅰ）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ①所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ② ②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 0)25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n因为 n n n S S a -=++11所以 0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n 因为 0)25(≠+n所以 02123=+-+++n n n a a a 所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n 又 51223=-=-a a a a 所以数列}{n a 为等差数列⑶答案略这道题在解题过程稍微复杂，但思路是根据等差数列的定义1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n 证得{}n a 是等差数列。

由于定义法比较简单，07年之后便少有出现在压轴题里面，但在非压轴题里这种方法还是常常被用到。

1.2数学归纳法有时候，我们无法根据定义来证明一个数列是等差或等比数列也无法根据义把数列通项公式求出来，这时，利用数学归纳法，能起到化难为简的功效。

数学归纳法的解题步骤分为以下两步：第一步：证明n 取最小正整数时，等式成立，第二步：假设n=k(k 大于能取得的最小正整数)时等式成立，然后证明n=k+1时等式也成立。

第三步：由第一、第二步的结论我们就可以下结论说，等号对一切满足条件的n 都成立例3（2005年高考理科数学·浙江卷20）设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋ax ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －112n -，n x 由以下方法得到： x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．解：（Ⅰ）2714y x x =-+（过程略） （Ⅱ）设点(),P x y 是n C 上任意一点，则()()()22222||n n n n n A P x x y x x x a x b =-+=-+++令()()()222n n n g x x x x a x b =-+++则()()()()2222n n n n g x x x x a x b x a '=-++++ 由题意得()10n g x +'=即()()()21112220n n n n n n n x x x a x b x a +++-++++=又1212n n n n n x a x b ++=++， ()()()112201n n n n n x x x a n ++∴-++=≥， 即()()111220*n n n n n x x a +++-+=通过观察，我们发现21n x n =-时，上式等号成立，于是， 下面用数学归纳法证明21n x n =-确实所要求的等差数列第一步：证明n 取最小正整数时等号成立，在此题中，n 可以取一切正整数，因此先证明n=1时等号是否成立。

当1n =时，11x =，等式成立；第二步：假设当n k =（k>1）时，等式成立，即21k x k =-，下证明n=k+1时等式也成立当1n k =+时，由()*知()111220k k k k k x x a +++-+=， 又11242k k a k -=---，1122112k k kk k x a x k ++-∴==++，即1n k =+时，等式成立第三步：由第一、第二步知，等式对*n N ∈成立， 故{}n x 是等差数列例4（2007年高考理科数学·江西卷22）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+．（1）求1a ，3a ；（2）求数列{}n a 的通项n a ． 解：（1）11a =，39a =（过程略）（2）由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =． 下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时 由①得221111112(1)2k k k k a ka k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++-因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，．11k -≥，所以(]1011k ∈-，又1k a +∈*N ， 所以221(1)(1)k k a k +++≤≤．故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立． 由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．数学归纳法虽然比较好用，但我们要先观察分析题目给出的条件，根据条件进行合理的猜测，然后再用数学归纳法来证明自己的猜测。