课时跟踪检测(四十三) 概率的基本性质
概率的基本性质
(3)“A没被选中”包含下列5个基本事 件: (B,C,D,E ),(B,C,D,F ), (B,C,E,F ),(B,D,E,F ),
(C,D,E,F )
有关集合知识:
1、集合之间的包含关系:
A B
BA
2、集合之间的运算: (1)交集: A∩B
(2)投掷一颗骰子,掷出的点数不为3, 5.
5、互斥事件
若A∩B为不可能事件( A∩B = ),那么称事 件A与事件B互斥。
事件A与事件B互斥的含义是:这两个事件在任 何一次试验中都不会同时发生,可用图表示为:
A={出现4点} B={出现6点} M={出现的点数为偶数}
B
A
N={出现的点数为奇数}
解:(1)Ω ={(正,正,正), (反,正,正),
(正,反,正), (正,正,反), (正,反,反),
(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)};
解:(1)Ω ={(正,正,正), (反,正,正),
(正,反,正), (正,正,反), (正,反,反), (反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)};
基本事件空间:所有基本事件构成的集合 称为基本事件空间。基本事件空间常用大 写希腊字母Ω表示。
例如,掷一枚硬币,观察落地后哪一 面向上,这个试验的基本事件空间就是 集合{正面向上,反面向上}。
即 Ω = {正面向上,反面向上}.
或简记为Ω ={正,反}.
掷一颗骰子,观察掷出的点数,这个事 件的基本事件空间是
解:(1)这个试验的基本事件空间是: Ω={(A,B,C,D ),(A,B,C,E ),(A,B,C,F ),
(A,B,D,E ),(A,B,D,F ),(A,B,E,F ),
2024秋新教材高中数学课时跟踪检测四十三频率与概率新人教A版必修第二册
频率与概率层级(一) “四基”落实练1.某地气象局预报说:明天本地降水的概率为80%,则下列说明正确的是 ( )A .明天本地有80%的区域降水,20%的区域不降水B .明天本地有80%的时间降水,20%的时间不降水C .明天本地降水的可能性是80%D .以上说法均不正确解析:选C 选项A 、B 明显不正确,因为明天本地降水的概率为80%不是说有80%的区域降水,也不是说有80%的时间降水,而是指降水的可能性是80%.故选C.2.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的,某次考试共12道选择题,某同学说:“每个选项正确的概率是14,若每题都选择第一个选项,则肯定有3道题的选择结果正确.”这句话( )A .正确B .错误C .有肯定道理D .无法说明解析:选B 从四个选项中正确选择选项是一个随机事务,14是指这个事务发生的概率.事实上,做12道选择题相当于做12次试验,每次试验的结果是随机的,因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确,也可能有1个,2个,3个,…,12个正确.因此该同学的说法是错误的.3.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有( )A .64个B .640个C .16个D .160个解析:选C 由题意,得80×(1-80%)=80×20%=16个.4.某医院治疗一种疾病的治愈率为15,前4位病人都未治愈,则第5位病人的治愈率为( )A .1 B.15 C.45D .0解析:选B 治愈率为15,表明每位病人被治愈的概率均为15,并不是5人中必有1人被治愈.故选B.5.袋子中有四个小球,分别写有“美”“丽”“中”“国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3分别代表“中”“国”“美”“丽”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为( )A.19B.318C.29D.518解析:选C 由随机产生的18组随机数可知,恰好第三次就停止的有021,001,130,031,依据古典概型概率公式可得,恰好第三次就停止的概率约为418=29,故选C.6.某制造商今年3月份生产了一批乒乓球,随机抽取100个进行检查,测出每个乒乓球的直径(单位:mm),将数据分组如下:不超过0.03 mm 的概率约为________.解析:标准尺寸是40.00 mm ,并且误差不超过0.03 mm ,即直径需落在[39.97,40.03)范围内.由频率分布表知,所求频率为0.20+0.50+0.20=0.90,所以直径误差不超过0.03 mm 的概率约为0.90. 答案:0.907.某工厂为了节约用电,规定每天的用电量指标为1 000度,依据上个月的用电记录,在30天中有12天的用电量超过指标,若这个月(按30天计)仍没有详细的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率约是______.解析:由频率的定义可知用电量超过指标的频率为1230=0.4,由频率估计概率知第一天用电量超过指标的概率约是0.4. 答案:0.48.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499依据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5~501.5 g 范围内的概率约为________.解析:易知袋装白糖质量在497.5~501.5 g 范围内的袋数为5,故其频率为520=0.25,即其概率约为0.25. 答案:0.259.某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:(1)(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少?解:(1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.(2)由于频率稳定在常数0.89旁边,所以这个射手射击一次,击中靶心的概率约是0.89.层级(二) 实力提升练1.某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参与社区服务活动,有人提议用如下方法选班:掷两枚硬币,正面对上记作2点,反面对上记作1点,两枚硬币的点数和是几,就选几班.依据这个规则,当选概率最大的是( )A .二班B .三班C .四班D .三个班机会均等解析:选B 掷两枚硬币,共有4种结果:(2,2),(2,1),(1,2),(1,1),故选四班的概率是14,选三班的概率为24=12,选二班的概率为14,故选B.2.下面有三种嬉戏规则:袋子中分别装有大小相同的球,从袋中取球,则其中不公允的嬉戏是 ( )A .嬉戏1B .嬉戏1和嬉戏3C .嬉戏2D .嬉戏3解析:选D 嬉戏1中取2个球的全部可能状况有:(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑1,白),(黑2,黑3),(黑2,白),(黑3,白),所以甲胜的概率为36=12,所以嬉戏1是公允的.嬉戏2中,明显甲胜的概率是0.5,嬉戏是公允的.嬉戏3中取2个球的全部可能状况有(黑1,黑2),(黑1,白1),(黑1,白2),(黑2,白1), (黑2,白2),(白1,白2),所以甲胜的概率为13,所以嬉戏3是不公允的.3.甲、乙两支篮球队进行一局竞赛,甲获胜的概率为0.6.若采纳三局两胜制实行一次竞赛,现采纳随机模拟的方法估计乙获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数,用0,1,2,3,4,5表示甲获胜,6,7,8,9表示乙获胜,这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采纳三局两胜制,所以每3个随机数作为一组.例如,产生30组随机数: 034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751 据此估计乙获胜的概率约为________.解析:产生30组随机数,就相当于做了30次试验.假如6,7,8,9中恰有2个或3个数出现,就表示乙获胜,它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707,共11个.所以采纳三局两胜制,乙获胜的概率约为1130≈0.367.答案:0.3674.盒中有大小、形态相同的5个白球、2个黑球,用随机模拟法求下列事务的概率:(1)任取一球,得到白球; (2)任取三球,都是白球.解:用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球.(1)步骤:①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数,每一个数一组,统计组数n ;②统计这n 组数中小于6的组数m ; ③任取一球,得到白球的概率估计值是m n.(2)步骤:①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数,每三个数一组(每组数字不重复),统计组数a ;②统计这a 组数中,每个数字均小于6的组数b ; ③任取三球,都是白球的概率估计值是ba.5.深夜,一辆出租车牵涉一起交通事故,该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司,其中蓝色出租车和红色出租车的数量分别占整个城市出租车数量的85%和15%.据现场目击证人说事故现场的出租车是红色的,并对证人的辨色实力进行测试,测得他分辨的正确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问:警察的认定对红色出租车公允吗?试说明理由.解:推断认定结论是否公允,需先估算出两种颜色出租车肇事的概率,再依据相应的概率进行推断.法一:假设该城市有出租车1 000辆,那么依题意可得如下信息:从表中可以看出,当证人说出租车是红色的,它确定是红色的概率为120290≈0.41,则它是蓝色的概率为170290≈0.59.在这种状况下,以证人的证词作为推断的依据对红色出租车明显是不公允的. 法二:由题意可知,证人说出租车是红色的概率为15%×80%+85%×20%=29%,而其中它的确是红色的概率为15%×80%=12%, 因此证人证词正确的概率为12%29%≈0.41,而证人证词错误的概率为17%29%≈0.59, 在这种状况下,以证人的证词作为推断的依据对红色出租车明显是不公允的. 层级(三) 素养培优练假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等,该国质量检验部门为了解它们的运用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试,结果统计如图所示.已知乙品牌产品运用寿命小于200小时的概率估计为310.(1)求a 的值;(2)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;(3)这两种品牌产品中,某个产品已运用了200小时,试估计该产品是乙品牌的概率. 解:(1)由直方图可知,乙品牌产品运用寿命小于200小时的频数为30+a ,故频率为30+a 300,由题意可得30+a 300=310,解得a =60. (2)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为20+60300=415,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为415.(3)依据抽样结果,寿命大于或等于200小时的产品有(100+80+40)+(90+80+40)=430(个),其中乙品牌产品有210个,∴在样本中,寿命大于或等于200小时的产品是乙品牌的频率为210430=2143,用频率估计概率,得已运用200小时的该产品是乙品牌的概率为2143.。
高中数学 第10章 概率 10.1 随机事件与概率 课时作业47 概率的基本性质 新人教A版必修第二
课时作业47 概率的基本性质知识点一概率的性质1.下列结论正确的是( )A.事件A发生的概率为P(A)=1.1B.不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然要发生的事件D.如果A⊆B,那么P(A)<P(B)答案 B解析因为事件A发生的概率0≤P(A)≤1,所以A错误;不可能事件的概率规定为0,必然事件的概率规定为1,所以B正确;小概率事件是指这个事件发生的可能性很小,但并不是不发生,大概率事件发生的可能性较大,但并不是一定发生,所以C错误;由概率的单调性可知,如果A⊆B,那么P(A)≤P(B),所以D错误.知识点二互斥事件的概率2.盒子里装有6个红球,4个白球,从中任取3个球.设事件A表示“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B表示“3个球中有2个红球,1个白球”.已知P(A)=310,P(B)=12,则这3个球中既有红球又有白球的概率是________.答案4 5解析记事件C为“3个球中既有红球又有白球”,则它包含事件A“3个球中有1个红球,2个白球”和事件B“3个球中有2个红球,1个白球”,而且事件A与事件B是互斥的,所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=310+12=45.3.在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示:等候人数01234大于等于5 概率0.050.140.350.300.100.06求:(1)等候人数不超过2的概率;(2)等候人数大于等于3的概率.解设A,B,C,D,E,F分别表示等候人数为0,1,2,3,4,大于等于5的事件,则易知A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)设M表示事件“等候人数不超过2”,则M=A∪B∪C,故P(M)=P(A)+P(B)+P(C)=0.05+0.14+0.35=0.54,即等候人数不超过2的概率为0.54.(2)设N表示事件“等候人数大于等于3”,则N=D∪E∪F,故P(N)=P(D)+P(E)+P(F)=0.30+0.10+0.06=0.46,即等候人数大于等于3的概率为0.46.知识点三对立事件的概率4.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A.0.7 B.0.65C.0.35 D.0.3答案 C解析由对立事件的概率关系知抽到的不是一等品的概率为P=1-0.65=0.35.5.某射击手平时的射击成绩统计如下表所示:已知他命中7(1)求a和b的值;(2)求命中10环或9环的概率;(3)求命中环数不足9环的概率.解(1)因为他命中7环及7环以下的概率为0.29,所以a=0.29-0.13=0.16,b=1-(0.29+0.25+0.24)=0.22.(2)命中10环或9环的概率为0.24+0.25=0.49.(3)命中环数不足9环的概率为1-0.49=0.51.易错点不能区分事件是否互斥而错用加法公式6.掷一个质地均匀的骰子,向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是16,记事件A为“出现奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,求P(A∪B).易错分析由于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件,由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件,即出现1或3时,事件A,B同时发生,所以不能应用公式P(A ∪B )=P (A )+P (B )求解,而致误.正解 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A 1,A 2,A 3,A 4,由题意知这四个事件彼此互斥.则A ∪B =A 1∪A 2∪A 3∪A 4.故P (A ∪B )=P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)=P (A 1)+P (A 2)+P (A 3)+P (A 4)=16+16+16+16=23.一、选择题1.若随机事件A ,B 互斥,A ,B 发生的概率均不等于0,且P (A )=2-a ,P (B )=4a -5,则实数a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54,2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫54,32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54,32D.⎝ ⎛⎦⎥⎤54,43 答案 D解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1,0<P (B )<1,P (A )+P (B )≤1,即⎩⎪⎨⎪⎧0<2-a <1,0<4a -5<1,3a -3≤1,即⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2,54<a <32,a ≤43,解得54<a ≤43.2.下列说法正确的是( )A .对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件B .A ,B 同时发生的概率一定比A ,B 中恰有一个发生的概率小C .若P (A )+P (B )=1,则事件A 与B 是对立事件D .事件A ,B 中至少有一个发生的概率一定比A ,B 中恰有一个发生的概率大 答案 A解析 根据对立事件和互斥事件的概念,得到对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件,故A 正确.对于两个不可能事件来说,同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等,且均为零,故B 错误.若P (A )+P (B )=1,且AB =∅时,事件A 与B 是对立事件,故C 错误.事件A ,B 中至少有一个发生包括事件A 发生B 不发生,A 不发生B 发生,A ,B 都发生;A ,B 中恰有一个发生包括A 发生B 不发生,A 不发生B 发生;当事件A ,B 互斥时,事件A ,B 至少有一个发生的概率等于事件A ,B 恰有一个发生的概率,故D 错误.3.一个袋子里有4个红球,2个白球,6个黑球,若随机地摸出一个球,记A ={摸出黑球},B ={摸出红球},C ={摸出白球},则事件A ∪B 及B ∪C 的概率分别为( )A.56,12B.16,12C.12,56D.13,12 答案 A解析 P (A )=12,P (B )=13,P (C )=16.因为事件A ,B ,C 两两互斥,则P (A ∪B )=P (A )+P (B )=56.P (B ∪C )=P (B )+P (C )=12. 4.在一次随机试验中,三个事件A 1,A 2,A 3的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下列说法正确的个数是( )①A 1∪A 2与A 3是互斥事件,也是对立事件; ②A 1∪A 2+A 3是必然事件; ③P (A 2∪A 3)=0.8; ④P (A 1∪A 2)≤0.5. A .0 B .1 C .2 D .3答案 B解析 由题意知,A 1,A 2,A 3不一定是互斥事件,所以P (A 1∪A 2)≤0.5,P (A 2∪A 3)≤0.8,P (A 1∪A 3)≤0.7,所以,只有④正确,所以说法正确的个数为1.故选B.5.在5件产品中,有3件一级品和2件二级品,从中任取2件,下列事件中概率为710的是( )A .都是一级品B .都是二级品C .一级品和二级品各1件D .至少有1件二级品答案 D解析 设A 1,A 2,A 3分别表示3件一级品,B 1,B 2分别表示2件二级品.任取2件,则样本空间Ω={A 1A 2,A 1A 3,A 2A 3,A 1B 1,A 1B 2,A 2B 1,A 2B 2,A 3B 1,A 3B 2,B 1B 2},共10个样本点,每个样本点出现的可能性相等.事件A 表示“2件都是一级品”,包含3个样本点, 则P (A )=310,事件B 表示“2件都是二级品”,包含1个样本点, 则P (B )=110,事件C 表示“2件中一件一级品、一件二级品”,包含6个样本点,则P (C )=610=35.事件A ,B ,C 互斥,P (B )+P (C )=710,B ∪C 表示“至少有1件二级品”,故选D.二、填空题6.从一副扑克牌(52X ,无大小王)中随机抽取1X ,事件A 为“抽得红桃K”,事件B 为“抽得黑桃”,则P (A ∪B )=________.答案726解析 事件A ,B 为互斥事件,由题意可知P (A )=152,P (B )=1352=14,所以P (A ∪B )=P (A )+P (B )=152+14=726.7.在掷一枚质地均匀的骰子的试验中,事件A 表示“出现不大于4的偶数点”,事件B 表示“出现小于5的点数”,则事件A ∪B -发生的概率为________.(B -表示B 的对立事件)答案 23解析 随机掷一枚质地均匀的骰子一次共有六种不同的结果,且每种结果发生的可能性是相等的.其中事件A “出现不大于4的偶数点”包括2,4两种结果,P (A )=26=13.事件B “出现小于5的点数”包括1,2,3,4四种结果,P (B )=46=23,P (B -)=13.且事件A 和事件B -是互斥事件,所以P (A ∪B -)=13+13=23.8.袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,已知得到红球的概率是13,得到黑球或黄球的概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512,则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是________,________,________.答案141614解析 设事件A ,B ,C ,D 分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”,且事件A ,B ,C ,D 两两互斥,根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧P (A )=13,P (B )+P (C )=512,P (C )+P (D )=512,P (A )+P (B )+P (C )+P (D )=1,解得P (B )=14,P (C )=16,P (D )=14.三、解答题9.某商场有奖销售中,购满100元商品得1X 奖券,多购多得.1000X 奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1X 奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ,B ,C ,求:(1)P (A ),P (B ),P (C ); (2)1X 奖券的中奖概率;(3)1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解 (1)P (A )=11000,P (B )=101000=1100,P (C )=501000=120.(2)1X 奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖. 设“1X 奖券中奖”为事件M ,则M =A ∪B ∪C , ∵事件A ,B ,C 两两互斥,∴P (M )=P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C ) =11000+1100+120=611000.故1X 奖券的中奖概率为611000. (3)设“1X 奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ,由对立事件概率公式得P (N )=1-P (A ∪B )=1-⎝⎛⎭⎪⎫11000+1100=9891000.故1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.10.甲、乙两人玩一种游戏,每次甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)若事件A 表示“和为6”,求P (A );(2)现连玩三次,若事件B 表示“甲至少赢一次”,事件C 表示“乙至少赢两次”,试问B 与C 是否为互斥事件?为什么?(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.解 (1)易知样本点总数n =25,且每个样本点出现的可能性相等.事件A 包含的样本点共5个:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1).所以P (A )=525=15.(2)B 与C 不是互斥事件.因为事件B 与C 可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次. (3)这种游戏规则不公平.和为偶数的样本点有:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5).共13个,所以甲赢的概率为1325,乙赢的概率为1-1325=1225,所以这种游戏规则不公平.。
【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第二册:课时作业10.1.4+概率的基本性质
2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出
1 个球,摸出红球的概率是 0.38,摸出白球的概率是 0.32,那么摸
出黑球的概率是( C )
A.0.42
B.0.28
C.0.3
D.0.7
解析:∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从 中摸出 1 个球,在口袋中摸球,摸到红球,摸到黑球,摸到白球 这三个事件是互斥的,
0.25,那么摸出黑球或红球的概率是( D )
A.0.3
B.0.55
C.0.7
D.0.75
解析:因为从中摸出 1 个球,若摸出红球的概率是 0.45,摸 出白球的概率是 0.25,
所以摸出黑球的概率是 1-(0.45+0.25)=0.3, 因为从盒子中摸出 1 个球为黑球或红球为互斥事件, 所以摸出黑球或红球的概率 P=0.3+0.45=0.75,故选 D.
课时作业46 概率的基本性质
时间:45 分钟 ——基础巩固类—— 一、选择题
1.(多选)下列说法中不正确的是( BCD )
A.对立事件一定是互斥事件 B.若 A,B 为随机事件,则 P(A+B)=P(A)+P(B) C.若事件 A,B,C 两两互斥,则 P(A)+P(B)+P(C)=1 D.若事件 A,B 满足 P(A)+P(B)=1,则 A 与 B 是对立事件
环或 10 环的概率为 0.52 .
解析:某人在一次射击中,命中 9 环的概率为 0.28,命中 8 环的概率为 0.19,不够 8 环的概率为 0.29,
∴这人在一次射击中命中 9 环或 10 环的概率为:P=1-0.19 -0.29=0.52.
三、解答题
10.射击队的某一选手射击一次,其中命中环数的概率如下
摸出红球的概率是 0.38,摸出白球的概率是 0.32, ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件, ∴摸出黑球的概率是 1-0.38-0.32=0.3.故应选 C.
概率的基本性质(经典)
规律方法总结
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学习目标研读
课前自主探究
课堂互动讲练
第 三 章 概 率
温故知新
当几个集合是有限集时,常用列举法列出集 合中的元素,求集合A∪B与A∩B中的元素个 数.A∩B中的元素个数即为集合A与B中____ 公共___元素的个数;而当A∩B=Ø时, A∪B中的元素个数即为两个集合中元素个数 __之和____;而当A∩B≠Ø时,A∪B中的元 素个数即为A、B中元素个数之和_____减去 __A∩B中的元素个数.本节要学习的互斥事 件和对立事件与集合之间的运算有着密切的 联系,学习中要仔细揣摩、认真体会
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第 三 章 • 某班有50名同学,其中男女各25名,今有这个班的一个学 生在街上碰到一个同班同学,则下列结论正确的是( ) 概 • A.碰到异性同学比碰到同性同学的概率大 率 上 • B.碰到同性同学比碰到异性同学的概率大 页 • C.碰到同性同学和异性同学的概率相等 • D.碰到同性同学和异性同学的概率随机变化 下
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第 三 章 概 率
被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需要 回答“是”或“不是”,因为只有被调查者本人知道回答了 哪个问题,所以都会如实回答.如果被调查者中的600人 (学号从1到600)中有180人回答了“是”,由此可以估计 在这600人中闯过红灯的人数是( ) 上 页 A.30 B.60 C.120 D.150 下 [答案] B 页
人教版高中数学必修三 3.1.3《概率的基本性质》要点梳理+跟踪检测
人教版高中数学必修三第三章统计3.1.3《概率的基本性质》要点梳理【学习目标】1.了解事件间的相互关系.2.理解互斥事件、对立事件的概念.3.会用概率的加法公式求某些事件的概率.【要点梳理·夯实知识基础】1.事件的关系与运算(1)包含关系一般地,对于事件A与事件B,如果事件A________,则事件B________,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B).记作________________.不可能事件记作∅,任何事件都包含____________.一般地,如果B⊇A,且A⊇B,那么称事件A与事件B________,记作________.(2)并事件若某事件发生当且仅当______________________,则称此事件为事件A与事件B 的并事件(或和事件),记作A∪B(或A+B).(3)交事件若某事件发生当且仅当______________________,则称此事件为事件A与事件B 的交事件(或积事件),记作A∩B(或AB).(4)互斥事件与对立事件①互斥事件的定义若A∩B为________________(A∩B=__________),则称事件A与事件B互斥.②对立事件的含义若A∩B为________________,A∪B是__________,则称事件A与事件B互为对立事件.[答案] (1)发生一定发生B⊇A或A⊆B不可能事件相等A=B(2)事件A发生或事件B发生(3)事件A发生且事件B发生(4)①不可能事件∅②不可能事件必然事件2.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围__________.(2)________的概率为1,__________的概率为0.(3)概率加法公式如果事件A与B为互斥事件,则P(A∪B)=____________.特殊地,若A与B为对立事件,则P(A)=1-P(B).P(A∪B)=____,P(A∩B)=____.[答案] (1)0≤P(A)≤1(2)必然事件不可能事件(3)P(A)+P(B)10【考点探究·突破重点难点】考点一:互斥事件与对立事件的判定1.抽查10件产品,设事件A:至少有两件次品,则A的对立事件为()A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品答案:B解析:利用对立事件的定义或利用补集思想.2.把标号为1,2,3,4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得一个.事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是()A.互斥但非对立事件B.对立事件C.相互独立事件D.以上都不对答案:A3.判断下列各对事件,是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张)中,任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.解:(1)是互斥事件,不是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.(2)既是互斥事件,又是对立事件.理由是:从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.(3)不是互斥事件,不是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件. 二、互斥事件的概率加法公式 4.若A ,B 是互斥事件,则( )A.P (A ∪B )<1B.P (A ∪B )=1C.P (A ∪B )>1D.P (A ∪B )≤1 答案:D解析:∵A ,B 是互斥事件,则P (A ∪B )=P (A )+P (B ),若A ,B 互为对立事件,则P (A )+P (B )=1; 若A ,B 不对立,则P (A )+P (B )<1,∴P (A ∪B )≤1.5.某城市2015年的空气质量状况如下表所示:污染指数T 3060100 110 130 140概率P其中污染指数T ≤50时,空气质量为优;50<T ≤100时,空气质量为良;100<T ≤150时,空气质量为轻微污染.该城市2015年空气质量达到良或优的概率为 ( ) A .53 B .1801 C .191 D .95 答案:A解析:所求概率为101+61+31=53.故选A .6.抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6),事件A 表示“朝上一面的数是奇数”,事件B 表示“朝上一面的数不超过3”,求P (A ∪B ). 下面给出两种不同解法:解法一:∵P (A )=63=21,P (B )=63=21,∴P (A ∪B )=P (A )+P (B )=21+21=1.解法二:∵A ∪B 这一事件包括四种结果,即出现1,2,3和5,∴P (A ∪B )=63+61=32.请判断解法一和解法二的正误. 解:解法一是错误的,解法二是正确的.错解的原因在于忽视了互斥事件的概率加法公式应用的前提条件.由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”二者不是互斥事件,即出现1或3时,事件A ,B 同时发生,所以不能应用P (A ∪B )=P (A )+P (B )求解.而解法二中,将A ∪B 分成出现“1,2,3”与“5”这两个事件,记出现“1,2,3”为事件C ,出现“5”为事件D ,则C 与D 两事件互斥,于是P (A ∪B )=P (C ∪D )=P (C )+P (D )=63+61=32.故解法二正确. 三、复杂事件的概率求法7.一枚壹元硬币连掷三次,事件A 为“三次反面向上”,事件B 为“恰有一次正面向上”,事件C 为“至少两次正面向上”.写出事件A ,B ,C 的概率P (A ),P (B ),P (C )之间的正确关系式是 . 答案:P (A )+P (B )+P (C )=1解析:事件A ,B ,C 之间是互斥的,且又是一枚硬币连掷三次的所有结果.8.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别为0.24,0.28,0.19,那么这个射手在一次射击中,射中不够8环的概率为 . 答案:0.29解析:不够8环的概率为1-(0.24+0.28+0.19)=0.29.9.一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,那么摸出红球的概率为 . 答案:0.2解析:由题意知A=“摸出红球或白球”与B=“摸出黑球”是对立事件,又P (A )=0.58,所以P (B )=1-P (A )=0.42,又C=“摸出红球或黑球”与D=“摸出白球”也是对立事件,因为P (C )=0.62,所以P (D )=0.38. 设事件E=“摸出红球”,则P (E )=1-P (B ∪D )=1-P (B )-P (D )=1-0.42-0.38=0.2.10.经统计某银行营业厅一个窗口等候的人数及相应的概率如下:(1)至多2人排队等候的概率是 . (2)至少3人排队等候的概率是 . 答案:(1)0.56 (2)0.44解析:记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A ,B ,C ,则A ,B ,C 彼此互斥.(1)至多2人排队等候的概率为P (A ∪B ∪C )=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)至少3人排队等候的概率为1-P(A∪B∪C)=1-0.56=0.44.[1.互斥事件与对立事件的判定(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件首先是互斥事件,且必须有一个要发生.(2)利用集合的观点来判断:设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B.①事件A与B互斥,即集合A∩B=∅;②事件A与B对立,即集合A∩B=∅,且A∪B=I,也即A=∁I B或B=∁I A;③对互斥事件A 与B的和A+B,可理解为集合A∪B.2.运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏,分别求出各个事件的概率然后用加法公式求出结果.3.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再运用公式求解.如果采用方法一,一定要将事件分拆成若干互斥的事件,不能重复和遗漏;如果采用方法二,一定要找准其对立事件,否则容易出现错误.3.1.3《概率的基本性质》跟踪检测一、选择题1.下列说法正确的是()A.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比事件A,B中恰有一个发生的概率大B.事件A,B同时发生的概率一定比事件A,B恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件2.给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则()A.A⊆B B.A⊇BC.A与B互斥D.A与B互为对立事件3.一组试验仅有四个互斥的结果A,B,C,D,则下面各组概率可能成立的是()A.P(A)=0.31,P(B)=0.27,P(C)=0.28,P(D)=0.35B.P(A)=0.32,P(B)=0.27,P(C)=0.06,P(D)=0.47C.P(A)=21,P(B)=41,P(C)=81,P(D)=161 D.P(A)=185,P(B)=61,P(C)=31,P(D)=924.抛掷一枚骰子,记事件A 为“落地时向上的数是奇数”,事件B 为“落地时向上的数是偶数”,事件C 为“落地时向上的数是2的倍数”,事件D 为“落地时向上的数是2或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( ) A .A 与B B .B 与C C .A 与D D .B 与D5.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A ={两次都击中飞机},B ={两次都没击中飞机},C ={恰有一弹击中飞机},D ={至少有一弹击中飞机},下列关系不正确的是( )A .A ⊆DB .B∩D =∅C .A ∪C =D D .A ∪B =B ∪D6.从一批产品中取出3件产品,设事件A 为“三件产品全不是次品”,事件B 为“三件产品全是次品”,事件C 为“三件产品不全是次品”,则下列结论正确的是( ) A.事件A 与C 互斥 B.事件B 与C 互斥 C.任何两个均互斥 D.任何两个均不互斥7.从1,2,…,9中任取两个数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述几对事件中是对立事件的是( )A .①B .②④C .③D . ①③8.某产品分甲、乙、丙三级,其中甲级属正品,乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则抽查一件产品抽得正品的概率为 ( ) A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96 9.下列四种说法:①对立事件一定是互斥事件;②若A ,B 为两个事件,则P(A ∪B)=P(A)+P(B); ③若事件A ,B ,C 彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1; ④若事件A ,B 满足P(A)+P(B)=1,则A ,B 是对立事件. 其中错误的个数是( )A .0B .1C .2D .310.如果事件A 与B 是互斥事件,且事件A ∪B 的概率是0.8,事件A 的概率是事件B 的概率的3倍,则事件A 的概率为( ) A .0.2 B .0.4C .0.6D .0.811.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g 的概率为0.3,质量小于4.85 g 的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85]g 范围内的概率是( ) A .0.62 B .0.38 C .0.02 D .0.68 12.某工厂的产品中,出现二级品的概率是7%,出现三级品的概率是3%,其余都是一级品和次品,并且出现一级品概率是次品的9倍,则出现一级品的概率是 ( ) A.0.81B.0.9C.0.93D.0.9713.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,取出的是理科书的概率为( )A .15B .25C .35D .45 二、填空题14.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是________. 15.一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项,其中中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.25,则不中奖的概率为 .16.在10件产品中有8件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A ,则A 的对立事件是 .17.甲、乙两队进行足球比赛,若两队战平的概率是14,乙队胜的概率是13,则甲队胜的概率是________.18.已知某台纺纱机在一小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别为0.8,0.12,0.05,则这台纺纱机在一小时内断头不超过2次的概率和断头超过2次的概率分别为 , .19.同时抛掷两枚骰子,没有5点或6点的概率为49,则至少有一个5点或6点的概率是________.20.甲、乙两人下棋,和棋的概率为21,乙胜的概率为31,则甲胜的概率为 .21.某学校成立了数学、英语、音乐三个课外兴趣小组,三个小组分别有39,32,33个成员,其中一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.从中随机选出一个成员,(1)他至少参加了2个小组的概率为;(2)他参加了不超过2个小组的概率为.22.若随机事件A,B彼此互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a, P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是.三、解答题23.某射手射击一次射中10环,9环,8环,7环的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16,计算这名射手射击一次.(1)射中10环或9环的概率;(2)至少射中7环的概率.24.在数学考试中,小红的成绩在90分以上的概率是0.18,在80分~89分的概率是0.51,在70分~79分的概率是0.15,在60分~69分的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07,计算:(1)小红在数学考试中取得80分以上成绩的概率;(2)小红考试及格的概率.25.某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?26.某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第一声时被接的概率为0.1,响第二声时被接的概率为0.3,响第三声时被接的概率为0.4,响第四声时被接的概率为0.1,那么电话在响前四声内被接的概率是多少?27.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;(2)求他不乘轮船去的概率;(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5,请问他有可能乘哪种交通工具?28.某医院派出医生下乡进行免费治疗,派出医生人数及其概率如下:(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56,求x的值;(2)若派出医生最多4人的概率为0.96,最少3人的概率为0.44,求y,z的值.29.在某一时期内,一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表:年最高水位(单位:m ) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18)概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08(1)[10,16)(m ); (2)[8,12)(m ); (3)水位不低于12 m .3.1.3《概率的基本性质》跟踪检测解答一、选择题1.下列说法正确的是( )A .事件A ,B 中至少有一个发生的概率一定比事件A ,B 中恰有一个发生的概率大 B .事件A ,B 同时发生的概率一定比事件A ,B 恰有一个发生的概率小C .互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件D .互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件 答案: D2.给出事件A 与B 的关系示意图,如图所示,则( )A .A ⊆B B .A ⊇BC .A 与B 互斥D .A 与B 互为对立事件 答案: C3.一组试验仅有四个互斥的结果A,B,C,D,则下面各组概率可能成立的是( ) A.P(A)=0.31,P(B)=0.27,P(C)=0.28,P(D)=0.35 B.P(A)=0.32,P(B)=0.27,P(C)=0.06,P(D)=0.47C.P(A)=21,P(B)=41,P(C)=81,P(D)=161 D.P(A)=185,P(B)=61,P(C)=31,P(D)=92答案: D4.抛掷一枚骰子,记事件A 为“落地时向上的数是奇数”,事件B 为“落地时向上的数是偶数”,事件C为“落地时向上的数是2的倍数”,事件D为“落地时向上的数是2或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是()A.A与BB.B与CC.A与DD.B与D答案:C解析:A与B是互斥事件且为对立事件,B与C是相等事件,A与D是互斥但不对立事件,B与D可能同时发生,不是互斥事件.5.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},下列关系不正确的是()A.A⊆D B.B∩D=∅C.A∪C=D D.A∪B=B∪D答案: D解析:“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至少有一弹击中”包含两种情况:一种是恰有一弹击中,一种是两弹都击中,∴A∪B≠B∪D.6.从一批产品中取出3件产品,设事件A为“三件产品全不是次品”,事件B为“三件产品全是次品”,事件C为“三件产品不全是次品”,则下列结论正确的是() A.事件A与C互斥 B.事件B与C互斥C.任何两个均互斥D.任何两个均不互斥答案:B解析:∵事件C包含三件产品中“三正”“二正一次”“一正二次”三种情况, ∴事件A,B互斥,事件B,C互斥且对立.7.从1,2,…,9中任取两个数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述几对事件中是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③答案: C解析:从1,2,…,9中任取两个数,有以下三种情况:(1)两个奇数;(2)两个偶数;(3)一个奇数和一个偶数.①中“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”是同一个事件,因此不互斥也不对立;②中“至少有一个奇数”包括“两个都是奇数”这个事件,可以同时发生,因此不互斥也不对立;④中“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”,可以同时发生,因此不互斥也不对立;③中是对立事件,故应选C.8.某产品分甲、乙、丙三级,其中甲级属正品,乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则抽查一件产品抽得正品的概率为()A.0.09B.0.98C.0.97D.0.96答案:D解析:∵某产品分甲、乙、丙三级,∴对产品抽查一件只可能是甲、乙、丙某一个等级.∴抽查一件产品得正品与得乙级或丙级是对立事件.∴抽查一件产品得正品的概率为1-(0.03+0.01)=0.96.9.下列四种说法:①对立事件一定是互斥事件;②若A,B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.其中错误的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3答案: D解析:对立事件一定是互斥事件,故①对;只有A、B为互斥事件时才有P(A∪B)=P(A)+P(B),故②错;因A,B,C并不是随机试验中的全部基本事件,故P(A)+P(B)+P(C)并不一定等于1,故③错;若A、B不互斥,尽管P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件,故④错.10.如果事件A与B是互斥事件,且事件A∪B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8答案:C解析:由题意知P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8, ①P(A)=3P(B), ②解①②组成的方程组知P(A)=0.6.11.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g的概率为0.3,质量小于4.85 g的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85]g范围内的概率是()A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68答案: C解析:设“质量小于 4.8 g”为事件A,“质量小于 4.85 g”为事件B,“质量在[4.8,4.85]g”为事件C,则A∪C=B,且A、C为互斥事件,所以P(B)=P(A∪C)=P(A)+P(C),则P(C)=P(B)-P(A)=0.32-0.3=0.02.12.某工厂的产品中,出现二级品的概率是7%,出现三级品的概率是3%,其余都是一级品和次品,并且出现一级品概率是次品的9倍,则出现一级品的概率是 ( ) A.0.81B.0.9C.0.93D.0.97答案: A13.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,取出的是理科书的概率为( )A .15B .25C .35D .45答案: C解析:记录取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ,则A 、B 、C 、D 、E 互斥,取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和. ∴P(B ∪D ∪E)=P(B)+P(D)+P(E) =15+15+15=35. 二、填空题14.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是________. 答案: 0.30解析 P =1-0.42-0.28=0.30.15.一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项,其中中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.25,则不中奖的概率为 . 答案: 0.6516.在10件产品中有8件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A ,则A 的对立事件是 . 答案:“至少有一件是二级品”17.甲、乙两队进行足球比赛,若两队战平的概率是14,乙队胜的概率是13,则甲队胜的概率是________. 答案: 512解析 设甲队胜为事件A ,则P(A)=1-14-13=512.18.已知某台纺纱机在一小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别为0.8,0.12,0.05,则这台纺纱机在一小时内断头不超过2次的概率和断头超过2次的概率分别为 , .答案:0.97 0.03解析:∵不超过2次和超过2次是对立事件,又不超过2次包含0次,1次,2次,∴不超过2次的概率为0.8+0.12+0.05=0.97.∴超过2次的概率为1-0.97=0.03.19.同时抛掷两枚骰子,没有5点或6点的概率为49,则至少有一个5点或6点的概率是________. 答案: 59解析 没有5点或6点的事件为A ,则P(A)=49,至少有一个5点或6点的事件为B.因A∩B =∅,A ∪B 为必然事件,所以A 与B 是对立事件,则P(B)=1-P(A)=1-49=59.故至少有一个5点或6点的概率为59. 20.甲、乙两人下棋,和棋的概率为21,乙胜的概率为31,则甲胜的概率为 .答案:61解析:记甲胜为事件A ,和棋为事件B ,乙胜为事件C ,由题意知P (B )=21,P (C )=31. ∵事件A 与事件B ∪C 互斥,∴P (A )=1-P (B ∪C )=1-P (B )-P (C )=61.故甲胜的概率为61.21.某学校成立了数学、英语、音乐三个课外兴趣小组,三个小组分别有39,32,33个成员,其中一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.从中随机选出一个成员,(1)他至少参加了2个小组的概率为 ; (2)他参加了不超过2个小组的概率为 .答案:(1)53 (2)1513解析:由题设知,3个小组的总人数为6+7+8+8+11+10+10=60.只参加1个小组的人数为6+10+8=24,参加2个小组的人数为7+11+10=28,参加3个小组的人数为8.(1)“至少参加2个小组”包括“参加2个小组”和“参加3个小组”.所以至少参加2个小组的概率P= 6028+608=6036=53.(2)“参加了不超过2个小组”包括“参加1个小组”和“参加2个小组”.所以参加了不超过2个小组的概率P= 6024+6028=6052=1513.22.若随机事件A,B 彼此互斥,A,B 发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a, P(B)=4a-5,则实数a 的取值范围是 .答案: ⎥⎦⎤ ⎝⎛3445,三、解答题23.某射手射击一次射中10环,9环,8环,7环的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16,计算这名射手射击一次. (1)射中10环或9环的概率; (2)至少射中7环的概率.解 设“射中10环”,“射中9环”,“射中8环”,“射中7环”的事件分别为A 、B 、C 、D ,则A 、B 、C 、D 是互斥事件,(1)P(A ∪B)=P(A)+P(B) =0.24+0.28=0.52; (2)P(A ∪B ∪C ∪D) =P(A)+P(B)+P(C)+P(D) =0.24+0.28+0.19+0.16=0.87.答 射中10环或9环的概率是0.52,至少射中7环的概率为0.87. 24.在数学考试中,小红的成绩在90分以上的概率是0.18,在80分~89分的概率是0.51,在70分~79分的概率是0.15,在60分~69分的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07,计算:(1)小红在数学考试中取得80分以上成绩的概率; (2)小红考试及格的概率.解 记小红的成绩“在90分以上”“在80分~89分”“在70分~79分”“在60分~69分”分别为事件A,B,C,D,且这四个事件彼此互斥.(1)小红的成绩在80分以上的概率是P(A ∪B)=P(A)+P(B)=0.18+0.51=0.69. (2)方法一:小红及格的概率是P(A ∪B ∪C ∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93. 方法二:小红不及格的概率为0.07,则小红及格的概率为1-0.07=0.93.25.某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 解:(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为1000200=0.2.(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1000200100+=0.3.(3)与(1)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为1000200=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为=1000300200100++0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000100=0.1.所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.26.某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第一声时被接的概率为0.1,响第二声时被接的概率为0.3,响第三声时被接的概率为0.4,响第四声时被接的概率为0.1,那么电话在响前四声内被接的概率是多少?解记“响第1声时被接”为事件A,“响第2声时被接”为事件B,“响第3声时被接”为事件C,“响第4声时被接”为事件D.“响前4声内被接”为事件E,则易知A、B、C、D互斥,且E=A∪B∪C∪D,所以由互斥事件的概率的加法公式得P(E)=P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.1+0.3+0.4+0.1=0.9.27.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;(2)求他不乘轮船去的概率;(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5,请问他有可能乘哪种交通工具?解(1)记“他乘火车去”为事件A1,“他乘轮船去”为事件A2,“他乘汽车去”为事件A3,“他乘飞机去”为事件A4,这四个事件不可能同时发生,故它们彼此互斥.故P(A1∪A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P,则P=1-P(A2)=1-0.2=0.8,所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P(A)+P(B)=0.3+0.2=0.5,P(C)+P(D)=0.1+0.4=0.5,故他可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.28.某医院派出医生下乡进行免费治疗,派出医生人数及其概率如下:(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56,求x的值;(2)若派出医生最多4人的概率为0.96,最少3人的概率为0.44,求y,z的值.解(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56,得0.1+0.16+x=0.56,所以x=0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96,得0.96+z=1,所以z=0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44,得y+0.2+z=0.44,所以y=0.44-0.2-0.04=0.229.在某一时期内,一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表:(1)[10,16)(m);(2)[8,12)(m);(3)水位不低于12 m.解设水位在[a,b)范围的概率为P([a,b)).由于水位在各范围内对应的事件是互斥的,由概率加法公式得:(1)P([10,16))=P([10,12))+P([12,14))+P([14,16))=0.28+0.38+0.16=0.82.(2)P([8,12))=P([8,10))+P([10,12))=0.1+0.28=0.38.(3)记“水位不低于12 m”为事件A,P(A)=1-P([8,12))=1-0.38=0.62.。
高中数学第三章概率3.1.3概率的基本性质课时跟踪训练含解析新人教A版必修
学习资料第三章 概率3.1 随机事件的概率 3.1。
3 概率的基本性质 [A 组 学业达标]1.抛掷一枚骰子,记事件A 为“落地时向上的数是奇数”,事件B 为“落地时向上的数是偶数”,事件C 为“落地时向上的数是2的倍数”,事件D 为“落地时向上的数是2或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )A .A 与B B .B 与C C .A 与DD .B 与D解析:A 与B 是互斥事件且为对立事件,B 与C 是相等事件,A 与D 是互斥但不对立事件,B 与D 可能同时发生,不是互斥事件.故选C 。
答案:C2.事件M ⊆N ,当N 发生时,下列必发生的是( )A .MB .M ∩NC .M ∪ND .M 的对立事件解析:由于M ⊆N ,则当N 发生时,M 不一定发生,M ∩N 也不一定发生,而M ∪N 一定发生.故选C 。
答案:C3.某城市2018年的空气质量状况如下表所示:T ≤150时,空气质量为轻微污染.该城市2014年空气质量达到良或优的概率为 ( )A 。
35B 。
1180C.119D.错误!解析:所求概率为错误!+错误!+错误!=错误!.故选A. 答案:A4.在抛掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率都是错误!.事件A 表示“小于5的偶数点出现”,事件B 表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A ∪C (C 是事件B 的对立事件)发生的概率是 ( ) A.错误! B.错误! C 。
错误!D 。
错误!解析:由题意可知事件C 表示“大于或等于5的点数出现”,事件A 与事件C 是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式可得P (A ∪C )=P (A )+P (C )=错误!+错误!=错误!. 答案:C5.同时抛掷两枚骰子,两枚骰子的点数之和可能是2,3,4,…,11,12中的一个,记事件A为“点数之和是2,4,7,12",事件B 为“点数之和是2,4,6,8,10,12”,事件C 为“点数之和大于8”,则事件“点数之和为2或4”可记为 ( )A .A ∩B B .A ∩B ∩C C .A ∩B ∩错误!D .A ∩B ∪错误!解析:∵事件A ={2,4,7,12}, 事件B ={2,4,6,8,10,12}, ∴A ∩B ={2,4,12},又C ={9,10,11,12},∴A ∩B ∩错误!={2,4}. 答案:C6.在掷骰子的游戏中,向上的数字是1或2的概率是__________.解析:事件“向上的数字是1”与事件“向上的数字是2”为互斥事件,且二者发生的概率都是16,所以“向上的数字是1或2”的概率是错误!+错误!=错误!。
(人教A版)3(3.1.3概率的基本性质)课时提升功课含解析.doc.doc
(人教A版)3(3.1.3概率的基本性质)课时提升功课含解析概率的基本性质〔25分钟60分〕【一】选择题〔每题5分,共25分〕1、以下各组事件中,不是互斥事件的是〔〕A、一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6B、统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分C、播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒D、检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%【解析】选B、对于B,设事件A1为平均分不低于90分,事件A2为平均分不高于90分,那么A1∩A2为平均分等于90分,A1,A2可能同时发生,故它们不是互斥事件、2、〔2018·宝鸡高一检测〕口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0、42,摸出白球的概率是0、28,那么摸出黑球的概率是〔〕A、0、42B、0、28C、0、3D、0、7【解析】选C、摸出红球、白球、黑球是互斥事件,所以摸出黑球的概率是1-0、42-0、28=0、3、3、〔2018·大同高一检测〕给出以下结论:①互斥事件一定对立、②对立事件一定互斥、③互斥事件不一定对立、④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率、⑤事件A与B互斥,那么有P〔A〕=1-P〔B〕、其A、0个B、1个C、2个D、3个【解析】选C、对立必互斥,互斥不一定对立,所以②③正确,①错;又当A∪B=A时,P〔A∪B〕=P〔A〕,所以④错;只有事件A与B为对立事件时,才有P〔A〕=1-P〔B〕,所以⑤错、4、〔2018·台州高一检测〕抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,那么〔〕A、A⊆BB、A=BC、A+B表示向上的点数是1或2或3D、AB表示向上的点数是1或2或3【解析】选C、设A={1,2},B={2,3},A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A+B表示向上的点数为1或2或3、【补偿训练】同时抛掷两枚均匀的骰子,事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为〔〕A、一个是5点,另一个是6点B、一个是5点,另一个是4点C、至少有一个是5点或6点D、至多有一个是5点或6点【解题指南】考虑事件“都不是5点且不是6点”所包含的各种情况,然后再考虑其对立事件、【解析】选C、设两枚骰子分别为甲、乙,那么其点数共有以下四种可能:甲是5点且乙是6点,甲是5点且乙不是6点,甲不是5点且乙是6点,甲不是5点且乙不是6点,事件“都不是5点且不是6点”为第四种情况,故其对立事件是前三种情况,应选C、【误区警示】解答此题容易忽视根据两个骰子是否为5点或6点对所有可能出现的结果进行分析,导致错误、5、〔2018·青岛高一检测〕对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一次击中飞机},D={至少有一次击中飞机},以下关系不正确的选项是〔〕A、A⊆DB、B∩D=C、A∪C=DD、A∪B=B∪D【解析】选D、“恰有一次击中飞机”指第一次击中第二次没中或第一次没中第二次击中,“至少有一次击中”包含两种情况:一种是恰有一次击中,一种是两次都击中,所以A∪B≠B∪D、【二】填空题〔每题5分,共15分〕6、一个袋子中有红球5个,黑球4个,现从中任取5个球,那么至少有1个红球的概率为、【解析】“从中任取5个球,至少有1个红球”是必然事件,必然事件发生的概率为1、答案:17、假设A,B为互斥事件,P〔A〕=0、4,P〔A∪B〕=0、7,那么P〔B〕=、【解析】因为A,B为互斥事件,所以P〔A∪B〕=P〔A〕+P〔B〕,所以P〔B〕=P〔A∪B〕-P〔A〕=0、7-0、4=0、3、答案:0、38、〔2018·开封高一检测〕甲、乙两人下象棋,甲获胜的概率为30%,两人下成和棋的概率为50%,那么乙获胜的概率为,甲不输的概率为、【解题指南】“乙获胜”的对立事件是“甲不输”,不是“甲胜”、【解析】设事件“甲胜”,“乙胜”,“甲乙和棋”分别为A,B,C,那么P〔A〕=30%,P〔C〕=50%,所以甲不输的概率为P〔A∪C〕=P〔A〕+P〔C〕=80%,P〔B〕=1-P〔A∪C〕=1-80%=20%、答案:20%80%【三】解答题〔每题10分,共20分〕9、在投掷骰子试验中,根据向上的点数可以定义许多事件,如:A={出现1点},B={出现3点或4点},C={出现的点数是奇数},D={出现的点数是偶数}、〔1〕说明以上4个事件的关系、〔2〕求两两运算的结果、【解析】在投掷骰子的试验中,根据向上出现的点数有6种基本事件,记作A i={出现的点数为i}〔其中i=1,2,…,6〕、那么A=A1,B=A3∪A4,C=A1∪A3∪A5,D=A2∪A4∪A6、〔1〕事件A与事件B互斥,但不对立,事件A包含于事件C,事件A 与D互斥,但不对立;事件B与C不是互斥事件,事件B与D也不是互斥事件;事件C与D是互斥事件,也是对立事件、〔2〕A∩B=∅,A∩C=A,A∩D=∅、A∪B=A1∪A3∪A4={出现的点数为1或3或4},A∪C=C={出现的点数为1或3或5},A∪D=A1∪A2∪A4∪A6={出现的点数为1或2或4或6}、B∩C=A3={出现的点数为3},B∩D=A4={出现的点数为4}、B∪C=A1∪A3∪A4∪A5={出现的点数为1或3或4或5}、B∪D=A2∪A3∪A4∪A6={出现的点数为2或3或4或6}、C∩D=∅,C∪D=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6={出现的点数为1,2,3,4,5,6}、【拓展延伸】判断两个事件是互斥还是对立的方法要判断两个事件是互斥事件还是对立事件,需找出两个事件包含的所有结果,分析它们之间能不能同时发生、在互斥的前提下,看两事件是否非此即彼,一个不发生必有另一个发生,进而可判断是否为对立事件、注意:对立事件是互斥事件的特例、10、〔2018·岳阳高一检测〕在大小相同的5个球中,只有红色和白色两种球,假设从中任取2个,全是白球的概率为0、3,求所取出的2个球中至少有1个红球的概率、【解题指南】判断事件间的关系→利用对立事件的概率公式求解、【解析】记事件A表示“取出的2个球中至少有1个红球”,事件B 表示“取出的2个球全是白球”,那么事件A与事件B互为对立事件,而事件B发生的概率为P〔B〕=0、3,所以事件A发生的概率为P〔A〕=1-P〔B〕=1-0、3=0、7、〔20分钟40分〕【一】选择题〔每题5分,共10分〕1、〔2018·枣庄高一检测〕把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,每人一张,那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是〔〕A、对立事件B、互斥但不对立事件C、不可能事件D、必然事件【解析】选B、因为只有1张红牌,所以“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生,所以是互斥事件,但是这两个事件不是必有一个发生,故不是对立事件、【拓展延伸】利用集合的观点判断事件的互斥与对立设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A,B、〔1〕事件A与B互斥,即集合A∩B=∅、〔2〕事件A与B对立,即集合A∩B=∅,且A∪B=I〔I为全集〕,也即A=B或B=A、2、对一批产品的长度〔单位:mm〕进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图、根据标准,产品长度在区间[20,25〕上的为一等品,在区间[15,20〕和区间[25,30〕上的为二等品,在区间[10,15〕和[30,35]上的为三等品、用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,那么其为二等品的概率为〔〕A、0、09B、0、20C、0、25D、0、45【解析】选D、组距为5,二等品的概率为1-〔0、02+0、06+0、03〕×5=0、45、所以,从该批产品中随机抽取1件,那么其为二等品的概率为0、45、【二】填空题〔每题5分,共10分〕3、一盒子中有10个相同的球,分别标有号码1,2,3,…,10,从中任取一球,那么此球的号码为偶数的概率是、【解析】取2号、4号、6号、8号、10号球是互斥事件,且概率均为,故有++++=、答案:【补偿训练】〔2018·宁波模拟〕盒子中有散落的黑白棋子假设干粒,从中取出2粒都是黑子的概率是,从中取出2粒都是白子的概率是,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是、【解析】从中取出2粒棋子,“都是黑棋子”记为事件A,“都是白棋子”记为事件B,那么A,B为互斥事件、所求概率为P〔A∪B〕=P〔A〕+P〔B〕=+=、答案:4、〔2018·厦门高一检测〕中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为、【解析】由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法公式得,中国队夺得女子乒乓球冠军的概率为+=、答案:【三】解答题〔每题10分,共20分〕5、学校射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如表:求该选手射击一次,〔1〕命中9环或10环的概率、〔2〕至少命中8环的概率、〔3〕命中不足8环的概率、【解题指南】准确理解所求概率的事件是哪些互斥事件的并事件,或其对立事件是什么,结合概率加法公式进行求解、【解析】记“射击一次,命中k环”为事件A k〔k=7,8,9,10〕、〔1〕因为A9与A10互斥,所以P〔A9+A10〕=P〔A9〕+P〔A10〕=0、28+0、32=0、60、〔2〕记“至少命中8环”为事件B、B=A8+A9+A10,又A8,A9,A10两两互斥,所以P〔B〕=P〔A8〕+P〔A9〕+P〔A10〕=0、18+0、28+0、32=0、78、〔3〕记“命中不足8环”为事件C、那么事件C与事件B是对立事件、所以P〔C〕=1-P〔B〕=1-0、78=0、22、6、某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得、1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个、设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:〔1〕P〔A〕,P〔B〕,P〔C〕、〔2〕1张奖券的中奖概率、〔3〕1张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率、【解析】〔1〕P〔A〕=,P〔B〕==,P〔C〕==、故事件A,B,C的概率分别为,,、〔2〕1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖、设“1张奖券中奖”这个事件为M,那么M=A∪B∪C、因为A,B,C两两互斥,所以P〔M〕=P〔A∪B∪C〕=P〔A〕+P〔B〕+P〔C〕==、故1张奖券的中奖概率为、〔3〕设“1张奖券不中特等奖,且不中一等奖”为事件N,那么事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,P〔N〕=1-P〔A∪B〕=1-=、故1张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率为、。
概率的基本性质
请判断那种正确!
小结
概率的基本性质: 1)必然事件概率为1,不可能事件概率 为0,因此0≤P(A)≤1;
2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:
P(A∪B)= P(A)+ P(B);
3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为
必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,
于是有P(A)=1—P(B);
3 .1 .3
概率的基本性质
复
习
1.请回忆集合之间的关系有哪 些?什么是子集,集合的相等? 2. 集合之间的运算有哪些?
探 究
在掷骰子的试验中,可以定义许多事件,例如 :
C1={出现1点}; C2 ={出现2点} ; C3={出现3点}
C 4 ={出现4点}; C5={出现5点}; C6={出现6点} D ={出现点数为奇数} ; E ={出现点数为偶数} 类比集合与集合的关系、运算,你能发现它们之 请说出事件C1与D的关系. 间的关系与运算吗? 事件C1发生,则事件D一定发生. 一个事件可能包含试验的多个结果.我们把每一 个结果可看作元素,而每一个事件可看作一个集合. 因此,事件之间的关系及运算几乎等价于集合之间 的关系与运算.
排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5人以上 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.04
课时跟踪检测 (四十二) 概率的基本性质
课时跟踪检测 (四十二) 概率的基本性质层级(一) “四基”落实练1.甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2,若不出现平局,那么乙获胜的概率为( )A .0.2B .0.8C .0.4D .0.1解析:选B 乙获胜的概率为1-0.2=0.8.2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是( )A .0.42B .0.28C .0.3D .0.7解析:选C ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件,∴摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.3.经统计,某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如表:( )A .0.44B .0.56C .0.86D .0.14解析:选A 设“至少3人排队等候”为事件H ,则P (H )=0.3+0.1+0.04=0.44,故选A.4.若A ,B 是互斥事件,P (A )=0.2,P (A ∪B )=0.5,则P (B )=( )A .0.3B .0.7C .0.1D .1解析:选A ∵A ,B 是互斥事件,∴P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.5.∵P (A )=0.2,∴P (B )=0.5-0.2=0.3.5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18 B.38 C.58D.78解析:选D 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,其中4位同学都选周六的概率为116,4位同学都选周日的概率为116,故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1-116-116=1416=78.6.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为37,乙夺得冠军的概率为14,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________. 解析:由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37+14=1928.答案:19287.若P (A ∪B )=0.7,P (A )=0.4,P (B )=0.6,则P (A ∩B )=________.解析:因为P (A ∪B )= P (A )+P (B )-P (A ∩B ),所以P (A ∩B )=P (A )+P (B )-P (A ∪B )=0.4+0.6-0.7=0.3. 答案:0.38.某饮料公司对一名员工进行测试,以便确定其考评级别,公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A 饮料,2杯为B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A 饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯中选对2杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率; (2)求此人被评为良好及以上的概率.解:将5杯饮料编号为1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A 饮料,编号4,5表示B 饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有样本点为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共有10个.设事件D 表示“此人被评为优秀”,E 表示“此人被评为良好”,F 表示“此人被评为良好及以上”.(1)事件D 中含有的样本点为(1,2,3),共1个,因此P (D )=110.(2)事件E 中含有的样本点为(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,3,5),共6个,因此P (E )=35,故P (F )=P (D )+P (E )=710.层级(二) 能力提升练1.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率是90%,则甲、乙两人下和棋的概率是( )A .60%B .30%C .10%D .50%解析:选D “甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件,“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”,故P (甲不输)=P (甲胜)+P (甲、乙和棋),∴P (甲、乙和棋)=P (甲不输)-P (甲胜)=90%-40%=50%.2.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个,每次任取一个,有放回地取3次,则89是下列哪个事件的概率( )A .颜色全相同B .颜色不全同C .颜色全不同D .无红球解析:选B 试验的样本空间Ω={黄黄黄,红红红,白白白,红黄黄,黄红黄,黄黄红,白黄黄,黄白黄,黄黄白,黄红红,红黄红,红红黄,白红红,红白红,红红白,黄白白,白黄白,白白黄,红白白,白红白,白白红,黄红白,黄白红,红黄白,红白黄,白红黄,白黄红},其中包含27个样本点,事件“颜色全相同”包含3个样本点,则其概率为327=19=1-89,所以89是事件“颜色不全同”的概率.3.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ,Ⅲ构成,射手命中 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则不命中靶的概率是________. 解析:“射手命中圆面Ⅰ”为事件A ,“命中圆环Ⅱ”为事件B ,“命中 圆环Ⅲ”为事件C ,“不中靶”为事件D ,则A ,B ,C 彼此互斥,故射手中靶的概率为P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )=0.35+0.30+0.25=0.90.因为中靶和不中靶是对立事件,故不命中靶的概率为P (D )=1-P (A ∪B ∪C )=1-0.90=0.10. 答案:0.104.某商场有奖销售中,购满100元商品得一张奖券,多购多得,每1 000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ,B ,C ,求:(1)P (A ),P (B ),P (C ); (2)抽取1张奖券中奖概率;(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.解:(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个, ∴P (A )=11 000,P (B )=101 000=1100,P (C )=501 000=120. (2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D , 则P (D )=P (A )+P (B )+P (C ) =11 000+1100+120=611 000. (3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E ,则 P (E )=1-P (A )-P (B )=1-11 000-1100=9891 000. 5.(1)某班派两名学生参加乒乓球比赛,他们取得冠军的概率分别为27和15,则该班取得乒乓球比赛冠军的概率为27+15.上述说法正确吗?为什么?(2)某战士在一次射击训练中,击中环数大于7的概率为0.6,击中环数为6或7或8的概率为0.3,则该战士击中环数大于5的概率为0.6+0.3=0.9.上述说法是否正确?请说明理由.解:(1)正确.因为两人分别取得冠军是互斥的,而且两人至少有一人取得冠军,该班就取得乒乓球比赛冠军,所以该班取得乒乓球比赛冠军的概率为27+15.(2)不正确.因为该战士击中环数大于7和击中环数为6或7或8不是互斥事件,所以不能用互斥事件的概率加法公式计算.层级(三) 素养培优练1.在两行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点,2点和5点,3点和4点).开始时,骰子如图①那样摆放,朝上的点数是2,最后翻动到如图②所示位置.现要求翻动次数最少,则最后骰子朝上的点数为1的概率为( )A.16B.14C.13D.12解析:选D 翻转的路径有4种:①右→右→右→下,最后朝上的是4; ②右→右→下→右,最后朝上的是1; ③右→下→右→右,最后朝上的是3; ④下→右→右→右,最后朝上的是1. 故最后骰子朝上的点数为1的概率为12.2.袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个,其中白球3个.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的. (1)求取球2次即终止的概率; (2)求甲取到白球的概率.解:(1)设事件A 为“取球2次即终止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球,借助树状图求出相应事件的样本点数:因此,P (A )=4×37×6=27.(2)设事件B 为“甲取到白球”,“第i 次取到白球”为事件A i ,i =1,2,3,4,5,因为甲先取,所以甲只可能在第1次,第3次和第5次取到白球.借助树状图求出相应事件的样本点数:所以P(B)=P(A1∪A3∪A5)=P(A1)+P(A3)+P(A5)=37+4×3×37×6×5+4×3×2×1×37×6×5×4×3=37+6 35+135=2235.。
新人教A版高中数学【必修3】 3.1.3概率的基本性质课时作业练习含答案解析
3.1.3 概率的基本性质课时目标 1.了解事件间的相互关系.2.理解互斥事件、对立事件的概念.3.会用概率的加法公式求某些事件的概率.1.事件的关系与运算(1)包含关系一般地,对于事件A与事件B,如果事件A________,则事件B________,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B).记作________________.不可能事件记作∅,任何事件都包含____________.一般地,如果B⊇A,且A⊇B,那么称事件A与事件B________,记作________.(2)并事件若某事件发生当且仅当______________________,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作A∪B(或A+B).(3)交事件若某事件发生当且仅当______________________,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作A∩B(或AB).(4)互斥事件与对立事件①互斥事件的定义若A∩B为________________(A∩B=__________),则称事件A与事件B互斥.②对立事件的含义若A∩B为________________,A∪B是__________,则称事件A与事件B互为对立事件.2.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围__________.(2)________的概率为1,__________的概率为0.(3)概率加法公式如果事件A与B为互斥事件,则P(A∪B)=____________.特殊地,若A与B为对立事件,则P(A)=1-P(B).P(A∪B)=____,P(A∩B)=____.一、选择题1.给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则()A.A⊆B B.A⊇BC .A 与B 互斥D .A 与B 互为对立事件2.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A ={两次都击中飞机},B ={两次都没击中飞机},C ={恰有一弹击中飞机},D ={至少有一弹击中飞机},下列关系不正确的是( ) A .A ⊆D B .B ∩D =∅ C .A ∪C =D D .A ∪B =B ∪D3.从1,2,…,9中任取两个数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数. 在上述几对事件中是对立事件的是( )A .①B .②④C .③D .①③ 4.下列四种说法:①对立事件一定是互斥事件;②若A ,B 为两个事件,则P(A ∪B)=P(A)+P(B); ③若事件A ,B ,C 彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1; ④若事件A ,B 满足P(A)+P(B)=1,则A ,B 是对立事件. 其中错误的个数是( )A .0B .1C .2D .35.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g 的概率为0.3,质量小于4.85 g 的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85]g 范围内的概率是( ) A .0.62 B .0.38 C .0.02 D .0.686.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,取出的是理科书的概率为( ) A .15 B .25 C .35 D .457.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是________.8.甲、乙两队进行足球比赛,若两队战平的概率是14,乙队胜的概率是13,则甲队胜的概率是________. 9.同时抛掷两枚骰子,没有5点或6点的概率为49,则至少有一个5点或6点的概率是________. 三、解答题10.某射手射击一次射中10环,9环,8环,7环的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16,计算这名射手射击一次.(1)射中10环或9环的概率;(2)至少射中7环的概率.11.某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第一声时被接的概率为0.1,响第二声时被接的概率为0.3,响第三声时被接的概率为0.4,响第四声时被接的概率为0.1,那么电话在响前四声内被接的概率是多少?能力提升12.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;(2)求他不乘轮船去的概率;(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5,请问他有可能乘哪种交通工具?13.在某一时期内,一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表:(1)[10,16)(m);(2)[8,12)(m);(3)水位不低于12 m.1.互斥事件与对立事件的判定(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件首先是互斥事件,且必须有一个要发生.(2)利用集合的观点来判断:设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B.①事件A与B互斥,即集合A∩B=∅;②事件A与B对立,即集合A∩B=∅,且A∪B=I,也即A=∁I B或B=∁I A;③对互斥事件A与B的和A+B,可理解为集合A∪B.2.运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏,分别求出各个事件的概率然后用加法公式求出结果.3.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再运用公式求解.如果采用方法一,一定要将事件分拆成若干互斥的事件,不能重复和遗漏;如果采用方法二,一定要找准其对立事件,否则容易出现错误.答案:3.1.3概率的基本性质知识梳理1.(1)发生一定发生B⊇A或A⊆B不可能事件相等A=B(2)事件A发生或事件B发生(3)事件A发生且事件B发生(4)①不可能事件∅②不可能事件必然事件 2.(1)0≤P(A)≤1(2)必然事件 不可能事件 (3)P(A)+P(B) 1 0 作业设计 1.C2.D [“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至少有一弹击中”包含两种情况:一种是恰有一弹击中,一种是两弹都击中,∴A ∪B ≠B ∪D.] 3.C [从1,2,…,9中任取两个数,有以下三种情况:(1)两个奇数;(2)两个偶数;(3)一个奇数和一个偶数.①中“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”是同一个事件,因此不互斥也不对立;②中“至少有一个奇数”包括“两个都是奇数”这个事件,可以同时发生,因此不互斥也不对立;④中“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”,可以同时发生,因此不互斥也不对立;③中是对立事件,故应选C .] 4.D [对立事件一定是互斥事件,故①对;只有A 、B 为互斥事件时才有P(A ∪B)=P(A)+P(B),故②错; 因A ,B ,C 并不是随机试验中的全部基本事件, 故P(A)+P(B)+P(C)并不一定等于1,故③错; 若A 、B 不互斥,尽管P(A)+P(B)=1, 但A ,B 不是对立事件,故④错.]5.C [设“质量小于4.8 g ”为事件A ,“质量小于4.85 g ”为事件B ,“质量在[4.8,4.85]g ”为事件C ,则A ∪C =B ,且A 、C 为互斥事件,所以P(B)=P(A ∪C)=P(A)+P(C),则P(C)=P(B)-P(A)=0.32-0.3=0.02.]6.C [记录取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ,则A 、B 、C 、D 、E 互斥,取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和. ∴P(B ∪D ∪E)=P(B)+P(D)+P(E) =15+15+15=35.] 7.0.30解析 P =1-0.42-0.28=0.30. 8.512解析 设甲队胜为事件A , 则P(A)=1-14-13=512. 9.59解析 没有5点或6点的事件为A ,则P(A)=49,至少有一个5点或6点的事件为B. 因A ∩B =∅,A ∪B 为必然事件,所以A 与B 是对立事件,则P(B)=1-P(A)=1-49=59.故至少有一个5点或6点的概率为59.10.解 设“射中10环”,“射中9环”,“射中8环”,“射中7环”的事件分别为A 、B 、C 、D ,则A 、B 、C 、D 是互斥事件, (1)P(A ∪B)=P(A)+P(B) =0.24+0.28=0.52; (2)P(A ∪B ∪C ∪D) =P(A)+P(B)+P(C)+P(D) =0.24+0.28+0.19+0.16=0.87.答 射中10环或9环的概率是0.52,至少射中7环的概率为0.87.11.解 记“响第1声时被接”为事件A ,“响第2声时被接”为事件B ,“响第3声时被接”为事件C ,“响第4声时被接”为事件D.“响前4声内被接”为事件E ,则易知A 、 B 、C 、D 互斥,且E =A ∪B ∪C ∪D ,所以由互斥事件的概率的加法公式得 P(E)=P(A ∪B ∪C ∪D) =P(A)+P(B)+P(C)+P(D) =0.1+0.3+0.4+0.1=0.9.12.解 (1)记“他乘火车去”为事件A 1,“他乘轮船去”为事件A 2,“他乘汽车去”为事件A 3,“他乘飞机去”为事件A 4,这四个事件不可能同时发生,故它们彼此互斥. 故P(A 1∪A 4)=P(A 1)+P(A 4)=0.3+0.4=0.7. 所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为P , 则P =1-P(A 2)=1-0.2=0.8, 所以他不乘轮船去的概率为0.8. (3)由于P(A)+P(B)=0.3+0.2=0.5, P(C)+P(D)=0.1+0.4=0.5,故他可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去. 13.解 设水位在[a ,b)范围的概率为P([a ,b)).由于水位在各范围内对应的事件是互斥的,由概率加法公式得: (1)P([10,16))=P([10,12))+P([12,14))+P([14,16)) =0.28+0.38+0.16=0.82. (2)P([8,12))=P([8,10))+P([10,12)) =0.1+0.28=0.38.(3)记“水位不低于12 m ”为事件A , P(A)=1-P([8,12))=1-0.38=0.62.。
概率的定义和基本性质(二)
概率的定义和基本性质(二)引言概述:概率是概率论研究的基本概念,也是统计学中重要的概念之一。
它用来描述事件发生的可能性大小,并在统计推断和决策制定中起着关键作用。
本文将进一步介绍概率的定义和基本性质,以帮助读者更好地理解和应用概率理论。
正文内容:一、概率的定义1. 频率定义:概率是基于大量实验的观察结果,通过事件发生的频率来估计其发生的可能性。
2. 古典定义:概率是基于等可能性假设,通过事件发生的总数与样本空间的大小之比来估计其发生的可能性。
3. 主观定义:概率是基于个人主观判断和经验,通过主观分配可能性大小来估计事件发生的可能性。
二、概率的基本性质1. 非负性:概率值始终大于等于0,表示事件发生的可能性不会是负数。
2. 零和性:对于必然事件,其概率值为1,表示该事件一定会发生。
3. 互斥性:对于两个互斥事件,其概率值之和为1,表示这两个事件有且只能发生一个。
4. 加法法则:对于两个不互斥事件,其概率值之和为两个事件发生概率之和减去两个事件同时发生的概率。
5. 乘法法则:对于两个独立事件,其概率值之积为两个事件发生概率之积。
三、条件概率和独立性1. 条件概率:给定一个条件下,事件发生的概率。
表示为P(A|B),表示在事件B发生的条件下,事件A发生的概率。
2. 乘法法则的条件形式:根据条件概率定义,可以将乘法法则扩展为条件形式。
3. 独立性:表示两个事件的发生与否相互独立,即一个事件的发生不受另一个事件的影响。
4. 独立性的判定:根据条件概率和乘法法则,可以通过计算条件概率来判断事件之间的独立性。
四、事件的关系与运算1. 事件的包含与不包含关系:一个事件发生必然导致其包含事件的发生,而不包含事件的发生则不一定导致该事件的发生。
2. 事件的并与交运算:事件的并运算表示多个事件中至少有一个事件发生的情况,交运算表示多个事件同时发生的情况。
3. 事件的补运算:事件的补运算表示不发生该事件的情况。
4. 事件的差运算:事件的差运算表示一个事件发生,而另一个事件不发生的情况。
高中数学-事件的相互独立性跟踪测试卷及答案
课时跟踪检测(四十三)事件的相互独立性层级(一)“四基”落实练1.甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A=“甲击中目标”,事件B=“乙击中目标”,则事件A与事件B () A.相互独立但不互斥B.互斥但不相互独立C.相互独立且互斥D.既不相互独立也不互斥解析:选A对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A 与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A 与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.2.甲、乙两班各有36名同学,甲班有9名三好学生,乙班有6名三好学生,两班各派1名同学参加演讲活动,派出的恰好都是三好学生的概率是 ()A.524 B.512C.124 D.38解析:选C两班各自派出代表是相互独立事件,设事件A,B分别为甲班、乙班派出的是三好学生,则事件AB为两班派出的都是三好学生,则P(AB)=P(A)P(B)=936×636=1 24.3.有一道竞赛题,A,B,C三人可解出的概率分别为12,13,14,则三人独立解答,仅有一人解出的概率为()A.124 B.1124C.1324 D.1724解析:选B设仅有一人解出的事件为D,则P(D)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=12×23×34+12×13×34+12×23×14=1124.4.两名射手射击同一目标,命中的概率分别为0.8和0.7,若各射击一次,则目标被击中的概率是() A.0.56 B.0.92C.0.94 D.0.96解析:选C ∵两人都没有击中的概率为0.2×0.3=0.06,∴目标被击中的概率为1-0.06=0.94.5.(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋中各摸出一个球,下列结论正确的是( )A .2个球都是红球的概率为16B .2个球不都是红球的概率为13C .至少有1个红球的概率为23D .2个球中恰有1个红球的概率为12解析:选ACD 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2,则P (A 1)=13,P (A 2)=12,且A 1,A 2相互独立.2个球都是红球为A 1A 2,其概率为13×12=16,A 正确;“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为56,B 错误;2个球中至少有1个红球的概率为 1-P (A )P (B )=1-23×12=23,C 正确;2个球中恰有1个红球的概率为13×12+23×12=12,D 正确.故选A 、C 、D.6.已知A ,B 是相互独立事件,且P (A )=12P (B )=23,则P (A B -)=________;P (A - B -)=________.解析:∵P (A )=12,P (B )=23,∴P (A -)=12,P (B -)=13.∴P (A B -)=P (A )P (B -)=12×13=16,P (A - B -)=P (A -)P (B -)=12×13=16.答案:16 167.已知生产某零件需要经过两道工序,在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和P ,每道工序是否产生废品相互独立,若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3,则P=________.解析:由题意,得(1-0.01)(1-P)=0.960 3,解得P=0.03.答案:0.038.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求:(1)进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率;(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率.解:记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”,则P(A)=0.5;记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”,则P(B)=0.6;记C表示事件“进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买”;记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”.(1)易知C=AB,则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.(2)易知D=(A B-)∪(A-B),则P(D)=P(A B-)+P(A-B)=P(A)P(B-)+P(A-)P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.层级(二) 能力提升练1.如图所示,A,B,C表示3个开关,若在某段时间内,它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,则该系统的可靠性(3个开关只要有一个开关正常工作即可靠)为()A.0.504 B.0.994C.0.496 D.0.064解析:选B由题意知,所求概率为1-(1-0.9)·(1-0.8)(1-0.7)=1-0.006=0.994. 2.甲袋中有8个白球、4个红球,乙袋中有6个白球、6个红球,这些小球除颜色外完全相同.从每袋中任取1个球,则取得同色球的概率为________.解析:设从甲袋中任取1个球,事件A为“取得白球”,则事件A为“取得红球”;从乙袋中任取1个球,事件B为“取得白球”,则事件B为“取得红球”.∵事件A与B相互独立,∴事件A与B也相互独立.∴从每袋中任取1个球,取得同色球的概率为P(AB∪A B)=P(AB)+P(A B)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=23×12+13×12=12.答案:123.甲、乙两名同学参加一项射击比赛,其中任何一人每射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.已知甲、乙两人射击互不影响,且命中率分别为35和p .若甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920,则p 的值为________. 解析:设“甲射击一次,击中目标”为事件A ,“乙射击一次,击中目标”为事件B ,则“甲射击一次,未击中”为事件A ,“乙射击一次,未击中目标”为事件B ,则P (A )=35,P (A )=25,P (B )=p ,P (B )=1-p ,依题意35×(1-p )+25×p =920,解得p =34.答案:344.(2022·全国甲卷节选)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.求甲学校获得冠军的概率.解:设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A ,B ,C ,易知事件A ,B ,C 相互独立.甲学校获得冠军,对应事件A ,B ,C 同时发生,或事件A ,B ,C 中有两个发生,故甲学校获得冠军的概率为P =P (ABC +A BC +A B C +AB C ) =P (ABC )+P (A BC )+P (A B C )+P (AB C )=0.5×0.4×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+0.5×0.4×(1-0.8) =0.16+0.16+0.24+0.04 =0.6.5.已知某音响设备由五个部件组成,A 电视机,B 影碟机,C 线路,D 左声道和E 右声道,其中每个部件工作的概率如图所示,当且仅当A 与B 中至少有一个工作,C 工作,D 与E 中至少有一个工作时能听到声音,且若D 和E 同时工作则有立体声效果.(1)求能听到立体声效果的概率; (2)求听不到声音的概率.解:(1)能听到立体声效果的概率P 1=[1-(1-0.9)×(1-0.95)]×0.95×0.94×0.94=0.835 222 9.(2)能听到声音的概率P 2=[1-(1-0.9)×(1-0.95)]×0.95×[1-(1-0.94)2]=0.941 847 1,故听不到声音的概率为1-P 2=1-0.941 847 1=0.058 152 9. 层级(三) 素养培优练在生活小常识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关生活小常识的问题,已知甲答对这道题的概率是34112,乙、丙两人都回答正确的概率是14.设每人回答问题正确与否相互独立.(1)求乙答对这道题的概率;(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.解:(1)记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件A ,B ,C ,设乙答对这道题的概率P (B )=x ,由于每人回答问题正确与否相互独立,因此A ,B ,C 是相互独立事件.由题意可知,P (A )=34,P (A B )=P (A )P (B )= 1-34×(1-x )=112,解得x =23,所以乙答对这道题的概率为P (B )=23.(2)设“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”为事件M ,丙答对这道题的概率P (C )=y ,由题可知,P (BC )=P (B )·P (C )=23×y =14,解得y =38.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P (A B C )=P (A )P (B )·P (C )= 1-34× 1-23× 1-38=596. 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”的对立事件是“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对”,所以P (M )=1-596=9196.。
概率的基本性质
6、由对立事件的意义: A
A
是一个必然事件,它
的概率等于1,又由于A与 A 互斥,
P( A A) P( A) P( A) 1
对立事件的概率的和等于1
王新敞
奎屯 新疆
从上面的公式还可得到:
P( A) 1 P( A)
三、讲解范例:
例1 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随
机抽取一张,那么取道红心的概率是0.25,取
一、复习引入:
1 事件的定义: 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.
随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; 必然事件:在一定条件下必然发生的事件;
不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件 2 随机事件的概率: 一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发 m 生的频率 总是接近某个常数,在它附近摆动,这 n 时,就把这个常数叫做事件A的概率,记作 P ( A)
3.概率的确定方法: 通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频
率近似地作为它的概率;
4.概率的性质: 必然事件的概率为1, 不可能事件的概率为0, 随机事件的概率为 0 P( A) 1 必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
5、基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个
结果(事件A)称为一个基本事件
都是互斥的,那么就说事件
A1 , A2 ,, An 彼此互斥.
从集合的角度看, 几个事件彼此互斥,是 指由各个事件所含的结
A
B
C
果组成的集合彼此互不
相交,如图。
2.对立事件的概念 从盒中任意摸出一个球,若摸出的球不是红的, 即事件A没发生,记作 由于事件A和事件
A
A 不可能同时发生,它们是互 A
适用于新教材2025版高中数学课时素养检测四十一概率的基本性质新人教A版必修第二册
四十一 概率的基本性质(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2024·张家口高一检测)给出命题:(1)对立事务肯定是互斥事务.(2)若事务A ,B 满意P (A )+P (B )=1,则A ,B 为对立事务.(3)把J ,Q ,K ,3张红桃牌随机分给甲、乙、丙三人,每人1张,事务A “甲得红桃J ”与事务B “乙得红桃J ”是对立事务.(4)一个人打靶时连续射击两次,事务“至少有一次中靶”的对立事务是两次都不中靶.其中正确的命题个数为( ) A .4 B .3 C .2 D .1【解析】选C.(1)由对立事务的定义可推断(1)正确;(2)若事务A ,B 不是互斥事务,即无法由P (A )+P (B )=1推断事务A ,B 的关系,故(2)错误; (3)事务A “甲得红桃J ”的对立事务为“甲未得红桃J ”,即“乙或丙得红桃J ”,故(3)错误; (4)“至少有一次中靶”包括“一次中靶”,“两次都中靶”,则其对立事务为“两次都不中靶”,故(4)正确; 故(1)(4)正确.2.(2024·南宁高一检测)某人抛一颗质地匀称的骰子,记事务A =“出现的点数为奇数”,B =“出现的点数不大于3”,则下列说法正确的是( ) A .事务A 与B 对立 B .P (A ∪B )=P (A )+P (B ) C .事务A 与B 互斥 D .P (A )=P (B )【解析】选D.因为骰子的点数1至6共6个正整数,因此事务A 和B 可能同时发生(如出现点数1),也可能同时不发生(如出现点数6),因此它们不互斥也不对立,A ,B ,C 均错,但P (A )=36 =12 ,P (B )=36 =12 ,故D 正确.3.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为16 .事务A 表示“小于5的偶数点出现”,事务B 表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事务A +B 发生的概率为( ) A .13 B .12 C .23 D .56【解析】选C.由题意可知B 表示“大于或等于5的点数出现”,事务A 与事务B 互斥.由概率的加法公式可得P (A +B )=P (A )+P (B )=26 +26 =46 =23.4.国际羽联规定,标准羽毛球的质量应在[4.74,5.50]内(单位:克).现从一批羽毛球产品中任取一个,已知其质量小于4.74的概率为0.1,质量大于5.50的概率为0.2,则其质量符合规定标准的概率是( )A.0.3 B.0.7 C.0.8 D.0.9【解析】选B.因为事务“羽毛球的质量在[4.74,5.50]内”(质量符合规定标准)的对立事务为“质量小于4.74或质量大于5.50”,而“质量小于4.74”和“质量大于5.50”互斥,所以由互斥事务概率公式和对立事务概率公式可得质量符合规定标准的概率为1-(0.1+0.2)=0.7.5.若事务A与B是互斥事务,且事务A∪B的概率是0.8,事务A的概率是事务B的概率的3倍,则事务A的概率为( )A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8【解析】选C.由已知得P(A)+P(B)=0.8,又P(A)=3P(B),于是P(A)=0.6.6.某射手的一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别为0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )A.0.40 B.0.30 C.0.60 D.0.90【解析】选A.不够8环的概率为1-0.20-0.30-0.10=0.40.二、填空题(每小题5分,共10分)7.若A,B为互斥事务,P(A)=0.4,P(A+B)=0.7,则P(B)=________.【解析】因为A,B为互斥事务,所以P(A+B)=P(A)+P(B).所以P(B)=P(A+B)-P(A)=0.7-0.4=0.3. 答案:0.38.在一次老师联欢会上,到会的女老师比男老师多12人,从这些老师中随机选择一人表演节目,若选中男老师的概率为920,则参与联欢会的老师共有________人.【解析】可设参与联欢会的老师共有n人,由于从这些老师中选一人,“选中男老师”和“选中女老师”两个事务是对立事务,所以选中女老师的概率为1-920=1120.再由题意,知1120n-920n=12,解得n=120.答案:120【补偿训练】如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别为0.15,0.20,0.45,则不中靶的概率是____________.【解析】设射手“命中圆面Ⅰ”为事务A,“命中圆环Ⅱ”为事务B,“命中圆环Ⅲ”为事务C,“不中靶”为事务D,则A,B,C互斥,故射手中靶的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.15+0.20+0.45=0.80.因为中靶和不中靶是对立事务,故不中靶的概率为P(D)=1-P(A+B+C)=1-0.80=0.20.答案:0.20三、解答题(每小题10分,共20分)9.黄种人群中各种血型的人所占的比例如表所示.明是B型血,若小明因病须要输血,则:(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?【解析】(1)对任一个人,其血型为A,B,AB,O的事务分别为A′,B′,C′,D′,它们彼此互斥.由已知得P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.由于B,O型血可以输给B型血的人,因此“可以输血给小明的人”为事务B′+D′,依据互斥事务的概率加法公式,得:P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,因此“不能输血给小明的人”为事务A′+C′,所以P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.【补偿训练】某战士在一次射击训练中,击中环数大于7的概率为0.6,击中环数是6或7或8的概率为0.3,则该战士击中环数大于5的概率为0.6+0.3=0.9.上述说法是否正确?请说明理由.【解析】不正确.因为该战士击中环数大于7和击中环数为6或7或8不是互斥事务,所以不能用互斥事务的概率加法公式计算.10.从甲地到乙地沿某条马路行驶一共200公里,遇到红灯个数的概率如下表所示:(1)(2)求至少遇到4个红灯的概率;(3)求至多遇到5个红灯的概率.【解析】(1)由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.(2)设事务A为遇到红灯的个数为4,事务B为遇到红灯的个数为5,事务C为遇到红灯的个数为6个及以上,则事务“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C,因为事务A,B,C互斥,所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33,即至少遇到4个红灯的概率为0.33.(3)设事务D 为遇到6个及6个以上红灯,则至多遇到5个红灯为事务D , 则P (D )=1-P (D )=1-0.03=0.97.(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分) 1.(多选题)下列四个命题: 其中错误命题是( ) A .对立事务肯定是互斥事务B .若A ,B 为两个事务,则P (A +B )=P (A )+P (B )C .若事务A ,B ,C 两两互斥,则P (A )+P (B )+P (C )=1D .事务A ,B 满意P (A )+P (B )=1,则A ,B 是对立事务【解析】选BCD.对立事务首先是互斥事务,故A 正确;只有互斥事务的和事务的概率才适合概率加法公式,故B 不正确;概率加法公式可以适合多个互斥事务的和事务,但和事务不肯定是必定事务,故C 不正确;对立事务和的概率公式逆用不正确.比如在掷骰子试验中,设事务A ={正面为奇数},B ={正面为1,2,3},则P (A )+P (B )=1.而A ,B 不互斥,故D 不正确.2.(2024·南宁高一检测)甲、乙两人打乒乓球, 两人打平的概率是12 , 乙获胜的概率是13 ,则乙不输的概率是( )A .16B .13C .12D .56【解析】选D.乙不输表示为和棋或获胜,故其概率为P =13 +12 =56.3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是( ) A .0.42 B .0.28 C .0.3 D .0.7【解析】选C.因为摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事务,所以摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.4.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.依据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是( )A .0.09B .0.20C .0.25D .0.45【解析】选D.用频率估计概率,由图可知,抽得一等品的概率为0.3,抽得三等品的概率为0.25,则抽得二等品的概率为1-0.3-0.25=0.45. 二、填空题(每小题5分,共10分)5.从集合{a ,b ,c ,d ,e }的全部子集中任取一个,若这个子集不是集合{a ,b ,c }的子集的概率是34 ,则该子集恰是集合{a ,b ,c }的子集的概率是________. 【解析】该子集恰是{a ,b ,c }的子集的概率为P =1-34 =14 .答案:14【补偿训练】1.从一箱苹果中任取一个,假如其重量小于200克的概率为0.2,重量在[200,300]内的概率为0.5,那么重量超过300克的概率为________.【解析】设重量超过300克的概率为P ,因为重量小于200克的概率为0.2, 重量在[200,300]内的概率为0.5,所以0.2+0.5+P =1,所以P =1-0.2-0.5=0.3. 答案:0.32.某产品分甲、乙、丙三级,其中丙级为次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对该产品抽查一件抽到正品的概率为________.【解析】因为抽到次品的概率为0.01,所以抽到正品的概率是1-0.01=0.99. 答案:0.996.先后抛掷两枚匀称的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为x ,y ,则log 2x y =1的概率为________.【解析】易知试验样本点的总数为36,由log 2x y =1,得2x =y ,其中x ,y ∈{1,2,3,4,5,6},所以⎩⎪⎨⎪⎧x =1y =2或⎩⎪⎨⎪⎧x =2y =4 或⎩⎪⎨⎪⎧x =3y =6共3个样本点,所以P =336 =112 .答案:112三、解答题(每小题10分,共20分)7.玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个,从中任取1球,设事务A 为“取出1个红球”,事务B 为“取出1个黑球”,事务C 为“取出1个白球”,事务D 为“取出1个绿球”.已知P (A )=512,P (B )=13 ,P (C )=16 ,P (D )=112. (1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率. (2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.【解析】方法一 (1)因为事务A ,B ,C ,D 彼此为互斥事务,所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P (A +B )=P (A )+P (B )=512 +13 =34.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )=512 +13 +16 =1112 .方法二 (1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事务为“取出1个球为白球或绿球”,即A +B 的对立事务为C +D ,所以P (A +B )=1-P (C +D )=1-P (C )-P (D )=1-16 -112 =34 ,即“取出1个球为红球或黑球”的概率为34.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事务为“取出1个球为绿球”,即A +B +C 的对立事务为D ,所以P (A +B +C )=1-P (D )=1-112 =1112 ,即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为1112 .8.已知国家某5A 级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n (单位:百人)的关系有如下规定:当n ∈[0,100)时,拥挤等级为“优”;当n ∈[100,200)时,拥挤等级为“良”;当n ∈[200,300)时,拥挤等级为“拥挤”;当n ≥300时,拥挤等级为“严峻拥挤”.该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据:(1)下面是依据统计数据得到的频率分布表,求出a ,b 的值,并估计该景区6月份游客人数的平均值.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)游客数量(单位:百人) [0,100)[100,200)[200,300)[300,400]天数 a 10 4 1 频率b13215130(2)为“优”的概率.【解析】(1)游客人数在[0,100)范围内的天数共有15天,故a =15,b =1530 =12 ,游客人数的平均值为50×12 +150×13 +250×215 +350×130=120(百人).(2)从5天中任选2天,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10个样本点,其中游客拥挤等级均为“优”的有(1,4),(1,5),(4,5),共3个,故所求概率为310.。
高中数学必修二课时跟踪检测(四十三) 概率的基本性质讲解附答案解析
课时跟踪检测(四十三) 概率的基本性质A 级——学考合格性考试达标练1.某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛,甲、乙两个班取得冠军的概率分别为13和14,则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为( )A.712 B.112 C.512D.13解析:选A 甲班取得冠军和乙班取得冠军是两个互斥事件,该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件,其概率为两个互斥事件的概率之和,即为13+14=712.故选A.2.某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是( )A .0.09B .0.98C .0.97D .0.96解析:选D 抽查一次抽得正品与抽得次品是对立事件,而抽得次品的概率为0.03+0.01=0.04,故抽得正品的概率为1-0.04=0.96.故选D.3.根据湖北某医疗所的调查,某地区居民血型的分布为:O 型52%,A 型15%,AB 型5%,B 型28%.现有一血型为A 型的病人需要输血,若在该地区任选一人,则此人能为病人输血的概率为( )A .67%B .85%C .48%D .15%解析:选A O 型血与A 型血的人能为A 型血的人输血,故所求的概率为52%+15%=67%.故选A.4.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A .60%B .30%C .10%D .50%解析:选D 设A ={甲获胜},B ={甲不输},C ={甲、乙和棋},则A ,C 互斥,且B =A ∪C ,故P (B )=P (A ∪C )=P (A )+P (C ),即P (C )=P (B )-P (A )=50%.故选D.5.抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件A 表示“小于5的偶数点出现”,事件B 表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A +B 发生的概率为( )A.13B .12C.23D.56解析:选C 掷一个骰子的试验有6种可能结果,依题意P (A )=26=13,P (B )=46=23,所以P (B )=1-P (B )=1-23=13,因为B 表示“出现5点或6点”的事件,所以事件A 与B 互斥,从而P (A +B )=P (A )+P (B )=13+13=23.故选C.6.一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项,其中中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.25,则不中奖的概率为________.解析:中奖的概率为0.1+0.25=0.35,中奖与不中奖互为对立事件,所以不中奖的概率为1-0.35=0.65.答案:0.657.口袋内装有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是________.解析:摸出红球、白球、黑球是互斥事件,所以摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3. 答案:0.38.向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一军火库的概率为0.025,炸中第二、三军火库的概率均为0.1,只要炸中一个,另两个也会发生爆炸,军火库爆炸的概率为________.解析:设A ,B ,C 分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件,D 表示军火库爆炸,则P (A )=0.025,P (B )=0.1,P (C )=0.1,其中A ,B ,C 互斥,故P (D )=P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )=0.025+0.1+0.1=0.225.答案:0.2259.某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第一声时被接的概率为0.1,响第二声时被接的概率为0.3,响第三声时被接的概率为0.4,响第四声时被接的概率为0.1,那么电话在响前四声内被接的概率是多少?解:记“响第一声时被接”为事件A ,“响第二声时被接”为事件B ,“响第三声时被接”为事件C ,“响第四声时被接”为事件D .“响前四声内被接”为事件E ,则易知A ,B ,C ,D 互斥,且E =A ∪B ∪C ∪D ,所以由互斥事件的概率加法公式得,P (E )=P (A ∪B ∪C ∪D )=P (A )+P (B )+P (C )+P (D )=0.1+0.3+0.4+0.1=0.9. 即电话在响前四声内被接的概率是0.9.10.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率; (2)求他不乘轮船去的概率;(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5,请问他有可能乘哪种交通工具去?解:(1)记“他乘火车去”为事件A,“他乘轮船去”为事件B,“他乘汽车去”为事件C,“他乘飞机去”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生,故它们彼此互斥.所以P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7.即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P(B),则P(B)=1-P(B)=1-0.2=0.8,所以,他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P(A)+P(B)=0.3+0.2=0.5,P(C)+P(D)=0.1+0.4=0.5,故他可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.B级——面向全国卷高考高分练1.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为()A.0.09 B.0.20C.0.25 D.0.45解析:选D由图可知抽得一等品的概率为0.3,抽得三等品的概率为0.25,则抽得二等品的概率为1-0.3-0.25=0.45.故选D.2.某学校教务处决定对数学组的老师进行“评教”,根据数学成绩从某班学生中任意找出一人,如果该同学的数学成绩低于90分的概率为0.2,该同学的成绩在[90,120]之间的概率为0.5,那么该同学的数学成绩超过120分的概率为()A.0.2 B.0.3C.0.7 D.0.8解析:选B该同学数学成绩超过120分(事件A)与该同学数学成绩不超过120分(事件B)是对立事件,而不超过120分的事件为低于90分(事件C)和[90,120](事件D)两事件的和事件,即P(A)=1-P(B)=1-[P(C)+P(D)]=1-(0.2+0.5)=0.3.故选B.3.抛掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次,观察掷出向上的点数,设事件A为“掷出向上为偶数点”,事件B为“掷出向上为3点”,则P(A∪B )=( )A.13 B .23C.12D.56解析:选B 事件A 为“掷出向上为偶数点”,所以P (A )=12.事件B 为“掷出向上为3点”,所以P (B )=16.又事件A ,B 是互斥事件,根据互斥事件的概率加法公式,所以P (A ∪B )=P (A )+P (B )=23.故选B. 4.若随机事件A ,B 互斥,A ,B 发生的概率均不等于0,且P (A )=2-a ,P (B )=4a -5,则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫54,2 B .⎝⎛⎭⎫54,32 C.⎣⎡⎦⎤54,32D.⎝⎛⎦⎤54,43解析:选D 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1,0<P (B )<1,P (A )+P (B )≤1,即⎩⎪⎨⎪⎧0<2-a <1,0<4a -5<1,3a -3≤1,解得54<a ≤43.故选D.5.若A ,B 为互斥事件,P (A )=0.4,P (A ∪B )=0.7,则P (B )=________. 解析:∵A ,B 为互斥事件, ∴P (A ∪B )=P (A )+P (B ),∴P (B )=P (A ∪B )-P (A )=0.7-0.4=0.3. 答案:0.36.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ,Ⅲ构成,射手命中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则不命中靶的概率是________.解析:“射手命中圆面Ⅰ”为事件A ,“命中圆环Ⅱ”为事件B ,“命中圆环Ⅲ”为事件C ,“不中靶”为事件D ,则A 、B 、C 彼此互斥,故射手中靶的概率为P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )=0.35+0.30+0.25=0.90.因为中靶和不中靶是对立事件,故不命中靶的概率为P (D )=1-P (A ∪B ∪C )=1-0.90=0.10.答案:0.107.某商场有奖销售中,购满100元商品得一张奖券,多购多得,每1 000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ,B ,C ,求:(1)P (A ),P (B ),P (C ); (2)抽取1张奖券中奖概率;(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.解:(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个, ∴P (A )=11 000,P (B )=101 000=1100,P (C )=501 000=120.(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D ,则 P (D )=P (A )+P (B )+P (C ) =11 000+1100+120=611 000. (3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E ,则 P (E )=1-P (A )-P (B )=1-11 000-1100=9891 000. C 级——拓展探索性题目应用练袋中有12个大小质地完全相同的小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是13,得到黑球或黄球的概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512,试求得到黑球,得到黄球,得到绿球的概率各是多少?解:从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A ,B ,C ,D ,则P (A )=13,P (B ∪C )=P (B )+P (C )=512,P (C ∪D )=P (C )+P (D )=512,P (B ∪C ∪D )=P (B )+P (C )+P (D )=1-P (A ) =1-13=23.联立⎩⎪⎨⎪⎧P (B )+P (C )=512,P (C )+P (D )=512,P (B )+P (C )+P (D )=23,解得P (B )=14,P (C )=16,P (D )=14,故得到黑球,得到黄球,得到绿球的概率分别为14,16,14.。
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课时跟踪检测(四十三)概率的基本性质[文档副标题][日期]MICROSOFT[公司地址]课时跟踪检测(四十三) 概率的基本性质A 级——学考合格性考试达标练1.某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛,甲、乙两个班取得冠军的概率分别为13和14,则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为( ) A.712B.112C.512D.13解析:选A 甲班取得冠军和乙班取得冠军是两个互斥事件,该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件,其概率为两个互斥事件的概率之和,即为13+14=712.故选A. 2.某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是( )A .0.09B .0.98C .0.97D .0.96解析:选D 抽查一次抽得正品与抽得次品是对立事件,而抽得次品的概率为0.03+0.01=0.04,故抽得正品的概率为1-0.04=0.96.故选D.3.根据湖北某医疗所的调查,某地区居民血型的分布为:O 型52%,A 型15%,AB 型5%,B 型28%.现有一血型为A 型的病人需要输血,若在该地区任选一人,则此人能为病人输血的概率为( )A .67%B .85%C .48%D .15%解析:选A O 型血与A 型血的人能为A 型血的人输血,故所求的概率为52%+15%=67%.故选A.4.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A .60%B .30%C .10%D .50%解析:选D 设A ={甲获胜},B ={甲不输},C ={甲、乙和棋},则A ,C 互斥,且B =A ∪C ,故P (B )=P (A ∪C )=P (A )+P (C ),即P (C )=P (B )-P (A )=50%.故选D.5.抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件A 表示“小于5的偶数点出现”,事件B 表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A +B 发生的概率为( )A.13B .12 C.23 D.56解析:选C 掷一个骰子的试验有6种可能结果,依题意P (A )=26=13,P (B )=46=23, 所以P (B )=1-P (B )=1-23=13, 因为B 表示“出现5点或6点”的事件,所以事件A 与B 互斥,从而P (A +B )=P (A )+P (B )=13+13=23.故选C. 6.一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项,其中中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.25,则不中奖的概率为________.解析:中奖的概率为0.1+0.25=0.35,中奖与不中奖互为对立事件,所以不中奖的概率为1-0.35=0.65.答案:0.657.口袋内装有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是________.解析:摸出红球、白球、黑球是互斥事件,所以摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3. 答案:0.38.向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一军火库的概率为0.025,炸中第二、三军火库的概率均为0.1,只要炸中一个,另两个也会发生爆炸,军火库爆炸的概率为________.解析:设A ,B ,C 分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件,D 表示军火库爆炸,则P (A )=0.025,P (B )=0.1,P (C )=0.1,其中A ,B ,C 互斥,故P (D )=P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )=0.025+0.1+0.1=0.225.答案:0.2259.某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第一声时被接的概率为0.1,响第二声时被接的概率为0.3,响第三声时被接的概率为0.4,响第四声时被接的概率为0.1,那么电话在响前四声内被接的概率是多少?解:记“响第一声时被接”为事件A ,“响第二声时被接”为事件B ,“响第三声时被接”为事件C ,“响第四声时被接”为事件D .“响前四声内被接”为事件E ,则易知A ,B ,C ,D 互斥,且E =A ∪B ∪C ∪D ,所以由互斥事件的概率加法公式得,P(E)=P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.1+0.3+0.4+0.1=0.9.即电话在响前四声内被接的概率是0.9.10.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;(2)求他不乘轮船去的概率;(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5,请问他有可能乘哪种交通工具去?解:(1)记“他乘火车去”为事件A,“他乘轮船去”为事件B,“他乘汽车去”为事件C,“他乘飞机去”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生,故它们彼此互斥.所以P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7.即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P(B),则P(B)=1-P(B)=1-0.2=0.8,所以,他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P(A)+P(B)=0.3+0.2=0.5,P(C)+P(D)=0.1+0.4=0.5,故他可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.B级——面向全国卷高考高分练1.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为()A.0.09 B.0.20C.0.25 D.0.45解析:选D由图可知抽得一等品的概率为0.3,抽得三等品的概率为0.25,则抽得二等品的概率为1-0.3-0.25=0.45.故选D.2.某学校教务处决定对数学组的老师进行“评教”,根据数学成绩从某班学生中任意找出一人,如果该同学的数学成绩低于90分的概率为0.2,该同学的成绩在[90,120]之间的概率为0.5,那么该同学的数学成绩超过120分的概率为( )A .0.2B .0.3C .0.7D .0.8解析:选B 该同学数学成绩超过120分(事件A )与该同学数学成绩不超过120分(事件B )是对立事件,而不超过120分的事件为低于90分(事件C )和[90,120](事件D )两事件的和事件,即P (A )=1-P (B )=1-[P (C )+P (D )]= 1-(0.2+0.5)=0.3.故选B.3.抛掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次,观察掷出向上的点数,设事件A 为“掷出向上为偶数点”,事件B 为“掷出向上为3点”,则P (A ∪B )=( )A.13B .23 C.12 D.56解析:选B 事件A 为“掷出向上为偶数点”,所以P (A )=12. 事件B 为“掷出向上为3点”,所以P (B )=16. 又事件A ,B 是互斥事件,根据互斥事件的概率加法公式,所以P (A ∪B )=P (A )+P (B )=23.故选B. 4.若随机事件A ,B 互斥,A ,B 发生的概率均不等于0,且P (A )=2-a ,P (B )=4a -5,则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫54,2B .⎝⎛⎭⎫54,32 C.⎣⎡⎦⎤54,32 D.⎝⎛⎦⎤54,43解析:选D 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<P (A )<1,0<P (B )<1,P (A )+P (B )≤1,即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<2-a <1,0<4a -5<1,3a -3≤1,解得54<a ≤43.故选D. 5.若A ,B 为互斥事件,P (A )=0.4,P (A ∪B )=0.7,则P (B )=________.解析:∵A ,B 为互斥事件,∴P (A ∪B )=P (A )+P (B ),∴P (B )=P (A ∪B )-P (A )=0.7-0.4=0.3.答案:0.36.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ,Ⅲ构成,射手命中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则不命中靶的概率是________.解析:“射手命中圆面Ⅰ”为事件A ,“命中圆环Ⅱ”为事件B ,“命中圆环Ⅲ”为事件C ,“不中靶”为事件D ,则A 、B 、C 彼此互斥,故射手中靶的概率为P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )=0.35+0.30+0.25=0.90.因为中靶和不中靶是对立事件,故不命中靶的概率为P (D )=1-P (A ∪B ∪C )=1-0.90=0.10.答案:0.107.某商场有奖销售中,购满100元商品得一张奖券,多购多得,每1 000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ,B ,C ,求:(1)P (A ),P (B ),P (C );(2)抽取1张奖券中奖概率;(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.解:(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个,∴P (A )=11 000,P (B )=101 000=1100, P (C )=501 000=120. (2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D ,则P (D )=P (A )+P (B )+P (C )=11 000+1100+120=611 000. (3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E ,则P (E )=1-P (A )-P (B )=1-11 000-1100=9891 000. C 级——拓展探索性题目应用练袋中有12个大小质地完全相同的小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是13,得到黑球或黄球的概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512,试求得到黑球,得到黄球,得到绿球的概率各是多少?解:从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A ,B ,C ,D ,则P (A )=13,P (B ∪C )=P (B )+P (C )=512,P (C ∪D )=P (C )+P (D )=512, P (B ∪C ∪D )=P (B )+P (C )+P (D )=1-P (A )=1-13=23. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ P (B )+P (C )=512,P (C )+P (D )=512,P (B )+P (C )+P (D )=23,解得P (B )=14,P (C )=16,P (D )=14, 故得到黑球,得到黄球,得到绿球的概率分别为14,16,14.。