第4章(1) 线性控制系统的能控性和能观性

第四章 线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。

能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能力。

能控性严格上说有两种，一种是系统控制输入u(t)对系统内部状态x(t)的控制能力，另一种是控制输入u(t)对系统输出y(t)的控制能力。

但是一般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。

所以，系统的能控性和能观性研究一般都是基于系统的状态空间表达式的。

4-1 线性连续定常系统的能控性定义 对于单输入n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在一个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每一个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。

反之，只要有一个状态不可控，我们就称系统不可控。

对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。

4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1． 单输入系统 具有约旦标准型系统bu x x+Λ= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根 或bu Jx x+= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221000λλ[]x c c y 21=解：⇒=111x xλ 1x 与u 无关，即不受u 控制 ⇒+=u b x x2222λ 2x 为能控状态 该系统为状态不完全能控，因而为不能控系统。

（2）u b x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211001λλ 解：2111x x x+=λ ⇒+=u b x x 2212λ 状态完全能控2．具有一般系统矩阵的多输入系统系统的状态方程为： Bu Ax x+= （1） 若令Tz x =，上式可变换为约旦标准型Bu T z z1-+Λ= （AT T 1-=Λ） 或 Bu T Jz z1-+= （AT T J 1-=） （2） 系统的线性变换不改变系统的能控性3．一般系统的能控性判据(a)若系统矩阵A 的特征值互异，则系统矩阵可变换为约旦标准型（对角线型），系统能控性的充分必要条件：控制矩阵B T 1-的各行元素没有全为0的。

(b)若系统矩阵A 的特征值有相同的，则系统矩阵可变换为约旦标准型,系统能控性的充分必要条件：(1) B T 1-中对应于相同特征值的部分，它与每个约旦块最后一行相对应的一行的元素没有全为0的；(2) B T 1-中对应于互异根的部分，它的各行元素没有全为0的。

例1：判断下列系统的能控性u b b x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3232121132********λλλ u b b b b x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3231121132131132100000001λλλ例2：有系统如下，判断其是否能控u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=150154 解：将其变换成约旦型（1）先求其特征根()()015541542=-+=-+=--+=-λλλλλλλA I特征根为 1,521=-=λλ （2）再求变换矩阵根据⇒=111p Ap λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=151p ， ⇒=222p Ap λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=112p变换矩阵T 为 ： []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==111521p p T⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⋅-=-656161615111111511T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-0115656161611b Tu z bu T ATz T z ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=--01100511 因为B T 1-最后一行元素为0，故系统是不能控的。

4-2-2直接从A 与B 判别系统的能控性 1． 单输入系统bu Ax x+= 其能控的充要条件为能控判别阵：[]b A Ab b M n 1-=的秩等于n （满秩），即()n M rank =；否则，当()n M rank <时，系统为不能控的。

【证】状态方程的解为：()()()()⎰-+=tt A At d bu e x e t x 00τττ根据上述能控性定义，考虑f t 时刻的状态()0=f t x ，有：()()()()⎰-+==ff ft t A At f d bu ex et x 000τττ()()⎰--=ft A d bu e x 00τττ因为 ()i n i i A A e∑-=-=1τατ其中 ()()()τατατα110,,,-n 是线性无关的标量函数。

()()()()()[]∑⎰∑⎰∑-=-=-==-=-=11100n i iit in i iit n i ib A d u b A d bu A x ff βτττατττα其中：()()ττταβd u ft i i ⎰-=0所以 []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--1101)0(n n b A Ab bx βββ对于任意给定的初始状态x(0)，如果系统可控，那么都应该从上式中求出一组[]T n 110-βββ 值。

根据线性代数知识，110-n βββ 的系数矩阵 []b A Ab b n 1- 的秩应等于n ，即：()[]n b A Ab b rank M rank n ==-1 求出一组[]T n 110-βββ 后，就可以求出一组分段连续的控制u(t)。

例1：判别下列线性系统的可控性。

u x a a a x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=10010001021解：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==122222110100a a a ab A Ab bM ()n M rank ==3，所以系统可控。

例2：试分析下列系统的可控性。

①u b b x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212100λλ， ②u b b x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2101λλ 解：① []⎥⎦⎤⎢⎣⎡==222111λλb b b bAb bM ()2121121221λλλλ-=-=b b b b b b M所以，当0,021≠≠b b ，且21λλ≠时，0≠M ,系统可控。

②[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==λλ22211b b b b bAb bM 22222121b b b b b b M -=--=λλ 所以当02≠b 时系统可控，否则不可控。

在单输入系统中，根据A 和b 还可以从输入和状态矢量间的传递函数阵确定系统能控性的充分必要条件对于系统bu Ax x+= ，如果输入u(t)对状态x(t)的传递函数（阵）()()b A sI s W ux 1--=没有零极点对消，那么系统是能控的；否则，被消的极点就是不能控的模式，系统不能控的。

例：已知 u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=115.15.210 ，分析其能控性。

解：u(t)对X(t)的传递函数为：()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-==--11111115.25.2115.15.2111s s s s s s b A sI s U s X s W ux因为()s W ux 发生零极点对消，所以是不能控的。

实际上，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1111Ab bM 因为 0=M ，所以系统是不能控的。

2． 多输入系统对于多输入n 阶连续定常系统Bu Ax x+= 其中A —n ×n 阶阵，B —n ×r 阶阵，U —r 维输入。

系统能控的充要条件为能控判别阵[]B A AB BM n 1-=的秩等于n ，即()n M rank = (证明略)例：试分析下列系统的能控性。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321100001301010121uu x x x x x x解：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==10431100000004211012B A AB BM()n M rank <=2, 系统是不能控的。

4-3 线性连续定常系统的能观性4-3-1能观性定义 系统方程为：⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x能观性表示的是输出y(t)反映状态矢量x(t)的能力。

若对任意给定的输入u(t)，总能在有限的时间段[t 0,t f ]内，根据系统观测y(t)，能唯一地确定时刻t 0的每一状态x(t 0)，那么称系统在t 0 时刻是状态可观测的。

若系统在的每一状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称是能观的。

4-3-2线性定常系统能观性的判别 1．转换成约旦标准型的判别方法⎩⎨⎧==Cx y Ax x()00x t x =（1）A 为对角线矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=n A λλλ000021 nm mn m m n n c c c c c c c c c C ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===n n n x x x x x x λλλ222111 ()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡020102121n t t tn x e x e x e t x t x t x n λλλ()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡02010212222111211212122221112112121n t t tmn m m n n n mn m m n n m x e x e x e c c c c c c c c c t x t x t x c c c c c c c c c t y t y t y n λλλ系统能观的充要条件：输出矩阵C 中必须没有全为零的列。