第4章(1) 线性控制系统的能控性和能观性

第四章 线性控制系统的能控性和能观性

在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。

能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能力。

能控性严格上说有两种，一种是系统控制输入u(t)对系统内部状态x(t)的控制能力，另一种是控制输入u(t)对系统输出y(t)的控制能力。但是一般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。

所以，系统的能控性和能观性研究一般都是基于系统的状态空间表达式的。

4-1 线性连续定常系统的能控性

定义 对于单输入n 阶线性定常连续系统

bu Ax x

+= 若存在一个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []

f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每一个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。反之，只要有一个状态不可控，我们就称系统不可控。

对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。

4-2线性连续定常系统的能控性判别

4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1． 单输入系统 具有约旦标准型系统

bu x x

+Λ= ⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λn λλλλ

0000000

00

0000321

n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根 或bu Jx x

+= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++n m m J λλλλλλ

0000000000000

001000

00000121

1

11

m 个重根1λ

n-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性

（1）u b x x

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221000λλ

[]x c c y 21=

解：⇒=111x x

λ 1x 与u 无关，即不受u 控制 ⇒+=u b x x

2222λ 2x 为能控状态 该系统为状态不完全能控，因而为不能控系统。

（2）u b x x

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21100

1λλ 解：2111

x x x

+=λ ⇒+=u b x x 2212λ 状态完全能控

2．具有一般系统矩阵的多输入系统

系统的状态方程为： Bu Ax x

+= （1） 若令Tz x =，上式可变换为约旦标准型

Bu T z z

1-+Λ= （AT T 1-=Λ） 或 Bu T Jz z

1-+= （AT T J 1-=） （2） 系统的线性变换不改变系统的能控性

3．一般系统的能控性判据

(a)若系统矩阵A 的特征值互异，则系统矩阵可变换为约旦标准型（对角线型），系统能控性的充分必要条件：控制矩阵B T 1-的各行元素没有全为0的。

(b)若系统矩阵A 的特征值有相同的，则系统矩阵可变换为约旦标准型,

系统能控性的充分必要条件：

(1) B T 1-中对应于相同特征值的部分，它与每个约旦块最后一行相对应的一行的元素没有全为0的；

(2) B T 1-中对应于互异根的部分，它的各行元素没有全为0的。

例1：判断下列系统的能控性

u b b x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3232121

132********

λλλ u b b b b x x x x x x ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32311211

32131

1321000

00001

λλλ

例2：有系统如下，判断其是否能控

u x x ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=150154 解：将其变换成约旦型

（1）先求其特征根

()()0155415

42=-+=-+=--+=

-λλλλλ

λλA I

特征根为 1,521=-=λλ （2）再求变换矩阵

根据⇒=111p Ap λ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=151p ， ⇒=222p Ap λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=112p

变换矩阵T 为 ： []⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-==111521

p p T

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⋅-=-6561

6161

51111

1151

1

T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡-=-0115656161611

b T

u z bu T ATz T z ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=--0110051

1 因为B T 1-最后一行元素为0，故系统是不能控的。

4-2-2直接从A 与B 判别系统的能控性 1． 单输入系统

bu Ax x

+= 其能控的充要条件为能控判别阵：

[]

b A Ab b M n 1-=

的秩等于n （满秩），即()n M rank =；否则，当()n M rank <时，系统为不能控的。

【证】状态方程的解为：

()()()()⎰-+=t

t A At d bu e x e t x 0

0τττ

根据上述能控性定义，考虑f t 时刻的状态()0=f t x ，有：