定理2

2.我们将f(x)函数求导，得到f'(x)，众所周知f'(x)函数记录的其实就是【f(x)函数在每一个瞬间的变化状态】。即，在x=x1这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x1)的变化，在x=x2这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x2)的变化……。函数由f(a)变化到f(b)的过程，其实就是f'(x)函数在(a，b)区间中记录的变化状态的依次累加，就是对f'(x)函数在(a，b)区间的值进行积分的过程。那么，将这一过程中所有的变化状态的值一起取一个平均，这个平均值的数值一定在f'(x)的某一点上出现过（即f'(ξ)），因为f(x)连续，则其导数也连续。这个平均值乘上变化的区间（a到b）的长度就等于这个变化的变化量【
(AB)^2+(AC)^2=(m+a)^2+n^2+(m-a)^2+n^2=2(m^2+a^2+n^2)
∴(AB)^2+(AC)^2=2((AD)^2+(CD)^2)
西姆松定理
证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分别连FE、FD、BP、CP.
易证P、B、D、F和P、F、C、E分别共圆，
证明1：
（以下为向量式）
设BF=xAF 则EF=（EB+xEA）/(1+x) （定比分点向量公式）
又EF*DC=EF*(DE+EC)=0
所以（EB+xEA)(DE+EC)=0
拆开 EB*DE+EB*EC+xEA*DE+xEA*EC=0
由垂直 所以只有 EB*DE+xEA*EC=0
由相交线定理 所以x=1（EA*EC=EB*ED)（这是代数式，上式为向量式，故成立）
定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。
蝴蝶定理
∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵AS=1/2AD，CT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT
2
中线定理即为斯台沃特定理在中点时的结论，可由斯台沃特定理直接得出，但是斯台沃特定理不容易理解，昏头昏脑。
除图示给出的方法外，lonelystar在此给出另外的两种常规证明方法
第一种
以中点为原点，在水平和竖直方向建立坐标系，
设：A(m,n),B(-a,0),C(a,0)，
则：(AD)^2+(CD)^2=m^2+n^2+a^2
（1）若m是斐波那契数，则命题对m也成立。
（2）若m不是斐波那契数，设n1是满足F(n1)< m < F(n1 +1)的最大正整数。
设m'=m-F(n1),则m'=m-F(n1)<F(n1+1)-F(n1)=F(n1-1)，即m'<F(n1-1)。
m'<m，所以由归纳假设，m'可以表示成不连续的斐波那契数之和，即m'=F(n2)+F(n3)+...+F(nt),其中n2>n3>...>nt,且是不连续的整数。又m'<F(n1-1)，所以n2<n1-1，即n2与n1也是不连续的整数。
证明一
证明二：
如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于
BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、L、P、N和
P、M、C、
L分别四点共圆，有
∠NBP = ∠NLP
= ∠MLP= ∠MCP.
故A、B、P、C四点共圆。
若A、P、B、C四点共圆，则
∠NBP= ∠MCP。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，
中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。
定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
即，对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：
AB^2+AC^2=2BI^2+2AI^2
或作AB^2+AC^2=2（1/2BC）^2+2AI^2
又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
[1]
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O，S，X，M四点共圆
同理，O，T，Y，M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ，
∵OM⊥PQ
∴XM=YM
齐肯多夫定理表示任何正整数都可以表示成若干个不连续的斐波那契数（不包括第一个斐波那契数）之和。这种和式称为齐肯多夫表述法。[1]
定义
帕斯卡定理指圆锥曲线内接六边形其三对边的交点共线，与布列安桑定理对偶，是帕普斯定理的推广。该定理由法国数学家布莱士·帕斯卡于16岁时提出，是射影几何中的一个重要定理。
定义的推广
本定理可推广为：圆锥曲线内接六边形的三双对边(所在直线)的交点共线。
证明
引理1：两圆交于A、B，分别过A、B的直线交两圆于C、D,E、F,则CE//DF.
有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆，有
∠NBP = ∠NLP
= ∠MCP
= ∠MLP.
故L、M、N三点共线。
密克定理是几何学中关于相交圆的定理。1838年，奥古斯特·密克叙述并证明了数条相关定理。许多有用的定理可由其推出。
定理陈述
三圆定理：设三个圆C1, C2, C3交于一点O，而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点。设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。那么B, N, C这三点共线。
这一
斯图尔特定理
如图，设a，b和c是三角形的边长，d是切氏线的长度；该线段将a边分为长度为m和n的两段。那么，Stewart定理说明
mb^2+nc^2=a(d^2+mn).
阿波罗尼乌斯定理（Apollonius' theorem）是它的一种特殊情况，d是三角形的中线。
2
设θ是m和d的夹角，θ'是n和d的夹角。θ+θ'=π，cos θ′ = −cos θ。那么，根据余弦定理：
】。即所谓的必有一
，使f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。即，【a，b区间上f（x）函数的变化量】=【a，b区间内f（x）函数变化状态的平均值乘以区间长度】。这是代数理解方式。[1]
蝴蝶定理
蝴蝶定理最先是作为一个征求初等几何学证明的问题，刊载于1815年的一份欧洲通俗杂志《男士日记》上。由于该定理的几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以蝴蝶来命名。
初等证明2
证明
画图即证。
引理2：两三角形的对应边都平行，则对应点的连线共点。
证法1.利用相似三角形，采用同一法证明。
证法2.直接应用笛沙格定理。
正式证明：
考察下图即得。
评注：
帕斯卡定理的证法有很多。
还有，反演，射影变换，射影对应等证法。
此法是十分别致，而且十分的初等。
婆罗摩笈多定理
定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边
在PBDF圆内，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圆内∠ABP+∠ACP =180度，∠ABP=∠DBP
于是∠DFP=∠ACP ①，在PFCE圆内 ∠PFE=∠PCE
② 而∠ACP+∠PCE=180°
③ ∴∠DFP+∠PFE=180° ④ 即D、F、E共线. 反之，当D、F、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.
拉格朗日中值定理的几何意义
。
在(a，b)上可导，[a,b]上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件。
理解——这个定理说的是什么
1.在满足定理条件的前提下，函数f(x)上必有【一点的切线】与【f（x）在x=a，b处对应的两点（(a,f(a))和(b,f(b))点的连线平行）。f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b-a），等号后为x=a，b对应两点的连线斜率，等号前为f(x)上一点的导数的值，也就是f(x)上一点的斜率，两斜率相等，两线平行。这是几何上的理解方式。
c^2=m^2+d^2-2mdcosθ，
b^2=n^2+d^2-2ndcosθ'=n^2+d^2+2ndcosθ；
第一式两边乘以n，第二式两边乘以m，相加消去参数θ，即得
mb^2+nc^2=nm^2+mn^2+(m+n)d^2=a(d^2+mn)。
泰博定理
泰博定理：取平行四边形的边为正方形的边，作四个正方形（同时在平行四边形内或外皆可）。正方形的中心点所组成的四边形为正方形；取正方形的两条邻边为三角形的边，作两个等边三角形（同时在正方形内或外皆可）。这两个三角形不在正方形边上的顶点，和正方形四个顶点中唯一一个不是三角形顶点的顶点，组成一等边三角形；给定任意三角形ABC，BC上任意一点M，作两个圆形，均与AM、BC、外接圆相切，该两圆的圆心和三角形内接圆心共线。
古尔亭定理
以平面图形绕同一平面上的任何一条与该图形不相交的直线旋转一周所产生的体积，等于图形的面积乘以其重心相应半径所画的圆周长
定理
拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。
如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得
f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)