高等数学考研复习题及答案
考研数学复习教程答案详解高数部分
第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。
3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。
12.13.提示：由1 未定式结果可得。
14.提示：分子有理化，再同除以n即可。
15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。
16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。
18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。
20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。
三、 解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。
(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。
(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。
22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=， 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=， 故 30()3lim 2x f x x →=。
24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。
25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。
数学考研试题大全及答案
数学考研试题大全及答案# 数学考研试题大全及答案## 一、高等数学### 1.1 函数、极限与连续例题：设函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，求 \( \lim_{x \to 0^+} f(x) \)。
解答：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处不连续，因此\( \lim_{x \to 0^+} f(x) \) 不存在。
### 1.2 导数与微分例题：求函数 \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) 的导数。
解答：\( f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \)。
### 1.3 微分中值定理例题：设 \( f(x) \) 在闭区间 [1, 2] 上连续，在开区间 (1, 2) 内可导，且 \( f(1) = f(2) \)，证明存在 \( c \in (1, 2) \) 使得 \( f'(c) = 0 \)。
解答：由罗尔定理可知，由于 \( f(1) = f(2) \)，故存在 \( c \in (1, 2) \) 使得 \( f'(c) = 0 \)。
## 二、线性代数### 2.1 矩阵与向量例题：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的逆矩阵。
解答：\( A \) 的逆矩阵为 \( A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} \)。
### 2.2 线性方程组例题：解线性方程组：\[\begin{cases}x + y = 1 \\2x + 3y = 5\end{cases}\]解答：解得 \( x = 1 \)，\( y = 0 \)。
### 2.3 特征值与特征向量例题：求矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix} \) 的特征值和特征向量。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编14(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编14(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．等于A．∫01ln2xdxB．2∫12lnxdxC．2∫12ln(1+x)dxD．∫12ln2(1+x)dx正确答案：B解析：故应选(B)．2．设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有A．F(x)是偶函数f(x)是奇函数．B．F(x)是奇函数f(x)是偶函数．C．F(x)是周期函数f(x)是周期函数．D．F(x)是单调函数f(x)是单调函数．正确答案：A解析：直接法若F(x)是连续函数f(x)的原函数，且F(x)是偶函数，则F(一x)=F(x)，式两端对x求导得一F’(一x)=F(x)即一f(一x)=f(x)故f(x)为奇函数．反之，若f(x)为奇函数，则G(x)=∫0xf(t)dt是f(x)的一个原函数，又G(一x)=∫0一xf(x)dt∫0xf(u)du=G(x)则G(x)是偶函数，由于F(x)也是f(x)的原函数，则F(x)=G(x)+CF(x)亦是偶函数，故应选(A)．3．设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫0xf(t)dt 是A．连续的奇函数．B．连续的偶函数．C．在x=0间断的奇函数．D．在x=0间断的偶函数．正确答案：B解析：直接法由于f(x)是奇函数，则∫0x(t)dt是偶函数，又由于f(x)除x=0外处处连续，且x=0是其第一类间断点，则f(x)在任何一个有限区间上可积，从而∫0xf(t)出为连续函数，故应选(B)．4．如图，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)=f∫0x(t)dt，则下列结论正确的是A．B．C．D．正确答案：C解析：根据定积分的几何意义知，也可用排除法：由定积分的几何意义知也可利用f(x)是奇函数，则F(x)=∫0xf(t)出为偶函数，从而则(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)．5．如图，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0xxf’(x) dx等于A．曲边梯形ABOD的面积．B．梯形ABOD的面积．C．曲边三角形ACD的面积．D．三角形ACD面积．正确答案：C解析：∫0a(x)dx=∫0af(x)=xf(x)|0a一∫0af(x)dx=af(a)一∫0af(x) dx其中af(a)应等于矩形ABOC的面积，∫0af(x)如应等于曲边梯形ABOD的面积，则∫0axf’(x)dx应等于曲边三角形ACD的面积．6．设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形为则函数F(x)=∫0xf(t)dt的图形为A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设知，当x∈(一1，0)时F’(x)=f(x)，而当x∈(一1，0)时f(x)=1＞0，即F’(x)＞0，从而F(x)单调增，显然(A)选项是错误的，因为(A)选项中F(x)在(一1，0)中单调减．由于F(x)=∫0xf(t)dt，则F(0)=0，显然(C)选项错误．由于当x∈(2，3]时f(x)=0，则当x∈(2，3]时F(x)=∫0xf(t)dt=∫02f(t)dt+∫2xf(t)dt=∫02f(t) dt+∫2x0dt=F(2)则(B)是错误的，(D)是正确的．7．设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性A．仅与m的取值有关．B．仅与n的取值有关．C．与m，n的取值都有关．D．与m，n的取值都无关．正确答案：D解析：故原反常积分的敛散性与m和n的取值无关．8．设则I，J，K的大小关系为A．I＜J＜K．B．I＜K＜J．C．J＜I＜K．D．K＜J＜I．正确答案：B解析：当x∈(0，)时，sinx＜cosx＜1＜cotx，而lnx为单调增的函数，则lnsinx ＜lncosx ＜lncotx x∈故应选(B)．填空题9．=________．正确答案：解析：10．设函数f(x)=在x=0处连续，则a=________．正确答案：解析：由于f(x)在x=0处连续，则f(x)=a，而11．广义积分=________．正确答案：解析：12．∫01e一xsinnxdx=________．正确答案：0．解析：13．已知∫一∞+∞ek|x|dx=1，则k=________．正确答案：一2．解析：1=∫一∞+∞ek|x| dx=2∫0+∞ekxdx=，(k＜0)k=一2．14．当0≤θ≤π时，对数螺线r=eθ的弧长为________．正确答案：(eπ一1)．解析：所求弧长为解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
安师大数学考研题库及答案
安师大数学考研题库及答案安徽师范大学（简称安师大）的数学考研题库是该校数学专业研究生入学考试的复习资料，涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等多个数学分支。
以下是一些模拟题目及答案，供考研学生参考。
题目一：高等数学问题：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数，并说明该点是否为极值点。
答案：首先求导数：\( f'(x) = 6x - 2 \)。
将 \( x = 2 \) 代入得到 \( f'(2) = 10 \)。
由于 \( f'(2) \) 大于 0，该点不是极值点。
题目二：线性代数问题：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3\end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
答案：首先计算特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda) - 1 = \lambda^2 - 7\lambda + 11 \)。
令 \( \lambda^2 - 7\lambda + 11 = 0 \)，解得特征值\( \lambda_1 = 1 \) 和 \( \lambda_2 = 6 \)。
对于 \( \lambda_1 = 1 \)，解方程组 \( (A - I)v_1 = 0 \) 得到特征向量 \( v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = 6 \)，解方程组 \( (A - 6I)v_2 = 0 \) 得到特征向量 \( v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(14年)下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．D．正确答案：C解析：知识模块：高等数学2．(14年)设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f”(x)≥0时，f(x)≥g(x)D．当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(x，f(0))和(1，f(1))，当f”(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0，1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x)故(D)．知识模块：高等数学3．(15年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其2阶导函数f”(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：由右图知f”(x1)=f”(x2)=0，f”(0)不存在，其余点上二阶导数f”(x) 存在且非零，则曲线y=f(x)最多三个拐点，但在x=x1两侧的二阶导数不变号．因此不是拐点．而在x=0和x=x2两侧的二阶导数变号，则曲线y=f(x)有两个拐点，故(C)．知识模块：高等数学4．(16年)已知函数f(x)=，n=1，2，…，则A．x=0是f(x)的第一类间断点．B．x=0是f(x)的第二类间断点．C．f(x)在x=0处连续但不可导．D．f(x)在x=0处可导．正确答案：D解析：f-’(0)=1，由夹逼原理知即f+’(0)=1．故f(x)在x=0处可导，(D)．知识模块：高等数学5．(87年)求正的常数a与b，使等式正确答案：洛必达法则知由于上式右端分子极限为零，而原式极限为1，则b=1．从而有则a=4．涉及知识点：高等数学6．(87年)设f(x)为已知连续函数，I=f(x)dx，其中s＞0，t＞0．则I的值A．依赖于s和t．B．依赖于s，t，x．C．依赖于t和x，不依赖于5．D．依赖于s，不依赖于t．正确答案：D解析：由此可见，I的值只与s有关，所以(D)．知识模块：高等数学7．(90年)设f(x)是连续函数，且F(x)=，则F’(x)等于A．一e-xf(e-x)一f(x)B．一e-xf(e-x)+f(x)C．e-xf(e-x)一f(x)D．e-xf(e-x)+f(x)正确答案：A解析：由F(x)=可知F’(x)=一e-xf(e-x)一f(x)故(A)．知识模块：高等数学8．(93年)设f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的A．等价无穷小．B．同阶但非等价的无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．正确答案：B解析：所以，当x→0时，f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小．知识模块：高等数学9．(93年)双纽线(x2+y2)2=x2一y2所围成的区域面积可用定积分表示为A．B．C．D．正确答案：A解析：设双纽线在第一象限围成的面积为S1，则所求面积为所以(A)．知识模块：高等数学10．(94年)设M=则有A．N＜P＜M．B．M＜P＜N．C．N＜M＜P．D．P＜M＜N．正确答案：D解析：由被积函数的奇偶性可知M=0因此P＜M＜N，故(D)．知识模块：高等数学11．(96年)设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：C解析：F(x)=x2∫0xf(t)dt—∫0xt2f(t)dtF’(x)=2x[f(t)dt+x2f(x)一x2f(x)=2x∫0xf(t)dt由于=f’(0)≠0，而上式右端极限存在且为非零常数，则k=3，所以(C)．知识模块：高等数学填空题12．(14年)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x—1)，x∈[0，2]，则f(7)=________．正确答案：1解析：由f’(x)=2(x一1)，x∈[0，2]知，f(x)=(x一1)2+C．又f(x)为奇函数，则f(0)=0，C=一1．f(x)=(x一1)2一1．由于f(x)以4为周期，则f(7)=f[8+(一1)]=f(一1)=一f(1)=1 知识模块：高等数学13．(16年)设函数f(x)=arctanx一且f’”(0)=1，则a=_____．正确答案：解析：知识模块：高等数学14．(87年)由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)一x及y=0所围成的平面图形的面积是_______．正确答案：解析：令lnx=0，得x=1；令e+1一x=0，得x=e+1；令lnx=e+1一x，得x=e．则所求面积为S=∫1elnxdx+∫ee+1(e+1-xdx= 知识模块：高等数学15．(88年)设f(x)是连续函数，且f(t)dt=x，则f(7)=________．正确答案：解析：等式f(t)dt=x两边对x求导，得3x2f(x3一1)=1．令x=2，得知识模块：高等数学16．(89年)设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2∫01f(t)dt，则f(x)=_______．正确答案：x一1．解析：令∫01f(t)dt=a，则f(x)=x+2a．将f(x)=x+2a代入∫01f(t)dt=a，得∫01(t+2a)dt=a，即则f(x)=x一1 知识模块：高等数学17．(93年)函数F(x)=的单调减少区间为_______．正确答案：解析：则F(x)单调减少区间为知识模块：高等数学18．(95年)正确答案：解析：所以知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研高等数学真题及答案解析
考研高等数学真题及答案解析高等数学作为考研数学科目中的一部分，是一门相对较难的学科。
在考前复习过程中，做真题是非常重要的一步。
通过做真题，可以了解考点，熟悉考试形式，并锻炼解题能力。
本文将对考研高等数学真题及答案进行解析，帮助考生加深对高等数学知识的理解。
第一道题目是关于向量的问题。
题目如下：已知向量a = (1,2), b = (3,4)，求向量a + b的模长。
答案是√52。
解析：首先，根据向量的定义，向量a + b等于向量a的横纵坐标分别加上向量b的横纵坐标，即(1+3, 2+4)，得到向量c = (4, 6)。
接下来，根据向量的模长公式，向量c的模长等于√(4^2+6^2)，即√52。
这道题目主要考察了向量的加法和模长的相关知识。
通过计算过程可以看出，向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到新的向量。
而向量的模长就是向量各个分量的平方和的平方根。
掌握了这些基本知识，就可以解答这类题目。
第二道题目是极限问题。
题目如下：求lim(x→0) ((sinx)/x)的值。
答案是1。
解析：这道题目是一个常见的极限问题。
根据极限的定义，当x趋向于0时，((sinx)/x)的极限等于1。
这是因为当x趋向于0时，函数sinx也趋向于0，而分子分母同时趋向于0，所以极限等于1。
这道题目涉及到极限的概念和性质。
在解答这类题目时，可以先观察函数的特点，然后运用极限的定义和基本性质进行推导。
熟练掌握这些概念和方法，可以迅速解决类似的问题。
第三道题目是微分问题。
题目如下：设函数y = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果它在点x = 1处的切线斜率为3，求常数a和b的值。
答案是a=4，b=-3。
解析：根据微分的定义，函数在某点的导数等于该点切线的斜率。
对函数y = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b求导，即求得一阶导数dy/dx = 6x^2 - 6x + 2a。
将x=1代入得到导数的值，即3 = 6 - 6 + 2a，解得a=4。
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(94年)二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)存在是f(x，y)在该点连续的A．充分条件而非必要条件．B．必要条件而非充分条件．C．充分必要条件．D．既非充分条件又非必要条件．正确答案：D解析：多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有直接关系，即“连续”未必“偏导数存在”；“偏导数存在”亦未必“连续”．所以D．知识模块：高等数学2．(96年)已知为某函数的全微分，则a等于A．一1．B．0．C．1．D．2．正确答案：D解析：令由于Pdx+Qdy为某个函数的全微分，则即(a一2)x-ay=一2y，(a一2)x=(a一2)y仅当a=2时，上式恒成立．知识模块：高等数学3．(97年)二元函数f(x，y)=在点(0，0)处A．连续，偏导数存在．B．连续，偏导数不存在．C．不连续，偏导数存在．D．不连续，偏导数不存在．正确答案：C解析：令y=kx，则当k不同时，不存在，因而f(x，y)在(0，0)点处不连续，但根据偏导数的定义知同理可得fy’(0，0)=0由此可见，在点(0，0)处f(x，y)的偏导数存在．知识模块：高等数学4．(01年)设函数f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且fx’(0，0)=3，fy’(0，0)=1，则A．dz|(0,0)=3dx+dy．B．曲面z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0))的法向量为{3．1，1}．C．曲线在点(0，0，f(0，0))的切向量为{1，0，3}．D．曲线在点(0，0，f(0，0))的切向量为{3，0，1}．正确答案：C解析：则该曲线在(0，0，f(0，0))的切向量为{1，0，fx’(0，0)}={1，0，3} 知识模块：高等数学5．(02年)考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用表示可由性质P推出性质Q，则有A．B．C．D．正确答案：A解析：由于f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续是f(x，y)在点(x0，y0)处可微的充分条件，而f(x，y)在点(x0，y0)可微是f(x，y)在点(x0，y0)处连续的充分条件，故A．知识模块：高等数学6．(03年)已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A解析：由f(x，y)在点(0，0)的连续性及知f(0，0)=0．则f(x，y)一xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)2令y=x，得f(x，x)=x2+4x4+4αx4=x2+o(x2)令y=一x,得f(x，一x)=一x2+4x4+4αx4=一x2+o(x2)从而f(x，y)在(0，0)点的邻域内始终可正可负，又f(0，0)=0，由极值定义可知f(x，y)在(0，0)点没有极值，故(A)．知识模块：高等数学7．(05年)设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x-y)+∫x-yx+yφ(t)dt，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有A．B．C．D．正确答案：B解析：令φ(x)=x2，ψ(x)≡0，则u(x，y)=(x+y)2+(x—y)2=2x2+2y2从而则(A)(C)(D)均不正确，故(B)．知识模块：高等数学8．(05年)设有三元方程xy—zlny+exx=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和z=z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．正确答案：D解析：令F(x，y，z)=xy—zlny+exz一1显然，F(x，y，z)在点(0，1，1)的邻域内有连续一阶偏导数，且F(0，1，1)=0，Fx’(0，1，1)=2≠0，Fy’(0,1，1)=一1≠0，由隐函数存在定理知方程xy—zlny+exz=1可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=(x，z)，故(D)．知识模块：高等数学9．(06年)若f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0。
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(08年)在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘+y”一4y’一4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘一y”一4y’+4y=0．D．y”‘一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y”‘一y”+4y’一4y=0故(D)．知识模块：高等数学2．(15年)设y=是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则A．a=一3，b=2，c=一1．B．a=3，b=2，c=一1．C．a=一3，b=2，c=1．D．a=3，b=2，c=1．正确答案：A解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知，y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为(ρ一1)(ρ一2)=0即ρ2—3ρ+2=0则a=一3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故(A)．知识模块：高等数学3．(16年)若y=(1+x2)2一是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)= A．3x(1+x2)．B．一3x(1+x2)．C．D．正确答案：A解析：利用线性微分方程解的性质与结构．由是微分程y’+p(x)y=q(x)的两个解，知y1=y2是y’+p(x)y=0的解．故(y1—y2)’+p(x)(y1一y2)=0，即从而得p(x)=又是微分方程y’+p(x)y=q(x)的解，代入方程，有[(1+x2)2]’+p(x)(1+x2)2=q(x)，解得q(x)=3x(1+x2)．因此(A)．知识模块：高等数学4．(96年)4阶行列式的值等于A．a1a2a3a4一b1b2b3b4B．a1a2a3a4+b1b2b3b4C．(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)D．(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)正确答案：D解析：按第1行展开所求行列式D4，得=(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)．知识模块：线性代数5．(14年)行列式A．(ad—bc)2B．一(ad—bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=一ad(ad一bc)+be(ad一bc)=一(ad一bc)2 知识模块：线性代数6．(87年)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于A．aB．C．an+1D．an正确答案：C解析：由AA*=|A|E两端取行列式，得|A||A*|=|A|n，因|A|=a≠0，得|A*|=|A|n-1=an-1．知识模块：线性代数7．(91年)设n阶方程A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E正确答案：D解析：因为ABC=E，即A(BC)=E，故方阵A与BC互为逆矩阵，从而有(BC)A=E，即BCA=E．知识模块：线性代数填空题8．(06年)微分方程的通解是______．正确答案：y=Cxe-x．解析：ln|y|=ln|x|—x=ln|x|+lne-x=ln|x|e-x则y=Cxe-x．知识模块：高等数学9．(07年)二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．正确答案：y=C1e2+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2—4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+C2e3x设非齐方程特解为代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x 知识模块：高等数学10．(08年)微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=______．正确答案：解析：方程xy’+y=0是一个变量可分离方程，原方程可改写为知识模块：高等数学11．(09年)若二阶常系数线性齐次微分方程y”+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y”+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=_______．正确答案：y=一xex+x+2．解析：由于y=(C1+C2x)ex是方程y”+ay’+by=0的通解，则该方程的两个特征根为λ1=λ2=1，故a=一2，b=1．设非齐次方程y”一2y’+y=x的特解为y’=Ax+B代入方程得A=1，B=2，则其通解为y=(C1+C2x)ex+x+2由y(0)=2，y’(0)=0得，C1=0，C2=一1．所以y=一xex+x+2 知识模块：高等数学12．(11年)微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．正确答案：e-xsinx．解析：由一阶线性方程的通解公式得y=e-∫dx[∫e-xcosx.e∫dxdx+C]=e-x[∫cosxdx+C]=e-x[sinx+C]由y(0)=0知，C=0，则y=e-xsinx 知识模块：高等数学13．(12年)若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex，则f(x)=_______。
考研高等数学练习题及详解
而 f ( x) 1 , [ x ] 1, f [ ( x)] 2 均无间断点,故排除 A 、 B 、 C ，应选 D 。 6、 C
4
分析：因为 f (0) a 2 lim e 1 a 1 。
x x 0
2、 lim(1
n
2 2 n ) e 2 n n2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 n n n n n(n 1) n 1
分析：当 n 1 时,
2 2 2 2 n (1 ) n (1 2 ) n (1 ) n n n n 1 2 n 2 n 2 2 2 因为 lim(1 ) e , lim(1 ) e 2 ,所以 lim(1 2 ) n e 2 n n n n n 1 n n sin x sin a 3、 lim cos a xa xa
A
不存在
B
1
C
0
D
1
5、设 f ( x) 和 ( x) 在 , 内有定义， f ( x ) 为连续函数，且 f ( x) 0 ， ( x ) 有间断 点。则（ ）
A f ( x) 必有间断点 C
f ( x) 必有间断点
x
2
分析：原式 lim
5、 f (2008) 分 析 ： 令 y 0, 则 f (0) f ( x) f (0) 。 由 f ( x ) 0 ， 则 f (0) 0 ， 得 f ( x) 1 ， 故
2、已知函数 f ( x 1)
A A
1 x
x 1 ，则 f ( x 1) 等于（ ） x 1 x x 1 B C 1 x x
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(10年)设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F2’≠0，则A．x．B．z．C．一x．D．一z．正确答案：B解析：由隐函数求导公式得知识模块：高等数学2．(11年)设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)＞0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是A．f(0)＞1，f”(0)＞0．B．f(0)＞1，f”(0)＜0．C．f(0)＜1，f”(0)＞0．D．f(0)＜1，f”(0)＜0．正确答案：A解析：则AC—B2＞0,故(A)．知识模块：高等数学3．(12年)如果f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是A．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．B．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．C．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限D．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限正确答案：B 涉及知识点：高等数学4．(13年)曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0，1，一1)处的切平面方程为A．x—y+z=一2．B．x+y+z=0．C．x一2y+z=一3．D．x—y—z=0．正确答案：A解析：令F(x，y，z)=x2+cos(xy)+yz+x，则n={2x—ysin(xy)+1，一xsin(xy)+x，y)|(0,1,-1)={1，一1，1}则所求切平面方程为x一(y一1)+(z+1)=0即x—y+2=一2 知识模块：高等数学5．(88年)设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则A．B．C．D．正确答案：C解析：由于(C)选项中的被积函数f(x，y，z)=z既是x的偶函数，也是y的偶函数，而积分域Ω1既关于yOz坐标面前后对称，又关于xOz坐标面左右对称，则知识模块：高等数学6．(91年)设D是xOy平面上以(1，1)，(一1，1)和(一1，一1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则(xy+cosxsiny)dxdy等于A．B．C．D．正确答案：A解析：如图2．8，△OAB所围区域记为D2，△OBC所围区域记为D3．由于xy关于x是奇函数，积分域D2关于y轴对称，则又cosxsiny是y的奇函数，D3关于x轴对称，则又cosxsiny是x的偶函数，D2关于y轴对称，则从而有知识模块：高等数学填空题7．(11年)设函数F(x，y)=正确答案：4解析：知识模块：高等数学8．(12年)正确答案：(1，1，1)．解析：知识模块：高等数学9．(14年)曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为______．正确答案：2x—y—z=1．解析：由z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)得zx’=2x(1一siny)一y2cosx，zx’(1，0)=2zy’=一x2cosy+2y(1一sinx)，zy’(1，0)=一1所以，曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的法向量为[*738]=(2，一1，一1)，该点处切平面方程为2(x一1)一y一(z一1)=0,即2x—y—z=1．知识模块：高等数学10．(15年)若函数z=z(x，y)由方程ez+xyz+z+cosx=2确定，则dz|(0,1)=_______．正确答案：一dx．解析：将x=0，y=1代入ez+xyz+x+cosx=2中得ez+1=2，则z=0方程ez+xyz+x+cosx=2两端微分得ezdz+yzdx+xzdy+xydz+dx—sinxdx=0将x=0，y=1，z=0代入上式得dx+dz=0则dz|(0,1)=一dx 知识模块：高等数学11．(16年)设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z-y2=x2f(x-z，y)确定，则dz|(0,1)=________，正确答案：一dx+2dy．解析：由原方程知，当x=0，y=1时，z=1．方程(x+1)z—y2=x2f(x—z，y)两边求全微分zdx+(x+1)dz一2ydy=2xf(x—z，y)dx+x2[f1’.(dx—dz)+f2’dy]将x=0，y=1，z=1代入上式得dz|(0,1)=一dx+2dy 知识模块：高等数学12．(87年)设L为取正向的圆周x2+y2=9，则曲线积分(2xy一2y)dx+(x2一4x)dy的值是______.正确答案：一18π．解析：由格林公式可知知识模块：高等数学13．(89年)向量场u(x，y，z)=xy2i+yezj+xln(1+x2)k在点P(1，1，0)处的散度divu=_____．正确答案：2解析：由散度计算公式其中u=Pi+Qj+Rk得知识模块：高等数学14．(89年)设平面曲线L为下半圆周则曲线积分∫L(x2+y2)ds=_______．正确答案：π解析：由于下半圆周上的点(x，y)也满足x2+y2=1，则知识模块：高等数学15．(90年)积分∫02dx∫x2的值等于______．正确答案：解析：交换累次积分次序得知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高数考研真题及答案
高数考研真题及答案高数考研真题及答案高等数学是考研数学的重要组成部分，也是许多考生最为头疼的一门科目。
为了提高自己的数学水平，很多考生会通过做真题来进行复习。
本文将介绍一些高数考研真题及其答案，希望对考生们有所帮助。
一、函数与极限1. 某函数f(x)在x=0处连续，且f(0)=1，求极限lim(x→0)〖f(2x-1)〗。
解析：根据函数的连续性和极限的性质，可以得出lim(x→0)〖f(2x-1)〗=f(0)=1。
2. 已知函数f(x)满足f(0)=1，且对任意x，有f'(x)=f(x)，求f(x)的表达式。
解析：根据题目中给出的条件，可以得出f(x)=e^x，其中e是自然对数的底数。
二、导数与微分1. 求函数y=ln(1+x^2)的导数。
解析：根据链式法则和对数函数的导数公式，可以得出y'=(2x)/(1+x^2)。
2. 某物体的运动方程为s(t)=t^3-2t^2+3t，求物体在t=2时的速度。
解析：速度的定义是位移对时间的导数，即v(t)=s'(t)=3t^2-4t+3。
代入t=2，可以得到v(2)=7。
三、定积分与不定积分1. 求∫(0 to π/2)〖sin^2(x) dx〗。
解析：根据三角恒等式sin^2(x)=1/2-1/2cos(2x)，可以将原式转化为∫(0 toπ/2)〖(1/2-1/2cos(2x)) dx〗。
根据不定积分的性质和基本积分公式，可以得到结果为π/4。
2. 求∫(0 to 1)〖x^2e^x dx〗。
解析：根据不定积分的性质和积分公式，可以得到结果为2。
四、级数1. 求级数∑(n=1 to ∞)〖(1/2)^n〗的和。
解析：根据级数的求和公式，可以得到结果为1。
2. 求级数∑(n=1 to ∞)〖(n^2)/(2^n)〗的和。
解析：根据级数的求和公式和幂级数的性质，可以得到结果为6。
通过以上的高数考研真题及答案的介绍，我们可以看到，在高等数学考研中，函数与极限、导数与微分、定积分与不定积分、级数等内容都是考生们需要重点掌握的知识点。
高等数学考研试题及答案
高等数学考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，下列说法正确的是：A. 函数f(x)的图像是开口向上的抛物线B. 函数f(x)的图像是开口向下的抛物线C. 函数f(x)的图像与x轴有两个交点D. 函数f(x)的图像与x轴无交点答案：D2. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，n∈N*，则a3=：A. 3B. 5C. 7D. 9答案：C3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)：A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-3x^2D. x^3-3答案：A4. 已知函数f(x)=x^2+2x-3，求f(-1)的值：A. 0B. 2C. -2D. 4答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)=______。
答案：3x^2-6x2. 设数列{an}满足a1=2，an+1=an+n，n∈N*，则a5=______。
答案：103. 设函数f(x)=e^x+lnx，求f'(x)=______。
答案：e^x+1/x4. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)=______。
答案：3x^2-12x+11三、解答题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=1处的导数。
答案：将x=1代入f'(x)=3x^2-12x+11，得到f'(1)=3*1^2-12*1+11=2。
2. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值。
答案：首先求导f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。
计算f(0)=2，f(2)=2，f(1)=0。
因此，f(x)在区间[0,2]上的最大值为2，最小值为0。
四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：若x>0，则e^x>1+x。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则A．一2f’(0).B．一f’(0).C．f’(0).D．0正确答案：B解析：2．函数f(x)=ln|(x一1)（x一2)(x一3)|的驻点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：令3x2—12x+11=0由于△= 122一12x+11＞0，则该方程有两个实根，f(x)有两个驻点．3．曲线y=渐近线的条数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由于=1，则该曲线有水平渐近线y=1．又=∞，则x=1为该曲线的一条垂直渐近线，故应选(C)．4．设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…（enx一n），其中n为正整数，则f’(0)= A．（一1)n一1（n一1）!．B．（一1）n（n一1）!．C．（一1）n1n!．D．（一1）nn!．正确答案：A解析：排除法：当n=2时，f(x)=(ex一1)(e2x一2)f’(x)=ex(e2x一2)+2e2x(ex一1)f’(0)=一1显然，(B)(C)(D)都不正确，故应选(A)．5．设函数y=f(x)由方程cos(xy)+lny一x=1确定，则A．2B．1C．一1D．一2正确答案：A解析：由方程cos(xy)+lny一x=1知，当x=0时，y=1，即f(0)=1，以上方程两端对x求导得将x=0，y=1代入上式得y’|x=0=1，即f’(0)=1，6．下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．y=x+sinD．y=x2+sin正确答案：C解析：由于所以曲线y=x+有斜渐近线y=x，故应选(C)．7．设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f”(x)≥0时，f(z)≥g(x)D．当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(0，f(0))和(1，f(1))，当f”(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0，1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x) 故应选(D)．8．曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是A．B．C．D．正确答案：C解析：故应选(C)．9．设函数f(x)=arctanx，若f(x)=xf’(ξ)，则A．B．C．D．正确答案：D解析：由f(x)= arctanx，及f(x)=xf’(ξ)得故应选(D)．10．设函数f(x)=(α＞0，β＞0)．若f’(x)在x=0处连续，则A．α一β＞1．B．0＜α一β≤1．C．α一β＞2．D．0＜α一β≤2．正确答案：A解析：f一’(0)=0，f+’(0)=该极限存在当且仅当α一1＞0，即α＞1．此时，α＞1，f+’(0)=0，f’(0)=0．当x＞0时，f’(x)=axα一1+βxα一β一1cos要使上式的极限存在且为0，当且仅当α一β一1＞0．则α一β＞1．故应选(A)．11．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其2阶导函数f”(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由右图知f”(x1)=f”(x2)=0，f”(0)不存在，其余点上二阶导数f”(x)存在且非零，则曲线y=f(x)最多三个拐点，但在x=x1两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点，而在x=0和x=x2两侧的二阶导数变号，则曲线y=f(x)有两个拐点，故应选(C)．12．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则A．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．B．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点．C．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点．D．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．正确答案：B解析：x1，x3，x5为驻点，而在x1和x3两侧一阶导数f’(x)变号，则为极值点，在x5两侧一阶导数f’(x)不变号，则不是极值点，在x2处一阶导数不存在，但在x2两侧f’(x)不变号，则不是极值点．在x2处二阶导数不存在，在x4和x5处二阶导数为零，在这三个点两侧一阶导函数的增减性发生变化，则都为拐点，故应选(B)．13．设函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x0)＜0(i=1，2)．若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有A．f1(x)≤f2(x)≤g(x)．B．f2(x)≤f1(x)≤g(x)．C．f1(x)≤g(x)≤f2(x)．D．f2(x)≤g(x)≤f1(x)．正确答案：A解析：由函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x0)＜0(i=1，2)可知，在x0某邻域内曲线y =fi(x)(i=1，2)是凸的，而两曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处有公共切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某邻域内三条曲线如图所示，故在x0点的该邻域内f1(x)≤f2(x)≤g(x)故应选(A)．填空题14．曲线y=的渐近线方程为________．正确答案：y=2x．解析：显然曲线y=无水平渐近线和垂直渐近线，则原曲线有斜渐近线y=2x．15．函数y=ln(1一2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=________．正确答案：一2n(n一1)!.解析：利用ln(l+x)的麦克劳林展开式16．已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽ω以3 cm/s的速率增加，则当l=12 cm，ω=5 cm时，它的对角线增加的速率为________．正确答案：3．解析：设l=x(t)，ω=y(t)，其对角线长为z(t)，则z2(t)=x2(t)+y2(t)，2z(t)z’(t)=2x(t)x’(t)+2y(t)y’(t)将x(t)=12，y(t)=5，x’(t)=2，y’(t)=3，z(t)==13代入上式得z’(t)=3．17．设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则|x=0=________．正确答案：1．解析：在方程x2一y+1=ey中令x=0，得y=0，该方程两端对x求导得2x 一y’=eyy’将x=0，y=0代入上式得y’(0)=0，上式再对x求导2一y”=eyy’2+eyy”将x=0，y=0，y’(0)代入上式得y”(0)=1．18．曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是________．正确答案：(一1，0)．解析：由y=x2+x得，y’=2x+1，y”=2，代入曲率计算公式得由K=得(2x+1)2=1解得x=0或x=一1，又x＜0，则x=一1，这时y=0，故所求点的坐标为(一1，0)．19．曲线上对应于t=1的点处的法线方程为________．正确答案：y+x=解析：而t=1时，x=则t=1处的法线方程为20．设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x 一1)，x∈[0，2]，则f(7)=________．正确答案：1．解析：由f’(x)=2(x一1)，x∈[0，2]知，f(x)=(x一1)2+C．又f(x)为奇函数，则f(0)=0，C=一1．f(x)=(x一1)2一1．由于f(x)以4为周期，则f(7)=f[8+(一1)]=f(一1)=一f(1)=1．21．曲线L的极坐标方程是r=θ，则L在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程是________．正确答案：解析：22．=________．正确答案：48．解析：23．函数f(x)=x22x在x=0处的竹阶导数f(n)(0)=________．正确答案：n(n一1)(ln2)n一2．解析：24．曲线y=+arctan(1+x2)的斜渐近线方程为________．正确答案：y=x+解析：则该曲线的斜渐近线方程为y=x+25．已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t) dt，则当n≥2时，f(n)(0)=________．正确答案：5．2n一1．解析：等式f(x)=(x+1)2+2∫0xf (t)dt两边对x求导得f’(x)=2(x+1)+2f(x)，f’(0)=2+2f(0)=4f”(x)=2+2f’(x)，f”(0)=2+2f’(0)=10f”‘(x)=2f”(x)f(n)(x)=2f(n一1)(x)=22f(n一2)(x)=…=2n一2f”(x) (n＞2)f(n)(0)=2n一22f”(0) (n＞2)= 2n一2．10=2n一1．5.26．已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l．若点P的横坐标对时间的变化率为常数υ0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是________．正确答案：解析：由题设知解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高等数学历年考研真题十二套含答案
1. 求 lim
x ® 0
10. 设 f ( x ) = lim
n ® ¥
( n - 1 ) x , 则 f ( x ) 的间断点为 x = _________ . 04数二考研题 2 nx + 1 cos x 是等价无
05数二考研题
[
2 + e 1/ x sin x + . x 1 + e 4/ x
5. 设 f ( 0 ) = 0 , 则 f ( x ) 在点 x = 0 可导的充要条件为 : (A) lim
0 h ®
15. 设函数 y = y ( x ) 由方程 y = 1 - xe y 确定 , 则 dy dx
1
h 2
1
1 f ( - cos h ) 存在 ;
x ) g ( x ) - f ( x ) g ¢( x ) < 0 , 3. 设 f ( x ) , g ( x ) 是恒大于零的可导函数 , 且 f ¢(
则当 a < x < b 时有 ( ).
00数二考研题
a , b 的值 .
2 ln b - ln a 1 a < < 11. 设 0 < a < b , 证明不等式 2 . a + b 2 b - a ab
01数二考研题
(A) x = 0 , x = 1 都是 f ( x ) 的第一类间断点 ; (B) x = 0 , x = 1 都是 f ( x ) 的第二类间断点 ; (C) x = 0 是 f ( x ) 的第一类间断点 , x = 1 是 f ( x ) 的第二类间断点 ; (D) x = 0 是 f ( x ) 的第二类间断点 , x = 1 是 f ( x ) 的第一类间断点 . 13. lim
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．c1y1+c2y2+y3B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3C．c1y1+c2y2一(1一c1—c2)y3D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3正确答案：D解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1—y3)+C2(y2一y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2一y3线性无关．事实上，若令A(y1一y3)+B(y2—y3)=0即Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0因此y1—y3与y2一y3线性无关，故y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3是原方程通解。
知识模块：高等数学2．若连续函数f(x)满足关系式，则f(x)等于A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：等式两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=In2．故f(x)=e2xln2 知识模块：高等数学3．设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于A．B．C．D．正确答案：B解析：知识模块：高等数学4．已知函数y=y(x)在任意点x处的增量，且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于A．2πB．πC．D．正确答案：D解析：知识模块：高等数学5．在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y’’’+y”-4y’一4y=0．B．y’’’+y”+4y’+4y=0．C．y’’’一y”一4y’+4y=0．D．y’’’一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y’’’一y”+4y’一4y=0故应选(D)．知识模块：高等数学6．设是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则A．a=一3，b=2，c=一1．B．a=3，b=2，c=一1．C．a=一3，b=2，c=1．D．a=3，b=2，c=1．正确答案：A解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知，y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为(ρ—1)(ρ一2)=0即p2—3ρ+2=0则a=-3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故应选(A)．知识模块：高等数学填空题7．微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=__________．正确答案：(x+c)cosx．解析：由线性方程通解公式得知识模块：高等数学8．y”一4y=e2x的通解为y=_____________．正确答案：解析：特征方程为λ2一4=0，则λ1=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为知识模块：高等数学9．微分方程xy”+3y’=0的通解为___________．正确答案：解析：令y’=p，则y”=p’．代入原方程得解得因此知识模块：高等数学10．设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________．正确答案：y”一2y’+2y=0．解析：所求方程的特征根为λ1，2=1±i则其特征方程为λ2一2λ+2=0故所求方程为y”一2y’+2y=0 知识模块：高等数学11．微分方程yy”+y’2=0满足初始条件的特解是____________．正确答案：y2=x+1或解析：令y’=P，则，代入原方程得知识模块：高等数学12．欧拉方程的通解为____________．正确答案：解析：令x=et 代入原方程所得新方程的特征方程为ρ(ρ一1)+4ρ+2=0解得ρ1=一1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为．知识模块：高等数学13．微分方程xy’+2y=xlnx满足的解为___________．正确答案：解析：方程xy’+2y=xlnx是一阶线性方程，方程两端同除以x得：，则通解为知识模块：高等数学14．二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=___________．正确答案：y=C1ex+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2一4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+C2e3x设非齐方程特解为，代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x 知识模块：高等数学15．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=____________．正确答案：解析：方程xy’+y=0是一个变量可分离方程，原方程可改写为知识模块：高等数学16．若二阶常系数线性齐次微分方程y”+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y”+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=___________．正确答案：y=一xex+x+2解析：由于y=(C1+C2z)ex是方程y”+ay’+by=0的通解，则该方程的两个特征根为λ1=λ2=1，故a=一2，b=1．设非齐次方程y”一2y’+y=x的特解为y*=Ax+B代入方程得A=1，B=2，则其通解为y=(C1+C2x)ex+x+2由y(0)=2，y’(0)=0得，C1=0，C2=一1．所以y=一xex+x+2 知识模块：高等数学17．微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=____________．正确答案：e-xsinx解析：由一阶线性方程的通解公式得由y(0)=0知，C=0，则y=e-xsinx 知识模块：高等数学18．若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex，则f(x)=___________正确答案：ex解析：知识模块：高等数学19．已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=____________．正确答案：C1ex+C2e3x—xe2x．解析：由题设知y1—y3=e3x，y2一y3=ex为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为y=C1ex+C2e3x—xe2x 知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研高数1试题及答案
考研高数1试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数 \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1 \)，下列选项中，\( f(x) \) 的导数正确的是：A. \( 3x^2 + 4x - 5 \)B. \( x^3 + 2x^2 - 5 \)C. \( 3x^2 + 2x - 5 \)D. \( 3x^3 + 4x^2 - 5x \)答案：A2. 设 \( A \) 是 \( 3 \times 3 \) 矩阵，\( \det(A) = 2 \)，则\( \det(2A) \) 的值是：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B3. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{1}{3} \)答案：B4. 已知 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. 1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 求定积分 \( \int_{0}^{1} (2x - 1) dx \) 的值是 _______。
答案：\( \frac{1}{2} \)2. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 _______。
答案：\( (0, +\infty) \)3. 函数 \( y = e^x \) 的导数是 _______。
答案：\( e^x \)4. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是 _______。
答案：1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编24(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编24(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知y=x／lnx是微分方程y’=+φ(x／y))的解，则φ(x／y)的表达式为( )A．－y2／x2。
B．y／2x2。
C．－x2／y2。
D．x2／y2。
正确答案：A解析：将y=x／lnx代入微分方程y’=+φ(x／y)，得即φ(lnx)=－1／ln2x。
令lnx=u，有φ(x／y)=－1／u2，故φ(x／y)=－y2／x2。
应选A。
知识模块：一元函数微分学2．设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)等于( ) A．ln3－1。
B．－ln3－1。
C．－ln2－1。
D．ln2－1。
正确答案：C解析：对函数h(x)=e1+g(x)两边对x求导可得h’(x)=e1+g(x)g’(x)。
上式中令x=1，结合已知h’(1)=1，g’(1)=2，可知1=h’(1)=e1+g(1)g’(1)=2e1+g(1)g(1)=－ln2－1，因此选C。
知识模块：一元函数微分学3．函数f(x)=ln|(x－1)(x－2)(x－3)|的驻点个数为( )A．0。
B．1。
C．2。
D．3。
正确答案：C解析：由已知可得f(x)－ln|x－1|+ln|x－2|+ln|x－3|，令f’(x)=0，即3x2－12x+11=0，根据其判别式△=(－12)2－4×3×11＞0，所以f’(x)=0有两个实数根，即f(x)有两个驻点，因此选C。
知识模块：一元函数微分学4．设函数f(x)=(ex－1)(e2x－2)…(enx－n)，其中n为正整数，则f’(0)=( ) A．(－1)n－1(n－1)!。
B．(－1)n(n－1)!。
C．(－1)n－1n!。
D．(－1)nn!。
正确答案：A解析：根据导数的定义，有=(－1)n－1(n－1)!，因此正确选项是A。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编31(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编31(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(u)连续，区域D={(x，y)|x2+y2≤2y}，则f(xy)dxdy等于( ) A．∫－11dxf(xy)dy。
B．2∫02dyf(xy)dx。
C．∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)dr。
D．∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr。
正确答案：D解析：积分区域如图所示。
在直角坐标系下，故应排除A，B。
在极坐标系下，则f(xy)dxdy=∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr，故应选D。
知识模块：二重积分2．设f(x，y)为连续函数，则∫0π／4dθ∫01f(rcosθ，rsinθ)rdr等于( ) A．B．C．D．正确答案：C解析：先还原出积分区域，由于r的取值范围为0到1，可知积分区域在圆x2+y2=1的内部；又由于θ的取值范围为0到π／4，可知积分区域为x的正半轴和射线θ=π／4之间的部分。
如图所示：由积分区域的形状可知，应该先对x 积分，可得原式=f(x，y)dx。
知识模块：二重积分3．设函数f连续，若F(u，v)=dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则=( )A．vf(u2)。
B．v／uf(u2)。
C．vf(u)。
D．v／uf(u)。
正确答案：A解析：图中所示区域用极坐标表示为0≤θ≤v，1≤r≤u。
因此可知F(u，v)=dxdy=∫0vdθ∫1uf(r2)／rrdr=v∫1uf(r2)dr，根据变限积分求导可得=vf(u2)。
知识模块：二重积分4．设D是第一象限由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x，y=x围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续，则f(x，y)dxdy=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：先作出积分区域的图形，如下图：可知θ的取值范围为π／4≤θ≤π／3，r的取值范围为，另外需要注意极坐标和直角坐标之间的变换公式为dxdy=rdθdr。
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高等数学考研复习题及答案一、填空题1．设2)(xx a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。
2．若⎩⎨⎧<≤+<<-=20102sin 2x x x x y ，则=)2(πy .3． 极限limsin sin x x x x→=021。
4.已知22lim222=--++→x x bax x x ，则=a _____, =b _____。
5.已知0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a =6.设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ可微，则yz∂∂= 。
7.设2e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=∂∂)1,0(xu 。
8.设ϕϕ,),()(1f y x y xy f xz ++=具有二阶连续导数，则=∂∂∂yx z2 。
9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为和 。
10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f .11.=⎰xdx x 2sin 2 .12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π .13．若21d e 0=⎰∞+-x kx ，则_________=k 。
14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得⎰⎰≤++≤Ddxdy y x )14(2215.设D 由22,2,1,2y x y x y y ====围成（0x ≥），则(),Df x y d σ⎰⎰在直角坐标系下的两种积分次序为_______________和_______________. 16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤，则Dfdxdy ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为____. 17.设级数∑∞=+121n pn收敛，则常数p 的最大取值范围是 .18.=+-+-⎰10 642)!3!2!11(dx x x x x .19. 方程01122=-+-ydy xdx 的通解为20．微分方程025204=+'-''y y 的通解为 .21.当n=_________时，方程n y x q y x p y )()('=+ 为一阶线性微分方程。
22. 若44⨯阶矩阵A 的行列式为*||3,A A =是A 的伴随矩阵,则*||A =__________.23.设A n n ⨯与B m m ⨯均可逆，则C =00⎛⎫ ⎪⎝⎭A B 也可逆，且1C -＝ .24.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3213A ，且X E AX 3=-，则X = .25．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212的秩为 ．26. 向量(1,0,3,5),(4,2,0,1)αβ=--=-,其内积为____________.27. n 阶方阵A 的列向量组线性无关的充要条件是 .28. 给定向量组()()(),231,0,111321===αααb a ，若321,,ααα线性相关，则a ，b 满足关系式 .29. 已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系是 .30 向量γ=(2,1)T 可以用α=(0,1)T 与 β=(1,3)T 线性表示为 .31. 方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b 有无穷组解的 条件.32. 设A 为m ×n 矩阵,非齐次线性方程组=Ax b 有唯一解的充要条件是r(A) r(A |b )= .33.已知n 元线性方程组AX b =有解，且n A r <)(，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为 ．34.设0λ是方阵A 的一个特征值，则齐次线性方程组()0x =-A E 0λ的 都是A 的属于0λ的特征向量.35.若3阶矩阵A 的特征值为1，2，-3，则1-A 的特征值为 . 36.设A 是n 阶方阵，|A|≠0,*A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值0λ,则()E A 23*+必有特征值=λ. 37.α,β分别为实对称矩阵A 的两个不同特征值21,λλ所对应的特征向量,则α与β 的内积（α,β）= .38.二次型32414321),,,(x x x x x x x x f +=的秩为 .39. 矩阵4202401A λλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为正定矩阵,则λ的取值范围是_________. 40. 二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的,则t 的取值范围是_____.41. A 、B 、C 代表三事件，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 .42. 事件A 、B 相互独立，且知()()0.2,0.5P A P B ==则()P A B = .43. 若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ，则A 和B 至少有一个发生的概率为 .44. 在相同条件下，对目标独立地进行5次射击，如果每次射击命中率为0.6，那么击中目标k 次的概率为 (05k ≤≤).45. 设随机变量X 服从泊松分布，且{}{}P =1P =2,X X =则{}P =3X = .46. 设随机变量X 的分布密度为01()120xx f x a x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它，则a = .47. 若二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为且X ，Y 相互独立，则常数a = ,b = .48. 设X 的分布密度为()f x ，则3Y X =的分布密度为 . 49. 二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为则α与β应满足的条件是 ，当X ，Y 相互独立时，α＝ .50. 设随机变量X 与Y 相互独立，且~(1,2),~(0,1).X N Y N 令Z = -Y + 2X +3，则()D Z = .51. 已知随机变量X 的数学期望2()1,()4E X E X ==.令Y ＝2X －3，则()D Y = .二、单项选择题1．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）．A ． xB ．x + 1C ．x + 2D ．x + 3 2． 下列函数中，（ ）不是基本初等函数． A ． x y )e1(= B ． 2ln x y = C ． xxy cos sin =D ． 35x y =3. 下列各对函数中，（ ）中的两个函数相等. A . 2)1ln(xx x y -=与x x g )1ln(-= B . 2ln x y =与x g ln 2= C . x y 2sin 1-=与x g cos = D . )1(-=x x y 与)1(-=x x y 4. 设)(x f 在0x x =处间断，则有（ ） (A) )(x f 在0x x =处一定没有意义；(B) )0()0(0+≠-x f x f ; (即)(lim )(lim 0x f x f x x x x +-→→≠)；(C) )(lim 0x f x x →不存在，或∞=→)(lim 0x f xx ；(D) 若)(x f 在0x x =处有定义，则0x x →时，)()(0x f x f -不是无穷小5．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=0,0,211)(x k x xxx f 在x = 0处连续，则k = ( )．A ．-2B ．-1C ． 1D ．26.若)1()(--=x x ae xf x ，0=x 为无穷间断点，1=x 为可去间断点，则=a （ ）.（A ）1 （B ）0 （C ）e （D ）e -17．函数22224)2ln(y x y x z --+-+=的定义域为（ ）．A ．222≠+y xB ．422≠+y xC ．222≥+y x D ．4222≤+<y x 8．二重极限4220lim yx xy y x +→→（ ）（A ）等于0 （B ）等于1 (C) 等于21（D ）不存在9.利用变量替换xyv x u ==,，一定可以把方程z y z yx z x =∂∂+∂∂化为新的方程（ ）． (A)z u z u=∂∂ (B)z v z v =∂∂ (C)z vz u =∂∂ (D)z uzv=∂∂ 10．若)()(x f x f --=，在),0(+∞内,0)('',0)('>>x f x f 则)(x f 在)0,(-∞内（ ）.(A ) ;0)('',0)('<<x f x f (B ) ;0)('',0)('><x f x f (C ) ,0)('',0)('<>x f x f (D ) ,0)('',0)('>>x f x f 11.设0)(=x x f 在的某个邻域内连续，且0)0(=f ，12sin2)(lim2=→x x f x ，则在点0=x 处)(x f （ ）.（A ）不可导 （B ）可导，且0)0(≠'f （C ）取得极大值 （D ）取得极小值12.设函数)(),(x g x f 是大于零的可导函数，且0)()()()(<'-'x g x f x g x f ， 则当b x a <<时，有（ ）.（A ）)()()()(x g b f b g x f > （B ）)()()()(x g a f a g x f > （C ）)()()()(b g b f x g x f > （D ）)()()()(a g a f x g x f > 13.='=⎰-)(,)()(,)( x F dt t f x F x f xe x 则且是连续函数设( ).（A ）)()(x f e f e x x ---- （B ）)()(x f e f e x x +--- （C ）)()(x f e f e x x --- （D ）)()(x f e f e x x +--14.设[]2,1)(在x f 上具有连续导数，且1)(,1)2(,1)1(21 -===⎰dx x f f f ， 则='⎰21 )(dx x f x （ ）.（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-215.设[]b a x f ,)(在上二阶可导，且.0)(,0)(,0)(<''<'>x f x f x f 记⎰=b a dx x f S 1)( ))((2a b b f S -=， )(2)()(3a b b f a f S -+=，则有（ ）. （A ）321S S S << （B ）132S S S << （C ）213S S S << （D ）231S S S << 16.设幂级数∑∞=-1)1(n n n x a 在1-=x 处收敛. 则此级数在2=x 处( ).（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性不能确定 17.下列命题中,正确的是（ ）.（A ）若级数∑∑∞=∞=11n n n n v u 与的一般项有),2,1( =<n v u n n 则有∑∑∞=∞=<11n n n n v u（B ）若正项级数∑∞=1n n u 满足∑∞=+=≥11),,2,1(1n n nn u n u u 则 发散 （C ）若正项级数∑∞=1n n u 收敛，则1lim1<+∞→nn n u u （D ）若幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径为)0(+∞<<R R ，则R a a n n n =+∞→1lim .18.设级数∑∞=-12)1(n nn na 收敛，则级数∑∞=1n n a （ ）.（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不确定19. 微分方程()()dy dx dy dx y x +=-+的通解是（ ） （A ）();ln c y x y x =+++ （B ）();ln c y x y x =++- （C ）();ln c y x y x =+-+ （D ）().ln c y x y x =+-- 20. 设)(x f y =满足微分方程055=+'-''y y y ，若()()0,000='<x f x f ，则函数()x f 在点0x （ ）（A ）取极大值； （B ）取极小值； （C ）附近单调增加； （D ）附近单调减少. 21. 函数()x y y =在点x 处的增量满足 ()()012→∆∆++∆=∆x x o xxy y且()π=0y ，则()=1y （D ）（A ）;2π （B ）;π （C ）;4πe （D ）.4ππe 22. 若含有s 个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为r ，则必有( ).(A) r=s (B) r>s (C) r=s+1 (D) r<s23. 已知向量组1234(1,1,1,0),(0,,0,1),(2,2,0,1),(0,0,2,1)k αααα====线性相关,则k =( )(A) 1- (B) 2- (C) 0 (D) 124． 向量组12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是( ) (A) 12,,,s ααα中含有零向量(B) 12,,,s ααα中有两个向量的对应分量成比例(C) 12,,,s ααα中每一个向量都可由其余1s -个向量线性表示 (D) 12,,,s ααα中至少有一个向量可由其余1s -个向量线性表示 25.对于向量组12(,,,),r ααα，因为120000r +++=ααα，所以12,,,rααα是[ ].( A )全为零向量; ( B )线性相关; ( C )线性无关; ( D )任意.26. 设A ，B 均为n 阶矩阵，且AB=O ，则必有 （ ） (A) A=O 或B=O (B)|A |=0或|B |=0 ( C) A+B=O (D) |A |+|B |=027．若非齐次线性方程组A m ×n X = b 的( )，那么该方程组无解． A ．秩(A ) ＝ n B ．秩(A )＝mC ．秩(A ）≠ 秩 (A )D ．秩(A ）= 秩(A )28．若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ，则当λ＝（）时线性方程组有无穷多解。