协方差,相关系数定义(精)
4.3协方差相关系数
解 由题意可知，X ~ B(n, 1), Y ~ B(n, 1), X Y n
2
2
E(X ) 1 n, E(Y ) 1 n, D(X ) D(Y ) 1 n
2
2
4
cov(X ,Y ) E[X E(X )][Y E(Y )]
E{[X E(X )][(n X ) E(n X )]}
一、协方差
定 义 1 ： 称 数 值 E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为 X,Y 的 协 方 差 ， 记 为
Cov(X,Y)(Covariance)或σxy，即：
σxy＝Cov(X,Y)＝E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
(1)
说明： 1) 由定义1，若(X,Y)是离散型的，则
xy Cov(X ,Y )
D(X ) 4D(Y ) 4( D(X ) D(Y )XY ) 3
四、矩
定义3 设X是随机变量，若E(Xk) ，k=1,2,…存在，称它为X
的k阶原点矩，简称k阶矩
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铃
定义3 设X是随机变量，若E(Xk) ，k=1,2,…存在，称它为X
的k阶原点矩，简称k阶矩 若E[X-E(X)]k , k=1,2,…存在，称它为X的k阶中心矩
σXX=σYY=1/4 ，σXY＝0
fX (x) fY ( y) f (x, y) 故X与Y不相互独立
可见σXY＝0是随机变量X与Y独立的必要条件而非充分条件.
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铃
注:对二维正态向量而言，σXY＝0是X,Y相互独立的充要条件。 §3.4例2曾证明X,Y独立的充要条件是ρ＝0，以下例题将证明
2 1 2
4.5.2 协方差与相关系数
4.5.2 协方差与相关系数 定义 : 称E (ξ − Eξ )(η − Eη )为随机变量 ξ 与η 的协方差 , 记为 Cov ( ξ , η )，即 Cov ( ξ , η ) = E (ξ − Eξ )(η − Eη )
即
第i 1, 第i部分需要调整 Xi = 0， 第i部分无需调整
EX = E ( X 1 + X 2 + X 3 ) = EX 1 + EX 2 + EX 3 = 0 . 1 + 0 .2 + 0 .3 = 0 . 6 DX = D ( X 1 + X 2 + X 3 ) = DX 1 + DX 2 + DX 3 = 0.1× 0.9 + 0.2 × 0.8 + 0.3 × 0.7 = 0.46
解 ：EX =
EY =
∫∫ xϕ ( x , y ) dxdy = ∫
R
R
r
−r
r
dy ∫
r2 − y2
− r2 − y2
r2 − x2
∫∫ yϕ ( x , y ) dxdy = ∫
−r
dx ∫
− r2 − x2
KXY = Cov( X,Y) =∫
=∫
+∞ +∞ −∞ −∞
r
x 2 dx = 0 πr y 2 dy = 0 πr
r2 − y2 , | y| ≤ r 2 πr | y| > r |>
ϕ( x , y ) ≠ ϕ X ( x ) ⋅ ϕ Y ( y )
第14讲 协方差与相关系数
XY刻画了X与Y之间线性关系的程度
(2) |XY|=1 存在常数a, b 使 P{Y= aX+b} =1
例3
（2012数学一，4分）
将长度为 1米的木棒截成两段，则两段长度的相关系数为（ ） ( A)1; 1 ( B) ； 2 1 (C ) ; 2 ( D) 1.
分析：设其中一段木棒长度为X , 另一段为Y , 则显然 X Y 1, Y X 1, Y 与X 之间有明显的线性 关系，且变化趋势相反，从而， XY 1，故选D
2）X ~ U ( 1,1), Y X 2 , 求 XY
解1)
1 1 1 1 4 E ( X ) , E (Y ) , E ( XY ) , D( X ) , D(Y ) 2 3 4 12 45 1 2) E ( X ) 0, E ( XY ) 0 12 XY 0.968 1 4 XY 0 12 45
证： cov( X Y , Z ) E[( X Y ) Z ] E ( X Y ) E ( Z ) E ( XZ YZ ) [ E ( X ) E (Y )]E ( Z )
E ( XZ ) E (YZ ) E ( X ) E ( Z ) E (Y ) E ( Z ) cov( X , Z ) cov(Y , Z ).
X 和 Y 独立时 X 和 Y 不相关， 反之不一定成立。 但对下述情形，独立与不相关是一回事： 若(X, Y )服从二维正态分布，则
X 与Y 独立的充分必要条件是X与Y不相关。 参见P70-例3.6.3： X与Y独立 XY=0
练习2 1) X ~ U (0,1), Y X 2 , 求 XY
y 1
协方差与相关系数
其余均方误差
e
D(Y
)(1
2 XY
).
从这个侧面也
能说明 XY 越接近1，e 越小. 反之， XY 越近于0，
e 就越大， Y与X的 线性相关性越小.
完
例3 设 ( X ,Y ) 的分布律为
X
Y
2 1 1 2 P{Y yi }
1
0 1/4 1/4 0
1/ 2
4
1/4 0 0 1/4 1/2
D(Y
)[1
2 XY
],
D(Y
)1
[cov( X ,Y )]2 D( X )D(Y )
D(Y
)[1
2 XY
],
由于方差
D(Y
)
是正的，
故必有
1
2 XY
0,
所以
XY 1.
性质2. 若 X 和 Y 相互独立，则 XY 0;
注意到此时 cov( X ,Y ) 0, 易见结论成立.
注： X 与Y 相互独立
完
例4 设 服从 [ , ] 上的均匀分布, 且
X sin , Y cos
判断 X 与 Y 是否不相关, 是否独立.
解
由于
E( X )
1
2
sind 0,
E(Y
)
1
2
cosd 0,
而
E(
XY
)
1
2
sin cosd 0.
2
因此
E( XY ) E( X )E(Y ),
从而 X 与 Y 不相关. 但由于 X 与 Y 满足关系:
完
例2 设连续型随机变量 ( X ,Y ) 的密度函数为
f
(
x,
什么是协方差，什么是相关系数
协⽅差就是投资组合中每种⾦融资产的可能收益与其期望收益之间的离差之积再乘以相应情况出现的概率后进⾏相加，所得总和就是该投资组合的协⽅差。
协⽅差的符号(正或负)可以反映出投资组合中两种资产之间不同的相互关系：如果协⽅差为正，那就表明投资组合中的两种资产的收益呈同向变动趋势，即在任何⼀种经济情况下同时上升或同时下降；如果协⽅差为负值，则反映出投资组合中两种资产的收益具有反向变动的关系，即在任何⼀种经济情况下，⼀种资产的收益上升另⼀种资产的收益就会下降。
如果协⽅差的值为零就表明两种⾦融资产的收益没有相关关系。
相关系数等于两种⾦融资产的协⽅差除以两种⾦融资产的标准差的乘积。
由于标准差总是正值，因此相关系数的符号取决于两个变量的协⽅差的符号。
如果相关系数为正，则表明两种资产的收益正相关；如果相关系数为负，说明两种资产的收益负相关；如果相关系数为零，说明两种资产的收益之间没有相关性。
更重要的是，可以证明相关系数总是介于-l和+1之间，这是由于协⽅差除以两个标准差乘积后使得计算结果标准化。
这有利于判断资产之间的相关性的⼤⼩。
相关系数协方差
相关系数协方差
相关系数和协方差是统计学中常用的两个概念，它们可以用来衡量两个变量之间的关系。
相关系数是用来衡量两个变量之间的线性关系的强度和方向，而协方差则是用来衡量两个变量之间的总体关系的强度和方向。
相关系数是一个介于-1和1之间的数字，它可以告诉我们两个变量之间的关系是正相关、负相关还是没有关系。
如果相关系数为1，则表示两个变量之间存在完全正相关的关系；如果相关系数为-1，则表示两个变量之间存在完全负相关的关系；如果相关系数为0，则表示两个变量之间没有线性关系。
协方差是一个数字，它可以告诉我们两个变量之间的总体关系的强度和方向。
如果协方差为正数，则表示两个变量之间存在正相关的关系；如果协方差为负数，则表示两个变量之间存在负相关的关系；如果协方差为0，则表示两个变量之间没有关系。
相关系数和协方差在统计学中有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，相关系数和协方差可以用来衡量不同股票之间的关系，从而帮助投资者进行投资决策。
在医学领域中，相关系数和协方差可以用来研究不同因素之间的关系，从而帮助医生诊断疾病和制定治疗方案。
需要注意的是，相关系数和协方差只能用来衡量两个变量之间的关
系，而不能用来确定因果关系。
因此，在使用相关系数和协方差时，需要谨慎分析数据，避免得出错误的结论。
相关系数和协方差是统计学中非常重要的概念，它们可以帮助我们了解不同变量之间的关系，从而帮助我们做出更加准确的决策。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来分析数据，以便得出正确的结论。
相关系数和协方差的关系
相关系数和协方差的关系
一、首先要明白这2个的定义
1、相关系数是协方差与两个投资方案投资收益标准差之积的比值，
其计算公式为：
相关系数总是在-1到+1之间的范围内变动，-1代表完全负相关，+1代表完全正相关，0则表示不相关。
2、协方差是一个用于测量投资组合中某一具体投资项目相对于另一投资项目风险的统计指标。
其计算公式为：
当协方差为正值时，表示两种资产的收益率呈同方向变动；协方差为负值时，表示两种资产的收益率呈反方向变动。
二、要辨清两者的关系
1、相关系数与协方差一定是在投资组合中出现的，只有组合才有相关系数和协方差。
单个资产是没有相关系数和协方差之说的。
2、相关系数和协方差的变动方向是一致的，相关系数的负的，协方差一定是负的。
3、（1）协方差表示两种证劵之间共同变动的程度：相关系数是变量之间相关程度的指标根据协方差的公式可知，协方差与相关系数的正负号相同，但是协方差是相关系数和两证券的标准差的乘积，所以协方差表示两种证劵之间共同变动的程度。
（2）相关系数是变量之间相关程度的指标，相关系数在0到1之间，表示两种报酬率的增长是同向的；相关系数在0到-1之间，表示两种报酬率的增长是反向的，所以说相关系数是变量之间相关程度的指标。
总体来说，两项资产收益率的协方差，反映的是收益率之间共同变动的程度；而相关系数反映的是两项资产的收益率之间相对运动的状态。
两项资产收益率的协方差等于两项资产的相关系数乘以各自的标准差。
协方差与相关系数深度剖析
协方差与相关系数深度剖析在统计学和数据分析领域，协方差和相关系数是描述随机变量之间关系的重要工具。
虽然它们可能被新手混淆，但它们有着各自独特的定义和用途。
在本文中，我们将对协方差和相关系数进行深度剖析，讨论它们的计算方法、性质、应用场合及其相互关系。
一、协方差的定义及计算协方差是用来衡量两个随机变量之间的共同变化程度的指标。
它可以告诉我们当一个随机变量增加时，另一个随机变量是增加还是减少。
1.1. 协方差的数学表达对于两个随机变量 (X) 和 (Y)，它们的协方差 ((X, Y)) 可以用以下公式计算：[ (X, Y) = E[(X - _X)(Y - _Y)] ]其中，(E) 表示期望，(_X) 和 (_Y) 分别是随机变量 (X) 和(Y) 的期望值。
1.2. 协方差的性质正协方差：如果((X, Y) > 0)，说明 (X) 和 (Y) 同向变化，即一个增加时另一个也增加。
负协方差：如果((X, Y) < 0)，那么 (X) 和 (Y) 反向变化，即一个增加时另一个减少。
零协方差：如果 ((X, Y) = 0)，表示两个变量之间没有线性关系。
二、相关系数的定义及计算相关系数是标准化的协方差，用以衡量两个变量之间线性关系强度的度量。
相关系数的取值范围在 -1 到 1 之间。
2.1. 相关系数的数学表达皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）通常用字母 (r) 表示，可以通过以下公式计算：[ r = ]其中，(_X) 和 (_Y) 分别是随机变量 (X) 和 (Y) 的标准差。
2.2. 相关系数的性质取值范围：当 (r = 1)，表示完全正相关。
当 (r = -1)，表示完全负相关。
当 (r = 0)，表示没有线性关系。
无量纲性：因为相关系数是标准化的，所以它不依赖于数据的尺度或单位。
三、协方差与相关系数的关系尽管协方差和相关系数都有助于理解两个随机变量之间的关系，但二者之间存在重要区别。
相关系数与协方差
相关系数与协方差相关系数和协方差是统计学中常用的两个重要概念。
它们用于衡量两个变量之间的关系，提供了关于变量之间相关程度的头绪。
相关系数（correlation coefficient）是两个变量之间线性相关关系的度量。
它以-r到1之间的数值表示两个变量之间的关系程度，具体取值范围如下：-1.0 < r < -0.7 极强的负相关-0.7 < r < -0.3 强的负相关-0.3 < r < -0.1 弱的负相关-0.1 < r < 0.1 无相关或微弱相关0.1 < r < 0.3 弱的正相关0.3 < r < 0.7 强的正相关0.7 < r < 1.0 极强的正相关其中，r=1表示两个变量完全正相关，r=-1表示两个变量完全负相关，r=0表示两个变量不存在线性关系。
协方差（covariance）是两个变量的随机变化同时偏离了各自的平均值的程度。
当变量之间存在正相关关系时，协方差为正；当变量之间存在负相关关系时，协方差为负；当变量之间没有关系时，协方差为0。
协方差的绝对值大小没有一个固定的限制，这使得它的实用价值有限。
为了让协方差具有可比性，我们可以通过将协方差除以各自的标准差，得到相对协方差，即相关系数，这样就可以将不同变量之间的关系比较一下。
相关系数和协方差的计算方法类似：都需要先计算出每个变量的平均值，然后计算每个数据点与平均值之差的乘积，最后将这些乘积相加得出结果。
相关系数还需要将结果除以两个变量各自的标准差，而协方差则不需要进行标准化处理。
尽管相关系数和协方差都可以用来衡量两个变量之间的相关性，但它们各有优缺点。
优点是，协方差可以直接反映两个变量的偏离程度，而相关系数则更加严谨地测量线性关系的强度和方向；缺点是，协方差无法比较不同单位的变量之间的相关性，而相关系数则可以将不同单位的变量标准化，使得不同变量之间的关系具有可比性。
协方差与相关系数
独立， 独立时， 简言之， 即 X 与 Y 独立，反之 X 与 Y 独立时，必有 ρ = 0 ，简言之， 对二元正态变量来说，不相关等价于独立。 对二元正态变量来说，不相关等价于独立。
例 设 ( X , Y ) 的分布密度为
1 π f ( x, y) = 0
= E[( X − E ( X ))(( aX + b ) − E ( aX + b ))]
= aE ( X − E ( X ))2 = aD( X )
ρ 2 XY
[cov( X , Y )] a 2 [ D( X )]2 = = 2 =1 2 D( X ) D(Y ) a [ D( X )]
相关程度的量， 相关系数 ρ XY 是 衡量 X 与 Y 之间线性 相关程度的量 ，
第三节 协方差与相关系数
一． 协方差
X 与 Y 的协方差记作 cov( X , Y ) ，定义为
cov( X , Y ) = E[( X − E ( X ))(Y − E (Y ))] = E ( XY ) − E ( X ) E (Y )
独立时， 当 X 与 Y 独立时，有
cov( X , Y ) = 0
ρ XY = 1, 时， X 与 Y 线性相关； ρ XY > 0 ， Y 随 X 增大而增 线性相关；
增大而减小——负相关； ——负相关 大——正相关； XY < 0 ， Y 随 X 增大而减小——负相关； ——正相关； 正相关 ρ ， 之间毫无线性关系， 不相关， ρ XY = 0 ， X 与 Y 之间毫无线性关系，称 X 与 Y 不相关 ， 但可存在其它关系，例如二次关系： 但可存在其它关系，例如二次关系： Y = X 2 ( X ∼ N (0,1)) 设 ( X , Y ) ∼ N ( µ1 , µ2 , σ 12 , σ 12 , ρ ) 则 ρ XY = ρ 且当 ρ = 0 时，有
4_3_协方差与相关系数
为(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
《概率统计》
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例2. 设随机变量X的方差D(X)≠0, 且Y=aX+b(a≠0), 求X和Y的相关系数ρXY .
解：D(Y ) D(aX b) a2D(X ) .
Cov(X ,Y ) E{[X E(X )][Y E(Y )]}
E{[X E(X )][aX b E(aX b)]} aE[X E(X )]2 aD(X ).
《概率统计》
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1）相关系数的计算 X
1 例1. 设(X,Y)的联合分布 2
如右表，求Cov(X,Y) ,ρXY . 3
Y1 2 0 1/6
1/6 1/6 1/12 1/6
1/4 1/2
解：计算得 E(X) = 2 , E(Y) = 2 ,
3 1/12 1/4 1/6 1/2
0 1/4
1/4
1
1x2
1
同理 E(Y) = 0 .
Cov(X ,Y ) E(XY ) E(X )E(Y ) E(XY )
11
1 x2
xyf (x, y)dxdy xdx
ydy 0 ,
1
1x2
于是 ρXY= 0 ，所以 X与Y不相关.
《概率统计》
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例5．设随机向量(X,Y)的概率密度如下,试证X与Y既不相关
§4.3 协方差和相关系数
前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差,对 于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中， 最重要的，就是本讲要讨论的“协方差和相关系数”.
1. 协方差 2. 相关系数 §4.4 矩和协方差矩阵
4.3协方差和相关系数
XY ,即
XY
Co(vX,Y) D(X) D(Y)
注 :1 .X和 YC(X o,Y v )有相,同 表的 示符 同
2.相关系数就是标准化的随机变量
XE(X)与YE(Y)的协方差
D(X)
D(Y)
相关系数的性质: |XY|≤1
当且仅当X与Y之间有线性关系时, 等号成立
即 | XY |=1a,b,使P{Y=aX+b}=1 说明: XY刻划X,Y之间的线性相关程度
|XY|1,则X,Y越接近线性关系 |XY|=1,则X,Y存在线性关系 当XY=0时,称X与Y不相关,则X,Y没
有线性关系
注: 不相关与相互独立:
X与Y独立Cov(X,Y)=0
XY=0
X与Y不相关 但反之不成立
若(X,Y)~正态分布,则X与Y不相关
等价于X,Y相互独立 XY=
例1 设(X,Y)的概率密度为
4.3 协方差和相关系数
一、协方差 二、相关系数
一、协方差
定义: 称E{[XE(X)][YE(Y)]}为X与Y 的
协方差,记为Cov(X,Y) ,即 Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}
协方差可了解两个变量之间之间 的关系(变化趋势在平均意义上而言):
若X取值比较大(X>E(X)),Y也较大 (Y>E(Y)) ,这时Cov(X,Y)>0
Cov(X,Y)
[x i E (X )] yj [E (Y )p ]ij ij 连续型随机变量的协方差:
Cov(X,Y)
[xE (X )]y [E (Y )f](x ,y)dx
协方差的性质: 1. Cov(X,X)=D(X); Cov(Y,Y)=D(Y) 2. Cov(X,Y)=Cov(Y,X) 3. Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y)
协方差和相关系数
§4.4 协方差和相关系数随机变量的数字特征，包括数学期望、方差、协方差和相关系数等。
协方差和相关系数是考虑两个随机变量之间的某种关系。
协方差的意义不太直观，它考察两个随机变量(随机向量)与各自均值之差的加权平均值，相关系数则是考虑两个随机变量取值之间的关系。
1. 协方差定义：对两个随机变量X 、Y ，称E X EX Y EY [()()]--为X 与Y 的协方差，记为Cov (X , Y )，即 C o vX Y E X EX Y EY (,)[()()]=-- 2. 相关系数定义：对两个随机变量X 、Y ，称C o vX YD X D Y (,)()()为X 与Y 的相关系数或标准协方差，记为ρXY ，即ρXY Cov X Y D X D Y =(,)()()3. 方差、协方差的运算性质(1) D X Y D X D Y Cov X Y ()()()(,)+=++2 (2) Cov X Y E XY E X E Y (,)()()()=-⋅ 推论：若随机变量X 、Y 独立，则 Cov X Y XY (,)==ρ0Problem ：若Cov X Y XY (,)==ρ0，则X 、Y 是否独立？ (3) Cov X Y Cov Y X (,)(,)= (4) Cov aX bY abCov X Y (,)(,)=(5) Cov X X Y Cov X Y Cov X Y (,)(,)(,)1212+=+Cov X X Y Cov X Y Cov X Y (,)(,)(,)1212-=-4. 相关系数的性质(1) 柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式：对任意两个随机变量X 、Y ，若E X E Y ()()22<∞<∞ , ，则 (())()()E XY E X E Y 222≤⋅ 证明：对任意实数t ，有q t E X tY E X t E Y tE XY ()(())()()()=+=++≥222220 因此，二次方程q t ()=0的判别式 440222(())()()E XY E X E Y -⋅≤即(())()()E XY E X E Y 222≤⋅ 证毕。
协方差和相关系数
协方差和相关系数
协方差是衡量两个变量之间相关程度的一种数字指标，是反映两个变量间关系密切程度的指标。
它是反映两个变量间变化趋势一致性的数字。
协方差可以用公式计算： Cov（X，Y）= ∑（Xi—X).（Yi—Y）/n；
其中X和Y分别是两个变量的样本均值，Xi和Yi分别是变量X和Y 的每个样本的取值，n是样本量。
协方差的取值范围是[-无穷，+无穷]，当协方差大于零时，说明横轴变量的增长伴随着纵轴变量的增长，而且X和Y的变化程度一致，当取0时，X和Y没有相关性，当协方差小于0时，X和Y具有负相关性。
相关系数是根据两个变量间的协方差计算出来的，是一个经过归一化的量，表示两个变量的相关程度，取值范围为[-1,1]，当它的值为1时表示两个变量完全相关；当它的值为-1时表示两个变量完全负相关；当它的值为0时表示两个变量没有相关性。
相关系数可以用公式表示：r=Cov（X，Y）/σx σy; 其中Cov（X，Y）是X和Y的协方差，σx和σy是变量X和Y的标准差。
概率论与数理统计：第四章3协方差及相关系数
Cov( X, X )=DX
2）相关系数的定义
XY
Cov( X ,Y ) DX DY
称为随机变量 X,Y 的相关系数,
XY 是一个无量纲的量.
第四章 随机变量的数字特征
若 XY 0，称 X,Y 不相关，
此时 Cov( X，Y ) = 0 .
§4 协方差
3) 定理 若X，Y 独立，则 X , Y 不相关. (反之，不然)
1) Cov( X,Y )=Cov( Y, X )
2) Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；
3) Cov(aX+bY , cZ)=acCov(X , Z)+bcCov(Y, Z);
4)D(aX bY ) a2DX b2DY 2abCov( X ,Y )
n
n
D( ai X i ) ai2DXi 2 aia jCov( X i , X j )
即 P{Y a0 b0 X } 1.
第四章 随机变量的数字特征
反之，若存在 a , b使，
P{Y a b X } 1 XY 1.
这时 P{Y (a b X ) 0} 1,
§4 协方差
故 E[Y (a b X )]2 0
则
0 E[Y (a b X )]2 min E[Y (a bX )]2
DX
X
,Y ) DY
即
min E[Y (a bX )]2 a,b
(1
2 XY
)DY
由上式得
1)
1
2 XY
0,
即 XY
1.
现在证明：若 XY 1 存在常数a,b使 P{Y a bX } 1
由上面知此时 E[Y (a0 b0 X )]2 0
协方差和相关系数的概念和含义
协⽅差和相关系数的概念和含义1.协⽅差： 在概率论中，两个随机变量 X 与 Y 之间相互关系，⼤致有下列3种情况：当 X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出，⼤致上有： X 越⼤ Y 也越⼤， X 越⼩ Y 也越⼩，这种情况，我们称为“正相关”。
当X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出，⼤致上有：X 越⼤Y 反⽽越⼩，X 越⼩ Y 反⽽越⼤，这种情况，我们称为“负相关”。
当X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出：既不是X 越⼤Y 也越⼤，也不是 X 越⼤ Y 反⽽越⼩，这种情况我们称为“不相关”。
怎样将这3种相关情况，⽤⼀个简单的数字表达出来呢？在图中的区域（1）中，有 X>EX ，Y-EY>0 ，所以(X-EX)(Y-EY)>0；在图中的区域（2）中，有 X<EX ，Y-EY>0 ，所以(X-EX)(Y-EY)<0；在图中的区域（3）中，有 X<EX ，Y-EY<0 ，所以(X-EX)(Y-EY)>0；在图中的区域（4）中，有 X>EX ，Y-EY<0 ，所以(X-EX)(Y-EY)<0。
当X 与Y 正相关时，它们的分布⼤部分在区域（1）和（3）中，⼩部分在区域（2）和（4）中，所以平均来说，有E(X-EX)(Y-EY)>0 。
当 X与 Y负相关时，它们的分布⼤部分在区域（2）和（4）中，⼩部分在区域（1）和（3）中，所以平均来说，有(X-EX)(Y-EY)<0 。
当 X与 Y不相关时，它们在区域（1）和（3）中的分布，与在区域（2）和（4）中的分布⼏乎⼀样多，所以平均来说，有(X-EX)(Y-EY)=0 。
所以，我们可以定义⼀个表⽰X, Y 相互关系的数字特征，也就是协⽅差：cov(X, Y) = E(X-EX)(Y-EY)。
当 cov(X, Y)>0时，表明 X与Y 正相关； 当 cov(X, Y)<0时，表明X与Y负相关； 当 cov(X, Y)=0时，表明X与Y不相关。
协方差及相关系数
=0
ρX X
所以 X 与 X 不相关
( 3 ) 独立性由其定义来判断
对于任意的常数 a > 0 , 事件 ( X < a ) ( X < a ), 且 P ( X < a ) > 0 , P ( X < a ) < 1,因此有 P( X < a, X < a) = P( X < a) P ( X < a)P( X < a) < P( X < a) 所以 P ( X < a , X < a ) ≠ P ( X < a ) P ( X < a ) 故 X 与 X 不独立
Cov ( X , Y ) = E ( XY ) EXEY = pq Cov ( X , Y ) ρ XY = =1 DX DY
例2 设 ( X ,Y ) ~ N ( μ1, σ12,μ2,σ22,ρ), 求 ρXY 解
令 x μ1
Cov ( X ,Y ) = ∫
σ1 y μ2 =t σ2
=s
ξ ,η 为 X , Y的线性组合
所以 ξ ,η 都服从正态分布 N ( 0, + b )σ ) (a
2 2 2
在正态分布中 , 不相关与独立是等价的
所以当 a = b 时, ξ ,η 独立 当 a ≠ b 时, ξ ,η 不独立
( 3) 当ξ ,η 相互独立时 , 即a 2 = b 2 , ξ ,η 都服从
例1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y 1 0 p 0 0 q 1 0 0 < p <1 p+q=1
求 Cov (X ,Y ), ρXY 解 X P 1 p 0 q Y P 1 p 0 q XY P 1 p 0 q
协方差和相关系数
例10. 设A和B是随机试验E的两个事件，且 P ( A) > 0, P ( B ) > 0, 定义随机变量 ξ ,η 如下： ⎧1, ξ =⎨
当A发生 ⎧1, 当B发生 η =⎨ ⎩0, 当A不发生 ⎩0, 当B不发生
验证，若 ξ ,η 不相关，则 ξ ,η 必相互独立。 解：设事件 A = {ξ = 1}, 则 A = {ξ = 0}, 事件 B = {η = 1}, 则 B = {η = 0}, 显然 E (ξη ) = P ( AB)
E (ξ ) = P( AB ) + P ( AB) E (η ) = P( A B) + P( AB)
由于 B, B 互逆，所以 P( A) = P( AB) + P( AB ) = E (ξ )
由于 A, A 互逆，所以 P( B) = P( AB) + P( A B) = E (η ) 所以 cov(ξ ,η ) = E (ξη ) − E (ξ ) E (η )
* * * * 又 E (ξ ± η ) = E (ξ ) ± E (η ) = 0
又当 D(ξ ) = 0 时，有 P(ξ = E (ξ )) = 1 ⎪ ⎪ 所以 P ξ * ± η * = 0 = 1 即 P ⎧η − E (η ) = ± ξ − E (ξ ) ⎫ = 1 ⎬ ⎨ σξ ⎪ ⎪ ση ⎭ ⎩
⎧1 ⎪ , x + y ≤1 f ( x , y ) = ⎨π ⎪0 其它 ⎩
2 2
试验证 ξ ,η 不相关却也不相互独立。 证明：容易获得
⎧2 ⎪ 1− x , f ξ ( x) = ∫ f ( x, y )dy = ⎨π ⎪ 0, ⎩
2 ∞ −∞
x <1 x ≥1
第十四讲 协方差和相关系数
1 6
求
D ( X Y ), D ( X Y 4 )
例2 设X, Y独立，且都服从 N ( , ),
2
令 U aX bY, V aX bY, （a,b是不为 零的常数）求
UV
3．协方差与相关系数的性质
协方差的性质：
(1) Cov(X，Y)= Cov(Y，X)； (2) Cov(aX，bY)= abCov(X，Y)； (3) Cov(X1+X2，Y)= Cov(X1，Y)+ Cov(X2，Y) 推广 Cov(aX1+bX2，cY1+dY2)= acCov(X1，Y1)+ +adCov(X1，Y2)= bcCov(X2,Y1)+ bdCov(X2,Y2)
例3 设X、Y、Z两两独立，且数学期望均
为0，方差均为1，试求X-Y与Y-Z的相关 系数。
相关系数的性质：
(1) | | 1
(2) 1
存在常数a,b(b≠0），
使P{Y=a+bX}=1，
(3) X和Y独立时， =0，但其逆不真.
例4 设(X，Y)在单位圆x2+y2≦1上服从均匀 分布，证明：ρXY=0，但X与Y不相互独立。
为随机变量X和Y的相关系数
(1) 注： C ov(X,X)=D(X)。 (2) ρXY又称为标准协方差。 (3)定义：ρXY=0 X，Y不相关。
2．关系公式:
(1) 协方差与方差的关系：
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)
(2) 协方差与数学期望的关系：计算协方差的 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
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使用教材：《农业试验统计方法及原理》
课堂教学：36 ×2
=72学时 统计软件SAS上机实习：2 ×4 =8学时 成绩评定：期末闭卷考试 任课教师：余家林（理学院数理系） 联系电话：外线87285311，内线85311
研究生概率论与数理统计课
讲述：统计分析常用方法的原理及新方法 为了解总体（指它的某一项指标）
E( X 2 ) ai2 pij , E(Y 2 ) b2 j pi j
i j
i
j
i
j
若（X,Y）为连续型随机变量
且分布密度为 p( x, y) ，
xoy
则 E( X )
x p( x, y )dxdy , E (Y ) y p( x, y )dxdy ,
xoy xoy
E ( X 2 ) x 2 p( x , y )dxdy , E (Y 2 ) y 2 p( x , y )dxdy ,
xoy
E ( XY )
xoy
xy p( x , y )dxdy
定义E[( X EX )(Y EY )]为二维随机变 量( X , Y )的协方差,或一维随机变量 X与Y的 协方差并记作cov( X , Y ), ( X , Y )或 XY
通过抽样调查或试验得到样本 根据样本的观测值对总体作定性分析
{
对总体的数字特征进行估计与假设检 验，用数字、图表、方程式作定量分析
撰写研究论文
研究生概率论与数理统计课
学习要求：理解概念，熟悉原理，掌握方法， 上机计算，解释结果 用到微积分与线性代数知识（不必系统复习）
系统听课，仔细解答习题，上机看结果 研究生处规定：凡选课者，必须参加考试
1. 协方差的定义及其性质
已经证明: 若X与Y相互独立 ,则
E( X EX )(Y EY ) 0
若 E( X EX )(Y EY ) 0 , 则 X与Y不相互独立 定义E[( X EX )(Y EY )]为二维随机变
量( X , Y )的协方差 ,或一维随机变量 X与Y的 协方差并记作cov( X , Y ), ( X , Y )或
E ( X1 ) E ( X 2 ) E ( X n ) ; 推论：E(k1 X1 k2 X 2 kn X n ) k1E( X1 ) k2 E( X 2 ) kn E( X n ) ;
3）若X与Y相互独立 ,
则 E( XY ) (EX )(EY )
第一章
概率论专题
§1.1 二维随机变量的协方差及相关系数
1. 协方差的定义及其性质 2. 相关系数的定义及其性质 3. 协方差矩阵的定义及其性质 4. 相关系数矩阵的定义及其性质 已学习过一维随机变量的数字特征： 数学期望及方差 二维随机变量的协方差及相关系数 是二维随机变量的数字特征
若X与Y相互独立 ,则 E ( X EX )(Y EY ) E XY XEY YEX ( EX )(EY ) E ( XY ) ( EX )(EY ) ( EX )(EY ) ( EX )(EY ) 0,
因此 D( X Y ) D( X ) D(Y )
定义
( X ,Y )
E [( X EX )(Y EY )] ( X ) (Y )
为
X与Y的（线性）相关系数。
计算时E[( X EX )(Y EY )] E ( XY ) EX EY
( X ) E( X EX ) E( X ) ( EX ) ,
方差的性质：
1） 若k为常数 , 则D(kX )
k D( X ) ;
2
2）若X与Y相互独立 ,则
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 若X1, X 2 ,, X n相互独立 , 推论： 则 D( X1 X 2 X n )
D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) ;
XY
即 : cov(X , Y ) E[( X EX )(Y EY )]
若X与Y不相互独立 ,则 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 cov( X , Y )
2
E ( X EX ) (Y EY ) 2( X EX )(Y EY )
2 2
2 2
2
2
E( X EX ) E(Y EY ) 2E( X EX )(Y EY ),
式中的E( X EX ) 2 D( X ), E(Y EY ) 2 D(Y ),
D(k1 X1 k2 X 2 kn X n )
2 2
k1 D( X 1 ) k 2 D( X 2 ) k n D( X n )
2
E( X Y ) ( EX EY ) E( X EX ) (Y EY )
证明：D( X Y ) E( X Y ) E( X Y )
二维随机变量的协方差及相关系数 可用来说明两个随机变量的线性相关关系 可由二维随机变量的分布确定
若（X,Y）为离散型随机变量且分布律为
P X ai ,Y b j pij ,
i j
则 E( X ) ai pij , E(Y ) b j pij ,
i j
2 2 2 2
(Y ) E(Y EY ) E(Y ) ( EY )
2 2 2
2
计算时用到数学期望与方差的性质。
数学期望的性质：
1） 若k为常数, 则E(kX ) kE( X )
;
2）E ( X
Y ) E( X ) E(Y ) ;
推论：E( X1 X 2 X n )