浅谈极限对数学的意义
浅谈极限思想方法在小学数学中的应用
认识 精确 ，从量 变 中认识 质变 的一种数学 思想方法 ，它是事物 转化 的重要环 节 ，了解它有重要意义 。 极 限思想在小学数学 中
其实在说 的过程 中学生就 已经打开 自己的脑门 ，思维处 于
积极 状态 ， 学生通过 自己创造性 的思维 明白题意 ，已 “ 知其然” ， 但学习数 学并 非仅此而已 ，而是 要使学生 “ 知其所 以然 ” 。一年 级应用题分 为 “ 求合起是 多少” 的加法 应用题和 “ 去掉一部 分 求还剩 多少 ”的减法应用 题 ，让学生较 透彻地理解并不难 ，只
（ 三 ）多 说
关系不大 ，但我在教学求 两种事物 的总数和求其 中一种 事物的
数量的应用 题 （ 特别是文 字应用题 ） 时 ，让学生边 听题边操 作
边理解 ，或 以游戏 的形式 出现 ，效果很 好 。这样就将具体 的实
为让学生 弄懂题意 ，教师应将 说 的机 会和时 间让给学生 ， 当老 师在 “ 灌输 ”知识 时 ，学 生的思维 多处于消极 状态 ，因此 教师 应设计 一些学生 感兴趣 的问题激 活学 生的思维 ，并且要 鼓
物与抽象 的文字联 系起来 ，将学生 的外 在行为和 内在思 维联系
起来 了 ，岂能无效？实 际上这是学 生从 解图画应用题 向不借 助 任何实 物独 立完成文 字应用题 的一 种很 好的过渡方式 ，大大降 低 了今后教学应用题和学习应用题的难度。 （ 六） 多练
多练 即对学 生进 行多种形 式 的解 应用 题的训 练。 “ 学 以致
教学 时 ，可 向学生提 问 ：图上 画了什 么？苹果 分为几 堆 ？左边 和右 边各有几个 ？此外 网上还 画了什么 ？数错 ，不 看问题是一 年级 学生解 应用题 中常犯 的毛 病 。如果重 视学生 的观察训练 ， 效果会好得 多。这 样可让学生初步感知应用题 由ｉ个部分 组成 ，
函数的上下限极限及应用
公元3世纪，我国古代杰出数学家刘徽成功地把极限思想应用于实践之中，其中最被人所熟知的方法是在计算圆的面积时所建立的“割圆术”。在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究，并取得了一定的突破。房俊、李广民研究了用中值定理求函数极限的方法；曹学锋、孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。
刘永莉和石蕊在《函数极限的Stolz定理及其应用》【2】中将数列极限的Stolz定理推广到函数极限，并且用Stolz定理证明了L'Hospital法则，金少华、张建和宛艳萍在《求极限的若干方法》【3】中整理归纳了求取极限的多种方法，并给出了相应的证明，董仲超的《上、下限集的思考》【7】讨论了实变函数中上、下限集的定义，对数列极限和函数极限概念间的关系做了比较，冯适在《浅谈高等数学中极限定义的研究和应用》【8】中提出极限定义在高等数学中的实际应用，常瑞玲和郭新在《利用投影法选取积分的上、下限》【9】中对利用投影法求解函数上下限给出了详细的证明。
吕梁学院2019届毕业论文开题报告
（学生用表）
系（部）：数学系专业：数学与应用数学班级：1501(专升本)
课题名称
函数的上下限极限及应用
指导教师
王小二李花花
学生
吴平
学号
201502022101
1.课题的来源及意义
极限理论在数学学科中是最基础、但却是最重要的内容之一，它以各种各样的形式出现，并贯穿于高等数学中。极限是数学中由常量到变量、有限到无限、近似到精确思想转变的重要概念，在整个现代数学中，极限理论是最基本的概念之一，是解决与处理数学问题的一种重要的数学思想和方法。
3.2研究内容
浅谈极限对数学的意义
浅谈极限对数学的意义第一篇：浅谈极限对数学的意义浅谈极限对数学的意义极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限的思想由来已久.公元前三世纪,古代伟大的科学家阿基米德，利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，而公元前五世纪，我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
这其中就用到了极限思想。
这些早期的极限思想还很原始与朴素，但为其后极限的发展奠定了基础。
说到极限的作用，就不得不提到微积分。
可以说极限就是微积分的基础，而微积分的发展是建立在极限理论发展之上的。
而微积分对现代文明的贡献之大毋庸置疑。
由此极限的重要性可见一斑。
现在任何一所大学的数学系的学生都会先学极限，之后再学微积分。
但历史上微积分却比极限产生的早，可以说微积分是一个早产儿。
这个早产儿在实际中应用的非常好，但是在理论上却是模糊不清。
由此还引发了第二次数学危机。
拯救危机的方法就是清晰的定义极限。
十七世纪，微积分出现了。
领军人物是两个伟大的智者。
一个家伙叫牛顿，而另一个叫莱布尼茨。
牛顿通过对力的研究发明了微积分，虽然现在看来这样的微积分还很原始，仅仅涉及一重，只有一个变量。
但是它的意义是无可估量的。
而莱布尼茨则通过对切线的研究，得到了微积分。
他不仅发明了微积分，而且现代微积分很多符号都是他定义的，他在理论方面的研究价值巨大。
可是无论是牛顿，还是莱布尼茨，都有一些基本的理论问题无法解决。
而这些问题也困扰了他们一生。
到底是什么样的问题呢？首先我们要来了解微积分是什么。
微积分分为微分和积分。
微分的定义为：设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。
浅谈极限概念的重要性及教学策略
浅谈极限概念的重要性及教学策略作者：邓敏来源：《教育教学论坛》2013年第40期摘要：本文在回顾极限概念发展史的基础上，阐述了极限概念重要性，并结合多年的教学实践，给出了教学对策。
关键词：高等数学；极限概念；发展史；数列；教学对策中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）40-0210-02极限概念是高等数学中的重点与难点，是数学由具体到抽象、从常量到变量、从有限到无限、从初等数学过渡到高等数学的关键，是微积分的基础及其推理工具。
没有极限概念，就没有高等数学的严密结构，只有借助极限概念，才能对自然科学及经济学中所碰到的许多具体的量给出完整而严密的定义。
对于极限概念的理解，直接关系到学习高等数学的成败。
凡是高等数学的学困生，大多是对极限概念理解不深、不透，难以理解后续知识中的一些重要概念，对“微积分”产生“只见树木不见森林”的局限与片面认识，缺乏对该学科的宏观、整体认识，因此对高数的学习提不起兴趣，产生厌学情绪。
我们简单回顾极限概念的发展、完善过程及其与高等数学的发展过程的联系，从而更深刻地认识极限概念的重要性。
早在公元前，中外学者就引用了一些极限方法。
我国刘徽第一个用极限思考问题，用“割圆术”求出了圆周率的近似值。
在国外，齐诺的“二分说”、“阿基里追龟”等大家熟知的四个违背常识的悖论就是采用了极限思想，引起了当时学术界极大的震动。
虽然极限的思想方法出现如此早，但由于极限没有精确的定义，所以从公元前极限思想的萌芽到17世纪中叶的近两千年时间里，数学都停留在初等数学时期。
到17世纪中叶，数学学者对极限有了进一步的认识，并在自然科学应用需求的推动下，开始建立微积分，并且发展迅速，18世纪达到空前灿烂的程度。
但由于对极限思想理解的混乱，使它遭受了种种非难。
到18世纪下半叶，法国数学家达郎贝尔给出了比较能反映极限本质的极限概念，并作为分析的基础，但由于他给出的定义仍然没有数量化、不够精确，所以，这个时期的微积分的理论仍然没有牢固的基础，也不完善。
高数论文浅谈极限与不定积分的关联与差异
高数论文浅谈极限与不定积分的关联与差异引言高等数学中的极限与不定积分是两个重要的概念。
它们在数学领域有着紧密的联系，并且在解决实际问题时起着重要作用。
本文将就极限与不定积分的关联与差异进行浅谈。
极限的定义和性质极限是数学分析中的一种基本概念。
简而言之，当自变量趋于某个值时，函数的取值也趋于某个确定的值。
极限的定义可以通过函数序列的收敛性来刻画。
具体而言，对于函数序列{f_n(x)}，当存在某个函数f(x)使得对于任意ϵ>0，存在正整数N，当n>N时，有|f_n(x)-f(x)|<ϵ，那么我们称函数序列{f_n(x)}收敛于f(x)，记作lim(n→∞)f_n(x)=f(x)。
极限具有一些重要的性质，如极限的唯一性和四则运算法则。
不定积分的定义和计算方法不定积分是定积分的逆运算。
对于一个函数f(x)，如果存在另一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，那么我们说F(x)是f(x)的一个原函数。
不定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中∫为积分号，f(x)为被积函数，dx为积分变量。
不定积分具有一些常用的计算方法，如基本积分法和换元积分法。
极限与不定积分的关联极限与不定积分是紧密相关的。
在一些情况下，我们可以通过计算极限来求解不定积分。
具体而言，如果一个函数F(x)的导函数为f(x)，那么我们可以说F(x)是f(x)的一个原函数。
换句话说，不定积分就是求导的逆运算。
因此，如果我们知道一个函数的不定积分形式，我们就可以通过求导运算得到它的导函数。
极限与不定积分的差异虽然极限与不定积分有着紧密的关联，但它们也存在一些差异。
极限是一种函数在自变量趋于某个值时的行为，而不定积分是计算一个函数在某个区间上的面积。
极限的计算可以通过函数序列的收敛性来进行，而不定积分的计算可以通过求解导函数来进行。
此外，极限是一个与函数序列相关的概念，而不定积分是针对一个函数进行计算的。
结论综上所述，极限与不定积分在高等数学中起着重要作用。
浅谈中学数学中的极限思想毕业论文
浅谈中学数学中极限思想的应用1 极限思想极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，是近代数学的一种重要思想.简单地说极限思想即是用无限逼近的方式从有限中认识无限,用无限去探求有限,从近似中认识精确,用极限去逼近准确,从量变中认识质变的思想.1.1 极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限思想可以追溯到古代，刘徽的“割圆术”就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，他们借助间接证法——归谬法来完成了有关的证明.16世纪，荷兰数学家斯泰文改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明.如此，他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 1.2 极限思想的发展与完善极限思想的进一步发展和完善是与微积分紧密相联系的.16世纪欧洲的处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题只用初等数学的方法已无法解决,为了解决这些问题，科学家们开始专心研究促进技术革新.在这样的社会背景下，牛顿和莱布尼茨以无穷小量为基础建立了微积分，微积分的建立极大的促进了极限思想的发展.到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论.为了排除极限概念中的直观痕迹，德国数学家维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础.所谓n A =，就是指“如果对任何0ε>，总存在自然数N ，使得当n N >时，不等式n A ε-<恒成立”.这个定义，借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用.1.3 中学数学中的极限思想极限思想并非只出现在高等数学中.在中学数学里也有很多方面体现了极限思想，其中最典型的就是在求圆面积时候的用到分割法.在初高中时我们只知道圆的面积公式：2S Rπ=（R为圆的半径）.其实，深入探究会发现圆面积的计算就是运用极限的思想得出的.在学圆的面积之前，我们只学过三角形和常规的四边形的面积计算，那么我们如何把圆的面积化为求三角形或者四边形的面积呢？如图1-1是一个以R为半径的圆O，我们给这个圆O作n条半径，如图1-2所示.图这样我们就可以发现，圆的面积是由n个小扇形相加得来.这时你会发现，当n不断增大()n→∞时，圆里面的每一个小扇形我们就可以近似的看成一个小三角形，此小三角形的底可以近似的看成扇形的圆弧()1n n A A+，高为圆的半径R.我们知道三角形的面积为112n nS R A A+≈⋅,则整个圆的面积为122334111112222n nS R A AR A A R A A R A A+≈⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()122334112n nS R A A A A A A A A+≈⋅+++⋅⋅⋅+由于12233412n nA A A A A A A A Rπ++++⋅⋅⋅+=带入即可得出圆面积的近似值为：2S Rπ≈，当n越大时越精确，当n→∞即得证.圆面积的探讨运用了“无限分割”的思想方法，同时也体现了“化曲为直，化整为零，积零为整，逐渐趋近近视值”的极限思想.当然这只是极限思想运用的一部分，在中学数学中还有很多的问题渗透了极限的思想.如函数、数列、球的表面积和体积推导、双曲线的渐近线、曲线的切线等等无不包含着极限思想的渗透和运用.本文我们结合一些具体的例子来探讨极限思想在初等数学中的一些运用.2 极限思想在函数中的渗透在中学数学中，很多幂函数、指数函数、正切函数、双曲线等等都存在渐近线，通过利用极限思想可以巧妙的研究这些函数的渐近线.例1 研究函数1+y x x =的图像.分析 函数1+y x x=的定义域为{}|0x x ≠.且为奇函数，因此可以先做出0x >时的函数图像.（1）当0x >时，由基本不等式可得1+2y x x=≥，当且仅当1x =时min 2y =；（2）当0x +→ 时，y →+∞，所以0x =是1+y x x=的一条渐近线；（3）当+x →∞时，10x →，y x →，所以y x =也是1+y x x=的一条渐近线.由此三个条件即可作出函数1+y x =的图像.如图2-1：图2-1极限思想在函数中的应用非常广泛，不仅应用于研究一些函数的渐近线，在求一些特殊函数的最值的问题中极限思想也是很好的切入点.例2 试讨论函数y =的最值. 分析 注意到函数表达式可以变形为：y=从数形结合的角度来看，函数值y可以看成做是平面直角坐标系中x轴上的动点(,0)x到两定点(32)A，、(11)B，的距离之差，即y MA MB=-（如图2-1），由平面几何的知识，易得当M移动到2(M'在线段AB的延长线上)点时y值最大maxy=下面我们探讨此函数有无最小值，分三种情况：①当M在如图2中M（线段AB的垂直平分线l与x轴的交点）右侧移动时；②当M在M'与M中间图2-1图2-2下面我们先看①时由于MB MA>，不妨记=y MB MA--，图2-2中，点1M、2M均在M的右侧（其中2M又在1M的右侧）.我们来比较111()=y M B M A--与222()=y M B M A--的大小，移项之后即比较12M B M A+与21M B M A+的大小.设1M A与2M B相交于点T,则有1212<()()M B M A M T BT M T AT++++12()()M T AT M T BT=+++21M B M A=+即12()()y y-<-所以当M在M右侧向右运动时，()y-的值越来越大，下面我们讨论()y-有无最大值.上面已知y MB MA-=-===114-=()114lim lim x x y →∞--=4211==+ 于是当x →+∞时，=y MB MA --的值越来越大的趋近于2，但是永远都不可能达到2，即y -没有最大值.但是<2y -，即2y >-.所以在第①情况下y 的取值范围为(]2,0-.同理，在第③种情况下，MB MA <当M 在M '左侧时(]1x ∈-∞-，，讨论y MA MB =-.计算可得y 的取值范围为(.在第②种情况下，当M 在M '与0M 之间且由0M 向M '移动时，y 值不断增大，所以y 的取值范围为⎡⎣0.综上所述，本题y的值域为(2-本题在高中阶段可能就只会让我们求此函数的最大值，但是如果我们进一步研究这个问题的时候，就能发现其与高等数学的衔接点.本题所涉及的函数最值问题，看似跟极限思想没多大联系，但是通过深入的研究我们才能发现其中的奥妙.3 极限思想在数列中的应用极限分析法是研究数列问题的一个有效方法.对于一个等比数列，在高中教材中给出的求和公式是11(1)(1)1(1),,.n n a q q q q S na -≠-=⎧⎪=⎨⎪⎩等比数列的求和公式是要分情况的，即1q =和1q ≠的情况.这样最简单的等比数列——常数列就被分裂出来.然而,利用极限就可以将它合二为一.对于上面1q ≠的情况，讨论1q →时，n S 的极限.111(1)lim lim 1n n q q a q S q→→-=- 2111(1)(1)lim 1n q a q q q q q-→-+++⋅⋅⋅+=-2111lim (1)n q a q q q-→=+++⋅⋅⋅+1na =这也就是说，1q =时的n S 就是1q ≠时n S 的极限.那么，等比数列求和公式就可以用一个公式来表示1(1)lim 1n n n q a q S q→-=-当然，这比高中课本上给出的公式要复杂点，但是这显然让我们重新思考了问题，使得这些分类的东西变成一个整体.对于一个无穷数列，它本身就是一个极限形式.所以在数列的有关问题中涉及到极限思想的题目很多，灵活运用极限思想能让我们解题方法更加简便，减少计算量和计算时间，优化解题过程.例3 已知数列{}n a 中，满足1=1a ，且对任意自然数n 总有12n n n a a a +-=，问是否存在实数a ，b 使得2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.分析 假设存在这样的实数a 、b ，满足2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立，则lim n x a a →∞=；再由12n n n a a a +-=两边同取极限有2aa a =-，解得0a =或3a =验证，当0a =时，数列{}n a 应该是以1为首项，以23-为公比的等比数列，显然，不可能对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以0a =不满足题意.当3a =时，将1=1a ，代入2()3n n a a b =--，求得3b =-，则233()3n n a =+⋅-，验证可得同样不满足对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以3a =同样不满足题意.综上所述，0a =和3a =都不满足题意，所以假设与题意矛盾，不存在这样的a 、b .在高中阶段，对于解这样的数列问题一般思路是按照 “由一般到特殊再到一般”的思维原则，再通过数学归纳法将{}n a 表达出来.但是对于这一个题目用这样的方法远没有借用极限思想简单.4 极限思想巧解立几问题在一些复杂立体几何的问题中，我们只要巧妙的利用无限逼近的思想，就可以将原本复杂难懂的问题简单化.像这样的问题在高中数学中很常见，比如像下面这道例题.例4 在四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）.(0A.(1B ，C.(0D ，分析 一般的方法，我们通过三角形三条边之间的等量关系列不等式，通过解不等式可以得出来，但是通过极限思想也可以巧妙的解决这个问题.显然，对于四根长度相等的直铁条有两种摆放方法： （1）底面为等腰三角形，两腰长度为2，底长为a （图4-1）； （2）底面为等边三角形，三条边的长都为2（图4-2）.图 4-2 由于a 是ABC ∆的边，所以04a <<.如图4-1，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于BDC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 、C 的距离为2.当A D →时，0a →；当平面ABC 与平面BDC 重合时，A 与D 距离最远即a 值最大.此时由菱形的性质可解得a =由于此图形必须要构成三棱锥，所以平面ABC 与平面BDC 不可以重合，即取不到所以(0,a ∈.如图4-2，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于DBC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 的距离为2.当A 在DBC ∠的角平分线上时，a 最小，可解得a =-；当A 在DBC ∠的角平分线的反向延长线上时，a 最大，可解得a =.由于此图形必须要构成三棱锥，所以A 不能在DBC ∠的角平a ∈.综上所说，a ∈，所以此题选A .这是2010年辽宁省的一道高考题，如果用一般的方法解不等式将会非常复杂，也浪费了考试时宝贵的时间.而如果使用无限逼近思想来研究就可以将原本复杂难懂的问题简单化. 从本题可以发现，极限思想在几何解题过程中的应用可以起到良好的导向作用，同时也是一种探索解题思路或切入点的有效武器.例5 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是 ( )o o .(0180)A ，o o .(60180)B ， o o .(600)C ，9 o o .(00)D ，6 分析 如图4-3所示，正三棱锥S ABC -中，SO 是正三棱锥S ABC -的高，图4-3当0180.SO→时，S无限靠近于O，此时相邻两个侧面的夹角趋近于o 当SO→∞时，正三棱锥S ABC-无限接近一个底面为正三角形的三棱柱，这时两侧面的夹角越来越小，趋近于o60.所以α的取值范围为o o(60180)，，故本题选B.从这些例题可以感受到，极限思想不仅是一种解决问题的方法，同时它也是一种思维方式.我们可以从极限或极端状态的数学问题的研究中得到启发，从而得到数学关系的猜想，有时也会通过这种启发找到问题的解决方法.5 总结本文结合具体的例题讨论了极限思想在初等数学中的一些应用.当然，极限思想作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面.所以我觉得，在我们的中学教学中，若能通过一些例题，来向学生渗透极限思想，对学生数学思维能力的提高将会有很大帮助.参考文献[1]谢慧杰.极限思想的产生、发展与完善.数学学习与研究,2008,(09):13-15.[2]梁克强.刘徽割圆术.中学生数学,2010,(06):23-24.[3]杨君芳.例析极限思想在高中数学中的一些应用.中学数学研究,2009,11(1):27-28.[4]孙道斌.利用极限思想巧解立几问题.中学生数学,2007,(1上):17-18.[5]吕士虎，徐兆亮.从高等数学看中学数学,2005,(03):1-3.[6]华东师大数学系.数学分析第三版.北京：高等教育出版社,2001:42-48.[7]张永辉，用极限思想解题.中学生数学，2006，(9上):8-9.。
浅谈极限思想在小学数学教学中的渗透
【摘 要】随着社会的发展人们的教育 观念逐渐发生变化，素质教育逐渐取代应试 教育。为了培养综合型人才，素质教育在我 国已开展多年，既取得一些成绩，也有很多 问题有待解决，数学作为基础课程，一直是 素质教育的重点内容，为了提高教学效率很 多教学新理念、新方法逐渐应用到小学数学 教学之中，极限思想是现代数学教育的主要 思想，本文以素质教育为出发点，对极限思 想在小学数学教学的渗透进行深入分析。
学习，拜托了时间和地点上
的局限性。而且可以反复观
看，不用担心以前传统教学
中的问题。这也是微课程的
最大优点。
2. 小学数学微课程教学中需要做到哪些
首先，将微课程教学应用到小学数学中，
不但可以提高学生的积极性，而且可以集中
他们的注意力，可以很好地达到提高学生数
学水平的效果。在小学数学中使用微课程教
学，第一步需要教师记录下他个体本身对小
教研争鸣
【摘 要】近几年来，随着教育的现代 化与技术化的不断发展，“微课”成为教学 课堂的新鲜事物，并受到教师学生的高度认 可，大家都开始研究关于微课的教学方式， 并将其应用到教学过程中来。本文将以小学 数学微课的设计与应用为例，进一步探讨微 课的重要意义
【关键词】小学数学；微课；设计与应用
随着教育现代化的不断推进，微课成为
计
乡 这就是通常情况下所讲的“微
高 兴
课程”。微课程的很大一个
及
小 优点就是时间短、知识量少， 学 时间控制在短时间内，这样
应
就可以充分集中学生的注意
彭 华
力，让学生掌握更好地所学
用
北 知识。而微课程就是数字化， 所谓数字化的意思就是可以
研
实施无教师课堂。数字化教 学就可以代替传统的教师的
浅谈极限思想在小学数学教学中的渗透
描 述 变量 在 一 定 变化 过 程 中 的极 端 状 态 ，是 一 种 将 事物 无 限
逼 近 某一 状 态 的概 念 。 极 限 思 想是 一 种 重 要 的数 学思 想 ， 是 对 数 学知 识 的本 质 反 映 ， 是 形 象 思 维 向抽 象 思 维转 化 的 纽 带 。 在
学 生 学 习数 学知 识 的启 蒙 阶段 对 其 渗 透 极 限思 想 ， 不但 可 以 提 高 学 生 的抽 象 思 维 能 力 ．而 且 有 助 于学 生掌 握 学 习数 学 的
状态． 这样不但使学生能够牢记公式 ． 而且 能 将 无 限逼 近 的极 限 思想 渗 透 到 他 们 的 脑 海 中。 （ 二） 在 学 习新 概 念 的 过 程 中渗 透极 限 思 想
新 概 念 对 于 小 学 生 来 说 是 新 接 触 的 知识 ．是 一 个 从 无 到 有 的过 程 ， 也是让学生对数学中的专业术语的认识与理解 ， 也
为 他们 以后 的学 习奠 定 一 定 的基 础 。有 些 新 概 念 中蕴 含 一 定 的极 限思 想 ， 教师在教授的同时可以适当地渗透给学生 ， 帮 助 他 们更 好 地 理 解 新 概 念 。
案例二 ： 教学“ 循 环 小 数 的 概念 ” 在教学 “ 循环小数的概念” 这节课 时 ， 它的概念性较强 。 同 时 在这 节 新 课 中也 蕴 含 着 极 限 的思 想 。 在讲 循 环 小 数 的概 念 之 前教 师往 往 会 让 学 生 讨 论 ： ０ ． ９ ９ ９ …和 １ 哪个 大 ？ 学 过方 程 的 学 生 可 能会 将 ０ ． ９ ９ ９ …设 为 Ｘ ，那 么 ｌ Ｏ ｘ ＝ ９ ． ９ ９ …， ｌ Ｏ ｘ ＝ ｘ ＋ ９ ， ９ ｘ ＝ ９ ， 那 么ｘ ＝ ｌ ， 所 以０ ． ９ ９ ９ …＝ １ 。那 么 没有 学 过 方 程 的学 生 可 以在 一 些 算 式 当中找 规律 ： １ — ０ ． ９ ＝ ０ ． １ ． １ — ０ ． ９ ９ ＝ ０ ． ０ １ ， １ — ０ ． ９ ９ ９ ＝ ０ ． ０ ０ １ 。
浅谈中心极限定理及其应用
浅谈中心极限定理及其应用中心极限定理（CentralLimitTheorem，简称CLT）是统计学中最基本的定理，可以提供数学理论支持和方便的引用，以解决许多实际问题。
这个定理的完整表述是：当抽取的样本量足够大的时候，样本平均数的分布曲线接近于正态分布，即属于类正态分布，其平均值接近于总体平均数，其标准差接近于总体标准差的平方根。
中心极限定理的应用方面，可以涉及到许多方面：一、测定总体参数。
中心极限定理可以用来估计总体参数，包括总体均值、总体方差和总体分布等。
二、假设检验。
中心极限定理可以用于检验统计模型的参数，即样本和总体的分布形式是否一致，研究者可以利用其来进行假设检验，从而评估统计模型的正确性。
三、置信区间估计。
中心极限定理也可以利用来估计总体参数所处的置信区间，在样本量足够大的情况下，置信区间会变得紧密，从而使得置信度得到提高。
四、回归分析。
在回归分析中，中心极限定理可用于评估模型的参数置信区间，也可用于评估线性回归模型的拟合程度，从而推出结论。
具体来讲，中心极限定理的应用非常灵活，并且无处不在，几乎所有的统计分析和统计模型都可以借助它求解。
在实际数据处理中，中心极限定理是统计学中最基本定理，将它运用在模型构建中，将有助于增强模型的可靠性和准确性。
总之，中心极限定理可以用来估计总体参数，也可以用于假设检验，能够确定模型的参数，估计总体参数所处的置信区间范围，及对回归分析进行验证。
它是统计学基础理论，在数据处理中起着重要作用，为研究者提供了便利。
中心极限定理实际上是一个概率模型，它可以分析我们观察到的大量数据，帮助我们做出更准确的决策。
而且，它也是数据挖掘和机器学习的基础理论，对于统计数据处理和模型建立有着重要意义。
浅谈高等数学中极限理论的教学
浅谈高等数学中极限理论的教学【摘要】本文通过阐述极限思想的起源和发展，分析极限思想的思维本质和哲学意义;又通过阐述极限思想和微积分学产生和发展的联系，以及极限思想在微积分学及其他学科分支中的应用，得出极限理论是高等数学的重要内容之一，是构成微积分学的基础。
所以极限理论的教学在微积分学中是至关重要的，我们系统地向学生介绍极限思想的产生，发展，以及和微积分学的紧密联系是十分必要的。
【关键词】极限思想；微积分；微元法极限思想是微积分学解决问题的主要思想，极限的方法又是微积分研究函数的主要方法，因此学好微积分学的关键是建立极限的思想和会使用极限的方法。
本文就自己对极限的认识阐述一下如何进行极限的教学。
1向学生介绍极限思想的产生和发展极限的思想是由某些实际问题的精确解而产生的，极限是研究变量变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念都是建立在极限的基础上的，因此没有极限的思想和研究问题的方法就没有微积分学，也没有现在的高科技理论，更谈不上人类社会的进步，因此极限在人类文明史上起着举足轻重的作用。
最初微积分由牛顿和莱布尼兹发现时并没有严格的定义，后来法国数学家柯西严格定义极限概念之后才使微积分学有了严格的数学定义。
极限思想反映的是一个变量随另一个变量变化的无限逼近的思想，数学史上微积分学产生的过程是人类对极限思想认识的逐步加深、逐步明确的过程，因此极限思想是微积分学中的基本的数学思想。
我国古代数学家刘徽（公园3世纪）利用圆内接多边形求圆的面积——割圆术，就是极限思想在几何上的应用。
又如春秋战国时期的哲学家庄子（公园前4世纪）有一句名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，公元5世纪祖冲之计算圆周率等问题中，都蕴含了最原始的朴素的极限思想。
无穷分割下的极限思想是微积分学起源的关键，最能引起关于对无穷思索的是求曲边图形的面积。
1615年开普勒发表《测量酒桶体积的科学》，大胆巧妙地将无穷小求和思想用于求圆面积公式的推导.由此得到：若已知圆周长为2πr，现将圆面无限分割，则圆面积可被看作是由无限多个顶点在圆心，高等于半径、底边是圆周一部分的小三角形组成，所以，所以1/2r(A1A2+A2A3+……+An+A1)1/2r.2∏r=∏r2。
浅谈“极限思想”在数学分析中的应用
浅谈“极限思想”在数学分析中的应用摘要：极限理论是近代数学的重要思想，而数学分析就是以极限定义为基础，以极限理论为工具的一门学科。
极限思想更是一种思维的模式，让我们的认知从不变到变，从量变到质变，从近似到精确。
本文将对极限思想在数学分析中的应用进行分析。
关键词：极限思想；极限理论；数学分析1.引言极限理论在数学分析中的应用最直接的体现就是解决数学分析中的问题，是数学分析最基础，却最重要的内容。
它以各种各样的形式出现，并贯穿于数学分析乃至高等数学的全部内容，是其核心之所在。
随着现代数学的发展与完善，极限是解决现代数学问题的关键、有效方法，这是由于极限理论可建立在较为普通的数学空间，促使数学求解方法由传统的有限范围转到现代的无限范围，同时也是从近似到精确的过程。
例如，极限理论包含的数学解题思路充分利用常量与变量之间的对立关系、无限与有限之间的内在联系，解释曲面面积、曲线长度等问题的出现原因，即数学家运用极限思维对应用数学教学进行深入阐述。
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念定义都离不开极限，几乎所有的数学分析著作都是先介绍函数极限的思想方法，然后给出导数、连续、定积分、级数的敛散性、重积分、多元函数的偏导数、曲线积分与曲面积分的概念。
下面我们将从导数，级数和积分三块内容来结合实例探讨极限思想的体现与应用。
2.极限思想在导数中的应用导数是微积分学中重要的基础概念，是函数的局部性质。
导数最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引人的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题:已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。
这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的。
①瞬时速度：设一质点作直线运动，其运动规律为。
若为某一确定时刻，为临近于的时刻，则是质点在时间段（或）上的平均速度。
若时的平均速度的极限存在，则称极限为质点在的瞬时速度。
在计算诸如物质比热，电流强度，线密度等问题中，尽管它们的物理背景各不相同，但最终都归结于讨论形如的极限。
浅谈中学数学中函数极限的求法详解
浅谈中学数学中的函数极限樊金伟新疆师范大学数理信息学院数学与应用数学05-2班摘要：本文在分析函数极限背景的基础之上,探讨了导数函数极限在中学数学中的八个求法：利用函数连续性求极限；利用四则运算法则求极限；利用无穷小量的性质求极限；利用导数定义求极限换元转化求极限；利用左、右极限判断与求分段函数在间断点处的极限；对“0 0”,“∞∞”“∞-∞”型求极限；已知函数的极限，球参数的值与取值范围。
关键词：极限；连续；方法；函数极限。
On the function of secondary school students in the limitFanjinweiClass 05-1, Math Application Math, School of Math-Physics information Science,Xinjiang Normal UniversityAbstract: Based on the analysis function based on the limits of the background, Derivative function of the limits of mathematics in secondary schools in eight method:Order to limit the use of a continuous function; the use of four algorithms for the limit; the use of infinite order to limit the nature of a small amount; the use of derivative element for the definition of the limit order into the limit order; the use of left and right and demand to determine the limits of sub-function in the discontinuous point limit; of "0/0" "∞/∞" "∞-∞" demand-based limit; known function of the limits of the ball and the value of the parameter range. Key words: limit; Continuous; method; function limit.浅谈中学数学中的极限0、 引言《高等数学》是以函数为研究对象,以极限理论和极限方法为基本方法,以微积分学为主要内容的一门学科。
浅谈小学数学教学中极限思想的渗透
浅谈小学数学教学中极限思想的渗透发布时间：2023-04-13T16:08:38.694Z 来源：《中国教师》2023年3月下作者：尹红香[导读] 在当今高速发展的信息时代，数学已经成为了一门不可或缺的学科。
在数学的学习过程中，极限思想是一个非常重要的概念，在数学学习中扮演着重要角色，是连接微积分和数学分析的桥梁。
然而，由于其概念抽象、理解难度较大，学生在小学阶段就开始接触极限思想并进行学习，其难度和挑战可想而知。
因此，在小学数学教学中如何巧妙地引入极限思想，让学生理解其意义和应用，是一个亟待解决的问题。
本文将从小学数学教学中极限思想的意义、渗透、应用等方面进行讨论，旨在为小学数学教学提供一些有益的思考。
尹红香广安市广安区北仓路小学校四川广安 638000【摘要】在当今高速发展的信息时代，数学已经成为了一门不可或缺的学科。
在数学的学习过程中，极限思想是一个非常重要的概念，在数学学习中扮演着重要角色，是连接微积分和数学分析的桥梁。
然而，由于其概念抽象、理解难度较大，学生在小学阶段就开始接触极限思想并进行学习，其难度和挑战可想而知。
因此，在小学数学教学中如何巧妙地引入极限思想，让学生理解其意义和应用，是一个亟待解决的问题。
本文将从小学数学教学中极限思想的意义、渗透、应用等方面进行讨论，旨在为小学数学教学提供一些有益的思考。
【关键词】极限思想、小学数学教学、数学思维能力、问题解决能力中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051（2023）3-006-01引言：极限思想是数学中一个重要的概念。
它不仅被广泛应用于高中、大学数学中，也在小学数学中得到应用。
虽然小学生的理解能力和水平等各方面都尚未发展完善，但是在小学数学中融入极限思想，可以促进学生的长远发展。
小学数学教学中引入极限思想能够帮助学生更好地理解数学知识，提高数学思维能力和解决问题的能力。
本文将探讨小学数学教学中极限思想的渗透，分析极限思想在小学数学教学中的应用，以及如何有效地引导学生学习极限思想。
浅谈两个重要极限的重要性及应用
．
１
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两个重要极限在计算极限中的重要性及应
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收稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ３ — ２ ２
作者 简介 ： 张先荣（ １ ９ ６ ８ 一） ， 女， 河 南 范县 人 ， 濮 阳职 业 技 术 学 院数 学与 信 息 工 程 系副 教授 ， 主 要 从 事 高等数 学教 学与 研 究。
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浅谈高职高专极限的运算
浅谈高职高专极限的运算高职高专极限的运算是微积分中非常重要的一个概念，在数学、物理等领域中有着广泛的应用。
极限的概念是关于函数的，它反映的是函数在某个点上的局部行为，也就是说，当自变量趋近于某个值时，函数在该点附近的取值趋近于一个确定的数。
下面我们来详细了解高职高专极限的运算。
一、极限的定义高职高专极限的概念包含两个要素：自变量的趋近方向和函数值的趋近情况。
当自变量趋近于某个值x0 时，函数f(x)在该点附近的取值趋近于一个确定的数L，即：lim f(x) = L，x→x0其中，x→x0表示自变量x趋近于x0的过程。
二、极限的运算规律1. 极限的唯一性如果f(x)在x0的任意一个邻域内都有定义，并且当x趋近于x0时，f(x)的极限存在并且唯一，那么这个极限就是f(x)在x0处的极限，记作：如果f(x)在x0的任意一个邻域内都有定义，并且：（1）当x趋近于x0时，f(x)趋近于L，（2）当x趋近于x0时，g(x)趋近于M，那么有：3. 两个基本极限（1）常数函数对于常数函数f(x)=C（C为常数），不论x趋近于哪个值，函数f(x)的极限都等于常数C，即：（2）一次函数三、极限运算的例题分析1. 已知极限limf(x)=3，求极限lim（f(x)+1）。
根据极限运算的趋近性可以得到：lim [f(x) + 1] = lim f(x) + lim 1 = 3 + 1 = 4。
x→x0 x→x0 x→x0因为g(x)是常数函数，所以有lim g(x)=g(x)。
故：四、总结通过以上例题的分析和运算规律的归纳，可以看出高职高专极限的运算是一项比较基础的数学运算，但却是微积分中非常重要的一环。
通过熟练掌握极限的定义和运算规律，可以更好地理解和应用微积分的概念和方法，从而在数学、物理等领域中发挥出更大的作用。
如何理解极限的定义
如何理解极限的定义
杨传翔
【期刊名称】《中国科教创新导刊》
【年(卷),期】2010(000)002
【摘要】极限是高等数学的基础,因此对于极限思想的把握较为重要,但由于初等数学和高等数学的跨度大,学生对极限的定义难以理解和掌握,导致对高等数学的其它问题感到困惑和茫然,因此本文从极限的定义入手,来讲解极限的含义,以期能够理解极限的内涵.
【总页数】2页(P102-103)
【作者】杨传翔
【作者单位】石家庄经济学院,石家庄,050031
【正文语种】中文
【中图分类】O13
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极限思想在代数中的应用
众所周知，在现实世界中，数学是将数与形相结合，进行简洁、高效、优美的描述，是有其内部抽象和外部有效性的一门学科。
数学是其它各门学科的基础，在解决其他学科的问题过程中往往都需要用到数学的思想和方法。
而求解实际问题的正确解法是由一系列正确的程序构成，即从已知量出发，通过对已知条件与目标结果的联系，并运用各种运算，最终得到正确结果的过程。
微积分是解决实际问题的一个基础，而极限思想是微积分的基础，并且极限思想贯穿整个微积分的内容，理解并掌握好极限的重要思想，可以让我们在解决实际问题的过程中，能较快发现解决问题的方法，提高解决实际问题效率。
行列式和矩阵是线性代数非常重要的内容，近年来，关于行列式的计算以及矩阵的证明已取得了许多的成果［１～４］，并有很多相关运用。
基于此，本文利用数学的极限思想解决了特殊行列式的计算以及矩阵证明等问题，为以后的研究讨论做出初步的探索和分析。
关于伴随矩阵中性质***)(A B B A •=•的证明通常情况下我们运用矩阵方式进行证明，但是证明过程相对复杂而且难以理解，或者通过构造可逆矩阵E A λ+和E B λ+证明对于任意的λ等式：[]***()()()()A E B E B E A E λλλλ++=++成立，则当0=λ时即可。
此证明过程也很繁琐。
因此，尝试运用新的方法进行证明，使证明过程更加简洁明了。
定义１：在矩阵中，设n 阶矩阵 ()ij n n A a ×=，若矩阵中ij a 是关于变量x 的函数，则我们称矩阵A 为矩阵函数。
定义２：在矩阵中，设n 阶矩阵 ()ijn nA a ×=，()）（εεij a A =)(，）（εij a 为的连续函数，若有ij ij a a =→）（εε0lim ，则称矩阵函数 ()A ε收敛于矩阵 A ，记为A A →)(ε或令A A =→)(lim 0εε。
1设A 、B 为n 阶方阵,则有***)(A B B A •=•等式成立（１）若A 、B都为n 阶可逆矩阵，则n B r A r ==)()(，因为A 、B 都可逆，则AB也可逆，所以有：1*−•=A A A ，1*−•=B B B ，故*)(AB ==•••=•−−−111)(A B B A AB AB **11A B A A B B •=•••−−。
以极限为例浅谈如何提高学生学习数学的兴趣
以极限为例浅谈如何提高学生学习数学的兴趣作者：陈巧灵来源：《课程教育研究》2017年第28期【摘要】本文通过以函数极限的几种分类求解方法为例，将极限的运算进行了分类，通过模块化的学习，让学生更加容易掌握，最后通过经济案例让学生将极限的思想应用到实际问题中。
并且以极限的学习为例，深刻的阐述了提高学生学习数学的兴趣，对地方本科院校转型中的学科建设有着至关重要的作用。
【关键词】高校转型函数极限学习兴趣【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）28-0131-02近年来，地方本科院校响应国家号召对本校向应用型本科院校转型，进而提升自身的竞争力。
各个地方本科院校纷纷对原有的办学模式进行调整，为了更好的达到培养应用型人才的目标。
为此各个学校对课程的设置也做了一些调整，为了有充足的时间来培养学生的综合素质，使得一些基础课程的课时量锐减。
数学课的课时数作为一门非文科类学生的基础课程也不可避免的减少至原来课时的23，但是任何一门成熟的科学都需要借助数学语言来描述，在数学模型的框架下来表达它们的思想和方法。
所以，提高学生学习数学的兴趣对更好的培养应用型人才有着重要作用，学生学好数学对于将来自身的发展提供强有力保障。
并且对学校的学科建设有着至关重要的作用。
极限思想在数学课程中占据着重要的地位。
导数，连续、定积分、级数等定义都是通过极限来定义的，并且极限思想在很多学科中有着广泛的应用，例如在物理中可以简化公式的证明，经济学中涉及到的边际，弹性分析、消费者剩余等都涉及到极限思想。
因此，要学好专业知识，首先要学好与之相关的数学知识。
否则学生即使走上工作岗位，也可能会出现后劲不足，影响自身的发展。
首先，我们从以函数极限为例，从定义、准则、极限的四则运算性质等运算法则对定型函数求极限。
接着考虑一些诸如■型，■型，0·∞型，∞-∞型，1∞型，00型，∞0型的未定式的极限，通过这些模块化的求极限例子，让学生感受到有条理性地学习数学。
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浅谈极限对数学的意义
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以概念为基础、极限理论(包括)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限的思想由来已久.公元前三世纪,古代伟大的科学家阿基米德，利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、面积，而公元前五世纪，我国的庄周所着的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
这其中就用到了极限思想。
这些早期的极限思想还很原始与朴素，但为其后极限的发展奠定了基础。
说到极限的作用，就不得不提到微积分。
可以说极限就是微积分的基础，而微积分的发展是建立在极限理论发展之上的。
而微积分对现代文明的贡献之大毋庸置疑。
由此极限的重要性可见一斑。
现在任何一所大学的数学系的学生都会先学极限，之后再学微积分。
但历史上微积分却比极限产生的早，可以说微积分是一个早产儿。
这个早产儿在实际中应用的非常好，但是在理论上却是模糊不清。
由此还引发了第二次数学危机。
拯救危机的方法就是清晰的定义极限。
十七世纪，微积分出现了。
领军人物是两个伟大的智者。
一个家伙叫牛顿，而另一个叫莱布尼茨。
牛顿通过对力的研究发明了微积分，虽然现在看来
这样的微积分还很原始，仅仅涉及一重，只有一个变量。
但是它的意义是无可估量的。
而莱布尼茨则通过对切线的研究，得到了微积分。
他不仅发明了微积分，而且现代微积分很多符号都是他定义的，他在理论方面的研究价值巨大。
可是无论是牛顿，还是莱布尼茨，都有一些基本的理论问题无法解决。
而这些问题也困扰了他们一生。
到底是什么样的问题呢？首先我们要来了解微积分是什么。
微积分分为微分和积分。
微分的定义为：设y=f(x)在x0的内有，x0及x0+Δx在此内。
如果函数的Δy=f(x0+Δx)?f(x0)可表示为Δy=AΔx+o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的），而o(Δx0)是比Δx高阶的小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即
dy=AΔx。
其中的A就是我们高中时所学的导数。
我们的确这样定义了微分，可是问题来了，什么事无穷小量，这是一个毫无概念东西，既无数学公式，又无严谨的证明。
至于高阶无穷小量，它本身就是一个基于无穷小量的概念，没有无穷小量，高阶更无从谈起。
积分的定义：首先有一个连续函数在区间上。
让......是任意（随机选择）的间隔分区，其中分为间隔成子区间（细分）。
让......
采样（采样点）的子区间选择。
也就是说，在，在，在......，和在。
定义分区网格最大的子区间的长度。
也就是说，让，为并定义定积分在区间是最普遍的定义为。
定积分这里同样有问题，mesh趋近与0到底是一个什么样的概念呢。
与0距离是多少算趋近，1,1/2，还是1/n。
后来人们发现，微积分的问题不在本身，而在于它的理论基础。
十九世纪，一个伟大的数学大师解决了这个问题：柯西。
法国数学家柯西通过对极限的严格定义，来澄清微积分上的基础问题的混乱。
他是这样定义函数极限的：设f:(a,+∞)→R是一个一元实值，a∈R.如果对于任意给定的ε>0，存在正数X，使得对于适合不等式x>X的一切x，所对应的f(x)都满足不等式.
│f(x)-A│<ε
则称数A为函数f(x)当x→+∞时的，记作f(x)→A(x→+∞).这样对极限的完美定义，使得微积分一下变得清晰明了。
而他对极限的定义方法，却是用有限的数X来定义无限趋近这一概念。
这样的定义既简单，又容易让人理解。
同时也让人们对微积分有了更深一步的认识，为微积分的发展做出了巨大贡献。
因为在二重，三重，甚至多重微积分中，直观的感受已经无法描述出微积分的概念。
而通过极限却可以让人很好的理解，研究微积分。
二重积分定义：设二元z=f(x,y)在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域
Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和limn→+∞(n/i=1Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重,记为∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=limn→+∞（Σf(ξi,ηi)Δδi）
三重积分定义：如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数f(xyz)在闭区域上的三重积分。
多重微积分的发展极大的推动了科学的进步，不光是物理学等基础学科的发展。
工程力学，机械科学等实用性学科也发展了起来。
同时极限理论的发展导致了微积分的大发展。
从而一个新的数学分支出现了：数学分析。
数学分析分支现在成为了数学系学生的必修课，而其他理工科类也必须学习一定的数学分析知识，可以说数学分析分支是数学分支中应用最广的。
我是数学系学生，学得一年，自我感受，数学分析整本书最重要的就是极限理论。
极限的思想是无限靠近，通过有限来定义无限。
这个思想贯穿了整本书。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
总而言之，极限是数学中极其重要的一个概念，它是第二次数学危机的产物，是几千年人类思想的结晶。
我还记得我第一次上数学分析课时老师说过的话：“今天我们要讲的内容很重要，实际上学完这本书后你会发现这本书实际上就讲了这么一个概念：极限。
”。