大学物理-静电场与电容器

➢ 內、外圓柱間的電場可用高斯定律計算而得。
➢圖19-5 (a) 一個圓柱 電容器係由兩個等長 、同軸的金屬圓柱所 組成；(b) 電容器內的 電力線在徑向，出於 正極，終於負極。
黃元正製作 Slide 16
➢ 設內圓柱面共帶正電Q，外圓柱面共帶負電 – Q ，取一圓柱形的高斯面 S，其半徑 r 介於 a 與 b 之間，長度 h 不大於，如圖 19-6 所示。依高斯 定律，
Q E
0A
黃元正製作 Slide 25
：
➢ 正負極間的電位差為
V0
E(d
t)
Q(d t)
0A
即此電容器的電 容為
Q
(
d
0A t
)
V0
C Q 0A
V0 d t
此電容值與金屬塊在電容器內的位置無關。
黃元正製作 Slide 26
19-4帶電的電容器所儲存的能量
➢ 孤立的帶電導體之靜電位能
➢ 電容器是由兩個導體所組成，因此在討論帶 電的電容器所儲存的靜電能之前，我們可先 討論帶電的導體的靜電能。
黃元正製作 Slide 24
：
➢ 因靜電感應，插入的金屬塊其靠近正極之表面S1帶負電 ，靠近負極之表面S2帶正電，設正極帶有正電荷 Q。取 如圖示的高斯面，因高斯面上，電場均為零，故通過S 的總電通量為零，因此， S1面的總感應電荷為－Q，而 另一面S2的總感應電荷為＋Q。正極與面間有均勻電場 ，設其量值為 E，同理， 負極與S2面間亦有 相同的電場，且
黃元正製作 Slide 31
➢ 假設在電荷轉移的某一個階段，其中一個導體
帶電－q，另一個帶電＋q，並令此時兩個導體
間的電位差為V(q)，電容器所儲存的靜電能量 為U(q)。若再將的電荷從負極移轉至正極，如 圖 19-9 所示，則外力需做功
dW (dq)V (q) q dq C
dU(q) dW q dq C
➢ 漏出電容器外的電力線，其起點或終點落在金 屬板的外側表面上，這表示有少部份的電荷會 出現在外側表面上。當兩板之間的距離變小， 器外的電場會變弱，外側表面上的電荷也會變 小。當兩板之間的距離遠小於板的尺寸時，電 容器外的電場變得很微弱，而可以忽略不計。
圖19-2 一個帶電的平 行板電容器其所產生 的電場的示意圖。電 力線始於正極而終於 負極為
B
VAB E d A
4. 電容的理論值即為
C Q V AB
➢
我們已算出一個平行板電容器的電容為 C
黃元正製作
0A
Slidde
14
19-3-1 圓柱電容器
➢ 圓柱電容器是由兩個同軸、等長的中空薄圓柱 殼導體所組成，如圖 19-5 所示。
➢ 內圓柱可以是一個薄的圓柱殼，也可以是一個 實心的圓柱體，設內圓柱的外半徑為 a。外圓 柱是一個薄的中空圓柱殼，設其內半徑為 b。
Q 正比於V CV
上式中之比例常數 C 稱為電容器的電容。 黃元正製作 Slide 3
➢ 電容的量值和兩個導體的形狀、尺寸以及相對 距離與方位等純幾何因素有關。電容的大小決
定一個電容器在一定的電位差之下所能儲存的
電荷量與電能。電容的單位為 C/V。1 C/V定為 1F （法拉，紀念法拉第）：
1F 1C/V
U
1 2
n i 1
(qi )V
1V 2
(qi )
i 1
1 QV 2
(19-13）
黃元正製作 Slide 28
例 19-3
一半徑為 a，孤立的圓球形導體帶有電荷 Q，求其所儲存的靜電能量。
黃元正製作 Slide 29
：
此球的電位
V Q
4 0a
1
Q2
U QV
2
8 0 a
黃元正製作 Slide 30
➢ 平行板電容器是一種常見的電容器 ➢ 所謂的理想平行板電容器係指其兩板的間距 遠小於每一板的尺寸。 ➢ 理想平行板電容器帶電時，可假設其內部有 均勻的電場，一些電學的基本公式均可用理 想平行板電容器為例導出。 ➢ 實驗上，若在電容器內填裝液體或固體，並 做一些基本電學量測，可讓我們了解液體或 固體的物性隨溫度的改變而變化的現象。因 此，電容器在生活與物理的領域中都很有用 。
➢圖19-5 (a) 一個圓柱 電容器係由兩個等長 、同軸的金屬圓柱所 組成；(b) 電容器內的 電力線在徑向，出於 正極，終於負極。
黃元正製作 Slide 15
➢ 假設圓柱的長度l＞＞ a、b，那麼我們可以假設
漏出器外的電場及電荷可以忽略不計，則電容 器內的➢電1 場在徑向，而且在每一個垂直於圓柱 軸的橫切面上，電場的量值均相同，這也等於 假設內或外圓柱面上的面電荷密度均相同。
ln(b )
ln( 2.10 )
a
0.150
黃元正製作 Slide 21
19-3-2 圓球電容器
➢ 圓球電容器由兩個同心的薄導體球殼所組成（ 內球也可以是實心），如圖 19-7 所示。設內球 的外半徑為 a，外球殼的內半徑為 b，且內球帶 正電 Q，外球帶負電－Q 。
圖19-7 圓球電容器係 由兩個同心的金屬球 殼所組成。帶電時， 其內的電場在徑向。
黃元正製作 Slide 22
➢ 在內球之內部及外球之外面 ，電場均為零，而在兩球之 間，電場係沿徑向，其量值 由高斯定律可算得為
E Q
4 0r 2
(a r b)
正負極間的電位差為
V b Qdr Q ( 1 1) Q (b a) a 4 0r 2 4 0 a b 4 0 ab
故電容為
圖19-2 一個帶電的平 行板電容器其所產生 的電場的示意圖。電 力線始於正極而終於 負極。
➢ 電容器之內固然有電場，電容器之外也有較弱
的電場。要讓器外的電場完全消失，理論上是
不可能的。圖 19-2 是在電容器內外，電力線的
示意圖。
黃元正製作 Slide 8
➢ 在電容器的中央部份，電力線均勻且呈直線， 表示電場均勻；而靠近兩端，電力線呈彎曲， 表示電場在兩端面附近不均勻。
➢ 這樣的設計顯然讓電纜線可適度的彎曲。 ➢ 單位長度的電容值，由（19-8）式，為
C 2 0
ln( b ) a
(19-9）
黃元正製作 Slide 19
例 19-1
一同軸電纜線，其內半徑 a＝0.15 mm，外 半徑 b＝2.10 mm，求單位長度的電容。
黃元正製作 Slide 20
：
C 2 0 2 (8.85 pF/m) 21.0 pF/m
磁振盪線路中的一個主要零件，更是許多電
器或電子線路中常用的零件。
➢ 要把電力公司所提供的交流電轉換成直流電
，需要一個濾波器，而電容器通常是濾波器
的主要零件。
➢ 電容器所儲存的電能可以在很短的時間內釋
放出，
➢ 照相機閃光裝置便是利用此一特性設計而成
➢ 充電的電容器也是脈衝雷射的主要能源供應
器。
黃元正製作 Slide 5
帶電的電容器所儲存的能量
➢ 設電容器是由兩個相鄰的導體所組成，且兩個 導體上所帶的電量數值相同，但符號相反。
➢ 假設開始時兩個導體上均不帶電，此時的靜電 能量為零。
➢ 藉由外力（例如電池的電動勢）將電荷（原本 是電子，但習慣上我們也可假設將正電荷從一 導體上取出）從一個導體上取出，並移至另一 個導體上。
E(2 r h) h Qh 0 0
Q
E Q
2 0 r
ar b
圖 19-6 電力線垂直於 半徑為 r 的高斯面 S
黃元正製作 Slide 17
正負兩極間的電位差為
V Q bdr Q ln ( b ) 2 0 a r 2 0 a
故電容 C 為
C Q 2 0 （圓柱電容器）
V ln (b ) a
黃元正製作 Slide 10
➢ 由高斯定律，電容器內電場的量值為
E Q
0A
A 為金屬板的面積 。故兩板間的電位 差為
V Ed Q d
0 A
圖19-3 一出電容器之外，電場 即消失，理論上是不可能的。
d 為兩板的間距。因此，一個理想的平行板電
容器之電容為
C Q 0A
Vd
(19-4）
黃元正製作 Slide 11
C 8.85 10 12 F 8.85 pF
因此常數也可以表示為
0
8.85
pF/m 黃元正製作
Slide
12
➢ 一些常見電容器的實體圖
圖 19-4 是一些常見電容器的實體圖。
圖19-4 常見電容器的實體圖
黃元正製作 Slide 13
19-3 電容的計算
➢ 一個電容器其電容值的計算可依循下列程序： 1. 讓正極帶正電Q，負極帶負電－Q。 2. 若電容器金屬導體的形狀為平面、圓柱或球 形，則可經由高斯定律計算電容器中之電場
靜電能與電容器
University Physics
Chapter 19
Key Concepts
➢ 19-1 電容器 ➢ 19-2 平行板電容器 ➢ 19-3 電容的計算 ➢ 19-4 帶電的電容器所儲存的能量 ➢ 19-5 靜電能與電場 ➢ 19-6 電容器的並聯與串聯 ➢ 19-7 電容器與介電物質
➢ 假設一孤立的導體原來不帶電，經由外力將 電荷從無限遠處移植至導體的表面上。移植 至導體表面上的電荷會自行調整，使整個導 體成為一個等電位的體積。
黃元正製作 Slide 27
孤立的帶電導體之靜電位能
➢ 我們可將帶電導體的表面分割成 n 部份（ n ∞），每部份的電荷，均可視為點電荷 ，又因導體面上各處之電位均相同，故由（ 18-19）式，孤立的帶電導體，其靜電位能
C Q 0A
Vd
(19-4）
➢ 上式告訴我們，理想平行板電容器的電容值與 板的面積成正比，與兩板的間距成反比。