n次独立重复试验的模型及二项分布.

第八节 n 次独立重复试验与二项分布

[备考方向要明了]

考

什 么

怎 么 考

1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．

2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.

相互独立事件、n 次独立重复试验的概率求法是每年高考的热点，特别是相互独立事件、n 次独立重复试验及二项分布的综合更是高考命题的重中之重，如2012年山东T19等.

[归纳·知识整合]

1．条件概率及其性质

条件概率的定义

条件概率的性质

设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝

P AB

P A

为在事件A 发生条件下，事件B 发生的

条件概率

(1)0≤P (B |A )≤1

(2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪

C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )

2.事件的相互独立性

(1)定义：设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．

(2)性质：

①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． [探究] 1.“相互独立”和“事件互斥”有何不同？

提示：两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．

3．独立重复试验与二项分布

独立重复试验 二项分布

定义

在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验 在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，

设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变

量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功

概率

计算公式 A i (i ＝1,2，…，n )表示第i

次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )

在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k

(1－p )

n －k

(k ＝0，1,2，…，n )

[探究] 2.二项分布的计算公式和二项式定理的公式有何联系？ 提示：如果把p 看成a,1－p 看成b ，则C k n p k

(1－p )

n －k

就是二项式定理中的通项．

[自测·牛刀小试]

1．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝1

4，则P (EF )的值等于( )

A ．0 B.116

C.14

D.12

解析：选B EF 代表E 与F 同时发生， 故P (EF )＝P (E )·P (F )＝1

16

.

2．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝3

8，则P (A )等于( )

A.3

16

B.1316

C.34

D.14

解析：选C 由P (AB )＝P (A )P (B |A )可得P (A )＝3

4

.

3．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是( )

A ．0.26

B ．0.08

C ．0.18

D ．0.72

解析：选A P ＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.

4．掷一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率为2

3，若将此硬币掷4次，则正面朝上3次的

概率是________．

解析：设正面朝上X 次，则X ～B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫4，23， P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫

131

＝

32

81

. 答案：3281

5．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________．

解析：设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”， 则P (A )＝C 1

6C 27，P (AB )＝1C 27，故P (B |A )＝P AB P A ＝1

6.

答案：1

6

条件概率

[例1] (1)甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为( )

A ．0.6

B ．0.7

C ．0.8

D ．0.66

(2)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________．

[自主解答] (1)甲市为雨天记为事件A ，乙市为雨天记为事件B ，则P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，

故P (B |A )＝

P AB P A ＝0.12

0.2

＝0.6.

(2)记A ＝“甲厂产品”，B ＝“合格产品”，则P (A )＝0.7，P (B |A )＝0.95.故P (AB )＝

P (A )·P (B |A )＝0.7×0.95＝0.665.

[答案] (1)A (2)0.665