(陈立平)机械系统动力学分析及ADAMS应用--第4章ADAMS软件算法基本理论

坐标系与地面坐标系间的坐标变换矩阵为：
Hale Waihona Puke Baidu
écosy cosf - siny cosq sinf
Agi = êêsiny cosf + cosy cosq sinf
êë
sinq sinf
- cosy sinf - siny cosq cosf - siny sinf + cosy cosq cosf
sinq cosf
(4-7)
矩阵 Fq ，为雅可比矩阵，如果 F 的维数为 m，q 维数为 n，那么 F q 维数为 m ´ n 矩
阵，其定义为 (F q )(i, j) = ¶F i ¶q j 。在这里 Fq 为 nc ´ nc （nh 个运动学约束，nc－nh 个
驱动约束，nc 个广义坐标）的方阵。
4.2.2 ADAMS 运动学方程的求解算法
第 4 章 ADAMS 软件基本算法
简化表达约束反力为：
å C j
=
n i =1
li
¶F ¶q j
这样方程(4-16）可以简化为：
P&j -
¶T ¶q j
= Qj
-Cj
动能可以近一步表达为：
T = 1 R&T MR&+ 1 g&T BT JBg&
2
2
其中 M 为构件的质量阵，J 为构件在质心坐标系下的惯量阵。
siny sinq ù
-
cosy
sin q
ú ú
cosq úû
（4-12） 定义一个欧拉转轴坐标系，该坐标系的三个单位矢量分别为上面三个欧拉转动的轴，
因而三个轴并不相互垂直。该坐标系到构件质心坐标系的坐标变换矩阵为：
ésinq sinf 0 cosq ù
B = êêsinq cosf
0
-
sin
q
ú ú
4.1.2 坐标系的选择
机械系统的坐标系广泛采用直角坐标系，常用的笛卡尔坐标系就是一个采用右手规则 的直角坐标系。运动学和动力学的所有矢量均可以用沿 3 个单位坐标矢量的分量来表示。 坐标系可以固定在一个参考标架上，也可以相对于参考框架而运动。合理地设置坐标系可 以简化机械系统的运动分析。在机械系统运动分析过程中，经常使用 3 种坐标系：
删除的内容: （ 删除的内容: .3 删除的内容: （ 删除的内容: .3 删除的内容: 2
删除的内容: 删除的内容: （ 删除的内容: .3-3 带格式的: 缩进: 首行缩进:
2 字符 删除的内容: .3-4 删除的内容: 则系统的动力学 方程 删除的内容: .3删除的内容: 5
删除的内容: .3-6
（1）地面坐标系（Ground Coordinate System）。地面坐标系又称为静坐标系，是固定 在地面标架上的坐标系。ADAMS 中，所有构件的位置、方向和速度都用地面坐标系表示。
（2）局部构件参考坐标系（Local Part Reference Frame，LPRF）。这个坐标系固定在构 件上并随构件运动。每个构件都有一个局部构件参考坐标系，可以通过确定局部构件参考 坐标系在地面坐标系的位置和方向，来确定一个构件的位置和方向。在 ADAMS 中，局部 构件参考坐标系缺省与地面坐标系重合。
(4-21)式可以简化为：
MV&= QR - CR
(4-23)
Pg
=
æ ççè
¶T ¶q&g
ö ÷÷ø
=
BT JBg&，由于 B 中包含欧拉角，为了简化推导，ADAMS
中并没有进
一步推导 P&g ，而是将其作一个变量求解。
这样 ADAMS 中每个构件具有如下 15 个变量（而非 12 个）和 15 个方程（而非 12 个）。 变量：
4.1 ADAMS 建模基础
ADAMS 利用带拉格朗日乘子的第一类拉格朗日方程导出――最大数量坐标的微分－ 代数方程（DAE）。它选取系统内每个刚体质心在惯性参考系中的三个直角坐标和确定刚体 方位的三个欧拉角作为笛卡尔广义坐标，用带乘子的拉格朗日第一类方程处理具有多余坐 标的完整约束系统或非完整约束系统，导出以笛卡尔广义坐标为变量的动力学方程。
(4-9)
其中， Dq j = q j+1 - q j ，表示第 j 次迭代。
tn 时刻速度、加速度可以利用线性代数方程的数值方法求解，ADAMS 中提供了两种
线性代数方程求解方法：CALAHAN 方法（由 Michigan 大学 Donald Calahan 教授提出） 与 HARWELL 方法（由 HARWELL 的 Ian Duff 教授提出 ），CALAHAN 方法不能处理冗 余约束问题，HARWELL 方法可以处理冗余约束问题，CALAHAN 方法速度较快。
êë cosq 1 0 úû
（4-13）
构件的角速度可以表达为：
w = Bg&
（4-14）
ADAMS 中引入变量we 为角速度在欧拉转轴坐标系分量：
we = g&
（4-15）
考虑约束方程，ADAMS 利用带拉格朗日乘子的拉格朗日第一类方程的能量形式得到 如下方程:
å d
dt
( ¶T ) - ¶T ¶q&j ¶q j
将(4-19)分别表达为移动方向与转动方向有：
P&R -
¶T ¶qR
= QR
- CR
（4-18） (4-19) (4-20) (4-21)
P&g -
¶T ¶qg
= Qg - Cg
(4-22)
( ) 其中
P&R
=
d dt
æçè ¶T
¶q&R
ö÷ø
=
d dt
MR& = MV&， ¶T = 0 。 ¶qR
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第4章 ADAMS 软件基本算法
本章主要介绍 ADAMS 软件的基本算法，包括 ADAMS 建模中的一些基本概念、运动 学分析算法、动力学分析算法、静力学分析及线性化分析算法以及 ADAMS 软件积分器介 绍。通过本章的学习可以对 ADAMS 软件的基本算法有较深入的了解，为今后合理选择积 分器进行仿真分析提供理论基础，为更好地使用 ADAMS 打下良好的理论基础。
4.1.1 参考标架
在计算系统中构件的速度和加速度时，需要指定参考标架，作为该构件速度和加速度 的参考坐标系。在机械系统的运动分析过程中，有两种类型的参考标架——地面参考标架 和构件参考标架。地面参考标架是一个惯性参考系，它固定在一个“绝对静止”的空间中。 通过地面参考标架建立机械系统的“绝对静止”参考体系，属于地面标架上的任何一点的 速度和加速度均为零。对于大多数问题，可以将地球近似为惯性参考标架，虽然地球是绕 着太阳旋转而且地球还有自转。对于每一个刚性体都有一个与之固定的参考标架，称为构 件参考标架，刚性体上的各点相对于该构件参考标架是静止的。
= Qj
+
n i =1
li
¶F ¶q j
(4-16)
T 为系统广义坐标表达的动能， q j 为广义坐标， Qj 为在广义坐标 q j 方向的广义力，
最后一项涉及约束方程和拉格朗日乘子表达了在在广义坐标 q j 方向的约束反力。
ADAMS 中近一步引入广义动量：
Pj = ¶T ¶q&j
(4-17)
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（3）标架坐标系（Marker System）。标架坐标系又称为标架，是为了简化建模和分析 在构件上设立的辅助坐标系，有两种类型的标架坐标系：固定标架和浮动标架。固定标架
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机械系统动力学分析及 ADAMS 应用
固定在构件上，并随构件运动。可以通过固定标架在局部构件参考坐标系中的位置和方向， 确定固定标架坐标系的位置和方向。固定标架可以用来定义构件的形状、质心位置、作用 力和反作用力的作用点、构件之间的连接位置等。浮动标记相对于构件运动，在机械系统 的运动分析过程中，有些力和约束需要使用浮动标架来定位。
第 4 章 ADAMS 软件基本算法
式（4-3）为 nc 个广义坐标的 nc 个非线性方程组，其构成了系统位置方程。
对式(4-3)求导，得到速度约束方程：
F&(q, q&,t) = F q (q,t)q&+ Ft (q,t) = 0
(4-4)
若令u = -Ft (q, t) ，则速度方程为：
F&(q, q&,t) = F q (q,t)q&-u = 0
(4-5)
对式(4-4)求导，可得加速度方程：
F&&(q, q&, q&&,t) = Fq (q,t)q&&+ (Fq (q,t)q&)q q&+ 2Fqt (q,t)q&+ Ftt (q,t) = 0
(4-6)
若令h = -(Fqq&)q q&- 2Fqtq&- Ftt ，则加速度方程为：
F&&(q, q&, q&&,t) = Fq (q,t)q&&-h(q, q&,t) = 0
FK (q)
=
[F1K
(q),
F
K 2
(q),
...,
F
K nh
(q)]T
=
0
（4-1）
考虑运动学分析，为使系统具有确定运动，要使系统实际自由度为零，为系统施加等
于自由度（ nc - nh ）的驱动约束：
FD (q,t) = 0
(4-2)
在一般情况下，驱动约束是系统广义坐标和时间的函数。驱动约束在其集合内部及其与运
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机械系统动力学分析及 ADAMS 应用
4．3 ADAMS 动力学分析
4.3.1 ADAMS 动力学方程
ADAMS 中用刚体 B 的质心笛卡尔坐标和反映刚体方位的欧拉角作为广义坐标，即
q = [x, y, z,y ,q ,j]T ，令 R = [ x, y, z]T ， g = [y ,q ,f ]T ， q = [RT ,g T ]T 。构件质心参考
动力学方程的求解速度很大程度上取决于广义坐标的选择。研究刚体在惯性空间中的 一般运动时，可以用它的质心标架坐标系确定位置，用质心标架坐标相对地面坐标系的方 向余弦矩阵确定方位。为了解析地描述方位，必须规定一组转动广义坐标表示方向余弦矩 阵。第一种方法是用方向余弦矩阵本身的元素作为转动广义坐标，但是变量太多，同时还 要附加六个约束方程；第二种方法是用欧拉角或卡尔登角作为转动坐标，它的算法规范， 缺点是在逆问题中存在奇点，在奇点位置附近数值计算容易出现困难；第三种方法是用欧 拉参数作为转动广义坐标，它的变量不太多，由方向余弦计算欧拉角时不存在奇点。ADAMS
软 件 用 刚 体 Bi 的 质 心 笛 卡 尔 坐 标 和 反 映 刚 体 方 位 的 欧 拉 角 作 为 广 义 坐 标 ， 即
qi
= [x, y, z,y ,q ,j ]T ， q
= [q1T , q2T ,L
,
q
T n
]T
。由于采用了不独立的广义坐标，系统动力
学方程虽然是最大数量，但却是高度稀疏耦合的微分代数方程，适用于稀疏矩阵的方法高 效求解。
动学约束合集中必须是独立和相容的，在这种条件下，驱动系统运动学上是确定的，将作
确定运动。
由式（4-1）表示的系统运动学约束和式（4-2）表示的驱动约束组合成系统所受的全
部约束：
F(q,
t)
=
éF êëF
K D
(q, (q,
t)ù t)úû
=
0
(4-3)
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q&= -Fq-1Ft
(4-10)
q&&= -Fq-1 éë(Fqq&)q q&+ 2Fqtq&+ Ftt ùû
(4-11)
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在 ADAMS 仿真软件中，运动学分析研究零自由度系统的位置、速度、加速度和约束 反力，因此只需求解系统的约束方程：
F(q,tn ) = 0
(4-8)
运动过程中任一时刻 tn 位置的确定，可由约束方程的 Newton-Raphson 迭代法求得：
Fqj Dq j + F(q j , tn ) = 0
4．2 ADAMS 运动学分析
4.2.1 ADAMS 运动学方程
利用 ADAMS 建立机械系统仿真模型时，系统中构件与地面或构件与构件之间存在运 动副的联接，这些运动副可以用系统广义坐标表示为代数方程，这里仅考虑完整约束。设
表示运动副的约束方程数为 nh ，则用系统广义坐标矢量表示的运动学约束方程组为：