杆件的变形形式
构件四种基本变形-受力特点
纵向纤维：构件由下部至上部，纵向纤维从伸长或压缩逐渐过渡到压缩或伸长，且上、下边缘的变化最大；截面中部有一既不伸长也不压缩的中性层。
横截面：各横截面发生了不同程度的位移和绕截面中性轴的微小转动。
剪力、弯矩
FS、M
纵向纤维：伸长或缩短均相等。
横截面：发生了沿外力作用方向的相对位移。
轴力
FN
剪切变形
受剪构件
铆钉、螺杆
杆件受一对大小相等、方向相反、作用线平行及相距很近的横向力作用
1、宏观变形：在两个力作用中间被剪断。
2、微观变形：介于两横向之间的各横截面沿外力作用方向发生相对错动。
剪力
FS
扭转变形
受扭构件
轴、雨篷梁
杆件两端垂直杆轴线平面内受到一对大小相等、方向相反的力偶作用
1、宏观变形：构件表面的纵向水平线倾斜了一个角度。
2、微观变形：各横截面绕杆轴线发生了沿力偶作用方向的相对转动。
扭矩
T
弯曲变形
（平面弯曲）
受弯构件
梁、板
杆件受到通过杆轴线平面内的力偶作用、或受到垂直于杆轴线的横向力（集中力、均布荷载）作用
1、宏观变形：构件出现了上凹下凸或下凹上凸，轴线由直线变成曲线。
四种构件基本变形汇总
基本变形类型
构件名称
典型构件
受力特点
（受力后构件保持平衡）
变形特点
（符合平面假设）
产生内力
轴向拉伸、压缩变形
轴向拉伸、压缩构件
轴压柱
杆件两端沿轴线方向作用一对大小相等、方向相反的轴向力作用
1、宏观变形：
受拉时，杆件伸长、截面变小；
受压时，杆件缩短、截面变大。
2、微观变形：（符合平面假设）
杆件变形的形式及基本
第一节 变性固体及其基本假定 第二节 杆件的外力与变形特点
第一节 变性固体及其基本假定
理想变形固体是指，对实际变形固体材料作出一些假设，将其理想化。 理想变化固体的基本假设有： （1）连续均匀假设。连续是材料内部没有空隙，均匀是指材料的性质各 处相同。连续均匀假设，即认为物体的材料无空隙的连续分布，且各 处性质相同。 （2）各向同性假设。即认为材料沿不同方向的力学性质均相同。具有这 种性质的材料称为各向同性材料，而各方向力学性质不同的材料称为 各向异性材料。 按照上述假设理想化了的变形固体，称为理想变性固体。刚体和理想变 性固体都是工程力学研究中，必不可少的理想化的力学模型。
图5-4
表5-1 4种基本变形的受力特点和变形特点
第二节 杆件的外力与变形特点
一、轴向拉伸与压缩 受力特点：杆件受到与杆轴线重合的外力 作用。 变形特点：杆轴沿外力方向伸长或缩短 产生轴向拉伸与压缩变形的杆件称为拉杆。 图5-1所示屋架中的弦杆、牵拉桥的拉 索、闸门启闭机的螺杆等均为拉杆。
图5-1
第二节 杆件的外力与变形特点
二、剪切 受力特点：杆件受到垂直杆轴方向的一组等值、反向、作用线相距极 近的平行力作用。 变形特点：二力之间的横截面产生相对错动变形。 产生剪切变形的杆件通常为拉杆的连接件。如图5-2所示螺栓、销轴连接 中的螺栓销钉，均产生剪切变形。
第一节 变性固体及其基本假定
变形固体受力作用产生变形。撤去荷载可完全消失的变形，称为弹性变 形。撤去荷载不能恢复的变形，称为塑性变形或残余变形。 在多数工程问题中，要求只发生弹性变形。 工程中多数构件在荷载作用下产生的变形量与其原始尺寸相比很微小时， 称为小变形，否则称为大变形。 小变形构件的计算，可采取变形前的原始尺寸并略去某些高阶微量，以 达到简化计算的目的。
浅析材料力学四种基本变形的异同点
浅析材料力学四种基本变形的异同点公主岭市职业教育中心宋静辉机械基础高等教育中材料力学的研究范围主要限于杆件，即长度远大于宽度和厚度的构件。
作用远杆件上的外力有各种形式，但杆件的基本变形形式只有四种：拉伸或压缩（简称拉压）、剪切、扭转和弯曲。
这四种基本变形是材料力学的重点内容，构成了材料力学理论体系中的一个个独立部分，学生学习时后很容易混淆。
现分析和总结四种基本变形的异同点，便于学生学习和理解。
一、四种变形的不同点1.受力特点不同。
受拉伸或压缩的构件大多是等截面直杆，其受力特点是：作用在杆端的两外力（或外力的全力）大小相等，方向相反，力的作用线与杆件的轴线重合。
工程中的连接件（如铆钉、螺栓等）会发生剪切变形，其受力特点是：作用的构件两侧面上外力的全力大小相等，作用线平行且相距很近；另外，承受剪切作用的连接件在传力的接触面上同时还受挤压力作用。
机械中的轴类零件往往产生扭转变形，其受力特点是：在垂直于轴线的平面内，作用着一对大小相等、方向相反的力偶。
梁是机器设备和工程结构中最重要的构件，主要发生弯曲变形，其受力特点是:作用在梁上的外边与其轴线垂直.若这些外力只是一对等值反向的力偶时,则称为纯弯曲。
2.变形特点不同。
构件在外力作用下发生的几何形状和尺寸变化称为变形。
拉压变形的特点是杆件沿轴线方向伸长或缩短；剪切变形的变形特点是介于两作用之间的各截面有沿作用力方向发生相对错动的趋势；扭转变形的变形特点是轴的各截面绕轴线将由直线变成曲线。
3.内力不同。
物体内某一部分与另一部分间相互作用的力称为内力。
构件在受到外力作用的同时，其内部将产生相应的内力。
对于发生拉压变形的杠件，内力遍及整个杆体内部，因为外力的作用线与杆件的轴线重合，故分布内力的合力作用线也必与杆件轴线重合，这种内力称为轴力。
轴力或为拉力或为压力。
构件受剪切时的内力称为剪刀，剪力分布在剪切面上（受剪件中发生相对错动的截面），其分布比较复杂，在工程实力是一个截面平面内的力偶，其力偶矩称为截面上的扭矩。
直杆的基本变形
直杆的基本变形
1、 轴向拉伸与压缩
拉伸： 在轴向力大作用下，杠杆产生伸长变形 压缩： 在轴向力大作用下，杠杆产生缩短变形
受力特点：沿杆件轴向作用一对等值、反向的拉力或
压力
变形特点：杆件沿轴向伸长或者缩短。
公式：
Fn 表示横截面轴力 A 表示横截面积
2、 剪切 剪切：杆件受到一定垂直于杆轴方向的大小相等、方
向相反、作用线相距很近大外力作用做引起大变形。
受力特点：截面两侧受一对等值、反向、作用线相近
的横向力
变形特点：截面沿着力的作用方向很对错动。
3、 扭转
扭转：直杆在两端受到作用于杆断面的大小相等方向
想法大力矩（扭矩）作用，则发生扭转。
受力特点：在很截面内作用一对等值、方向的力偶 N F A σ=
变形特点：轴表面的纵线变成螺旋线。
4、弯曲
弯曲：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线大轴线变成曲线的变形
受力特点：受垂直于梁轴线的外力或在轴线平面内作用的力偶
变形特点：使梁的轴线由直变弯。
3.1杆件四种基本变形及组合变形
《杆件的四种基本变形及组合变形、直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计剪切变形的受力特点是作用在构件上的横向外力大小相等、方向相反、作用线平行且距离很近。
剪切变形的变形特点是介于两横向力之间的各2．剪切【工程实例】如图a所示为一个铆钉连接的简图。
钢板在拉力F的作用下使铆钉的左上侧和右下侧受力（图b），这时，铆钉的上、下两部分将发生水平方向的相互错动（图c）。
当拉力很大时，铆钉将沿水平截面被剪断，这种破坏形式称为剪切破坏。
3. 扭转用改锥拧螺钉时，在改锥柄上手指的作用力构成了一个力偶，螺钉的阻力在改锥的刀口上构成了一个方向相反的力偶，这两个力偶都作用在垂直于杆轴的平面内，就使改锥产生了扭转变形，如图a所示。
例如汽车的转向轴（图b）。
当驾驶员转动方向盘时，相当于在转向轴A端施加了一个力偶，与此同时，转向轴的B端受到了来自转向器的阻抗力偶。
于是在轴AB的两端受到了一对大小相等、转向相反的力偶作用，使转向轴发生了扭转变形。
弯曲【试一试】两手支撑一把长尺子，中间放一重物，尺子会发生怎样的变形呢？纵向对称面：梁的横截面多为矩形、工字形、等（图），它们都有一根竖向对称轴，这根对称轴与梁轴线所构成的平面称为纵向对称面。
平面弯曲：梁的弯曲平面与外力作用面相重合的3.2直杆轴向拉、压横截面上的内力 内力的概念 轴力的计算 1）轴力为了显示并计算杆件的内力，通常采用截面法。
假设用一个截面m-m （图a ）将杆件“切”成左右两部分，取左边部分为研究对象（图b ），要保持这部分与原来杆件一样处于平衡状态，就必须在被切开处加上，这个内力F N 就是右部分对左部分的作用力。
在轴向拉（压）杆中横截面中的内力称为由于直杆整体是平衡的，左部分也是平衡的，对这部分建立平衡方程：=0 0=-N F F若取右部分为研究对象，则可得0='-N F F 可以看出，取任一部分为研究对象，都可以得到相同的结果，其实F N 与F ′N 是一对作用力与反作用力，其数值必然相等。
第7章 杆件的变形与刚度
32Tmax ⋅180 4 32 × 2000 ×180 d ≥4 = ×103 = 83.5mm G[θ ]⋅ π 2 80 ×109 × 0.3π 2
该圆轴直径应选择：d =83.5mm.
[例2]图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m； [τ]=60MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚 度，并计算两端面的相对扭转角。 mC
D
解：本题应分4段考虑。 π D4 I P1 = I P 2 = 32
d
A
a
1
2
B 3 b b
4
a
C
32 π D3 Wt1 = Wt 2 = 16 d4 π D3 (1 − 4 ) Wt 3 = Wt 4 = 16 D
I P3 = I P 4 =
π
(D4 − d 4 )
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 4 1 2 3
16mC
⊕
○ 1kN.m
π [τ ]
16 × 2000 3 = ×10 6 π 60 ×10
3
= 55.4mm
mA A
mB
mC
⑵按刚度条件
l1
B l C 2
2kN.m
⊕
○ 1kN.m
θ max = T ⋅ 180 ≤ [θ ] (°/m) GI p π π 4 Tmax 180 IP = d ≥ ⋅ 32 G[θ ] π
d2
mA
d1
mB
解： ⑴按强度校核
C
l2
A l1 B
0.6kN.m
T1 16mB τ1 = = Wt1 π d13 16 × 600 = = 47.7 MPa < [τ ] 3 π ×4
简述杆件基本变形的类型及内力和应力的特点。
简述杆件基本变形的类型及内力和应力的特点。
杆件是指在它的横截面上允许受力，而沿杆轴方向的变形很大的构件。
杆件受外力作用时会产生应力和变形，在静力学中，可以分为以下基本变形类型：拉伸变形、压缩变形、弯曲变形、剪切变形、扭转变形。
拉伸变形是指杆件沿轴向受拉力作用，导致杆件整体拉长，这种变形引起的应力称为拉应力。
拉伸变形容易观察和测量，对钢材来说，拉伸应力可以很好地近似表达为复合应力。
压缩变形是指杆件沿轴向受压力作用，导致杆件整体缩短，这种变形引起的应力称为压应力。
压缩变形对杆件的强度会产生不利影响，因为它往往容易造成杆件失稳。
弯曲变形是指杆件在轴向沿一定力臂受力下弯曲，这种变形引起的应力称为弯曲应力。
杆件在弯曲时会产生剖面矩形，控制剖面矩形是理解弯曲变形的关键。
剪切变形是指杆件沿截面剪切受力，这种变形引起的应力称为剪切应力。
杆件在剪切变形时，杆件截面的形状会改变。
剪切变形不会引起杆件的长度变化，而是改变杆件截面的形状。
扭转变形是指杆件在轴向沿一定力臂受扭力作用下发生扭转，这种变形引起的应力称为剪应力。
扭转变形主要对薄壁的圆柱形杆件有影响，对杆件横截面上的应
力会形成主剪应力，对杆件轴向则会形成附剪应力。
总之，不同的基本变形类型在不同的情况下都会对杆件产生应力和变形。
了解不同基本变形类型的特点对于设计杆件或者判断其受力状况都至关重要。
杆件的变形和刚度条件
1.3 圆轴扭转时的变形与刚度条件
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1.3.1 圆轴扭转时的变形
假想用剖切平面将形体的某处剖开，仅画出断面的图形称为断面图。
如图（a）所示为断面图的形成过程，如图（b）所示即为画出断面图后的 实际效果。
对于长度为l，扭矩T为常数的等截面圆轴，其两端横截面间的扭转角为
杆件的变形和刚度条件
1.3 圆轴扭转时的变形与刚度条件
梁的挠曲线方程 y＝f（x）
ห้องสมุดไป่ตู้
转角
杆件的变形和刚度条件
1.2 梁的变形与刚度条件
1.2.2 梁的刚度条件
梁的刚度条件是最大挠度和转角（或指定截面的挠度和转角）分别不 得超过各自的许用值，即
式中，［y］和［θ］分别为梁的许用挠度和许用转角，其值由梁的具体工作要求来 规定，可从有关设计手册中查得。
杆件的变形和刚度条件
轴向线 应变
轴向变形 横向变形
横向线 应变
轴向 变形
杆件的变形和刚度条件
1.2 梁的变形与刚度条件
返回
1.2.1 梁的变形
梁变形的主要特征是轴线由直线变为曲线，梁的变形曲线称为挠曲线。 梁轴线上任一点的竖向线位移称为挠度，用y表示，并规定挠度向上为正， 反之为负。横截面绕中性轴转过的角度称为转角，用θ表示，并规定转角 以逆时针转向为正，反之为负。如下图所示悬臂梁，发生平面弯曲时，挠 曲线与外力作用面相重合，是一条光滑平坦的平面曲线。
工程力学
工程力学
杆件的变形和刚度条件
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1.1
拉压杆件的变形和应变
1.2
梁的变形与刚度条件
1.3
圆轴扭转时的变形与刚度条件
杆件的变形和刚度条件
1.1 拉压杆件的变形和应变
4.2_杆件变形的基本形式1
四、内力
• 外力：杆件所受其他物体的作用力都称为外力；包括 载荷和约束反力。 • 内力：构件受外力作用时，在产生变形的同时，在其 内部相邻部分之间产生的相互作用力称为内力。 • 轴力：轴向拉、压杆产生的内力称为轴力。用字母 FN表示。 • 注意：内力随外力的增加而增加，当达到某一限度时， 就会引起构件的破坏。
杆件变形-扭转
杆件变形-扭转
薄壁圆管的扭转
变形现象：
(1)圆周线绕轴线相对转 动 (2)圆周线的大小和间距 不变 (3)各纵线倾斜同一角度 (4)矩形网格变为平行四 边形 近似认为管内变形 与管表面变形相同
杆件变形-弯曲
1、概念
杆件承受垂直于其轴线方向的外力,或 在其轴线平面内作用有外力偶时, 杆的轴 线变为曲线.以轴线变弯为主要特征的变形 称为弯曲。 作用于这些杆件上的外力垂直于杆件的轴 线，使原为直线的轴线变形后成为曲线， 这种方式的变形称为弯曲变形。
材料拉伸与压缩时的力学性能
金属材料的力学性能：指金属材 料在外力的作用下所表现出来的性 能。一般是通过实验来测定的。
一、拉伸实验：
1、拉伸试件和实验条件 1）标准试件： l=10 d 和 l=5 d （对圆截面试样） l为标距 A为横截面面积 d为横截面直径 2)实验条件：常温、静载
拉伸
压缩
许用应力和安全系数
1）极限应力：材料丧失正常工作能力时的应力，称为极限 应力。 塑性材料的极限应力为屈服极限σs；脆性材料的极限应力为 强度极限σb。 2）许用应力：将极限应力除以一个大于1的系数n作为工作 时的允许的最大应力，这个应力称为许用应力。用[σ]表示。 塑性材料：[σ]=σs/n ； 脆性材料：[σ]=σb/n； 安全系数：反映了材料的强度储备情况；安全系数一定大于 1。n过大，造成学浪费；n过小安全得不到保证，甚至造 成事故。
轴向拉(压)杆的变形
轴向拉（压）杆的变形
1.4 泊松比
实验表明，对于同一种材料，当应力不超过比例极
限时，横向线应变与纵向线应变之比的绝对值为常数。比
值ν称为泊松比，亦称横向变形系数。即
(5-9a)
由于这两个应变的符号恒相反，故有
ε'=-νε
(5-9b)
泊松比ν是材料的另一个弹性常数，由实验测得。工
程上常用材料的泊松比见表5-1。
轴向拉（压）杆的变形
工程力学
引入比例常数E，则上式可写为 （5-7）
上式称为胡克定律，这是胡克定律的另一形式。 由式（5-7）可看出，EA越大，杆件的变形Δl就越小，故称EA 为杆件抗拉（压）刚度。工程上常用材料的弹性模量见表5-1。
轴向拉（压）杆的变形
1.3 横向变形
在轴向力作用下，杆件沿轴向的方向伸长（缩 短）的同时，横向尺寸也将缩小（增大）。设横向 尺寸由b变为b1，如图5-8(b)所示，Δb= b1-b，则 横向线应变为
工程力学
轴向拉（压）杆的变形
轴向拉伸（或压缩）时，杆件的变 形主要表现为沿轴向的伸长（或缩短）， 即纵向变形。由实验可知，当杆沿轴向 伸长（或缩短）时，其横向尺寸也会相 应缩小（或增大），即产生垂直于轴线 方向的横向变形。
轴向拉（压）杆的变形
1.1 纵向变形
设一等截面直杆原长为l，横截面面积为A。在轴向拉力F 的作用下，长度由l变为l1，如图5-8（a）所示。杆件沿轴线方 向的伸长为Δl=l1－l，拉伸时Δl为正，压缩时Δl为负。
图5-8
轴向拉（压）杆的变形
杆件的伸长量与杆的原长有关，为了消除杆件长度 的影响，将Δl除以l，即以单位长度的伸长量来表征杆件 变形的程度，称为线应变或相对变形，用ε表形
材料力学期末复习材料
复习题一、填空题1. 杆件的四种基本受力和变形形式为： 轴向拉伸（压缩） 、 剪切 、 扭转 和 弯曲。
2.在所有方向上均有相同的物理和力学性能的材料，称为 各向同性材料 。
3.应用假想截面将弹性体截开，分成两部分，考虑其中任意一部分平衡，从而确定横截面上内力的方法，称为 截面法 。
4.作用线垂直于截面的应力称为 正应力 ；作用线位于截面内的应力称为 剪应力 。
5.在平面弯曲的情形下，垂直于梁轴线方向的位移称为 挠度 ，横截面绕中性轴的转动称为 转角 。
6.小挠度微分方程的公式是__。
7.小挠度微分方程微分方程只有在 小挠度 、 弹性 范围内才能使用。
8．过一点所有方向面上应力的集合，称为这一点的 应力状态 。
9. 对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常产生取产生_0.2%_塑性变形所对应的应力值作为屈服应力，称为 条件屈服应力 ，用以_σ0.2__ 表示。
10．设计构件时，不但要满足__强度__，刚度和__稳定性__要求，还必须尽可能地合理选择材料和降低材料的消耗量。
11．大量实验结果表明，无论应力状态多么复杂，材料在常温、静载作用下主要发生两种形式的强度失效：一种是 屈服 ，另一种是 断裂 。
12．结构构件、机器的零件或部件在压缩载荷或其他载荷作用下，在某一位置保持平衡，这一平衡位置称为 平衡构形 或 平衡状态 。
13．GI p 称为圆轴的__扭转刚度__，它反映圆轴的__抗扭转__能力。
14．根据长细比的大小可将压杆分为 细长杆 、 中长杆 和 粗短杆 。
15．图示梁在CD 段的变形称为__纯弯曲__，此段内力情况为 _弯矩__。
16．为使图示梁在自由端C 处的转角为零，则m ＝____________，自由端挠度ωC ＝____________。
EIMdx w d ±=2217．某点的应力状态如图，则主应力为：σ1＝____________，σ3＝____________。
第三章 杆件的基本变形
第三章 杆件的基本变形这一章主要研究材料力学的有关内容，主要研究各种构件在外力作用下的内力和变形。
在保证满足强度、刚度和稳定性的前提下，为构件选用适宜的材料、确定合理的截面形状和尺寸，以达到即安全又经济的目的。
材料力学的研究对象主要是“杆件”，所谓杆件是指纵向（长度方向）尺寸远比横向（垂直于长度方向）尺寸大的多的构件，例如柱、梁和传动轴等。
杆有两个主要的几何因素，即横截面和轴线。
横截面指的是垂直于轴线方向的截面，后者即为所有横截面形心的连线。
杆件在外力作用下产生的变形，因外力作用的方式不同而有下列四种基本形式：（1） 轴向拉压变形；（2） 剪切变形；（3） 扭转变形，（4） 弯曲变形。
在工程实际中，有些构件的变形虽然复杂，但总可以看作是由以上几种基本变形组合而成，称为组合变形。
第1节 拉伸和压缩在工程结构和机器中，有许多构件是轴向拉伸和压缩作用。
本节主要讨论轴向拉伸的压缩时杆的内力和变形，并对材料在受拉、压时的力学性能进行研究，从而得出轴向拉、压杆的强度计算方法。
1、 内力与截面法1、内力的概念杆件在外力作用下产生变形，其内部的一部分对另一部分的作用称为内力。
显然，若外力消失，则内力也消失，外力增大，内力也增大。
但是对一定的材料来说，内力的增加只能在材料所特有的限度之内，超过这个限度，物体就会破坏。
所以，内力与强度是密切相关的。
2、截面法设一直杆，两端受轴向拉力F作用。
为了求出此杆任一截面m-m上的内力，，我们可以假想用一个平面，沿截面m_m将杆截断，把它分成Ⅰ、Ⅱ两部分，取Ⅰ段作为研究对象。
在Ⅰ段的截面m_m上到处都作用着内力，其合力为F N。
F N是Ⅱ段对Ⅰ段的作用力，并与外力F相平衡。
由于外力F的作用线沿杆件轴线，显然，截面m_m上的内力的合力也必然沿杆件轴线。
对Ⅰ段建立平衡方程：F N-F=0 得 F N＝F将受外力作用的杆件假想地切开用以显示内力，并以平衡条件来确定其合力的方法，称为截面法。
第5章 杆件的轴向拉伸与压缩变形
x轴所围成的区域。 （2）轴力的方向： FN正值画在x轴的上方，负值画在x轴的下方
，图形区域内部用垂直于x轴的均匀的竖线布满，并在图线区域内标 上（表示正）或－（表示负）符号。 （3）图线要对齐：轴力图一定要画在受力图的正下方，并且轴力 图线的突变位置要和外力作用点的位置对齐。分段时以相邻两个外力 的作用点分段。
加大到一定限度时，构件就会破坏，因而内力与构件的强度、刚度是
密切相关的。由此可知，内力是材料力学研究的重要内容。
第5章 杆件的轴向拉伸与压缩变形
使5用.2规.2范说截明面法
截面法是材料力学中求解内力的基本方法，是已知构件外力确定
内力的普遍方法。
如图5-2a所示，杆件在外力作用下处于平衡状态，若求截面 上
、吉帕（GPa）。
第5章 杆件的轴向拉伸与压缩变形
使5用.4规.2范说杆明件轴向拉压时横截面上的正应力
为了求得横截面上任意一点的应力，必须了解内力在截面上的分
布规律。
如图5-7所示，取一等截面直杆，在杆件上画上与杆轴线垂直且
等间距的横向线ab和cd，再画上与杆轴线平行且等间距的纵向线，
然后沿杆的轴线作用一拉力F，使杆件产生轴向拉伸变形。 观察杆件 变形前后的形状可知：横向线在变形前后均保持为直线，且都垂直于
时，杆件受压缩短，其轴力取负。
轴力的正负规定可简记为“背离所求截面取正；指向所求截面
取负”或“使杆件受拉取正；使杆件受压取负”。对于方向未知的轴
力，通常按正向假设，若计算结果为正，则实际方向与假设方向相同
；若计算结果为负，则实际方向与假设方向相反。
1-10杆件变形的基本形式
1－10杆件变形的基本形式作用在杆上的外力是多种多样的，杆件相应产生的变形也有各种形式。
经过分析，杆的变形可归纳为四种基本变形的形式，或是某几种基本变形的组合。
四种基本变形的形式计有：1． 拉伸或压缩(tension and compression) 这类变形是由大小相等、方向相反，作用线与杆件轴线重合的一对力所引起的，表现为杆件的长度发生伸长或缩短，杆的任意两横截面仅产生相对的纵向线位移。
下图表示一简易起重吊车，在载荷 F的作用下，斜杆承受拉伸而 水平杆承受压缩。
此外起吊重物的吊索、桁架结构中的杆件、千斤顶的螺杆等都属于拉伸或压缩变形。
F1F22．剪切(shear) 这类变形是由大小相等、方向相反、作用线垂直于杆的轴线且距离很近的一对横力引起的，其变形表现为杆件两部分沿外力作用方向发生相对的错动。
下图表示一铆钉连接，铆钉穿过钉孔将上下两板连接在一起，板在拉力F作用下，而铆钉本身承受横向力产生剪切变形，（图（b））。
机械中常用的连接件如键、销钉、螺栓等均承受剪力变形。
3．扭转(torsion) 这类变形是由大小相等，转向相反，两作用面都垂直于轴线的两个力偶引起的，变形表现为杆件的任意两横截面发生绕轴线的相对转动（即相对角位移），在杆件表面的直线扭曲成螺旋线。
例如，汽车转向轴在运动时发生扭转变形。
此外汽车传动轴、电机与水轮机的主轴等，都是受扭转的杆件。
4．弯曲(bending) 这类变形是由垂直于杆件的横向力，或由作用于包含杆轴的纵向平面内的一对大小相等、转向相反的力偶所引起的，表现为杆的轴线由直线变为曲线。
工程上，杆件产生弯曲变形是最常遇到的，如火车车辆的轮轴（见下图）、桥式起重机的大梁、船舶结构中的肋骨等都属于弯曲变形杆件。
机械中的零部件大多数同时承受几种基本变形，例如机床的主轴工作时承受弯曲、扭转与压缩三种基本变形的组合，钻床主柱同时承受拉伸与弯曲变形的组合，这种情况称为组合变形。
我们先依次分别讨论杆件在四种基本变形下的强度和刚度，然合再讨论组合变形时的强度和刚度问题。
杆件的外力与变形特点.
推导弯矩、剪力和载荷集度间 的微分关系。 （规定q(x)向上 为正）
dFQ ( x ) dx
= q( x)
dM ( x) = FQ ( x) dx
dM 2 ( x ) dFQ ( x ) = = q ( x) 2 dx dx
剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
解题步骤：
1.计算轴力 （1）选取控制截面； （2）选取研究对象； （3）根据平衡方程求横截面上的轴力； 2.画轴力图
§4 扭转轴的内力分析
2、扭矩正负号规定 按右手螺旋法则，以拇指代表 横截面外法线方向，则与其余4指 转向相同的扭矩为正，反之为负。 3、扭矩图 1)以平行于杆轴线的坐标为x轴，其上各点表示横截面的位置。 2) 以垂直于杆轴线的坐标为Mx坐标，其上各点表示扭矩Mx的大 小，选比例尺画出的图形称为扭矩图。 3)正扭矩画在Mx轴的正半轴一侧，负扭矩画在Mx轴的负半轴一 侧。画垂直于x轴的影线表示。 4)根据扭矩图可以确定扭矩最大值及其作用面位置。 5)在图形上注明数值、单位、正负、图名。
三、扭转
工程上有一些直杆，在外力作用下，其主要变形是横截面 绕着杆轴线的转动，这种变形称为扭转。以扭转变形为主要变 形的圆杆称为轴。例：机器中的传动轴，钢丝绞，水轮发电机 的主轴。
工程实例
受力特点：外力是一平衡力偶系，作用 在垂直于杆轴线
的平面内。
变形特点：所有横截面绕杆轴线作相对运动，任意两横
结论梁弯曲时任意横截面上的内力包括两部分剪力和弯矩其值常随截面的位置而变化梁中任意截面的剪力在数值上等于此截面任一侧梁上外力的代数和梁中任意截面的弯矩在数值上等于此截面任一侧梁上的外力对截面形心之矩的代数和
杆件受力的基本形式
杆件受力的基本形式
杆件受力的基本形式可以归纳为以下四种：
1.拉伸或压缩：这类变形是由大小相等、方向相反的力引起的，力的作用线与杆件轴线重合。
在变形上表现为杆件长度的伸长或缩短。
截面上的内力称为轴力。
横截面上的应力分布为沿着轴线反向的正应力。
整个截面应力近似相等。
2.剪切：这类变形是由大小相等、方向相反、力的作用线相互平行的力引起的。
剪切力会使得杆件产生剪切变形，例如断裂或扭曲。
3.扭转：这类变形是由大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的两个力引起的。
扭转力会使得杆件产生旋转或扭曲变形。
4.弯曲：这类变形由垂直于杆件轴线的横向力，或由包含杆件轴线在内的纵向平面内的一对大小相等、方向相反的力引起。
弯曲力会使得杆件产生弯曲变形，如拱起或凹陷。
《杆件的四种基本变形及组合变形、 直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计
《杆件的四种基本变形及组合变形、直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计课题 3.1杆件四种基本变形及组合变形教学时间2课时教学目标知识与技能认识杆件的基本变形和组合变形；过程与方法通过分析工程实例、生活实例中的受力及变形掌握杆件的基本变形的受力及变形特点；情感、态度、价值观通过分析工程结构中的受力及变形并口头描述，培养归纳、总结、语言表达的能力；教学重点1、杆件的基本变形受力特点、变形特点；教学难点1、杆件力学模型的理解2、杆件四种基本变形的区分教学内容及其过程学生活动教师导学一、引入手拉弹簧弹簧会发生什么变化？小朋友双臂吊在单杠上，人双手撑地倒立起来，胳膊都有什么样的感觉，胳膊的形状有改变吗？二、导学提纲3.1杆件四种基本变形及组合变形1.杆件是指其纵向长度远大于横向尺寸的构件，轴线是直线的杆件称为直杆。
2. 轴向拉伸和压缩受力特点是直杆的两端沿杆轴线方向作用一对大小相等、方向相反的力；变形特点是在外力作用下产生杆轴线方向的伸长或缩短。
3. 产生轴向拉伸变形的杆件，其当作用力背离杆端时，作用力是拉力（图a）；产生轴向压缩变形的杆件，其作用力指向杆端，作用力是压力，（图b）。
4. 剪切变形的受力特点是作用在构件上的横向外力大小相等、方向相反、作用线平行且距离很近。
5. 剪切变形的变形特点是介于两横向力之间的各截面沿外力作用方向发生相对错动。
6. 剪切面是指两横向力之间的横截面，破坏常在剪切面上发生。
7. 扭转变形的受力特点：在垂直于杆轴线的平面内，作用有大小相等、转向相反的一对力偶。
8. 扭转变形的变形特点：各横截面绕杆轴线发生让同学来回答弹簧、胳膊的受力和形状改变。
1、自主学习自学教材、自主完成导学提纲，记录疑点或无法解决的问题，为交流作准备。
2、组内交流在小组长的组织下，有序开展交流与探讨，共通过引导学生回答问题，引出物体在力的作用下变形是客观存在的，进入课题。
当有学生问到，或对有兴趣的学生可适当介绍如下关系：1、布置前置作业课前精心预设前置作业，（由导学提纲、探究与感悟组成）组织学生自主学习。
杆件的基本变形
名词术语 材料力学研究的对象多为等直杆
形心 轴线 横截面
1）拉伸和压缩变形
作用力特点：杆件受到大小相等、方向相反、作用 线与轴线重合的一对力的作用。 变形特点：沿轴向的伸长或缩短。
2）剪切变形
作用力特点：杆件受到大小相等、方向相反且作用 线靠近的一对力的作用。 变形特点：杆件两部分沿外力方向发生相对错动。
杆件的基本变形
材料力学研究的对象为杆件
梁
梁
柱
杆 轴 纵向尺寸远大于横向尺寸 轴
件柱
…
构件所受到的外力作用称为载荷
集中力 载荷 分布力
FM
q
集中力偶
名词术语
杆件轴线： 各横截面形心的连线称为该杆的轴线 横截面： 与轴线垂直的截面称为杆的横截面。
杆件的两个特征
直杆： 轴线为直线的杆称为直杆 等直杆： 横截面的形状和大小不变的直杆称为等直杆 曲杆： 轴线为曲线的杆称为曲杆
实际构件的变形经常是几种基本变 形的组合，称为组合变形。
例如车床主轴工作时就是弯曲、扭 转和压缩变形的组合。
3）扭转变形
作用力特点：在垂直于杆件轴线的两个平面内，分 别作用大小相等、转向相反的两个力偶。 变形特点：任意两个横截面发生绕轴线的相对转动， 变形前杆的母线变形后成为斜的纵向平面内，作用 大小相等、方向相反的一对力偶，或作用与轴线垂 直的横向力。 变形特点：杆件轴线由直线变为曲线。
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3.2.2 杆件的变形形式
（1）杆件变形的基本形式 ① 轴向拉伸与压缩 当作用于杆件的外力合力的作用线与杆件的轴线 重合，杆将产生轴向拉伸或压缩变形，如图3.1所示。 ② 剪切 当杆件受到一对大小相等、方向相反、作用线相 距很近并垂直杆轴的外力作用时，将产生剪切变形， 如图3.2所示。
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3.3 材料力学中的几个 重要概念
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3.3.1. 内 力
材料力学中的内力，是指物体内部各 部分之间因外力而引起的附加相互作用力， 即“附加内力”。
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3.3.2. 截面法
截面法是材料力学分析内力的
基本方法。
如图3.6所示，用截面假想地
把杆件分成两部分，
以显示并确定内力的方法称为
单元3 材料力学基础知识
教学目标：
1. 了解材料力学的研究对象及任务，了解杆件变形的分类情况； 2. 理解强度、刚度、稳定性、内力、应力、应变、静矩、惯性矩等 的概念； 3. 掌握组合图形的形心位置确定，理解惯性矩的平行移轴定理。
本单元内容
3.1
材料力学的研究对象及任务
3.2
杆件及其变形形式
3.3
Sz A dSz A ydA
(3-5)
Sy A dSy A zdA
材料力学中的几个重要概念
3.4
平面图形的几何性质
3.1 材料力学的研究对象 及任务
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3.1.1 材料力学的研究对象
材料力学的研究对象是变形固体。 由各种固体材料制成的构件，在荷载作用下将产生变形，统 称为变形固体。 变形固体的基本假设： （1）连续性假设 即认为组成构件的物质毫无空隙地充满到整个构件的几何容 积内。 （2）均匀性假设 即认为材料的各个部分的力学性能完全相同。 （3）各向同性假设 即材料在各个方向的力学性能完全相同。 （4）小变形假设 在材料力学中，认为构件受力后的变形量与构件原始尺寸相 比是极其微小的。 综上所述，材料力学研究的是均匀连续的、各向同性的理想 弹性体，且限于小变形范围。
图3.3
图3.4
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3.2.2 杆件的变形形式
（2） 组合变形的常见形式 组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会 包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同 一量级时，不能忽略，这类构件的变形称为组合变 形。 工程中常见的组合变形模式有斜弯曲、偏心压 缩（拉伸）、弯扭、拉（压）弯等。
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3一任意形状的平面图形如图3.11所示，面积 为A，在平面图形所在平面内内任意选取一个平 面坐标系zoy，在坐标(z,y)处取微面积dA，则微 面积dA与坐标y(或坐标z)的乘积称为微面积dA 对z轴(或对y轴)的静矩，记作dSz(或dSy)。
平面图形对z轴的静矩用Sz表示，平面图形 对y轴的静矩用Sy表示。我们定义
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3.3.4. 应 变
（1）变形 杆件在荷载作用下，其形状和尺寸发生变化的现象称之为变形。 （2）应变 应变是用以表明由外力所引起的变形体的内部的单位尺寸变化、 形状变化或体积变化的重要名词。
应变是衡量变形的尺度，通常把应变分为线应变和角应变两类， 线应变和角应变是度量一点处变形程度的两个基本量。
单位长度的变形称为线应变，用符号ε表示，如图3.10（a）所示； 单元体相邻棱边所夹直角的改变量，称为角应变或切应变，用γ表示， 如图3.10（b）所示。
图3.10
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3.4 平面图形的几何性质
平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素，杆 件的应力和应变不仅与杆件的内力有关，而且还与杆件截面的 横截面面积、惯性矩、抗弯截面模量、极惯性矩等平面图形的 几何性质密切相关。平面图形的几何性质纯粹是一个几何问题， 但它是计算杆件强度、刚度、稳定性等问题中必不可少的几何 参数。
图3.1
图3.2
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3.2.2 杆件的变形形式
③ 扭转 当在杆件的两端截面内施加大小相等、方向相反的力 偶时，杆件将产生扭转变形，如图3.3所示。 ④ 平面弯曲 当外力施加于杆的某个纵向平面内并垂直于杆的轴线， 或者在某个纵向平面内施加力偶时，杆件轴线将由直线变 成曲线，如图3.4所示，这种变形称为平面弯曲。
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3.1.2 材料力学的研究任务
材料力学的研究任务是：在保证构件满足强度、 刚度和稳定性要求的前提下，以最经济的代价为构件 选择最适合的材料、确定合理的截面形状及尺寸，提 供必要的理论基础、计算方法和实验技术。
构件在外力作用下抵抗破坏的能力称为构件的强 度。
构件在外力作用下抵抗变形的能力称为构件的刚 度。
截面法。
截面法计算杆件内力过程中的
四个要点：
切开：沿所求截面假想地将杆 件切开；
图3.6
取出：取出其中任意一部分作为研究对象；
替代：以内力代替弃去部分对选取部分的作用；
平衡：列平衡方程求出内力。
注意：在使用截面法求内力是时，杆件在被截开前，静力学中的
力系等效代换及力的可传性原理是不适用的。
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构件维持原有平衡状态的能力称为构件的稳定性。
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3.2 杆件及其变形形式
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3.2.1 杆 件
实际的工程结构中，许多受力构件如桥梁、汽车传 动轴、房屋的梁、柱等，其长度方向的尺寸远远大于横 截面尺寸，这一类的构件在材料力学的研究中，通称为 杆件。
杆的所有横截面形心的连线，称为杆的轴线，若轴 线为直线，则称为直杆；轴线为曲线，则称为曲杆。所 有横截面的形状和尺寸都相同的杆称为等截面杆；否则 称为变截面杆。材料力学主要研究对象为等截面直杆。
3.3.3. 应 力
（1）应力的概念 内力在截面上一点处的分布集度称为应力。 （2）应力的分类 应力p又称为全应力，它是一个矢量，其方向与内力的方向 相同。在材料力学中，通常将全应力p分解为沿截面法线方向的 分量σ和与截面相切的分量τ，其中σ称为正应力，τ称为剪应力。 （3）应力的单位 应力的量纲是[力]／[长度] 2，应力的基本单位是“帕斯卡”， 简称帕 (Pa)，1Pa＝1N/m 2。常用单位是兆帕(MPa)，1MPa=10 6 Pa，另外应力的单位还有吉帕(GPa)，1GPa=10 9Pa 。