浙教版八年级竞赛培优训练第25讲 矩形、菱形

第25讲 矩形、菱形【思维入门】1．如图8－25－1所示，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，H 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于 ( )A ．3.5B ．4C ．7D ．142．有4个命题：(1)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； (2)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；(3)O 是四边形ABCD 内一点，若AO ＝BO ＝CO ＝DO ，则四边形ABCD 是矩形； (4)若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形． 其中正确的命题个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．如图8－25－2，在▱ABCD 中，添加下列条件之一能使它成为菱形的是 ()图8－25－2①AC ⊥BD ；②∠BAD ＝90°； ③AB ＝BC ；④AC ＝BD . A ．①或③ B ．②或③ C ．③或④D ．①或②或③4．如图8－25－3，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连结BE ，DF ，EF ，BD ，若四边形BEDF 是菱形，且EF ＝AE ＋FC ，则边BC 的长为()图8－25－1图8－25－3 A．2 3 B．3 3C．6 3 D.92 35．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足(a－1)2＋b－4＝0，那么菱形的面积等于____．6．已知：如图8－25－4，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF.(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．图8－25－4【思维拓展】7．如图8－25－5，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝13AB.将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连结BP交EF于点Q.对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是()图8－25－5A．①②B．②③C．①③D．①④8．如图8－25－6，矩形ABCD中，AB＝60，BD＝BC＋23CD，则BC＝______．图8－25－69．如图8－25－7，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连结DE，BE，若△ABE是等边三角形，则S△DCES△ABE＝____．图8－25－710．如图8－25－8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF.(1)求证：AF＝DC；(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．图8－25－811．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图8－25－9①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图8－25－9②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．图8－25－912．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图8－25－10①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且S △ACD ＝S △BCD .应用：如图8－25－10②，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE ＝BF ，AF 与BE 交于点O . (1)求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；(2)连结OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积． 探究：在△ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝4，点D 在线段AB 上，连结CD ， △ACD 和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到 △A ′CD ，若△A ′CD 与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的14，请直接写出△ABC 的面积．图8－25－10 【思维升华】13．菱形的两条对角线之和为L ，面积为S ，则它的边长为( )A.12L 2－4SB.12L 2－2S C.122L －4SD.124S －L 214．如图8－25－11，四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，∠ABC ＝30°，AB ＝6，AD ＝CD ，AB ∥CD ，那么BD 的长度是 ( )图8－25－11A ．7B ．4C ．27D ．4 215．如图8－25－12，将两个长为8，宽为2的矩形透明塑料片交叉摆放，重叠部分是菱形ABCD，当两个塑料片不重合但有一条对角线重合时，菱形ABCD的周长最大，这个最大值是____．图8－25－1216．如图8－25－13，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0，0)，A(0，6)，B(4，6)，C(4，4)，D(6，4)，E(6，0)．若直线l经过点M(2，3)，且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是____.图8－25－13第25讲矩形、菱形【思维入门】1．如图8－25－1所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于(A)A．3.5B．4C．7D．142．有4个命题：(1)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； (2)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；(3)O 是四边形ABCD 内一点，若AO ＝BO ＝CO ＝DO ，则四边形ABCD 是矩形； (4)若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形． 其中正确的命题个数是( B )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 (1)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故(1)错误；(2)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，可证出另一组对边也平行，故(2)正确；(3)O 是四边形ABCD 内一点，若AO ＝BO ＝CO ＝DO ，则四边形ABCD 是矩形，只有点O 是四边形ABCD 对角线的交点时，上述说法才成立，故(3)错误； (4)若四边形的两条对角线平分且互相垂直，则这个四边形是菱形，故(4)错误． 3．如图8－25－2，在▱ABCD 中，添加下列条件之一能使它成为菱形的是 ( A)图8－25－2①AC ⊥BD ；②∠BAD ＝90°； ③AB ＝BC ；④AC ＝BD . A ．①或③ B ．②或③ C ．③或④D ．①或②或③4．如图8－25－3，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连结BE ，DF ，EF ，BD ，若四边形BEDF 是菱形，且EF ＝AE ＋FC ，则边BC 的长为( B)图8－25－1图8－25－3A ．2 3B ．3 3C ．6 3D.92 3【解析】 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC ＝90°，∵四边形BEDF 是菱形， ∴EF ⊥BD ，∠EBO ＝∠DBF .∵EF ＝AE ＋FC ，AE ＝CF ，EO ＝FO ， ∴AE ＝EO ＝CF ＝FO .∴AB ＝BO ＝3，∠ABE ＝∠EBO ，∴∠ABE ＝∠EBD ＝∠DBC ＝30°，BE ＝2 3. ∴BF ＝BE ＝2 3. ∴CF ＝AE ＝ 3. ∴BC ＝BF ＋CF ＝3 3.5．如果菱形的两条对角线的长为a 和b ，且a ，b 满足(a －1)2＋b －4＝0，那么菱形的面积等于__2__．【解析】 由题意，得a －1＝0，b －4＝0，解得a ＝1，b ＝4. ∵菱形的两条对角线的长为a 和b ， ∴菱形的面积＝12×1×4＝2.6．已知：如图8－25－4，在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连结BE ，DF . (1)求证：△DOE ≌△BOF ；(2)当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由．图8－25－4解：(1)证明：∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，∴BO ＝DO ，∠EDB ＝∠FBO ， 在△DOE 和△BOF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EDO ＝∠FBO ，DO ＝BO ，∠EOD ＝∠FOB ， ∴△DOE ≌△BOF (ASA )．(2)当∠DOE ＝90°时，四边形BFDE 为菱形． 理由：∵△DOE ≌△BOF ， ∴BF ＝DE ， 又∵BF ∥DE ，∴四边形EBFD 是平行四边形． ∵BO ＝DO ，∠EOD ＝90°， ∴EB ＝DE .∴四边形BFDE 为菱形．【思维拓展】7．如图8－25－5，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE ＝13AB .将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连结BP 交EF 于点Q .对于下列结论：①EF ＝2BE ；②PF ＝2PE ；③FQ ＝4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是( D )图8－25－5 A．①②B．②③C．①③D．①④8．如图8－25－6，矩形ABCD中，AB＝60，BD＝BC＋23CD，则BC＝__25____．图8－25－69．如图8－25－7，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连结DE，BE，若△ABE是等边三角形，则S△DCES△ABE＝__13__．图8－25－7【解析】如答图，过E作EM⊥AB于M，交DC于N.第9题答图∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB，DC∥AB，∠ABC＝90°.∴MN＝BC，EN⊥DC.∵沿AC 折叠，B 和E 重合，△AEB 是等边三角形， ∴∠EAC ＝∠BAC ＝30°. 设AB ＝AE ＝BE ＝2a ，则BC ＝2a 3＝233a ，即MN ＝233a . ∵△ABE 是等边三角形，EM ⊥AB ， ∴AM ＝a ，由勾股定理得EM ＝（2a ）2－a 2＝3a ，∴△DCE 的面积是12×DC ×NE ＝12×2a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －233a＝33a 2. △ABE 的面积是12AB ×EM ＝12×2a ×3a ＝3a 2. ∴S △DCE S △ABE＝33a 23a 2＝13.10．如图8－25－8，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连结CF . (1)求证：AF ＝DC ；(2)若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．图8－25－8解：(1)证明：∵E 是AD 的中点， ∴AE ＝ED . ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DBE ，∠F AE ＝∠BDE ， ∴△AFE ≌△DBE . ∴AF ＝DB .∵AD 是BC 边上的中线，∴AF＝DC.(2)四边形ADCF是菱形．理由：由(1)知，AF＝DC.∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵AD是BC边上的中线，∴AD＝12BC＝DC.∴平行四边形ADCF是菱形．11．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图8－25－9①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图8－25－9②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．图8－25－9解：(1)证明：∵∠α＋∠EAC＝90°，∠NAF＋∠EAC＝90°，∴∠α＝∠NAF.又∵∠B＝∠F，AB＝AF，∴△ABM≌△AFN，(2)四边形ABPF 是菱形． 理由：∵∠α＝30°，∠EAF ＝90°， ∴∠BAF ＝120°， 又∵∠B ＝∠F ＝60°.∴∠B ＋∠BAF ＝60°＋120°＝180°， ∠F ＋∠BAF ＝60°＋120°＝180°. ∴AF ∥BC ，AB ∥EF ，∴四边形ABPF 是平行四边形． 又∵AB ＝AF ，∴▱ABPF 是菱形．12．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图8－25－10①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且S △ACD ＝S △BCD .应用：如图8－25－10②，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE ＝BF ，AF 与BE 交于点O . (1)求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；(2)连结OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积． 探究：在△ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝4，点D 在线段AB 上，连结CD ， △ACD 和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到 △A ′CD ，若△A ′CD 与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的14，请直接写出△ABC 的面积．图8－25－10 解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠BFO，又∵∠AOE＝∠FOB，AE＝BF，∴△AOE≌△FOB，∴EO＝BO.∴△AOB和△AOE是“友好三角形”．(2)∵△AOE和△DOE是“友好三角形”，∴S△AOE＝S△DOE，AE＝ED＝12AD＝3.∵△AOB和△AOE是“友好三角形”，∴S△AOB＝S△AOE.∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE＝S△FOB，∴S△AOD＝S△ABF，∴S四边形CDOF＝S矩形ABCD－2S△ABF＝4×6－2×12×4×3＝12.探究：2或2 3.【思维升华】13．菱形的两条对角线之和为L，面积为S，则它的边长为(A)A.12L2－4S B.12L2－2SC.122L－4S D.124S－L2【解析】设边长为m，一条对角线为2a，另外一条为2b，则a＋b＝12L，2ab＝S.∵m 2＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝14L 2－S . ∴m ＝12L 2－4S .14．如图8－25－11，四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，∠ABC ＝30°，AB ＝6，AD ＝CD ，AB ∥CD ，那么BD 的长度是 ( C )图8－25－11A ．7B ．4C ．27D ．4 2【解析】 如答图，过点C 作CE ∥AD 交AB 于E ，过点D 作DF ⊥AB 于F ， 则四边形ADCE 是菱形，第14题答图∠CEB ＝∠A ＝60°. ∵∠ABC ＝30°∴AD ＝EC ＝DC ＝AE ＝12BE . ∵AB ＝6，∴AD ＝EC ＝DC ＝AE ＝2. ∴AF ＝1，DF ＝3，BF ＝5. 由勾股定理得BD ＝27.15．如图8－25－12，将两个长为8，宽为2的矩形透明塑料片交叉摆放，重叠部分是菱形ABCD ，当两个塑料片不重合但有一条对角线重合时，菱形ABCD 的周长最大，这个最大值是__17__．图8－25－12【解析】当两个塑料片如答图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为x，在Rt△AEB中，第15题答图由勾股定理得x2＝(8－x)2＋22，解得x＝17 4.∴4x＝17.即菱形的最大周长为17.16．如图8－25－13，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0，0)，A(0，6)，B(4，6)，C(4，4)，D(6，4)，E(6，0)．若直线l经过点M(2，3)，且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是__y＝－1 3x＋113__.图8－25－13【解析】如答图，延长BC交x轴于点F，连结OB，AF，连结CE，DF相交于点N.第16题答图由已知得点M (2，3)是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N (5，2)是矩形CDEF 的中心，所以过点N (5，2)的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线MN 即为所求的直线l .设直线l 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，5k ＋b ＝2，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，b ＝113.故所求直线l 的函数表达式为y ＝－13x ＋113.。