第二章质点运动学(3)

x r y r z r
例 3 对于弹簧振子，(1) 画出U (x) ~x 曲线，并作一 高度为E的水平线，试说明图上哪段x范围是振子可 以到达的。 (2)作 ˙x ~x 曲线，并讨论其运动情况。 解
U
2E
1 2 U kx 2
E
o
x
x x
1 2 1 2 kx 常量 mx 2 2
o
U
U
E
A
Ek
E
Ek
B
U
o
U
H H
h
U
Ek
U
o
弹性势能 U
重力势能 U mgh
x 1 2
2 kx
o
E
Ek 0
r
引力势能 U G Mm
r
U (r )
E3
o
r0
E2
r
E1
分子力势能曲线
例1一质量为m的质点，放在半径为R，质量线密度 为（质量均匀分布）的四分之一的圆周的圆心上， 如图所示，则该质点受到该圆周的万有引力及该圆 周与质点间的万有引力势能为多少? Gm(dM ) GmRd 解
dF R GmR dFx dF cos cosd 2 R Fy 0 Fx
π 4 π 4
R
2

2
y
m
45 45
o


x
GmR Gm cosd 2 2 R R
GmπR / 2 Gmπ U R 2
wenku.baidu.com Mm 例2已知万有引力势能为U (r ) G r 应用保守力与势能的微分关系，求万有引力。
mv MV 0
1 1 2 mgR mv MV 2 2 2 解 mv MV 0

A
R

O
得

v V
2 MgR M m 2m 2 gR M ( M m)
N m G M B v
（2）对M，由动能定理可得物体所做功 2 m gR 1 2 W MV 0 M m 2 （3）当m到达B点瞬时, M可视为以速度V运动的惯 性系。以M为参考系， m到达B点时相对于M 的速度为v。则由v = v V 可得
2、 动能‧动能定理
Wab
b a b
b F dr F dr
a
b dv m a dr m dr a a a dt vb 1 2 1 2 mvdv mvb mva va 2 2
va
m dr
v
F
b
vb
1 定义质点的动能为： Ek mv 2 ，则： 2
2-9 能量守恒定律
1、质点系的动能定理
F1
s1
m1
s2
f12
f 21
m2
F2
由动能定理： F d r 1 1 F2 d r2
f12 d r1 Ek1 f 21 d r2 Ek 2
F1 d r1 f12 d r1 Ek1 f 21 d r2 Ek 2 F2 d r2 F1 d r1 F2 d r f12 d r1 f 21 d r2 Ek1 Ek 2


2-8 势 能
(1)保守力作功与路径无关，只取决于质点 始末位置。因而存在一个由质点位置决定的一个 态函数 U(r) ，这个态函数称之为势能。
Mm Mm W G r G r b a
保守力做功等于势能增量的负值：
F=mg=(M－ky) g dW=Fdy=(M－ ky)gdy 10 所以W dW M ky gdy
0
10 0.2 y 9.8dy 882J
0
10
例2求万有引力的功。 d r dr 解 m Mm ˆ dW G 2 r dr r r dr b r a F Mm G 2 dr cosπ r Mm M G 2 dr r b Mm Mm Mm W G 2 dr G G a r rb ra
a b 势能零点 U (r ) F dr r
(3)保守力和势能函数的微分关系 dU F dr Fx dx Fy dy Fz dz
U U U Fx , Fy , Fz x y z U U U F ( i j k) x y z
解一在直角坐标系中
解二
U U U Mm r F ( i j k ) G 2 x y z r r dU Mm Fr G 2 dr r
U GMm Fx 2 x r U GMm Fy 2 y r U GMm Fz 2 y r
U1 U 2
W外力 W非保守内力 ( Ek 2 U 2 ) ( Ek1 U1 ) E Ek U p叫做系统的机械能。 W外力 W非保守内力 E2 E1
即
功能原理 系统机械能的增量等于外力的 功和非保守内力的功的代数和。
3、机械能守恒定律
W外力 W非保守内力 E2 E1 ——功能原理
Wab Ekb Eka
质点动能定理 合外力对质点所做的功等于质点 动能的增量。
5 3 例1m=0.1kg的质点沿曲线 r t i 2tj 运动，求在 3 t=0s到t=2s的时间内，作用在该质点的合外力对质
点所做的功。 解
dr 2 v 5t i 2 j dt t 0，v0 2 m s 1 t 2，v2 404 m s 1 1 1 2 2 W mv2 mv0 20 （J） 2 2
第二章 质点动力学
（3） 动能定律 功能原理 角动量守恒定律
2-7 功和动能
１、功

F
s
(1)功的定义:力在位移方向上的分量和该 位移大小的乘积。
W Fs s F s cos W F s
(2)变力的功：
m dr

a
r
F
b
元功 dW F dr b b b Wab F dr F dr cos F dr a a a b b Wab F dr Fx i Fy j Fz k d xi yj zk
W U
(2)势场中某一点的势能 b Wab F dr U (ra ) U (rb ) a b U (rb ) F dr U (ra )
a
设a点的势能为0，则 b a U (rb ) F dr F dr
2 或 dr 5t dti 2dtj 2 dr F m 2 ti dt dW F dr 5t 3dt W 5t 3dt 20(J)
0 2
例2一链条总长为l，质量为m，放在桌面上并使之 下垂，下垂的长度为a。设链条与桌面的滑动摩擦 系数为 µ，令链条从静止开始运动，则：（ 1 ）到 链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少 功？（2）链条离开桌面时的速率是多少？ 解（1） m g(l x) f l l m g(l x) Wf dx a l
1 2 m g (lx x ) 2 l a m g (l a ) 2 2l
l
（2）对链条应用动能定理 1 1 2 2 WG W f mv mv0 2 2 1 v0 0 WG W f mv 2 2 l mg m g(l 2 a 2 ) WG xdx a l 2l m g(l 2 a 2 ) m g(l a) 2 1 2 mv 2l 2l 2 g 2 得v (l a 2 ) (l a) 2 l
O
Fx dx Fy dy Fz dz
b a
a
a



例1 一个人从10m深的井中，把10kg的水匀速地 提上来。由于桶漏水，每升高1m漏去0.2kg的水。问 把水从井的水面提到井口，人所做的功。 解取一维坐标，以水井水面为原点o，oy轴向上。 设水在高度 y 处其质量为m，据题意得 m=M－ky 其中M=10kg，k=0.2kg/m，又设拉力为F，则有
v
2 MgR 2 gR m M m M ( M m) 2( M m) gR M
m 2 MgR (1 ) M M m
所以
v2 由牛顿定律有 N mg m R
2 v 2( M m)mg N mg m mg R M 2m (3 )mg M
练习1用v0=20m/s的初速度将一质量为m=0.5kg 的物体竖直上抛，所达到的高度h=16m，则空 气对它的平均阻力是_______ 。
(4)一维势能曲线 由势能曲线可以知道： 1)、保守力作功等于势能的 减少。在一维情况下有 一元过程：
U
Fdx dU ( x)
即
dU ( x) F dx
O
x
因此，保守力大小等于势能曲线的斜率， 方向指向势能减少的方向。
2)、可判断质点的运动范围。在封闭保守系统 中，作总能量为 E 的水平线，与势能曲线相交的 点表示E=U，这些位置物体的Ek=0。 U
W EB E A 1 2 mv mgR 2 1 2 2 6 2 9.8 4 2 42.4 J
A
R

O
fr
N
G
v B
例2 在图中，一个质量为m的物体从静止开始，沿质 量为M的四分之一圆弧形槽从A滑到B。 已知圆的半 径为R。设所有摩擦都可忽略， 求（1）物体刚离开 槽底时，物体和槽的速度各是多少？ （2）在物体从 A滑到B的过程中，物体对槽所做的功W。（3）物体 到达B时对槽的压力。 解（1）把物体m、槽M和地球作为系统，以地面为参 考系。设物体离开槽底时， A R 物体和槽的速度分别为v、V。 O 由机械能守恒定律有 1 1 N 2 2 mgR mv MV m 2 2 v G 又由水平方向动量守恒定律有 M B
如果一个系统内只有保守内力做功，或者 外力与非保守内力的总功为零，则机械能的总 值保持不变 。
Ek U p 常量
这一结论称为机械能守恒定律。
例1 在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始，沿 四分之一的圆周从A滑到B。已知圆的半径R=4m，物 体在B处的速度v=6m/s。求摩擦力所作的功。 解 把物体和地球作为系统。摩擦力所作的功
E E
O
A B
Ek
M
C D
U
X
1 2 2 U ( x) E x E U ( x) mx 2 m
U
E E
O
N
Ek
M
M1
M2
U
X
3)、势能曲线上每一个局部的最低点( “谷”) 都 是稳定平衡点，势能曲线上每个局部最高点 （ “峰”）都是不稳定平衡点，一旦质点偏离了不 稳定平衡点，质点就会远离而去。因此，势能曲线还 能形象地表示出系统的稳定性。
例3质量为 m 和 M 的两个质点，最初它们相距很 远，并处于静止。在引力相互作用下相互趋近，当 两质点相距 r 时，它们的相对速度为多少？ 解

解得

MV mv 0 1 1 Mm 2 2 MV mv G 0 2 2 r 2G V m r (M m) 2G v M r (M m) 2G(M m) v相对 V v r
2

系统外力 的功
系统内力 的功
系统动能 的增量
W外力 W内力 Ek
质点系的动能定理系统的外力和内力作功的 总和等于系统动能的增量。
2、系统的功能原理
设系统从状态1变化到状态2 ，由动能定理
W外力 W保守内力 W非保守内力 Ek 2 Ek1
而保守内力作功： W保守内力 则