单纯形法表的解题步骤

单纯形法表的解题步骤

单纯形法表结构如下：

j c →

对应变量的价值系数

i θ

B C

b X

b

1x 2x 3x " j x

基变量的价值系数

基变量 资源列

θ规则

求的值

j σ

检验数

①一般形式

若线性规划问题标准形式如下：

123451231425max 23000284164120,1,2,5

j z x x x x x x x x x x x x x j =++++++=⎧⎪+=⎪⎨

+=⎪⎪≥=⎩"

取松弛变量345,,x x x 为基变量，它对应的单位矩阵为基。这样就得到初始可

行基解：()()0

0,0,8,16,12T

X =。将有关数字填入表中，得到初始单纯形表，如表

1-1所示：

表 1-1 ()()00,0,8,16,12T

X =

j c →

2 3 0 0 0

i θ

B C b X b

1x 2x 3x 4x 5x

0 3x 8 1 2 1 0 0 4 0

4x

16 4 0 0 1 0 -

5x

12 0 [4] 0 0 1 3

j σ

2 3 0 0 0

若检验数均未达到小于等于0，则对上表进行调整。选择上表中检验数最大的列，该列对应的非变量为入基变量；再应用θ规则该列对应的各基变量对应的

θ值，选出其中最小的一行，该行对应的基变量为出基变量。修改单纯形表，对各行进行初等变换，确保基变量组成的矩阵为单为矩阵。修改后的单纯形表如表

1-2所示：

表 1-2 ()()10,3,2,16,0T

X =

检验数12,0σσ>，则进行继续调整，调整后的单纯形法表如表1-3所示：

表 1-3 ()()22,3,0,8,0T

X =

表1-3中， 50σ>，则继续进行调整，调整结果如表1-4所示：

表 1-4 ()()34,2,0,0,4T

X =

检验数0j σ≤，这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解：

()()3*4,2,0,0,4T

X X ==

*14z =

②带人工变量

现有线性规划问题：

12312312313123min 3211

42321,,0

z x x x x x x x x x x x x x x =−++−+≤⎧⎪−++≥⎪⎨

−+=⎪⎪≥⎩ 将上述线性规划问题用大M 法求解，在约束条件中加入松弛变量4x ，剩余变量5x ，人工变量6x ，7x 得到：

1234567123412356137min 300211423210,1,2,,7j z x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x x x x x j =−++++++−++=⎧⎪−++−+=⎪⎨

−++=⎪⎪≥=⎩

"

其中，M 是一个任意大的正数。用单纯形法表进行计算，由于是求MIN ，所以用所有0j σ≥来判别目标函数是否实现了最小化。初始单纯行表如表2-1所示：

j c →

-3 1 1 0 0 M M

i θ

B C b X b

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

0 4x 10 3 -2 0 1 0 0 -1 - M 6x 1 0 [1]

0 0 -1 1 -2 1

1

3x

1 -

2 0 1 0 0 0 1 -

j σ

-1 1-M 0 0 M 0 3M-1

j c →

-3 1 1 0 0 M M

i θ

B C b X b

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

0 4x 12 [3]

0 0 1 -2 2 -5 4

1 2x 1 0 1 0 0 -1 1 -

2 - 1

3x

1 -

2 0 1 0 0 0 1 -

j σ

-1 0 0 0 1 M-1 M+1

上表中得到最优解，12345674,1,9,0,2x x x x x x x z ========−

③两阶段法（含有人工变量的线性规划问题）

下面介绍求解加入人工变量的线性规划问题的两阶段法。

第一阶段：不考虑原问题是否存在基可行解，给原线性规划问题加入人工变量，并构造仅含人工变量的目标函数和要求实现最小化。如

1111111

21122211

12min 001,,,0n n m n n n n n n n m mn n n m m

n m x x x x a x a x x b a x a x x b

a x a x x b

x x x ω++++++=++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪

⎨

⎪+++=⎪≥⎪⎩

"""""""

然后用单纯形法求解上述模型，若得到0ω=,这说明原问题存在基可行解，可以进行第二阶段计算。否则原问题无可行解，应停止计算。

第二阶段：将第一阶段计算得到的最终表，除去人工变量。将目标函数行的系数，换成原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始表。

各阶段计算方法及步骤与第3节单纯形法相同。下面举例说明。 例：线性规划问题

12312312313min 3211423211,2,30

z x x x x x x x x x x x x x x =−++++≤⎧⎪−++≥⎪⎨

−+=⎪⎪≥⎩