线段等分法
(八年级数学教案)平行线等分线段定理
平行线等分线段定理八年级数学教案教学建议1．平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．2．平行线等分线段定理的推论推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”．推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分．重难点分析本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础.本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.教法建议平行线等分线段定理的引入生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等；②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论.教学设计示例一、教学目标1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美●二、教法设计学生观察发现、讨论研究，教师引导分析●三、重点、难点1．教学重点：平行线等分线段定理2．教学难点：平行线等分线段定理●四、课时安排l课时●五、教具学具计算机、投影仪、胶片、常用画图工具●六、师生互动活动设计教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习七、教学步骤【复习提问】1．什么叫平行线？平行线有什么性质．2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？【引入新课】由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．已知：如图，直线，．求证：．分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得），通过全等三角形性质，即可得到要证的结论．（引导学生找出另一种证法）分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得．证明：过点作分别交、于点、，得和，如图．∴∵，∴又∵，，∴∴为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算机动态演示）．引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论1．推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段．例已知：如图，线段．求作：线段的五等分点．作法：①作射线．②在射线上以任意长顺次截取．③连结．④过点．、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、．、、就是所求的五等分点．（说明略，由学生口述即可）【总结、扩展】小结：（l）平行线等分线段定理及推论．（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．（4）应用定理任意等分一条线段．●八、布置作业教材P188中A组2、9●九、板书设计●十、随堂练习教材P182中1、2。
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理平行线等分线段定理平行线等分线段定理教学建议1．定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．2．的推论推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”．推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分．重难点分析本节的重点是.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础. 本节的难点也是.由于学生初次接触到，在认识和理解上有一定的难度，在加上的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意. 教法建议的引入生活中有许多的例子，并不陌生，的引入可从下面几个角度考虑：①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等；②可用问题式引入，开始时设计一系列与概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出和推论.示例一、教学目标1. 使学生掌握及推论. 2. 能够利用任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美二、教法设计学生观察发现、讨论研究，教师引导分析三、重点、难点1．教学重点：2．教学难点：四、课时安排l课时五、教具学具计算机、投影仪、胶片、常用画图工具六、师生互动活动设计教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习七、教学步骤【复习提问】1．什么叫平行线？平行线有什么性质．2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？【引入新课】由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到）：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．已知：如图，直线，．求证：．分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得），通过全等三角形性质，即可得到要证的结论．（引导学生找出另一种证法）分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得．证明：过点作分别交、于点、，得和，如图．∴∵，∴又∵，，∴∴为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算机动态演示）．引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论1．推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．接下来讲如何利用来任意等分一条线段．例已知：如图，线段．求作：线段的五等分点．作法：①作射线．②在射线上以任意长顺次截取．③连结．④过点．、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、．、、、就是所求的五等分点．（说明略，由学生口述即可）【总结、扩展】小结：（l）及推论．（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．（4）应用定理任意等分一条线段．八、布置作业教材P188中A组2、9 九、板书设计十、随堂练习教材P182中1、2。
平行线等分线段定理
篇一：1平行线等分线段定理平行线等分线段定理【知识点精析】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
理解这个定理要注意的是：（1）必须有一组平行线存在，平行线至少有三条；（2）在某一条直线上截得的线段相等。
满足上述两个条件，才能保证这组平行线在其他直线上截得的线段相等．2．平行线等分线段定理的几个基本图形平行线等分线段定理的几个基本图形如图所示，若已知l1∥l2∥l3，ab = bc，根据定理可直接得到a1b1 = b1c1．即被平行线组所截的两条直线的相对位置，不影响定理的结论．3．定理的两个推论推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行直线必平分第三边．4．应用平行线等分线段定理，可以等分任意一条线段．【例题】1．如图，直线l1∥l2∥l3，ab = bc．求证：a1b1 = b1c1． a1 l1 b1 l2l32．已知：线段ab．求作：线段ab的五等分点．ab3．如图，直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，m是cd的中点．求证：ma = mb．4．如图，在△abc中，ad是bc边上的中线，m是ad的中点，bm的延长线交ac于n．求证：an =1cn． 2思考题：如图，梯形abcd中，ad∥bc，dc⊥bc，∠b = 60°，ab = bc，e为ab的中点．求证：△ecd为等边三角形．【练习与作业】一、填空题1．△abc中，∠c =90°，d为ab的中点，de⊥bc交bc于e，则ceeb．2．已知三条直线ab∥cd∥ef，它们之间的距离分别是2cm，作一直线mn分别与三条平行线交于30°角，且与ab、cd、ef分别交于m、n、p，则mn = cm，np = cm．3．如图，f是ab的中点，fg∥bc，eg∥cd，则ag = ae =4．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，a1b1 = b1c1 = c1d1 = d1e1，则a2b2 = = = ，a2c2 = = ．5．直角梯形abcd中，ad ∥bc，∠a = 90°，ef是ab的垂直平分线交ab于e，cd于f，则df = ．6．如图，已知ab∥cd∥ef，af、be交于o，若ao = od = df，be = 10cm，则bo = ．7．如图，已知ad∥ef∥bc，e是ab中点，则dg = h是f是中点．8．如图，已知ce是△abc的中线，cd =若cd = 5cm，则af= cm．9．如图，在ad两旁作ab∥cd，a1、a2为ab的两个三等分点，c1、c2为cd的两个三等分点，连a1c、a2c1、bc2，则把ad分成四条线段的长度（填相等或不相等）．第3题第4题第6题第7题第8题第9题1ad，ef∥bd，eg∥ac，若ef = 10cm，则bg = cm，2二、选择题10．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是（）c d a b 11．右图，ab∥cd∥ef，且ao = od = df，oe = 6，则be =（）a．9 b．10c．11 d．1212．ad是△abc的高，dc =bc于f，则fc =（）a．1bd，m，n在ab上，且am = mn = nb，me⊥bc于e，nf⊥32bd 3 c． 2bc 3 b．3bc 4 d．3bd 41ac． 3三、解答题 13．△abc中，ab = ac，ad⊥bc，p是ad中点，延长bp交ac于点n．求证：an =14．如图，m、n分别是yabcd中ab、cd的中点．求证：be = ef = fd．15．如图△abc中，ch是∠acb的平分线，ad⊥ch于d，de∥bc交ab于e．求证：ae = eb．16．如图，等腰直角△abc，∠acb = 90°，ce = cd，ef⊥bd交ab于f，cg⊥bd交ab于g．求证：ag = gf．17．如图，△abc中，ad、bf为中线，ad、bf交于g，ce∥fb交ad延长线于e．求证：ag = 2de．18．如图，abcd为梯形，ab∥dc，adbe是平行四边形，ab交ec于f．求证：ef = fc．19．已知△abc中，ad⊥bc于d，e为ab中点，ef⊥bc于f，且dc = a，bd = 8a．求fc 的长．篇二：《平行线等分线段定理》教学设计《平行线等分线段定理》教学设计执教李裕达【教学内容】人教版初中《几何》第二册4.9平行线等分线段定理（课本p176 ~ p178）【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算； 3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。
数学教案-平行线等分线段定理_平行线等分线段成比例定理
1．教学重点：平行线等分线段定理
在横格纸上画一条垂直于横线的直线 ，看看这条直线被相邻横线截成的
2．教学难点：平行线等分线段定理
各线段有什么关系？〔相等，为什么？〕这时在横格纸上再任画一条与横
四、课时支配
线相交的直线 ，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？
l 课时
〔引导学生把做试验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，
五、教具学具
由此得到平行线等分线段定理〕
计算机、投影仪、胶片、常用画图工具
平行线等分线段定理：假如一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，
六、师生互动活动设计
那么在其他直线上截得的线段也相等．
教师复习引入，学生画图探究；师生共同归纳结论；教师示范作图，
留意：定理中的“一组平行线〞指的是一组具有特殊条件的平行线，
助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟识的学问即
推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．
可证得 ．
再引导学生观看下列图，在 中， ， ，则可得到 ，由此得出推论 2．
证明：过 点作 分别交 、 于点 、 ，得 和 ，如图．
推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
求作：线段 的五等分点．
八、布置作业
作法：①作射线 ．
教材 P188 中 A 组 2、9
②在射线 上以任意长顺次截取 ．
九、板书设计
③连结 ．
④过点 ． 、 、 分别作 的平行线 、 、 、 ，分别交 于点 、 、 、 ．
、 、 、 就是所求的五等分点．
〔说明略，由学生口述即可〕
【总结、扩展】 小结： 〔l〕平行线等分线段定理及推论． 〔2〕定理的证明只取三条平行线，是在较简洁的状况下证明的，对 于多于三条的平行线的状况，也可用同样方法证明． 〔3〕定理中的“平行线组〞，是指每相邻两条平行线间的距离都相
《超级画板》对线段进行任意等分的作法
《超级画板》对线段进行任意等分的作法摘要：如何对任意线段进行等分？利用《超级画板》的功能，本文列举了几种方法。
关键词：线段；等分；作法作者简介：尚强，任职于深圳市教育科学研究院；许苏华，任教于深圳教苑中学。
怎样把一条任意线段三等分? 如果把引题进行推广：对任意线段进行n等分，又如何作图呢？利用《超级画板》几何作图及编程功能，给出8种他人的作法以及3种笔者的作法。
一、尺规作图等分线段只利用尺规，怎样把任意一条线段三等分？如图1所示，操作步骤如下：1. 先画出要等分的线段，并作射线；2. 以点为圆心，以任意长度为半径画圆，交射线于点；3. 再以点为圆心，作同样半径的圆，交射线于点，同法作出点；4. 连接，作，则点、把线段分成三等分。
对于线段的n等分，同法。
二、单尺作图等分线段只利用直尺，怎样把任意一条线段三等分？如图2所示，操作步骤如下：1. 先画出要等分的线段，并任作其平行线，在直线的另一侧任取一点；2. 连接和，交直线于点、，再连接和相交于点，连接，并延长交于点，则点平分线段；3. 再连接，交于点，连接并延长交于点，则点是三等分点。
对于线段的四等分，最简单的办法就是平分线段后再平分线段，也可以利用上面的方法，在三等分点的基础上再作四等分点，依次可作五等分点、六等分点、直到n等分点。
三、大卫-丹尼尔等分线段早在1996年，美国康涅狄格州的两名中学生，15岁的大卫·戈登汉姆和16岁的丹尼尔·李奇菲尔德，借助几何画板成功地用另一种方法，证明了线段可以任意等分的这一古老定理，我们简称为大卫-丹尼尔等分线段法.如图3所示，把任意一条线段三等分的操作步骤如下：1. 先画出要等分的线段，以为边作正方形；2. 连接，作的中点，连接，交于点；3. 过点作的垂线，点即为线段的三等分点。
对于n等分点，都是可以通过二等分点和三等分点迭代作。
四、秦世锐等分线段1998年秦世锐提出了一种新方法，如图4所示，把任意一条线段三等分的操作步骤如下：1. 先画出要等分的线段，并作射线；2. 在上任取一点，再取点使得；3. 连接，并延长到点使得；4. 连接交于点，点即是线段的三等分点。
线段等分的方法
线段等分的方法
以下是 7 条关于线段等分的方法：
1. 折叠法呀，这可是个超简单的办法呢！就像折纸一样，你把线段对折，那对折处不就把线段等分啦！比如说，你有一根绳子，对折一下，是不是就完美地把它分成两段一样长的啦，多神奇呀！
2. 还可以用测量法哟！拿个尺子量一量线段的长度，然后除以你想要等分的份数，不就知道每份多长啦，再标记出来就等分成功呀！好比说你要把一条长木板等分成 5 份，量好长度除以 5 后做标记，这不就搞定啦！
3. 借助工具也很棒呀！像圆规就很有用呢！以线段的一端为圆心，画弧，再以另一端为圆心画弧，两条弧的交点连线不就可以等分线段啦！这就好像是给线段来了个特别的“魔法改造”，很有趣吧！
4. 比例法也别错过呀！根据一定的比例关系去确定等分点呢！比如说，知道一条线段的长度和想要按 3:2 的比例去等分，那就能算出等分的位置呢，这是不是超级厉害呀！
5. 平行线法也很有意思噢！先画一条与线段平行的线，然后通过一些巧妙的步骤就可以等分线段啦！这就如同给线段找到了一个“好伙伴”一起完成等分这件事呀！
6. 切割法也可以试试呀！把线段想象成一块蛋糕，你慢慢切割，确保切得均匀，这不就相当于等分它啦！哎呀，就像分生日蛋糕一样呢，很形象吧！
7. 用角度去等分也不错呢！通过特定角度的绘制来实现等分，多么有创意呀！就好像我们在通过角度给线段编造一个独特的故事一样，真的很奇妙呢！
我觉得呀，这些线段等分的方法都各有千秋，都能帮助我们很好地完成线段等分这件事呢，大家可以根据实际情况选择最喜欢最适合自己的方法哟！。
线段等分法
A
1
1' 2
2'
3'
4'
5'
用圆规依次截取相等的五段
C
连接B5’端
3
4
B
注意：
用两把三角尺推平行线，下方的三角尺 不能动，否则做不出标准图形。
过1’,2’,3’,4’点做B5’的平行线
1,2,3,4点即为线段的等分点
已知一线段长25cm，用平 行线法将其4等分，保留作 图痕迹。
A
.
N
P
B
讨论：如果将已知线段2、4、8……..等分 呢? 结论：可采用垂直平分，将任意线段线的画法：
一副三角板配合使用，可画任意已知直 线的垂直线或平行线。
一副三角板配合画线
将已知线段5等分。
A
B
步骤
将已知线段5等分。
4
细心+标准化 =专业
已知一线段长30cm，用垂直平 分法和平行线法将其四等分， 保留作图痕迹。
迁西职教中心
用一副三角板可以作出一 些什么样的角呢？
30 ° 45 ° 60 ° 15 ° 75 ° 105 ° 135 ° 150 ° 165 ° 90 ° 120 °
这些角（大于0度小于180度） 是怎么组合出来的呢？
这些角都是15 °的倍角，共有11个。
一次做出： 30° 45 ° 60° 90° 辅助做出: 15°=45°-30°
75° =30°+45° 105°=60°+45° 120°=60°+60° 135°=90°+45° 150°=90°+60° 165°=90°+45°+30°
线段的等分与比较
线段的等分与比较线段是几何学中的重要概念，它是由两个端点所确定的一条直线段。
在几何学中，我们经常需要对线段进行等分和比较。
本文将探讨线段的等分方法以及线段之间的比较。
一、线段的等分方法线段的等分是指将一条线段分为若干等长的小线段。
下面介绍两种常用的线段等分方法。
1.1. 利用三等分线段的方法三等分线段的方法是将一条线段等分为三段，每段的长度相等。
具体操作步骤如下：步骤一：以线段AB为基准，将其做延长线。
步骤二：在延长线上选择一点C，使得AC的长度与AB相等。
步骤三：以C为中心，以AB为定长，作一个以C为顶点的等边三角形，交延长线于D。
步骤四：连接BD，线段BD即为线段AB等分成的三段之一。
1.2. 利用四等分线段的方法四等分线段的方法是将一条线段等分为四段，每段的长度相等。
具体操作步骤如下：步骤一：以线段AB为基准，将其做延长线。
步骤二：在延长线上选择一点C，使得AC的长度与AB相等。
步骤三：以C为中心，以AB为定长，作一个以C为顶点的等边三角形，交延长线于D。
步骤四：连接BD，再将线段BD延长，延长线上选择一点E，使得BE的长度与BD相等。
步骤五：以E为中心，以BD为定长，作一个以E为顶点的等边三角形，交延长线于F。
步骤六：连接CF，线段CF即为线段AB等分成的四段之一。
二、线段的比较在线段的比较中，我们经常需要判断线段的长短或者比较两条线段的大小。
下面介绍几种判断和比较线段的方法。
2.1. 利用比较法通过比较线段的长度，我们可以判断线段的长短或者比较两条线段的大小。
具体操作如下：步骤一：计算线段的长度。
步骤二：将线段的长度进行比较。
2.2. 利用等分法利用线段的等分方法，我们可以比较两条线段的大小。
具体操作如下：步骤一：将两条线段分别进行等分。
步骤二：比较等分后的小线段的长度，若小线段的长度相等，则两条线段的大小也相等；若小线段的长度不等，则比较小线段的长度。
2.3. 利用勾股定理勾股定理可以帮助我们比较线段的大小。
平行线等分线段定理及推论中位线定理(一)
第七讲 平行线等分线段定理及推论三角形和梯形的中位线定理一、知识点和方法概述1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CFAD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC求证：AE=EF2、三角形的中位线定理三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知：如图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点求证：BC DE //，BC DE 21= 3、梯形的中位线定理梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。
已知：梯形ABCD 中，BC AD //，E 、F 分别是AB 、CD 的中点求证：BC AD EF ////，)(21BC AD EF +=. 4、和梯形中点有关的辅助线的作法：二、例题例1 如图，在直角梯形ABCD 中，E AB BC AD BC AD C ,,//,90=+︒=∠是CD 的中点，且AD=2，BC=8,求BE 的长度.法1：提示：过E 作BC EF //，交AB 于F ，过B 作CD BG //，交EF 延长线于G. ∴四边形GBCE 是平行四边形 ∵在直角梯形ABCD 中，BC AD C //,90︒=∠，AD=2，BC=8 ∴四边形GBCE 是矩形 ∴ EG=BC=8 ∵E 是CD 的中点 ∴DE=EC ∴AF=FB ∴5)(21,//=+=BC AD EF BC EF ∴GF=EG-EF=3 ∵AB BC AD =+ ∴AB=10，521==AB BF ∵在BGF Rt ∆中，︒=∠90G ∴ BG=4 ∴在BGE Rt ∆中，54842222=+=+=GE BG BE .（法2） （法3） （法4）例2 如图，梯形ABCD 中，M DC AB ,//是腰BC 的中点，AD MN ⊥于N 。
【数学教案-平行线等分线段定理】 平行线等分线段定理
【数学教案－平行线等分线段定理】平行线等分线段定理教学建议1．平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．2．平行线等分线段定理的推论推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”．推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分．重难点分析本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础.本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.教法建议平行线等分线段定理的引入生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等；②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论.教学设计示例一、教学目标1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美二、教法设计学生观察发现、讨论研究，教师引导分析三、重点、难点1．教学重点：平行线等分线段定理2．教学难点：平行线等分线段定理四、课时安排l课时五、教具学具计算机、投影仪、胶片、常用画图工具六、师生互动活动设计教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习七、教学步骤【复习提问】1．什么叫平行线？平行线有什么性质．2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？【引入新课】由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．已知：如图，直线，．求证：．分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得），通过全等三角形性质，即可得到要证的结论．（引导学生找出另一种证法）分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得．证明：过点作分别交、于点、，得和，如图．∴∵ ，∴又∵ ，，∴∴为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算机动态演示）．引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论 1．推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段．例已知：如图，线段．求作：线段的五等分点．作法：①作射线．②在射线上以任意长顺次截取．③连结．④过点．、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、．、、、就是所求的五等分点．（说明略，由学生口述即可）【总结、扩展】小结：（l）平行线等分线段定理及推论．（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．（4）应用定理任意等分一条线段．八、布置作业教材P188中A组2、9九、板书设计。
CAD中把线段等分的方法技巧
CAD中把线段等分的方法技巧
在CAD中将线段等分分为定数等分和定距等分，那么怎样在CAD 中简单的吧线段等分呢?下面店铺给你们整理了一些方法步骤，希望对你们有帮助。
CAD中把线段等分的方法/技巧
1 首先，执行如下图的菜单操作：
2“绘制”→“点”→“定数等分”(当然了，如果您的线段长度是有规律的，我们也可以选择等距等分);
执行菜单之后，系统会提示我们选择对象，接下来，使用鼠标选择好要等分的线段。
最后，注意观察命令提示区域，会提示我们输入要等分的数量，如下图!
3 本例，我们将线段等分为7段，因此，输入参数7 ，然后直接按下回车键，这样，就等分好了。
4 等分好了以后，我们将线段移动，即移到下方就可以看到等分的点了，看上图，线段上面的那六个小点，就是等分出来的。
第二节 平面图形的基本作图方法
第二节平面图形的基本作图方法(建议4课时)考纲要求掌握平面图形的基本作图方法。
知识网络知识要点一、基本几何作图方法(一)等分线段的方法1．平行线法：过所要等分线段的某一端点作一辅助线，两线成任意锐角，在辅助线上截取几等份，连接辅助线端点及所等分线段的端点，在辅助线的各等分点上依次作端点连线的平行线，即将线段分成若干等份。
2．分规试分法：用分规以某一长度试分线段，不断调整分规两脚距离，直至等分完成。
(二)圆的等分1．尺规作图法：运用直尺、圆规，运用几何规律来等分。
要求能对圆周进行三、四、五、六等分的作图。
2．查表计算法：按公式a＝k·D(D为圆直径，k为等分系数)计算出正多边形每边长度，然后依次在圆周上截取，即得。
这种方法适合于任意等分圆周。
(三)椭圆的画法1．同心圆法(理论画法)：先求出曲线上一定数量的点，再用光滑的曲线将各点连接起来。
2．四心法(近似画法)：求出画椭圆的四个圆心和半径，用四段圆弧近似地代替椭圆。
(四)斜度与锥度画法1．斜度：一直线(或平面)对另一直线(或平面)的倾斜程度。
表示符号：∠或>，符号的方向应与斜度的方向一致。
2．锥度：指正圆锥体底圆直径与锥高之比。
表示符号⊲或⊳，符号所示方向应与圆锥方向一致。
3．斜度与锥度的比值均要写成1∶n的形式，如∠1∶n或⊲1∶n。
4．标注锥度时，锥度符号配置在基准线上，表示圆锥的图形符号和锥度应靠近轮廓标注，基准线应通过指引线与圆锥的轮廓素线相连。
基准线应与圆锥的轴线平行，图形符号的方向与圆锥方向一致。
当所标注的锥度是标准圆锥系列之一时，可用标准系列号和相应的标记表示。
(五)圆弧连接1．圆弧连接的实质，就是要使连接圆弧与相邻线段相切，以达到圆弧连接处光滑过渡的要求，切点即为连接点。
2．圆弧连接的基本作图步骤：(1)求作连接圆弧圆心；(2)找切点；(3)画连接圆弧。
作图时第(2)步找切点不要忽视，因为切点是连接圆弧的起点和终点，必须要找出。
平行线等分线段定理讲义
BF=FC =DE D B
E
E′
F
C
练习4
如图：已知有块三角形菜地,分配给张、王、
李三家农户耕种.已知张、王、李三家人口分
别为2人、4人、6人,菜地分配按人口比例,并
要求每户土地均有一部分靠近水渠AB.P处是三
家合用的肥料仓库,是三家菜地的交界处. P
要求：用尺规在图中作出
各家菜地的分界线.
A
张 E王
A1A2B2B1
A1A2=B1B2
图1
A2A3B3B2
A2A3=B2B3
B1B2=B2B3
A1A2=A2A3
已知：直线l1∥l2∥l3,l与l′不平行,A1A2=A2A3
求证:B1B2=B2B3
分析：
l l′
A1 A2 A3
B1
C2
B2 B3
C3
l1 l2
l3
图2 “角角边”
B1C2//B2C3
△B1C2B2≌△B2C3B3
l′
B1 B2
l1 l2
B3 l3
图2
l1//l2//l3，l//l
l1//l2A3
A1A2=A2A3 B1B2 = B2B3
已知：直线l1∥l2∥l3,l∥l ′,A1A2=A2A3
求证:B1B2=B2B3 分析:
l
A1 A2 A3
l′
B1 l1 B2 l2
B3 l3
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相 等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
两相邻平 行线间的 距离相等
①
②
推论1
经过三角形一边的中点与另一边平行的直 线必平分第三边.
推论2
经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 平分另一腰.
revit线段等分的公式
revit线段等分的公式# Revit中的线段等分方法在Revit软件中，线段的等分是一项非常常见的操作。
通过对线段进行等分，可以方便地确定线段上特定位置的点或者将线段划分为等长的多个部分。
本文将介绍Revit中几种常用的线段等分方法。
## 方法一：使用参考线参考线是Revit中一种常用的辅助构造元素，可以用来帮助进行线段的等分。
以下是使用参考线进行线段等分的步骤：1. 首先，在绘图模式下选择绘制参考线的工具。
2. 在线段上选择一个起始点，点击鼠标确定起始点位置。
3. 拖动鼠标，绘制参考线，直至达到所需的等分位置。
4. 重复上述步骤，绘制多个参考线，直到将线段等分为所需的部分数目。
这种方法的优点是简单直观，容易掌握。
然而，如果需要等分线段为较多的部分，会比较繁琐。
## 方法二：使用工具栏上的等距分布工具Revit软件提供了一系列的工具栏，包含了一些常用的线段编辑工具。
其中就包含了一个等距分布的工具，可以方便地将线段进行等分。
以下是使用工具栏上等距分布工具进行线段等分的步骤：1. 首先，选择等距分布工具。
2. 在线段上选择一个起始点，并点击鼠标进行第一次等分。
3. 按照需要的等分数目，继续进行多次等距分布。
这种方法的优点是操作简单快捷。
但是需要在工具栏上找到等距分布工具，且仅适用于等分线段的情况。
## 方法三：使用参数化Revit是一款参数化建模软件，可以通过设置参数的方式来实现线段的等分。
以下是使用参数化方式进行线段等分的步骤：1. 首先，选中线段，进入编辑模式。
2. 在线段的属性设置中，找到“长度”属性。
3. 将长度属性设定为所需等分的总长度除以等分的部分数目。
4. 结束编辑模式，线段将会根据参数设置进行等分。
这种方法适用于对线段进行精确的等分，且可以快速进行调整。
但是需要一定的参数化建模基础。
综上所述，Revit中线段的等分可以通过使用参考线、工具栏上的等距分布工具、以及参数化方式来实现。
具体应根据实际情况选择合适的方法。
数学教案-平行线等分线段定理
数学教案－平行线等分线段定理教学建议1．平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．2．平行线等分线段定理的推论推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”．推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分．重难点分析本节的重点是平行线等分线段定理。
因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础。
本节的难点也是平行线等分线段定理。
由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意。
教法建议平行线等分线段定理的引入生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等；②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论。
教学设计示例一、教学目标1。
使学生掌握平行线等分线段定理及推论。
2。
能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．3。
通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．4。
通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美二、教法设计学生观察发现、讨论研究，教师引导分析三、重点、难点1．教学重点：平行线等分线段定理2．教学难点：平行线等分线段定理四、课时安排l课时五、教具学具计算机、投影仪、胶片、常用画图工具六、师生互动活动设计教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习七、教学步骤【复习提问】1．什么叫平行线？平行线有什么性质．2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？【引入新课】由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．已知：如图，直线，．求证：．分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得），通过全等三角形性质，即可得到要证的结论．（引导学生找出另一种证法）分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得．证明：过点作分别交、于点、，得和，如图．∴∵ ，∴又∵ ，，∴∴为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算机动态演示）．引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论 1．推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段．例已知：如图，线段．求作：线段的五等分点．作法：①作射线．②在射线上以任意长顺次截取．③连结．④过点．、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、．、、、就是所求的五等分点．（说明略，由学生口述即可）【总结、扩展】小结：（l）平行线等分线段定理及推论．（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．（4）应用定理任意等分一条线段．八、布置作业教材P188中A组2、9九、板书设计。
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理1. 引言在欧几里得几何中，平行线是一种很重要的概念。
平行线之间有许多有趣的性质和定理，其中之一就是平行线等分线段定理。
本文将介绍平行线等分线段定理的定义、证明和应用。
2. 定义在平面几何中，给定一条线段AB，若通过A点和B点分别做与该线段平行的两条线段CD和EF，且CD等于EF，则可以称CD与EF是等分线段。
3. 证明3.1 证明思路我们将采用反证法来证明平行线等分线段定理。
首先，假设CD与EF是平行线段，并且CD等于EF。
我们将尝试证明当CD与EF不平行时，其长度无法相等。
3.2 证明过程假设CD与EF不平行，那么它们必将相交于某一点O。
连接点C和E，我们可以得到三角形CEO和三角形FEO。
根据三角形的内角和定理可知，三角形CEO的内角和大于180度，同理，三角形FEO的内角和也大于180度。
但是，根据欧几里得第五公设，任意一条线上的两点可以唯一地确定一条直线，因此CD和EF不可能相交于点O。
由此可见，假设不成立，即CD与EF是平行线段且其长度相等。
4. 应用平行线等分线段定理在实际生活中有许多应用。
以下是一些常见的应用场景：4.1 地图投影地图投影是将三维地理空间坐标系统投影到二维平面上的过程。
地图投影中常常使用平行线等分线段定理来保持地图上各个点之间的距离比例。
4.2 建筑设计在建筑设计中，平行线等分线段定理可以用来确保建筑物的对称性。
通过合理地安排平行线段，可以使建筑物的各个部分在视觉上保持平衡。
4.3 电路设计在电路设计中，平行线等分线段定理可以用来确保电路中各个连接点之间的电阻或电容等参数的均衡。
这在提高电路性能方面具有重要意义。
5. 总结平行线等分线段定理是几何学中一个重要的定理。
通过该定理，我们可以证明平行线段的长度是相等的。
平行线等分线段定理在实际生活中具有广泛的应用，包括地图投影、建筑设计和电路设计等领域。
希望本文对读者对平行线等分线段定理的理解和应用有所帮助。
定距等分操作方法
定距等分操作方法
定距等分操作是指将一个线段或一段长度的区域等分为若干个相等长度的小段。
以下是一种基本的定距等分操作方法：
1.确定需要等分的线段或区域的起点和终点位置。
2.确定需要的等分段数，即将线段或区域分成的小段数量。
3.计算每个小段的长度，即将线段或区域的总长度除以等分段数。
4.从起点开始，按照每个小段的长度逐步移动，将小段的起点和终点位置确定下来，形成等分后的线段或区域。
例如，我们要将一个长度为10的线段等分为5个小段，操作步骤如下：
1.起点位置为A，终点位置为B。
2.需要等分成5个小段。
3.每个小段的长度为10/5=2。
4.从起点A开始，按照每个小段长度2逐步移动，确定每个小段的起点和终点位置，得到等分后的线段为AB、BC、CD、DE、EF。
需要注意的是，定距等分操作适用于直线段和区域等分，对于曲线等分或复杂形状的区域等分，可能需要进行其他专门的操作方法。
cad定数等分的算法 -回复
cad定数等分的算法-回复cad定数等分的算法是一种常见的算法，在很多CAD软件中都有应用。
这个算法的主要目的是将任意长度的线段等分为指定数量的小段，以便于更精确地处理和设计图形。
本文将会详细介绍cad定数等分的算法，并一步一步回答中括号内提供的问题。
首先，我们需要明确几个概念。
在CAD中，等分是将线段分为相等的部分。
定数等分是指将线段分为指定数量的部分，而非指定长度的部分。
接下来，我们将解答中括号内的问题：1. 什么是CAD定数等分的算法？CAD定数等分的算法是一种将给定长度的线段分为指定数量的小段的方法。
这个算法广泛应用于CAD软件中，可以帮助用户精确地处理设计和图形。
2. 为什么需要使用CAD定数等分的算法？在CAD设计中，有时需要将线段分割成相等的部分，以便于更好地控制和处理图形。
CAD定数等分的算法可以帮助用户实现这一目标。
3. CAD定数等分的算法如何工作？CAD定数等分的算法可以通过以下步骤实现：- 输入待等分的线段长度和要求的等分数量；- 计算每一小段的长度，即总长度除以等分数量；- 将线段起点作为第一个节点；- 从起点开始，根据每一小段的长度计算下一个节点的位置，直到计算完所有节点；- 将最后一个节点作为线段的终点，形成等分后的线段。
4. 在CAD软件中，如何应用CAD定数等分的算法？不同的CAD软件会有不同的实现方式，但一般来说，用户需要选择待等分的线段，并输入要求的等分数量。
CAD软件会自动将线段等分为指定数量的小段。
5. CAD定数等分的算法有哪些优点和局限性？优点：- 精确性：CAD定数等分算法能够将线段分割为指定数量的小段，保证了设计的精度。
- 便捷性：使用CAD软件自带的定数等分工具，可以快速完成等分操作。
局限性：- 不适用于曲线：CAD定数等分算法通常适用于直线段的等分，对于曲线需要额外的处理。
- 美感问题：对于某些设计，等分后的线段可能会破坏美感，因此需要根据实际情况进行调整。
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课时教案
课题第二节基本作图- 线段等分法课型新授课
教学
目标
知识目标线段等分法的作图方法。
水平目标学习使用绘图工具
德育目标遵守国家标准
重点线段等分法
难点线段等分法
教学
方法
讲授法、演示法
教学
媒体
计算机，课件
教学过程与教学方法
教学内容教师活动学生活动复习：直线、射线、线段区别：
直线没有端点，2边可无限延长
射线有1端有端点，另一端可无限延长
线段有2个端点，而2个端点间的距离就是这条线
段的长度，不能可延长
提问：
我们已知一条线段，用直尺三角板和圆规将它分成任意等
分。
能够用多种方法达到这个效果，其中最常用的是平行线
法。
也称三角板拭推法。
平行线法线段等分已知线段AB,
复习提问
导入新课
回忆
上节
课内
容回
答问
题。
教学过程与教学方法
教学内容教师活动学生活动
⑴过A点作射
线AC，与已
知线段AB成
任意锐角。
⑵用分规在
AC上上，以
任意长度截得
跟随
教师
作图教学过程与教学方法
教学内容教师活动学生活动
课堂练习
用平行线将已知线段AB分为5段。
检查学生掌握
情况。
掌握
作平
行线
技巧
小
结
线段等分法
作业将50mm线段平均分为6分
板书
设计
一、线段等分法
作图步骤：
1、
2、
3、。