04-1 振动数值仿真方法

1 1 ˆ K M C 2 t 2t
2 ˆ Rt Rt K 2 M xt t
1 1 2 M C xt t 2t t
ˆ ˆ Kx t t Rt
(1)
(2)
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School of Mechanical Engineering, Yanshan University
1 xt t 11xt t 18 xt 9 xt t 2 xt 2 t 6t x 1 2x 5x 4x x t t t t t t t t 2 t 2 t
在t＋△t时刻的动力方程为
M x t t Cx t t Kxt t Rt t
M x Cx Kx Rt
式中M，C，K分别为系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度 矩阵； x , x ， x分别表示系统的加速度向量，速度向量 和位移向量；R(t)是外力向量。
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ˆ 1 M 1 C K t 2 2 t
ˆ R K 2 M x R t t t t 2
1 1 2 M C xt t 2t t
(3)
◆求解方程式(1)，可得xt+t。 ◆由式(3)可以看出，为求xt+t必须使用xt和xt-t的值
a7 a3 9 。 a5 a3 2， a6 a0 2 ，
4.使用特殊的起始过程，计算xt和x2t。
ˆ： ˆ a0 M a1C K 5. 形成有效刚度矩阵 K K T ˆ ˆ K LDL 6. 对 K 作三角分解：
B. 关于每一时间增量计算
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整理得关于xt+t的代数方程组
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ˆ ˆ Kx R t t t t
式中
（ 1 ）
3 5 ˆ Rt t Rt t 2 M C xt t t 3 1 4 1 C xt t 2 M C xt 2 t 2 M 2t 3t t t
◆开始计算时，即 t=0 时，要计算 xt 的值，就需要已知 的x-t值，而x-t是未知的。
◆需要一个起始技术，因而这种算法不是自起步的。
◆由于 x0 ,x0 , x0 是已知的。根据
1 xt xt t xt t 2t x 1 x 2x x t t t t t t 2 t
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ˆ ˆ Kx R t t t
(1)
ˆ K
1 1 M C 2 t 2 t
(2)
2 1 1 ˆ Rt Rt K 2 M xt 2 M C xt t t 2t t
4.3 威尔逊- 法
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威尔逊— (Wilson-) 法 是假定在[t, t+△t]( 1)时间 间隔内，加速度呈线性变化， 如图所示。令为自t时刻开始 的 时 间 变 量 ， 适 用 于 0 t 。根据线性加速度的假 设，可得在此范围内的加速 Wilson-法模型 度为
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在t时刻的动力方程为
M x t Cx t Kxt Rt
ˆ xt t R ˆt K
式中

1 xt xt t xt t 2t x 1 x 2x x t t t t t t 2 t

从数学的观点来看，数值仿真方法是解微分方程 边值问题和初值问题的逐步方法。在结构动力学响应计 算方面，采用实用有效的数值仿真方法，可以对系统在 任意激励下的动态响应进行分析。
数值仿真方法的特点
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xt
xt xt t xt t
（） 1
x t
x x x t t t t t
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上式积分后得
(3)
B. 关于每一时间增量计算 1. 计算t时刻的有效载荷
ˆ t Rt K a2 M xt a0 M a1C xt t R 2. 计算t＋△t时刻的位移 LDLT x ˆ t t Rt
3. 如果需要，计算t时刻的加速度和速度
x t a0 xt t 2 xt xt t x t a1 xt t xt t
x 4. 计算 xt x0 tx 。 0 a 0 3
a0 1 t 2 , a1 1 2t , a2 2a0 , a3 1 a2
ˆ a0 M a1C 5. 形成有效刚度矩阵：K ˆ LDLT ˆ 作三角分解：K 6. 对 K
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xt x0 tx 0
t 2
2
x 0
中心差分法的计算机实施格式
ˆ ˆ Kx R t t t (1)
ˆ K
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1 1 M C 2 t 2 t
(2)
2 1 1 ˆ Rt Rt K 2 M xt 2 M C xt t t 2t t
(3)
A. 初始计算 1. 形成质量矩阵M，阻尼矩阵C和刚度矩阵K。 2. 给出初始值 x0 ,x0 , x0 3. 选择时间步长△t，△t△tcr，计算积分常数：
2 xt xt xt 2 xt t xt （） 2t 3 1 xt xt xt xt 2 3 xt t xt （） 2 6t 若 =t，由以上两式可得t +t瞬时的速度和位移 t xt t xt xt t xt 2 2 2 t x xt t 2 xt t t x t tx t 6
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求解多自由度线性振动系统常用的方法有： 中心差分法； 侯博特(Houbolt)法；
威尔逊(Wilson-)法；
纽马克(Newmark-)法。
对于高频分量和低频分量混合的问题，采用无条件 稳定的解法，可以提高计算效率。
4.1
中心差分法
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◆中心差分法是直接积分法的一种。 ◆它是将系统的运动微分方程在时间域内离散，化 成对时间的差分格式，然后根据初始条件，利用逐步积 分求出在一系列离散时刻上的响应值。 离散系统的运动微分方程为
11 2 ˆ K K C 2M 6t t
◆由上式可以看出，要计算 xt+t时刻的解，必须使用前 三步的位移xt, xt-t和xt-2t。 ◆该方法不是自起步的，要用其它方法由 x0，x0，x起步， 0 例如可用中心差分法求出xt和x2t后，才能使用Houbolt 法的方程逐步求解。
在时间域内对响应的时间历程进行离散，把运动微分 方程分为各离散时刻的方程； 将某时刻的速度和加速度用相邻时刻的各位移的线性 组合表示，将系统的运动微分方程化为一个由位移组成 的某离散时刻的代数方程组； 对耦合的系统运动微分方程进行逐步数值积分，从而 求出在一系列离散时刻上的响应值。
这种数值仿真方法称为逐步积分法(或直接积分法)。
假定在 t=0 时，位移、速度和加速度分别为已知 的 x0 ,x0 , x0 。求时间区间[0，T]的解。 把时间全程T划分为n等份，即：
t T n
目的：确定时刻 t0 0, t1 t, t 2 2t,, t n nt T
x,x, x 的近似解。
在中心差分法中，按中心差分将速度和加速度向量 离散化为 两式中，t时刻的 1 xt t xt t x t 速度和加速度是 2t 以相邻时刻的位 1 x t 2 xt t 2 xt xt t 移表示的。 t
Houbolt法的计算机实施格式
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A. 初始计算 1. 形成质量矩阵M，阻尼矩阵C和刚度矩阵K。
x 0。 2. 给出初始值 x0， x 0，
3. 选择时间步长△t，并计算积分常数： 2 2 a2 5 t ， a1 11 6t， a3 3 t， a4 2a0 a0 2 t ，
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◆中心差分法是一种显式积分方法。 ◆使用中心差分法必须考虑积分的时间步长△t不 能大于临界值△tcr，即
t tcr Tn
式中Tn为离散系统的最小周期。
◆如果不满足上式，数值解将出现发散现象。 ◆这种算法不是无条件稳定的。
1. 计算t+△t时刻的有效载荷
ˆ R t t Rt t M a2 x t a4 x t t a6 x t 2 t C a3 xt a5 xt t a7 xt 2 t
ˆ t t 2. 计算t＋△t时刻的位移 LDL xt t R 3. 如果需要，计算t+△t时刻的加速度和速度
4.2
侯博特法
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◆侯博特(Houbolt)法是Houbolt为研究飞机振动所 提出的方法。 ◆该方法以三级位移插值为基础的，通过四点的位 移建立三次式，用两个向后差分公式表示在时刻t+△t的 速度和加速度，即
T
x t t a0 xt t a2 xt a4 xt t a6 xt 2 t x t t a1 xt t a3 xt a5 xt t a7 xt 2 t
◆Houbolt法和中心差分法的根本不同之处是刚度矩阵K 出现在方程 (1)的左端，因此 Houbolt法是隐式积分格式， 其舍入误差与步长 △t的大小无关，所以 Houbolt法是无 条件稳定的。
第四章 振动的仿真
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振动分析的方法很多，数值仿真方法是进行振动 分析的最直接的一类方法，它们可以应用于包括非线性 振动在内的各种振动问题，这类方法是研究动态响应的 有效手段之一。