离散型随机变量的均值和方差
第九章第6讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差
第6讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差[学生用书P203])1．离散型随机变量的分布列(1)定义：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)性质①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1． 2．离散型随机变量X 的均值与方差3.均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a ，b 为常数)． (2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数)．1．辨明三个易误点(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．(2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．(3)均值E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态．2．求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用X 的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X ，则表示“放回5个红球”事件的是( )A ．X ＝4B ．X ＝5C ．X ＝6D ．X ≤5C [解析] 事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，故X ＝6.2.教材习题改编 设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( )A.1 B ．12C.14D ．18D [解析] 由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2，4，6，8，10)，则D (X )等于( )A ．5B ．8C ．10D ．16B [解析] 因为E (X )＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，所以D (X )＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.4．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝________． [解析] P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. [答案] 155．一个人将编为1，2，3，4的四个小球随机放入编为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编与盒子的编相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对个数记为ξ，则ξ的期望的值为________．[解析] 将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A 44种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2，4，其中P (ξ＝0)＝9A 44＝38， P (ξ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124，E (ξ)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1. [答案] 1离散型随机变量的分布列的性质[学生用书P204][典例引领]设离散型随机变量X 的分布列为求2X ＋1的分布列．【解】 由分布列的性质知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 解得m ＝0.3. 首先列表为：从而2X ＋1的分布列为在本例的条件下，求P (1<X ≤4)． [解] 由例题解析知m ＝0.3，所以P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝0.1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负；(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． [解析] 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. [答案] 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13离散型随机变量的均值(高频考点)[学生用书P204]离散型随机变量的均值是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，多为中档题． 高考对离散型随机变量的均值的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知离散型随机变量的均值，求参数值； (2)已知离散型随机变量符合的条件，求其均值．[典例引领](2015·高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解】 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0，1，2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．求离散型随机变量X 的均值的方法(1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由均值的定义求E (X )．[题点通关]角度一 已知离散型随机变量的均值，求参数值1．某射击运动员在一次射击比赛中所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的均值E (ξ)＝4.3，则y 的值为( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.2D ．0.1C [解析] 由题意知，x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，又E (ξ)＝3x ＋4×0.1＋5×0.3＋6y ＝4.3，两式联立解得y ＝0.2.角度二 已知离散型随机变量符合的条件，求其均值2．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上购物者的年龄情况如图所示．(1)已知[30，40)、[40，50)、[50，60)三个年龄段的上购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；(2)该电子商务平台将年龄在[30，50)之间的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得代金券总和X 的分布列与数学期望．[解] (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋0.015，（0.01＋0.015×2＋b ＋a ）×10＝1， 解得a ＝0.035，b ＝0.025.(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的有6人，属于潜在消费人群的有4人．从中抽取3人，并计算3人所获得代金券的总和X ，则X 的所有可能取值为：150，200，250，300，P (X ＝150)＝C 36C 310＝16，P (X ＝200)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝250)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝300)＝C 34C 310＝130.故X 的分布列为E (X )＝150×16＋200×12＋250×310＋300×130＝210.离散型随机变量的均值与方差的应用[学生用书P205][典例引领]为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．【解】 (1)设顾客所获的奖励额为X 元．①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60.P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)． (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元． 所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1元，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X 2元，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.利用均值与方差解决实际问题的方法(1)对实际问题进行具体分析，将实际问题转化为数学问题，并将问题中的随机变量设出来．(2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件，求出其相应的概率． (3)依据期望与方差的定义、公式求出相应的期望与方差值． (4)依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释．(2017·郑州市第一次质量预测)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a 万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．[解] (1)设下周一无雨的概率为p ，由题意，p 2＝0.36，p ＝0.6， 基地收益X 的可能取值为20，15，10，7.5，则P (X ＝20)＝0.36，P (X ＝15)＝0.24，P (X ＝10)＝0.24，P (X ＝7.5)＝0.16， 所以基地收益X 的分布列为基地的预期收益E (X )＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4， 所以基地的预期收益为14.4万元． (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益E (Y )＝20×0.6＋10×0.4－a ＝16－a(万元)，E (Y )－E (X )＝1.6－a ，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．[学生用书P206])——随机变量的均值与其他知识的交汇(2015·高考湖北卷)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量．(1)求Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率．【解】 (1)设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1.5y ≤W ，x ＋1.5y ≤12，2x －y ≥0，x ≥0，y ≥0.(*)目标函数为z ＝1 000x ＋1 200y .将z ＝1 000x ＋1 200y 变形为l ：y ＝－56x ＋z1 200，设l 0：y ＝－56x .①②③当W ＝12时，(*)表示的平面区域如图①阴影部分所示，三个顶点分别为A (0，0)，B (2.4，4.8)，C (6，0).平移直线l 0知当直线l 过点B ， 即当x ＝2.4，y ＝4.8时，z 取最大值，故最大获利Z ＝z max ＝2.4×1 000＋4.8×1 200＝8 160(元)．当W ＝15时，(*)表示的平面区域如图②阴影部分所示，三个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (7.5，0)．平移直线l 0知当直线l 过点B ， 即当x ＝3，y ＝6时，z 取得最大值，故最大获利Z ＝z max ＝3×1 000＋6×1 200＝10 200(元)． 当W ＝18时，(*)表示的平面区域如图③阴影部分所示，四个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(6，4)，D(9，0).平移直线l0知当直线l过点C，即当x＝6，y＝4时，z取得最大值，故最大获利Z＝z max＝6×1 000＋4×1 200＝10 800(元)．故最大获利Z的分布列为因此，E(Z)＝8 160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9 708.(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率p1＝P(Z>10 000)＝0.5＋0.2＝0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p＝1－(1－p1)3＝1－0.33＝0.973.(1)本题是离散型随机变量的分布列、均值与线性规划交汇．解决本题需根据题目所给信息提炼出线性约束条件和目标函数，然后再求Z的值．考查了对数学的应用意识、数据处理能力及数形结合思想．(2)离散型随机变量的均值常与统计、平面向量、函数、数列、不等式等知识交汇，题目设计新颖，是近几年高考考查的热点．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列．[解] (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28(种)，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为[学生用书P311(独立成册)]1．若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．2 B ．2或12C.12D ．1 C [解析] 因为分布列中概率和为1，所以a 2＋a 22＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(舍去)或a ＝1，所以E (X )＝12.2．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A.13 B ．16C.12D ．56D [解析] 由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.3．随机变量ξ的取值为0，1，2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1, 则D (ξ)＝________.[解析] 设ξ＝1时的概率为p ，则E (ξ)＝0×15＋1×p ＋2×⎝⎛⎭⎫1－p －15＝1，解得p ＝35，故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.[答案] 254．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．[解析] X 的所有可能值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为[答案]5.若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E (X )． [解] (1)个位数字是5的“三位递增数”有 125，135，145，235，245，345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84， 随机变量X 的取值为：0，－1，1，因此 P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142.所以X 的分布列为则E (X )＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.6．(2017·山东青岛一模)一个袋中装有7个除颜色外完全相同的球，其中红球4个，编分别为1，2，3，4；蓝球3个，编分别为2，4，6，现从袋中任取3个球(假设取到任一球的可能性相同)．(1)求取出的3个球中含有编为2的球的概率；(2)记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． [解] (1)设A ＝“取出的3个球中含有编为2的球”，则P (A )＝C 12C 25＋C 22C 15C 37＝20＋535＝2535＝57. (2)由题意得，ξ可能取的值为0，1，2，3，则 P (ξ＝0)＝C 33C 37＝135，P (ξ＝1)＝C 14·C 23C 37＝1235， P (ξ＝2)＝C 24·C 13C 37＝1835， P (ξ＝3)＝C 34C 37＝435.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.7．袋中有20个大小相同的球，其中记上0的有10个，记上n 的有n 个(n ＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值． [解] (1)X 的取值为0，1，2，3，4，其分布列为所以E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )得2.75a 2＝11，得a ＝±2， 又E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.8．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．[解] (1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n <16时，利润y ＝10n －80.所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n <1680，n ≥16，(n ∈N )．(2)①X 可能的取值为60，70，80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.X 的方差D (X )＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为Y 的数学期望E (Y )＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y 的方差为D (Y )＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，D (X )<D (Y )，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E (X )<E (Y )，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)<E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．9．(2017·兰州市诊断考试)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表(1)现从甲公司记录的这100天中随机抽取2天，求这2天送餐单数都大于40的概率；(2)若将频率视为概率，回答以下问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．[解] (1)记“抽取的2天送餐单数都大于40”为事件M，则P(M)＝C220C2100＝19495.(2)①设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a＝38时，X＝38×4＝152；当a＝39时，X＝39×4＝156；当a ＝40时，X ＝40×4＝160； 当a ＝41时，X ＝40×4＋1×6＝166； 当a ＝42时，X ＝40×4＋2×6＝172.所以X 的所有可能取值为152，156，160，166，172. 故X 的分布列为所以E (X )＝152×110＋156×15＋160×15＋166×25＋172×110＝162.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.4＋40×0.2＋41×0.1＋42×0.1＝39.5， 所以甲公司送餐员日平均工资为70＋2×39.5＝149(元)． 由①得乙公司送餐员平均工资为162元． 因为149<162，故推荐小明去乙公司应聘．10．某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择．若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如下表所示：且ξ1的期望E (ξ1)＝120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p (0＜p ＜1)和1－p .若乙项目产品价格一年内调整次数X (次)与ξ2的关系如下表所示：(1)求m ，n 的值； (2)求ξ2的分布列；(3)若E (ξ1)＜E (ξ2)，则选择投资乙项目，求此时p 的取值范围．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋0.4＋n ＝1，110m ＋120×0.4＋170n ＝120，解得m ＝0.5，n ＝0.1.(2)ξ2的可能取值为41.2，117.6，204， P (ξ2＝41.2)＝(1－p )[1－(1－p )]＝p (1－p )，P (ξ2＝117.6)＝p [1－(1－p )]＋(1－p )(1－p )＝p 2＋(1－p )2， P (ξ2＝204)＝p (1－p )， 所以ξ2的分布列为(3)由(2)可得：E (ξ2)＝41.2p (1－p )＋117.6[p 2＋(1－p )2]＋204p (1－p )＝－10p 2＋10p ＋117.6， 由E (ξ1)＜E (ξ2)，得120＜－10p 2＋10p ＋117.6， 解得0.4＜p ＜0.6，即当选择投资乙项目时，p 的取值范围是(0.4，0.6)．。
离散型随机变量的均值与方差
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(3)设技术革新后的三等品率为x， 则此时1件产品的平均利润为 Ex＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋ x＋(－2)×0.01 ＝4.76－x(0≤x≤0.29)，9分 依题意，Ex≥4.73， 即4.76－x≥4.73， 解得x≤0.03. 所以三等品率最多为3%. 12分
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(2)EY＝E(2X＋3)＝2EX＋3 ＝2×(－13)＋3＝73； DY＝D(2X＋3)＝4DX＝4×59＝290. 【名师点评】 ξ是一个随机变 量，则η＝f(ξ)一般仍是一个随机变 量，在求η的期望和方差时，要应用期 望和方差的性质．
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考点四 均值与方差的实际应用
利用期望和方差比较随机变量的 取值情况，一般是先比较期望，期望 不同时，即可比较出产品的优劣或技 术水平的高低，期望相同时，再比较 方差，由方差来决定产品或技术水平 的稳定情况．
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P(X≥7)＝P(X≤3) ＝12×[1－P(3＜X＜7)]， ＝12×(1－0.9544)＝0.0228， ∵P(4＜X＜6)＝0.6826， ∴P(5＜X＜6)＝12P(4＜X＜6) ＝0.3413.
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考点二 求离散型随机变量的期记与方差
求离散型随机变量X的均值与方差 的步骤：
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(1)求q2的值； (2)求随机变量ξ的数学期望Eξ； (3)试比较该同学选择都在B处投 篮得分超过3分与选择上述方式投篮 得分超过3分的概率的大小．
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【思路点拨】 首先由P(ξ＝0)＝ 0.03计算出q2，从而可写出分布 列．本题便可求解．
【解】 (1)由题设知，“ξ＝0”对 应的事件为“在三次投篮中没有一次投 中”，由对立事件和相互独立事件性质 可知
第6讲离散型随机变量的均值与方差
【示例】甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机 投弹一次命中目标的概率为2/3，乙机投弹一次命中目标的 概率为1/2，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投 弹之间互不影响． (1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被 摧毁的概率； (2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学 期望． 【审题视点】 对于第(1)问，甲、乙两机的投弹都是独立重 复试验概型，根据至少两次命中分类求解，或使用间接法 求解，题意，随机变量ξ＝0,1,2,3,4，根据独立 重复试验概型及事件之间的相互关系，计算其概率即可求 出分布列，根据数学期望的计算公式求解数学期望．
P
0.4
a
b
0.1
且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随 机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率， 求等级系数X2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则 哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
所以 E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
【反思与悟】 解决此类题目的关键是将实际问题转化为数 学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件， 求得该事件发生的概率，本题第(1)问中充分利用了分布列 的性质p1＋p2＋…＋pn＋…＝1. 【变式3-1】 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项 目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失 10%，可能 不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为1/2，1/4，1/4； 如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%， 这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)． (1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益＝回 收资金－投资资金)，求X的概率分布及E(X)； (2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项 目的平均收益，求α的取值范围．
离散型随机变量的均值与方差
(1)均值
称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为
随机变量 X 的均值或 数学期望 ，它反映了离
散型随机变量取值的 平均水平 .
(2)方差 n
称
D(X)＝
∑
i＝1
(xi－E(X))2pi 为随机变量 X 的
方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X) 的 平均偏离程度 ，其算术平方根 DX 为
2．方差的意义 D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程 度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说 明 X 的取值越分散，反之 D(X)越小，X 的 取值越集中，由方差定义知，方差是建立 在期望这一概念之上的．在 E(X)附近，统 计中常用 DX来描述 X 的分散程度．
基础自测
1．随机变量 ξ 的分布列如下：
＝E(ξ2)＋4E(ξ)＋4＝11＋12＋4＝27.
D(2ξ－1)＝4D(ξ)＝8，
Dξ－1＝ Dξ＝ 2.
探究提高 ξ 是随机变量，则 η＝f(ξ)一般仍是 随机变量，在求 η 的均值和方差时，熟练应用 均值和方差的性质，可以避免再求 η 的分布列 带来的繁琐运算．
变式训练 2 袋中有 20 个大小相同的球，其中 记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ 表示所取 球的标号． (1)求 ξ 的分布列、均值和方差； (2)若 η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求 a，b 的值．
题型分类 深度剖析
题型一 离散型随机变量的均值与方差的求法 例 1(2010·福建)设 S 是不等式 x2－x－6≤0 的解集，
整数 m，n∈S. (1)记“使得 m＋n＝0 成立的有序数组(m，n)” 为事件 A，试列举 A 包含的基本事件； (2)设 ξ＝m2，求 ξ 的分布列及其均值 E(ξ)．
12.5 离散型随机变量的均值与方差
考点1
考点2
考点3
-12-
参考公式:χ2=(������+������)(������������+(������������������)-(���������������+���)2������)(������+������),其中 n=a+b+c+d. 参考临界值:
P(χ2>k0) k0
0.05 3.841
考点1
考点2
考点3
-22-
思考如何求离散型随机变量X的均值与方差? 解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤: (1)理解X的意义,写出X的全部可能取值. (2)求X取每个值的概率. (3)写出X的分布列. (4)由均值的定义求EX. (5)由方差的定义求DX. 2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为EX,则对应随机变量 aX+b的均值是aEX+b,方差为a2DX.
种子发芽这株豆苗就能有效成活,每株豆成活苗可以收成大豆
2.205
kg.已知每粒豆苗种子成活的概率为
1 2
(假设种子之间及外部
条件一致,发芽相互没有影响).
(1)求恰好有3株成活的概率;
(2)记成活的豆苗株数为ξ,收成为η(kg),求随机变量ξ的分布列及η
的均值Eη.
考点1
考点2
考点3
-17-
解 (1)设每株豆子成活的概率为 P0,
女
40
50
90
合计
120
80
200
又 χ2=20102×0(8×08×05×01-1300××9400)2≈16.498>6.635, 所以有 99%的把握认为性别与“为 A 类学生”有关.
离散型随机变量的均值与方差
(1)求离散型随机变量的 均值与方差关键是确定 随机变量的所有可能 值，写出随机变量的分 布列，正确运用均值、 方差公式进行计算． (2)要注意观察随机变量 的概率分布特征，若属 二项分布的，可用二项 分布的均值与方差公式 计算，则更为简单．
求 出 函 数 解析 式 ． (2) ①根据当天的需求量， 答案二：花店一天应购进 17 枝玫瑰花．理由如下： 写出相应的利润，列 若花店一天购进 17 枝玫瑰花， Y 表示当天的利润(单位： 出 分 布 列 ， 求 出 数 学 期望和方差，②比较 元)，那么 Y 的分布列为 两种情况的数学期望 或方差即可． Y 55 65 75 85 [方法锦囊] (1)求离散型随机变量的 P 0.1 0.2 0.16 0.54
(1) 根 据 日 需求 量 分 类 求 出 函 数 解析 式 ． (2) ①根据当天的需求量， 写出相应的利润，列 出分布列，求出数学 期望和方差，②比较 两种情况的数学期望 或方差即可．
[审题视点]
[方法锦囊]
(1)求离散型随机变量的 均值与方差关键是确定 随机变量的所有可能 值，写出随机变量的分 布列，正确运用均值、 方差公式进行计算． (2)要注意观察随机变量 的概率分布特征，若属 二项分布的，可用二项 分布的均值与方差公式 计算，则更为简单．
Y 的数学期望为 E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋ 85×0.54＝76.4. 由以上的计算结果可以看出， E(X)<E(Y)，即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利 润．故花店一天应购进 17 枝玫瑰花．
均值与方差关键是确定 随机变量的所有可能 值，写出随机变量的分 布列，正确运用均值、 方差公式进行计算． (2)要注意观察随机变量 的概率分布特征，若属 二项分布的，可用二项 分布的均值与方差公式 计算，则更为简单．
离散型随机变量的均值和方差ppt课件
11
2. 有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢
10元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这 场赌博对你是否有利?
X 10
-3
0
P
1
1
1
6
2
3
E
1 10 1 3 1 0 1
6
2
3
6
.
对你不利!劝君莫参加赌博.
12
例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的数学期望？
中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满 分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每 题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩的均值.
解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题 个数分别是 和η,则 ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)， 所以Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5．
8
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ= 2.4
.
2、随机变量ξ的分布列是
ξ
4
7
P
0.3
a9ຫໍສະໝຸດ 10b0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
9
归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤： ①、确定离散型随机变量可能的取值。 ②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。 ③、求出均值(期望)。
解：X的可能取值为0，1，其分布列如下
X
1
0
P
离散型随机变量的均值与方差_教案
离散型随机变量的均值与方差_教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念通过实例说明离散型随机变量的特点1.2 离散型随机变量的取值讨论离散型随机变量的取值范围解释离散型随机变量的概率分布1.3 离散型随机变量的概率质量函数定义概率质量函数（PMF）示例说明如何计算离散型随机变量的概率第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值定义引入离散型随机变量的均值概念解释均值的意义和重要性2.2 计算离散型随机变量的均值介绍计算离散型随机变量均值的方法通过实例演示如何计算均值2.3 均值的性质讨论离散型随机变量均值的性质证明均值的线性性质第三章：离散型随机变量的方差3.1 方差的概念引入方差的概念和意义解释方差在描述随机变量离散程度方面的作用3.2 计算离散型随机变量的方差介绍计算离散型随机变量方差的方法通过实例演示如何计算方差3.3 方差的性质讨论离散型随机变量方差的性质证明方差的线性性质第四章：离散型随机变量的标准差4.1 标准差的概念引入标准差的概念和意义解释标准差在描述随机变量离散程度方面的作用4.2 计算离散型随机变量的标准差介绍计算离散型随机变量标准差的方法通过实例演示如何计算标准差4.3 标准差的性质讨论离散型随机变量标准差的性质证明标准差的线性性质第五章：离散型随机变量的期望和方差的关系5.1 期望和方差的关系引入期望和方差的关系概念解释期望和方差在描述随机变量特性方面的作用5.2 计算离散型随机变量的期望和方差介绍计算离散型随机变量期望和方差的方法通过实例演示如何计算期望和方差5.3 期望和方差的性质讨论离散型随机变量期望和方差的性质证明期望和方差的线性性质这五个章节涵盖了离散型随机变量的均值和方差的基本概念、计算方法和性质。
通过这些章节的学习，学生可以掌握离散型随机变量的均值和方差的计算方法，并了解它们在描述随机变量特性和规律方面的应用。
离散型随机变量的均值与方差_教案
离散型随机变量的均值与方差_教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念举例说明离散型随机变量1.2 离散型随机变量的概率分布概率分布的定义概率分布的性质概率分布的图形表示1.3 离散型随机变量的期望值期望值的定义期望值的计算方法期望值的意义第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值的概念均值的定义均值的意义2.2 离散型随机变量的均值的计算方法均值的计算公式均值的计算步骤2.3 离散型随机变量的均值的性质均值的性质1：线性性质均值的性质3：单调性第三章：离散型随机变量的方差3.1 离散型随机变量的方差的概念方差的定义方差的意义3.2 离散型随机变量的方差的计算方法方差的计算公式方差的计算步骤3.3 离散型随机变量的方差的性质方差的性质1：非负性方差的性质2：对称性方差的性质3：单调性第四章：离散型随机变量的协方差4.1 离散型随机变量的协方差的概念协方差的定义协方差的意义4.2 离散型随机变量的协方差的计算方法协方差的计算公式协方差的计算步骤4.3 离散型随机变量的协方差的性质协方差的性质1：线性性质协方差的性质3：对称性第五章：离散型随机变量的相关系数5.1 离散型随机变量的相关系数的定义相关系数的定义相关系数的意义5.2 离散型随机变量的相关系数的计算方法相关系数的计算公式相关系数的计算步骤5.3 离散型随机变量的相关系数的性质相关系数的性质1：取值范围相关系数的性质2：单调性相关系数的性质3：对称性第六章：离散型随机变量的标准化6.1 离散型随机变量标准化的概念标准化的定义标准化的意义6.2 离散型随机变量的标准化方法标准化的计算公式标准化的计算步骤6.3 离散型随机变量标准化后的性质标准化后的分布标准化后的期望值和方差第七章：离散型随机变量的均值的估计7.1 离散型随机变量均值估计的概念均值估计的定义均值估计的意义7.2 离散型随机变量均值的点估计点估计的定义点估计的计算方法7.3 离散型随机变量均值的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第八章：离散型随机变量的方差的估计8.1 离散型随机变量方差估计的概念方差估计的定义方差估计的意义8.2 离散型随机变量方差的点估计点估计的定义点估计的计算方法8.3 离散型随机变量方差的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第九章：离散型随机变量的协方差的估计9.1 离散型随机变量协方差估计的概念协方差估计的定义协方差估计的意义9.2 离散型随机变量协方差的点估计点估计的定义点估计的计算方法9.3 离散型随机变量协方差的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第十章：离散型随机变量的相关系数的估计10.1 离散型随机变量相关系数估计的概念相关系数估计的定义相关系数估计的意义10.2 离散型随机变量相关系数的点估计点估计的定义点估计的计算方法10.3 离散型随机变量相关系数的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法重点和难点解析重点环节1：离散型随机变量的期望值和方差的计算方法。
072随机变量的均值与方差
§16.1 随机变量的均值与方差1.所示，则称n n 2211为离散型随机变量X 的均值或数学期望，记为E(X)或μ，即E(X)=n n p x p x p x +++ 2211，其中i x 是随机变量X 的可能取值，i p 是概率，i p ≥0；n i ,,2,1 =，121=+++n p p p性质：①E(C)=C ；②E(aX)=aE(X)；③E(aX+b)=aE(X)+b ；④超几何分布X ～H(n,M,N)的数学期望为NnM X E =)(，二项分布X ～B(n ，p)的数学期望为np X E =)(。
2.X 的概率分布如表所示，则称n n p x p x p x 22211)()()(μ-++-+- 为离散型随机变量X 的方差，记为V(X)或2σ，即V(X)= n n p x p x p x 2222121)()()(μμμ-++-+- （其中)(X E =μ，i p ≥0；n i ,,2,1 =，121=+++n p p p ），方差也可用公式212)(μ-=∑=i ni i p x X V ，即22)()()(X E X E X V -=，V(X)的算术平方根称为X 的标准差，即)(X V =σ。
性质：①0)(=C V ；②)()(2X V a b aX V =+；③超几何分布X ～H(n,M,N)的方差为)1())(()(2---=N N n N M N nM X V ，二项分布X ～B(n ，p)的方差为)1()(p np X V -=。
注：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度。
方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度越小。
三、典型例题例1：有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5，从中随即地抽取3张卡片，设3 张卡片上的数字之和为随机变量ξ，求E(ξ)、V(ξ)例2：假定某射手每次射击命中目标的概率为32，且只有3发子弹。
离散型随机变量的均值和方差
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
aE b
即 E(a b) aE b
离散型随机变量的均值的理解
(1) 均 值 是 算 术 平 均 值 概 念 的 推 广 ， 是 概 率 意 义 下 的 平 均．
(2)E(X)是一个实数，是由X的概率分布唯一确定的，它 描述X取值的平均状态．
8．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信
2
件数ξ的数数学期望Eξ＝_____3___.
若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
ξ01
…k
…n
P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0
证明：∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k
(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
第二课时：随机变量取值的方差和标准差
前面，我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布 列为
ξ x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn
则称 E x1 p1 x2 p2 … xk pk … xn pn 为 ξ 的数 学期望，简称期望．数学期望是离散型随机变量的一个特征 数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机 变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的 平均数、均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无 法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中 与离散的程度进行刻画．
探究
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数1、 2的分布列如下：
x1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
x2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成 绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的 射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？
第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布
规律方法 2 求离散型随机变量的均值与方差的方法：1先 求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解.2若随机 变量 X～Bn，p，则可直接使用公式 EX＝np，DX＝np1－p 求解.
对点训练 为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重 (单位：千克)情况，将从该市某学校抽取的样本数据整理后得到如 下频率分布直方图，已知图 10－9－2 中从左至右前 3 个小组的频 率之比为 1∶2∶3，其中第 2 小组的频数为 12.
图 10－9－2
(1)求该校报考体育专业学生的总人数 n； (2)若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况，现从该 市报考体育专业的学生中任选 3 人，设 ξ 表示体重超过 60 千克的 学生人数，求 ξ 的分布列和数学期望．
【尝试解答】 (1)设该校报考体育专业的人数为 n，前三小
组的频率分别为 p1，p2，p3，则由题意可知，
【答案】 D
考向二 [196] 离散型随机变量的均值与方差 (2014·广东百所高中联考)为贯彻“激情工作，快乐生
活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分 初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一 题答一题的方式进行，每位选手最多有 5 次选答题的机会，选手 累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛，答对 3 题者直接 进入决赛，答错 3 题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23.
对点训练 如果随机变量 ξ～N(－1，σ2)，且 P(－3≤ξ≤－1)
＝0.4，则 P(ξ≥1)等于( )
A．0.4
B．0.3
C．0.2
D．0.1
【解析】 因为 P(－3≤ξ≤－1)＝P(－1≤ξ≤1)＝0.4，所以 P(ξ≥1)＝1－P－3≤ξ≤－21－P－1≤ξ≤1＝1－0.24－0.4＝ 0.1，选 D.
离散型随机变量的均值和方差
离散型随机变量的均值和方差
离散型随机变量的的期望也就是离散型随机变量的均值的是为了表达一个随机变量取值的中间水平，随机变量的方差刻画了随机变量取值的离散程度。
由于它们反映了随机变量取值的平均水平及稳定性，所以随机变量的均值和方差在市场预测等其他方面有着重要的应用。
离散型随机变量的期望公式：离散型随机变量X的取值为X1、X2、X3……Xn，p（X1）、p（X2）、p（X3）……p（Xn）、为X对应取值的概率，可理解为数据X1、X2、X3……Xn出现的频率高f（Xi）。
则E（X）=X1*p（X1）+X2**p（X2）+……+Xn**p（Xn）= X1*f1（X1）+X2*f2（X2）+……+Xn*fn（Xn）。
离散型随机变量的方差公式：D（X）=E{[X-E（X）]^2}=E（X^2）-（EX）^2。
常见的分布的方差和期望：
1、均匀分布：期望是（a+b）/2，方差是（b-a）的平方/12。
2、二项分布：期望是np，方差是npq。
3、泊松分布：期望是p，方差是p。
4、指数分布：期望是1/p，方差是1/（p的平方）。
5、正态分布：期望是u，方差是&的平方。
6、X服从参数为p的0-1分布，则E（X）=p，d（X）=p（1-p）。
离散型随机变量的均值与方差正态分布理
X
1
2
3
P
E( X ) 1 1 8 2 28 3 109 .
5 45 45
45
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1．(2010·河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的 招聘面试．公司规定面试合格者可签约．甲、乙面试合格 就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签 约．设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互 不影响．求： (1)至少有三人面试合格的概率； (2)恰有两人签约的概率； (3)签约人数的数学期望．
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2．A，B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2，根 据市场分析，X1和X2的分布列分别为：
X1
5%
P
0.8
10% 0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
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(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投 资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目， f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润 的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取 到最小值．(注：D(aX＋b)＝a2D(X))
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(2) f ( x) D
[ x2 3(100 x)2 ]
(4x2 600x 31002 ).
当x＝ ＝75时，f(x)＝3为最小值.
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正态分布下的概率计算常见的有两类： 1．利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉
及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与 x轴之间的面积为1. 2．利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围 与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－ σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ) 中的哪一个．
离散型随机变量的均值与方差(4类必考点)(北师大版2019选择性必修第一册)(解析版)
专题6.3 离散型随机变量的均值与方差【基础知识梳理】 (1)【考点1：求离散型随机变量的均值】 (1)【考点2：均值的性质】 (7)【考点3：求离散型随机变量的方差】 (11)【考点4：方差的性质】 (16)【基础知识梳理】1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)称E(X)＝x1p1＋x2p2i i n n量取值的平均水平．(2)称D(X)＝(x i－E(X))2p i为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．[方法技巧]求离散型随机变量的均值与方差的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值x i(i＝1,2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝x i)＝p i；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；(4)利用公式求均值或方差.【考点1：求离散型随机变量的均值】【知识点：求离散型随机变量的均值】1．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比赛两局，每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1，设每局的胜方得3分，负方得−1分，若该局为平局，则两人各得2分．(1)求甲、乙各赢一局的概率；(2)记两局结束后甲的最后得分为X，求X的数学期望．【答案】(1)0.36(2)3.4【分析】（1）由题可知比赛乙赢的概率为0.3，甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第一局甲赢第二局.据此可得答案；（2）依次写出对局情况及相应概率，后可计算期望.【详解】（1）依题意可得每局比赛乙赢的概率为0.3，甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第一局甲赢第二局，故甲、乙各赢一局的概P=2×0.6×0.3=0.36．（2）若甲赢两局，得分6分，P(X=6)=0.62=0.36；若甲一赢一平，得分5分，P(X=5)=2×0.6×0.1=0.12；若甲平两局，得分4分，P(X=4)=0.12=0.01；若甲一赢一输，得分2分，P(X=2)=2×0.6×0.3=0.36；若甲一平一输，得分1分，P(X=1)=2×0.3×0.1=0.06；若甲输两局，得分−2，P(X=−2)=0.32=0.09.故E(X)=6×0.36+5×0.12+4×0.01+2×0.36+1×0.06−2×0.09=3.42．（2023·四川·校联考一模）甲袋中装有大小相同的红球2个，白球2个：乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球3个，白球4个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出3个小球．(1)求从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率；(2)记从乙袋中取出的3个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】(1)2756.(2)分布列见解析，数学期望E(ξ)=189112【分析】（1）分“从甲袋中取出1红球投入乙袋”和“从甲袋中取出1白球投入乙袋” 两个类型，利用组合数和古典概型公式。
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X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随 机变量． （1） Y的分布列是什么？ （2） EY=？
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
aEX b
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征，最常用的有期望与方差.
高二数学 选修2-3
2.3离散型随机变量 的均值和方差
二、具体问题
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，
1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是
多少？
X 1111222334 2 10
把环数看成随机变量的概率分布列：权数
小结： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X
1
0
P
p
1－p
则 EX 1 p 0(1 p) p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次；
（1）求他得到的分数X的分布列；
（2）求X的期望。 解：(1) X～B（3，0.7）
Xc P1
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
、方差的应用
例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
解：EX1 9, EX2 9 DX 1 0.4, DX 2 0.8
二、数学期望的性质
E(aX b) aEX b
三、基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ= 2.4
.
(2)若η=2ξ+1，则Eη= 5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ
4
7
ห้องสมุดไป่ตู้
P
0.3
a
9
10
b
0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
四、例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？
2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球
次数的数学期望是 3 .
离散型随机变量取值的方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
DX ( x1 EX )2 p1 ( xi EX )2 pi ( xn EX )2 pn
P
3
2
1
6
6
6
X 18 1 24 1 36 1 23(元 / kg)
2
3
6
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
X x1
Y ax1 b P p1
x2
ax2 b
p2
··· xi ··· axi b
··· pi
··· xn ···axn b
··· pn
EY (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn
n
( xi EX )2 pi 为随机变量X的方差。 i 1
称 X DX 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平 均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离 于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
、基础训练
1、已知随机变量X的分布列
X0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求DX和σX。
X
1
2
3
4
加
P
4
3
2
1
权
10
10
10
10
平
X 1 4 2 3 3 2 4 1 2 均
10 10 10 10
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg， 36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售， 如何对混合糖果定价才合理？
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
X 18 24 36
解：EX 00.110.2 20.4 30.2 40.1 2 DX (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4 (3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
X DX 1.2 1.095
2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常 数，求EX和DX。 解：离散型随机变量X的分布列为：
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多 数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8 －10环。
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X0
1
2
3
P
0.33
C
1 3
0.7
0.3
2
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
(2)
EX
0
0.33
1
C
1 3
0.7
0.32
2
C
2 3
0.7
2
0.3
3
0.7
3
EX 2.1 3 0.7
小结： 一般地，如果随机变量X服从二项分布，
即X～B（n,p），则 EX np
基础训练： 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和
例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2 的分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
谁的水平高些？
复习引入
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平， 很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。