离散型随机变量的均值和方差
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2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球
次数的数学期望是 3 .
离散型随机变量取值的方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
DX ( x1 EX )2 p1 ( xi EX )2 pi ( xn EX )2 pn
小结： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X
1
0
P
p
1－p
则 EX 1 p 0(1 p) p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次；
（1）求他得到的分数X的分布列；
（2）求X的期望。 解：(1) X～B（3，0.7）
例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2 的分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
谁的水平高些？
复习引入
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平， 很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
X x1
Y ax1 b P p1
x2
ax2 b
p2
··· xi ··· axi b
··· pi
··· xn ···axn b
··· pn
EY (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn
P
3
2
1
6
6
6
X 18 1 24 1 36 1 23(元 / kg)
2
3
6
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
二、数学期望的性质
E(aX b) aEX b
三、基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ= 2.4
.
(2)若η=2ξ+1，则Eη= 5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ
4
7
P
0.3
a
9
10
b
0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
四、例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？
X
1
2
3
4
加
P
4
3
2
1
权
10
10
10
10
平
X 1 4 2 3 3 2 4 1 2 均
10 10 10 10
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg， 36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售， 如何对混合糖果定价才合理？
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
X 18 24 36
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多 数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8 －10环。
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征，最常用的有期望与方差.
高二数学 选修2-3
2.3离散型随机变量 的均值和方差
二、具体问题
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，
1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是
多少？
X 1111222334 2 10
把环数看成随机变量的概率分布列：权数
Xc P1
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
、方差的应用
例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
解：EX1 9, EX2 9 DX 1 0.4, DX 2 0.8
解：EX 00.110.2 20.4 30.2 40.1 2 DX (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4 (3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
X DX 1.2 1.095
2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常 数，求EX和DX。 解：离散型随机变量X的分布列为：
X0
1
2
3
P
0.33
C
1 3
0.7
0.3
源自文库
2
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
(2)
EX
0
0.33
1
C
1 3
0.7
0.32
2
C
2 3
0.7
2
0.3
3
0.7
3
EX 2.1 3 0.7
小结： 一般地，如果随机变量X服从二项分布，
即X～B（n,p），则 EX np
基础训练： 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和
n
( xi EX )2 pi 为随机变量X的方差。 i 1
称 X DX 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平 均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离 于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
、基础训练
1、已知随机变量X的分布列
X0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求DX和σX。
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
aEX b
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。是一个常数。
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随 机变量． （1） Y的分布列是什么？ （2） EY=？
次数的数学期望是 3 .
离散型随机变量取值的方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
DX ( x1 EX )2 p1 ( xi EX )2 pi ( xn EX )2 pn
小结： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X
1
0
P
p
1－p
则 EX 1 p 0(1 p) p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次；
（1）求他得到的分数X的分布列；
（2）求X的期望。 解：(1) X～B（3，0.7）
例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2 的分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
谁的水平高些？
复习引入
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平， 很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
X x1
Y ax1 b P p1
x2
ax2 b
p2
··· xi ··· axi b
··· pi
··· xn ···axn b
··· pn
EY (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn
P
3
2
1
6
6
6
X 18 1 24 1 36 1 23(元 / kg)
2
3
6
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
二、数学期望的性质
E(aX b) aEX b
三、基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ= 2.4
.
(2)若η=2ξ+1，则Eη= 5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ
4
7
P
0.3
a
9
10
b
0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
四、例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？
X
1
2
3
4
加
P
4
3
2
1
权
10
10
10
10
平
X 1 4 2 3 3 2 4 1 2 均
10 10 10 10
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg， 36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售， 如何对混合糖果定价才合理？
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
X 18 24 36
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多 数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8 －10环。
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征，最常用的有期望与方差.
高二数学 选修2-3
2.3离散型随机变量 的均值和方差
二、具体问题
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，
1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是
多少？
X 1111222334 2 10
把环数看成随机变量的概率分布列：权数
Xc P1
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
、方差的应用
例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
解：EX1 9, EX2 9 DX 1 0.4, DX 2 0.8
解：EX 00.110.2 20.4 30.2 40.1 2 DX (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4 (3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
X DX 1.2 1.095
2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常 数，求EX和DX。 解：离散型随机变量X的分布列为：
X0
1
2
3
P
0.33
C
1 3
0.7
0.3
源自文库
2
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
(2)
EX
0
0.33
1
C
1 3
0.7
0.32
2
C
2 3
0.7
2
0.3
3
0.7
3
EX 2.1 3 0.7
小结： 一般地，如果随机变量X服从二项分布，
即X～B（n,p），则 EX np
基础训练： 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和
n
( xi EX )2 pi 为随机变量X的方差。 i 1
称 X DX 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平 均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离 于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
、基础训练
1、已知随机变量X的分布列
X0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求DX和σX。
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
aEX b
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。是一个常数。
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随 机变量． （1） Y的分布列是什么？ （2） EY=？