次序统计量理论及应用
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顺序统计量的分布及其应用探究
学生姓名:杨道圣 指导教师:刘宇民
摘要 顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用,在水文,地震,气象和建筑等领域都有重要作用。经过总结得出了关于顺序统计量的离散型最大顺序统计量分布,最小顺序统计量分布,连续性第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数,连续性随机变量任意两个顺序统计量ξ(i )<ξ(j)的密度函数:
1.离散型随机变量子样最小值的分布律为
)(])1()!(!![)(11
)
1(I r pi r p l n l n x X P n
l l n r
l l
r
∈--==∑∑=-=
2.离散型随机变量子样最大值的分布律为
)(])1()!1()!1(![)(111
1
1
)
(I r pi r p j n j n x X P n
j j r l j n r
n ∈-+--==∑∑=--=+-
3.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=-∞,b=+∞),并且ξ1,ξ2,…,ξn 取自这一母体的一个子样,则第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数
4.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=-∞,b=+∞),并且ξ1,ξ2,…,ξn 取自这一母体的一个子样,则任意两个个顺序统计量ξ(i )<ξ(j)的密度函数为
关键词 最小顺序统计量,最大顺序统计量,第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数,任意两个个顺序统计量ξ(i )<ξ(j)的密度函数
引言
顺序统计量在近代统计推断中起着重要的作用,这是由于顺序统计量有一些性质不依赖于母体的分布,并且计算量很小,使用起来较方便,因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用。顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用,在水文,地震,气象和建筑等领域都有重要作用。
定义
定义1:设(X 1,X 2…,X n )是总体X 的一个样本,假如样本的实值函数g(X 1,X 2…,X n )不依赖任何未知的量,则称g(X 1,X 2…,X n )为统计量。
设ξ1,ξ2,…,ξn 是取自函数F(x)的母体ξ的一个字样,x 1,x 2…,x n 表示这样的一组观测值。这些观测值由小到大的排列用x (1),x (2)…,x (n)表示,即x (1)≤x (2)≤…x (n)。若其中有两个分量x i 与x j 相等,他们先后顺序的安排是可以任意的。
定义2 第i 个顺序统计量ξ(i)是上述子样ξ1,ξ2,…,ξn 这样的一个函数,不论子样ξ1,ξ2,…,ξn 取怎样的一组观测值x 1,x 2,…,x n ,它总是取其中的x (i)为观测值。
显然,对于容量为n 的子样可也得到n 个顺序统计量ξ(1)≤ξ(2)≤…≤ξ(n).其中ξ(1)称为最小顺序统计量,ξ(n)称为最大顺序统计量。
第一部分离散型随机变量的顺序统计量
设r,v,w,是一个取值可按大、小顺序排列的离散型随机变量,已知其分布率为
}{1,2,3I ),()(0⋯∈==为下标集其中I i p x X P i i
不妨设⋯<<⋯<<00
201i x x x
若假定有限个数为m ,则00201m
x x x <⋯<< 又1X ,2X ,…,n X 是它的一个容量为你的子样,)(k X 为子样的第k 个顺序统计量),1(n k =.
计算)(k X =0
r X )(I i ∈的概率为)(0
)(r k x X P =。
设j 表示子样值的顺序序列中一个等于0
r x 的值的序号,l 表示最后一个等于0
r x 值的序号,有
n l k j ≤≤≤≤1,于是按顺序统计量定义,上诉事件即是表示子样1X ,2X ,…n X 中有j-1个
取值小于0r x ,有l-j+1个取值等于0r x ,有n-1个取值大于0
r x 。可以分四步推导概率:
[1]
(1)在子样值的顺序序列中,在0
r x 前有j-1个样本值)(0
I i x x r i ∈<,概率分别为
)(0r i x X P =,由于样本与母体同分布,且相互独立,所以有
∑∑--<===
<==1
1
0000
0)()()(r i x x r
r
r i pi x X P x X P x X P r
i
由于j-1个样本可以是n 个样本中任意j-1个,所以概率为11
1
1][----∑j r i j n
pi C
(2)在子样值的顺序序列中有l-j+1个样本)(0
I i x x r i ∈=,概率分别为
pr x X P x X P r r i ====)()(00
由于这l-j+1个样本可以是俞夏的n-j+1个样本中任意l-j+1个,所以概率为r p
C j l j l j n 1
11+-+-+-
(3)在子样值的顺序序列中,在0
r x 后面有n-lg 样本值)(0I i x x r i ∈>,概率分别为
l n r
i l
n l
n pi C -=--∑-]1[1
(4)将上列三部分综合起来,并考虑j 与l 在n l k j ≤≤≤≤1情况下的变动,得到离散型随机变量顺序统计量的分布律:
)
()]1()()!()!1()!1(![]
)1()
([),1)((11
1
11111
1
1
1
11
1
10)(I r i p pi r p l n j l j n pi rC
p
C
pi i C n k x X P k j n
k l r
i j r i j l n
l k j r i r
i l n l n l
n j l j l j n j j n
r k ∈--+--=-=
==∑∑∑∑∑∑∑===--=+-≤≤≤≤-==---+-+-+---
由推导过程可知,运用结果时应约定
10
,00
1
==∑=i pi
推论
离散型随机变量子样最小值的分布律为
)(])1()!(!![)(11
)
1(I r pi r p l n l n x X P n
l l n r
l l
r
∈--==∑∑=-=
离散型随机变量子样最大值的分布律为
)(])1()!1()!1(![)(111
1
1
)
(I r pi r p j n j n x X P n
j j r l j n r
n ∈-+--==∑∑=--=+-
例1如果ξ1,ξ2,…,ξn 这是来自同一母体的n 个相互独立随机变量,那么顺序统计量ξ(1),ξ(2),…,ξ(n )是否也相互独立呢?
[2]