次序统计量理论及应用

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顺序统计量的分布及其应用探究

学生姓名:杨道圣 指导教师:刘宇民

摘要 顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用,在水文,地震,气象和建筑等领域都有重要作用。经过总结得出了关于顺序统计量的离散型最大顺序统计量分布,最小顺序统计量分布,连续性第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数,连续性随机变量任意两个顺序统计量ξ(i )<ξ(j)的密度函数:

1.离散型随机变量子样最小值的分布律为

)(])1()!(!![)(11

)

1(I r pi r p l n l n x X P n

l l n r

l l

r

∈--==∑∑=-=

2.离散型随机变量子样最大值的分布律为

)(])1()!1()!1(![)(111

1

1

)

(I r pi r p j n j n x X P n

j j r l j n r

n ∈-+--==∑∑=--=+-

3.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=-∞,b=+∞),并且ξ1,ξ2,…,ξn 取自这一母体的一个子样,则第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数

4.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=-∞,b=+∞),并且ξ1,ξ2,…,ξn 取自这一母体的一个子样,则任意两个个顺序统计量ξ(i )<ξ(j)的密度函数为

关键词 最小顺序统计量,最大顺序统计量,第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数,任意两个个顺序统计量ξ(i )<ξ(j)的密度函数

引言

顺序统计量在近代统计推断中起着重要的作用,这是由于顺序统计量有一些性质不依赖于母体的分布,并且计算量很小,使用起来较方便,因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用。顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用,在水文,地震,气象和建筑等领域都有重要作用。

定义

定义1:设(X 1,X 2…,X n )是总体X 的一个样本,假如样本的实值函数g(X 1,X 2…,X n )不依赖任何未知的量,则称g(X 1,X 2…,X n )为统计量。

设ξ1,ξ2,…,ξn 是取自函数F(x)的母体ξ的一个字样,x 1,x 2…,x n 表示这样的一组观测值。这些观测值由小到大的排列用x (1),x (2)…,x (n)表示,即x (1)≤x (2)≤…x (n)。若其中有两个分量x i 与x j 相等,他们先后顺序的安排是可以任意的。

定义2 第i 个顺序统计量ξ(i)是上述子样ξ1,ξ2,…,ξn 这样的一个函数,不论子样ξ1,ξ2,…,ξn 取怎样的一组观测值x 1,x 2,…,x n ,它总是取其中的x (i)为观测值。

显然,对于容量为n 的子样可也得到n 个顺序统计量ξ(1)≤ξ(2)≤…≤ξ(n).其中ξ(1)称为最小顺序统计量,ξ(n)称为最大顺序统计量。

第一部分离散型随机变量的顺序统计量

设r,v,w,是一个取值可按大、小顺序排列的离散型随机变量,已知其分布率为

}{1,2,3I ),()(0⋯∈==为下标集其中I i p x X P i i

不妨设⋯<<⋯<<00

201i x x x

若假定有限个数为m ,则00201m

x x x <⋯<< 又1X ,2X ,…,n X 是它的一个容量为你的子样,)(k X 为子样的第k 个顺序统计量),1(n k =.

计算)(k X =0

r X )(I i ∈的概率为)(0

)(r k x X P =。

设j 表示子样值的顺序序列中一个等于0

r x 的值的序号,l 表示最后一个等于0

r x 值的序号,有

n l k j ≤≤≤≤1,于是按顺序统计量定义,上诉事件即是表示子样1X ,2X ,…n X 中有j-1个

取值小于0r x ,有l-j+1个取值等于0r x ,有n-1个取值大于0

r x 。可以分四步推导概率:

[1]

(1)在子样值的顺序序列中,在0

r x 前有j-1个样本值)(0

I i x x r i ∈<,概率分别为

)(0r i x X P =,由于样本与母体同分布,且相互独立,所以有

∑∑--<===

<==1

1

0000

0)()()(r i x x r

r

r i pi x X P x X P x X P r

i

由于j-1个样本可以是n 个样本中任意j-1个,所以概率为11

1

1][----∑j r i j n

pi C

(2)在子样值的顺序序列中有l-j+1个样本)(0

I i x x r i ∈=,概率分别为

pr x X P x X P r r i ====)()(00

由于这l-j+1个样本可以是俞夏的n-j+1个样本中任意l-j+1个,所以概率为r p

C j l j l j n 1

11+-+-+-

(3)在子样值的顺序序列中,在0

r x 后面有n-lg 样本值)(0I i x x r i ∈>,概率分别为

l n r

i l

n l

n pi C -=--∑-]1[1

(4)将上列三部分综合起来,并考虑j 与l 在n l k j ≤≤≤≤1情况下的变动,得到离散型随机变量顺序统计量的分布律:

)

()]1()()!()!1()!1(![]

)1()

([),1)((11

1

11111

1

1

1

11

1

10)(I r i p pi r p l n j l j n pi rC

p

C

pi i C n k x X P k j n

k l r

i j r i j l n

l k j r i r

i l n l n l

n j l j l j n j j n

r k ∈--+--=-=

==∑∑∑∑∑∑∑===--=+-≤≤≤≤-==---+-+-+---

由推导过程可知,运用结果时应约定

10

,00

1

==∑=i pi

推论

离散型随机变量子样最小值的分布律为

)(])1()!(!![)(11

)

1(I r pi r p l n l n x X P n

l l n r

l l

r

∈--==∑∑=-=

离散型随机变量子样最大值的分布律为

)(])1()!1()!1(![)(111

1

1

)

(I r pi r p j n j n x X P n

j j r l j n r

n ∈-+--==∑∑=--=+-

例1如果ξ1,ξ2,…,ξn 这是来自同一母体的n 个相互独立随机变量,那么顺序统计量ξ(1),ξ(2),…,ξ(n )是否也相互独立呢?

[2]

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