高二数学课件 二项式系数的性质运用
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新教材高中数学第7章二项式定理：二项式系数的性质及应用pptx课件苏教版选择性必修第二册
变式探究 在本例条件下,求下列各式的值:
（1） ;
解 因为 , .所以 .
（2） ;所以 .
（3） .
解 因为 ,所以两边求导数得 .令 ,得 .
7.4.2 二项式系数的性质及应用
【课标要求】1.能掌握二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题.2.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.二项式系数表及其数字规律
二项式系数表
规律方法 “杨辉三角”问题解决的一般方法_
跟踪训练1 以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列,在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲,这个表被称为帕斯卡三角形.试问第9行第8个数是____.
36
[解析] 由题意,第0行的数为1,第1行的数为 , ,第2行的数为 , , ,第3行的数为 , , , ,第4行的数为 , , , , ,因此,第 行第 个数为 ,所以第9行第8个数是 .
【题型二】 求二项展开式中系数或二项式系数最大的项
例2 已知 的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
解 , ,依题意有 ,解得 , 在 的展开式中,二项式系数最大的项为 .设第 项的系数最大 ,则有 解得 或 . 系数最大的项为 , .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】“杨辉三角”问题
例1 在如图所示的三角形数阵中,从第3行开始,每一行除1以外,其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和.若在此数阵中存在某一行,满足该行中有三个相邻的数字之比为 ,则这一行是第____行（填行数）.
《二项式系数》课件
排列数的性质
排列数的应用
在二项式展开中，排列数用于计算二 项式展开式的系数。
A(n,m) = n! / [1!×2!×...×m!]， A(n,0) = 1。
计算二项式系数的步骤
01
02
03
04
写出二项式展开式的通项公式 ：T_{r+1} = C(n,r)a^(nr)b^r。
根据题目要求，确定需要求的 二项式系数。
在组合优化问题中，二项式系数用于描述组合问题的约束条件和目 标函数的复杂性。
THANKS
感谢观看
概率分布
二项式系数是二项分布 的概率函数和累积分布 函数的重要组成部分， 用于描述和分析离散概 率分布。
在组合数学中的应用
组合计数
二项式系数用于组合计数中，表示从n个不同元素中选取k个元素 的不同方式的数目。
排列组合
二项式系数用于排列组合的公式推导，例如C(n,k)和P(n,k)的计算 。
组合优化
递推关系
二项式系数之间存在递推 关系，可以利用已知的二 项式系数计算未知的组合 数。
二项式系数的性质
组合数的性质
二项式系数具有组合数的性质， 如对称性、增减性等。
组合恒等式
二项式系数满足一些恒等式，如 C(n, k) = C(n, n-k)。
应用领域
二项式系数在数学、统计学、计 算机科学等领域有广泛应用。
n! / [m!(n-m)!]。
组合数的性质
C(n,m) = C(n,n-m)，C(n+1,m) = C(n,m) + C(n,m-1)。
组合数的应用
在二项式展开中，二项式系数实质 上就是组合数。
排列数的计算方法
排列数的定义
二项式系数的性质高二数学教材教学课件(人教A版2019选择性)(1)
数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开
式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),
奇数项系数之和为 a0+a2+a4+…=
(1)+ 2
(-1),
偶数项系数之和为 a1+a3+a5+…=
(1)2
(-1).
例题剖析
练习： 在(2x-3y)9的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有偶数项系数之和.
解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9. (1)二项式系数之和为C90 + C91 + C92+…+C99=29=512.
0 n
C
2 n
C
1 n
Cn3
2n1
概念辨析
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的.(×)
× ×
×
例题剖析
归纳总结
反思
感悟
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系
1 2 3
C10
C11
11
C20
C 21
C
2 2
1
2
1
C30
C
1 3
6.3.2二项式系数的性质课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第三册(23)
则 a4
Cn4 n
(1)n4
,
a5
Cn5 n
(1)n5
，
又 a4
a5
0
，故
Cn4 n
Cn5 n
，即 C4n
C5n ，解得 n
9
.故选
C.
8.若 (x 1)n a0 a1x a2x2 anxn x N* 且 a1 a2 21 ，则在展开式的各项系数中，
最大值等于_________________.
证明：在展开式 (a b)n C0nan C1nan1b C2na b n2 2 Cnnbn 中，
令 a 1， b 1 ，则得 (1 1)n C0n C1n Cn2
(1) k
C
k n
(1)
n
C
n n
.
即 C0n Cn2 Cn4 C1n C3n C5n 0 .
分析：奇数项的二项式系数的和为 C0n C2n C4n ，偶数项的二项式系数的和为 C1n C3n C5n . 由于 (a b)n C0nan C1nan1b C2nan2b2 Cnnbn 中的 a ，b 可以取任意实数， 因此我们可以通过对 a，b 适当賦值来得到上述两个系数和.
已知 (1 x)n C0n C1n x Cn2 x2 Cnnxn ，
令 x 1，得 2n C0n C1n C2n
C
n n
.
这就是说， (a b)n 的展开式的各二项式系数的和等于 2n .
例 求证：在 (a b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
(3)设第 r 1(r N,r 12) 项的系数最大，
则
CC11r22
212r 212r
Cr 1 12
《二项式系数的性质及应用》示范公开课教学课件【高中数学苏教版】
你能证明二项式系数性质的增减性么？
解：当时，要证明，只要证，即要证，即要证，而是已知条件，故结论得证．同理，当时，也成立．
因为．令，则有．这表明展开式各项的二项式系数的和等于．
的二项展开式中，如果令， 你能得到哪些等式？
令，，则有．因此，．因为，所以，．
已知的展开式所有的二项式系数之和为．（1）求展开式中含的项；（2）求展开式中二项式系数最大的项．
第七章 计数原理
二项式系数的性质及应用
1.了解二项式系数的4个性质；2.在运用二项式系数的性质解决问题的过程中提升逻辑推理和数学运算素养．
二项式系数的对称性、单调性；合理赋值，巧妙求解．
综合运用展开式、通项、二项式系数的性质解题．
被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服．而数学上也有“金字塔”，这就是二项式的展开式在时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡整整早发现了500年左右．
解：(3) 奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为．(4) 令，得， ①令，(或，)得， ②①＋②得，所以奇数项的系数和为；①－②得，所以偶数项的系数和为.(5) 的奇次项系数和为，的偶次项系数和为.
用二项式定理证明：能被整除．
证明：．因为上式的每一项都能被整除，所以能被整除．
已知，求满足下列条件的值．（1）求；（2）求所有项的系数和；（3）求所有奇数项的系数和；（4）求所有偶数项的系数和．
解：令，则展开式中各项系数和为，又展开式中二项式系数和为，所以，所以．(1) 因为，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，所以，． (2) 设展开式中第项系数最大，则，所以，解得：，所以，即展开式中第项系数最大，．
新教材选择性必修二7.4.2二项式系数的性质及应用课件(41张)
018＝512
018＋…＋C
1 2
018
×51＋1中除最后一项外都
有因数51，所以522 018除以17的余数为1.
(2)由于(1＋x)n＝1＋nx＋C2n x2＋…＋Cnn xn，又因为x>0，n是大于1的正整数，
所以展开式的第二项后面的所有项都是正数，所以等式左端＞1＋nx，
所以(1＋x)n＞1＋nx.
Cr20 ·320－r·2r≥Cr2－0 1 ·321－r·2r－1，
3（r＋1）≥2（20－r）， 化简得
2（21－r）≥3r，
解得752
2 ≤r≤85
(r∈N)，
所以r＝8，即T9＝C820 312·28·x12y8是系数绝对值最大的项．
(3)由于系数为正的项为y的偶次方项，由(2)知T9＞0且为系数绝对值最大的项，
C
r 6
·(3x)
6－r·－1x
r＝C6r
·36－r·－1
r·x6－2r，令6－2r＝2，可得r＝2，所以，展开式
中x2的系数为C62 ·34·－1 2＝1 215.
答案：15 1 215
9．已知多项式 x＋2 5＝ x－1 5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＝________；a2 ＝________． 【解析】对于多项式(x＋2)5＝(x－1)5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0， 令x＝0，可得32＝－1＋a0，则a0＝33. a2即展开式(x＋2)5－(x－1)5＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0中x2的系数为 C35 ·23－C53 －1 3＝90. 答案：33 90
12．在(3x－2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项．
二项式系数的性质及应用-PPT课件
r
n
2
1
时，
C r1 n
Cnr
(4) Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 2n
(5)在 (a b)n 展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项
式系数的和.
(6)当 n 为偶数时，Cn0 Cn2 ... Cnn 2n1
2
考点一： (a b)n 展开式的二项式系数 例.已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 ... a7 x7 .求： (1) a0 a1 a2 ... a7 (2) a1 a3 a5 a7 (3) a0 a2 a4 a6 (4) a0 a1 a2 ... a7
3
跟踪训练：
已知 (1 2x 3x2 )7 a0 a1x a2 x2 ... a13x13 a14 x14 ，求： (1) a0 a1 a2 ... a14 (2) a1 a3 a5 ... a13
4
考点二： (a b)n 展开式的二项式系数的最大值 例.在 (1 2x)10 的展开式中.
二项式系数的性质及应用 学习目标： 掌握二项式系数的性质并能解决简单的二项式系数有关的问题
1
(a b)n 展开式的二项式系数Cn0 , Cn1 , Cn2 ,..., Cnn 有如下性质：
(1) Cnm
C nm n
(2) Cnm
C m1 n
Cm n1
(3)当 r
n
2
1
时，
Cnr
C r1 n
；当
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
考点四：证明恒等式
例.求证：1 3Cn1 32 Cn2 ... 3n Cnn 4n
10
跟踪训练：
求证： Cn1 2Cn2 3Cn3 ... nCnn n • 2n1
《二项式系数性质》课件
《二项式系数性质》PPT 课件
数学课上经常会提到二项式系数，那么二项式系数是什么？它有什么性质和 应用？在这个课件中，我们将探索它的奥秘。
二项式系数的定义及公式
定义
在代数中，指定两个变量x和y及它们的正整数指数n时，二项式系数是以下数值的代数系数。
公式
二项式系数可以通过二项式公式由阶乘算出，公式为：C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
二项式系数的递推公式
1
概念和基本形式
递推公式是一种将一个问题分解成子问题的方法。在组合数学中，递推公式被用 于计算二项式系数。
2
推导过程
递推公式是通过将组合恒等式代入二项式系数公式中得到的。通常，我们会使用 一个简单的三角形状的递推公式来计算二项式系数。
3
应用
递推公式可以用于模拟一些问题，如从n个元素中选择k个元素并计算可能的组 合数。
4
杨辉三角形是由二项式系数构成的三角 形，它的每一行都是帕斯卡三角形的一 部分。杨辉三角形也具有许多有趣的性
质。
交错性质
二项式系数的相邻数为交错的正负数， 即C(n,k) = (-1)^k*C(n,k-1)。
帕斯卡三角形
帕斯卡三角形是由二项式系数构成的一 条斜边排成的三角形，它有许多有趣的 性质。例如，每个数字等于上方两个数 字之和。
二项式系数的应用
1 概率论中的应用
二项分布指的是在n次独 立的重复试验中，恰好有 k次成功的概率。这个概 率可以用二项式系数进行 计算。
2 数据分析中的应用
二项式系数可以用于计算 样本量，从而帮助我们确 定数据分析的精度。
3 组合数学在密码学中
的应用
组合数学在加密技术中有 着广泛的应用。其中，一 种称为“组合攻击”的攻击 方法就是利用了二项式系 数的组合意义。
数学课上经常会提到二项式系数，那么二项式系数是什么？它有什么性质和 应用？在这个课件中，我们将探索它的奥秘。
二项式系数的定义及公式
定义
在代数中，指定两个变量x和y及它们的正整数指数n时，二项式系数是以下数值的代数系数。
公式
二项式系数可以通过二项式公式由阶乘算出，公式为：C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
二项式系数的递推公式
1
概念和基本形式
递推公式是一种将一个问题分解成子问题的方法。在组合数学中，递推公式被用 于计算二项式系数。
2
推导过程
递推公式是通过将组合恒等式代入二项式系数公式中得到的。通常，我们会使用 一个简单的三角形状的递推公式来计算二项式系数。
3
应用
递推公式可以用于模拟一些问题，如从n个元素中选择k个元素并计算可能的组 合数。
4
杨辉三角形是由二项式系数构成的三角 形，它的每一行都是帕斯卡三角形的一 部分。杨辉三角形也具有许多有趣的性
质。
交错性质
二项式系数的相邻数为交错的正负数， 即C(n,k) = (-1)^k*C(n,k-1)。
帕斯卡三角形
帕斯卡三角形是由二项式系数构成的一 条斜边排成的三角形，它有许多有趣的 性质。例如，每个数字等于上方两个数 字之和。
二项式系数的应用
1 概率论中的应用
二项分布指的是在n次独 立的重复试验中，恰好有 k次成功的概率。这个概 率可以用二项式系数进行 计算。
2 数据分析中的应用
二项式系数可以用于计算 样本量，从而帮助我们确 定数据分析的精度。
3 组合数学在密码学中
的应用
组合数学在加密技术中有 着广泛的应用。其中，一 种称为“组合攻击”的攻击 方法就是利用了二项式系 数的组合意义。
6.3.2二项式系数的性质课件(人教版)
于是
CC22rr 00
320-r 320-r
2r 2r
Cr 1 20
319-r
2r 1 ,
Cr -1 20
321-r
2r
-1
,
化简得
3(r 1) 2(21-r)
2(20-r), 3r,
解得 37 ≤r≤ 42 (r∈N),所以r=8,
5
5
即T9=C820 ×312×28x12y8是系数绝对值最大的项.
因为第10行最后5个数从右至左依次为
C10 11
,
C191,
C181,
C171,
C161
,
所以此数列的前50项的和为4
072-
C10 11
-
C191-
C181
-
C171-
C161=4
072-11-55-165-330-462=3
0
49.
答案 D
第六章 计数原理
在(3x-2y)20的展开式中,求:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数绝对值最大的项;
(3)系数最大的项.
解析
(1)二项式系数最大的项是第11项,T11=
C10 20
×310×(-2)10x10y10=
C10 20
×610x10y10.
(2)设系数绝对值最大的项是第r+1(0≤r≤20,r∈N)项,
②
随k的增加而增大
;当k>
n
2
1
时,
Ckn
随k的增加而减小.当n是偶
n
n -1
n1
数时,中间的一项③ Cn2 取得最大值;当n是奇数时,中间的两项④ Cn2 与 Cn2
高中数学1.5.2《二项式系数的性质及应用》课件(苏教版选修2-3)
变式训练2 在(1＋2x)10的展开式中，
(1)求系数最大的项；
(2)若x＝2.5，则第几项的值最大？ 解：(1)设第 r＋1 项的系数最大，由通项公式 得 Tr＋1＝Cr10·2rxr，依题意 Tr＋1 项的系数不小 于 Tr 项及 Tr＋2 项的系数， 得CCr1r10022rr≥≥CCrr11－ ＋00 1122rr＋－11，， 解得2r＋111－≥r2≥10r－，r.
项除以 100 的余数．
由 992＝(10－1)92＝C0921092＋…＋C9902102－C991210＋
1.
前 91 项均为能被 100 整除，后两项和－919，因 原式为正，可从前面的数中分离出 1000，结果为 1000－919＝81，∴9192 被 100 除可得余数为 81. 法二：原式＝(90＋1)92＝C092·9092＋C192·9091＋…＋ C9902·902＋C9912·90＋C9922. 前 91 项均能被 100 整除，剩下两项为 92×90＋1 ＝8281，显然 8281 除以 100 所得余数为 81.
设第(r＋1)项系数最大， 则有CCr8r8··22rr≥ ≥CC88rr＋－11··22rr＋－11， ， ∴5≤r≤6 且 0≤r≤8，r∈N. ∴r＝5 或 r＝6. ∴系数最大的项为 T6＝1792x5，T7＝1792x6.
【名师点评】 求展开式中系数最大的项与求二 项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的 正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等 式组的方法求得．
(2)令x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.② ①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝27－67＝－279808. ∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139904.
二项式系数性质课件
详细描述
在二项式定理中，二项式系数是组合数的一种特殊形式，表示从n个不同元素中 取出k个元素的组合数。具体地，对于二项式$(a+b)^n$，其展开后的每一项可 以用组合数来表示，即第$k+1$项的系数为$C_n^k$，其中 $C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$。
二项式系数的对称性证明
适用于大规模和高精度计算的问 题。
总结词
二项式系数的对称性是指二项式系数在展开式中的对称位置 相等。
详细描述
对于二项式$(a+b)^n$的展开，其第$r+1$项和第$n-r+1$ 项的系数相等，即$C_n^r=C_n^{n-r}$。这一性质可以通过 组合数的性质证明，因为$C_n^r=C_n^{n-r}$是组合数的基 本性质之一。
二项式系数的递推关系证明
03
二式系数的用
在组合数学中的应用
组合数学中，二项式系数常用于计算组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素的 组合方式数。
二项式系数在组合数学中具有一些重要的性质，如对称性、递推关系等，这些性质 在解决一些组合问题时非常有用。
二项式系数在组合数学中还常用于证明一些重要的定理，如二项式定理、组合恒等 式等。
二项式系数的表示方法
二项式系数可以用组合数的公式表示， 即C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!" 表示阶乘。
也可以用"+"、"*"等运算符来表示二 项式系数，例如C(n, k) = n+k-1 choose k。
二项式系数的性质
二项式系数具有对称 性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
在概率论中的应用
在二项式定理中，二项式系数是组合数的一种特殊形式，表示从n个不同元素中 取出k个元素的组合数。具体地，对于二项式$(a+b)^n$，其展开后的每一项可 以用组合数来表示，即第$k+1$项的系数为$C_n^k$，其中 $C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$。
二项式系数的对称性证明
适用于大规模和高精度计算的问 题。
总结词
二项式系数的对称性是指二项式系数在展开式中的对称位置 相等。
详细描述
对于二项式$(a+b)^n$的展开，其第$r+1$项和第$n-r+1$ 项的系数相等，即$C_n^r=C_n^{n-r}$。这一性质可以通过 组合数的性质证明，因为$C_n^r=C_n^{n-r}$是组合数的基 本性质之一。
二项式系数的递推关系证明
03
二式系数的用
在组合数学中的应用
组合数学中，二项式系数常用于计算组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素的 组合方式数。
二项式系数在组合数学中具有一些重要的性质，如对称性、递推关系等，这些性质 在解决一些组合问题时非常有用。
二项式系数在组合数学中还常用于证明一些重要的定理，如二项式定理、组合恒等 式等。
二项式系数的表示方法
二项式系数可以用组合数的公式表示， 即C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!" 表示阶乘。
也可以用"+"、"*"等运算符来表示二 项式系数，例如C(n, k) = n+k-1 choose k。
二项式系数的性质
二项式系数具有对称 性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
在概率论中的应用
二项式系数的性质课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
1
1
C11
C 21
C 22 1
2
1
C 31
C132
C333
3
1
C 41 1 C 42 4 C 43 6 C 44 4
1
4
5
1 51
5 52
10
5
1
C
C
C 53
C10
C
5
5
C 61 6 C 62 15 C 63 20 C 64 15 C 65 6 C 66 1
杨
辉
三
角
(1)每行两端的数都是1；
m
n
(2)与两端等距离的项的系数相等； C
0
n
1
n
2
n
n
n
r
n 可看成是以r为自变量的函
从函数角度看，C
数 f (r ) ,其定义域是
0,1,2,
f(r)
r3
20
15
,n .
对于确定的n，我们还可以画出它的图象.
r
f
(
r
)
C
例如，当n=6时，函数
n 的图象是右图
中的7个孤立点．
10
5
O
1 2 3 4 5 6 r
n=7
n=8
n=9
由此我们可得二项式系数有以下性质：
(3)求系数最大的项与系数最小的项.
解
由(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，
第7项的系数为正.
故系数最大的项为 T7＝C68·
26 ·
x－11＝1 792x－11，
17
－
系数最小的项为 T6＝(－1)5C58·
1
C11
C 21
C 22 1
2
1
C 31
C132
C333
3
1
C 41 1 C 42 4 C 43 6 C 44 4
1
4
5
1 51
5 52
10
5
1
C
C
C 53
C10
C
5
5
C 61 6 C 62 15 C 63 20 C 64 15 C 65 6 C 66 1
杨
辉
三
角
(1)每行两端的数都是1；
m
n
(2)与两端等距离的项的系数相等； C
0
n
1
n
2
n
n
n
r
n 可看成是以r为自变量的函
从函数角度看，C
数 f (r ) ,其定义域是
0,1,2,
f(r)
r3
20
15
,n .
对于确定的n，我们还可以画出它的图象.
r
f
(
r
)
C
例如，当n=6时，函数
n 的图象是右图
中的7个孤立点．
10
5
O
1 2 3 4 5 6 r
n=7
n=8
n=9
由此我们可得二项式系数有以下性质：
(3)求系数最大的项与系数最小的项.
解
由(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，
第7项的系数为正.
故系数最大的项为 T7＝C68·
26 ·
x－11＝1 792x－11，
17
－
系数最小的项为 T6＝(－1)5C58·
二项式系数的性质及应用课件-高二下学期数学苏教版选择性必修第二册
解析
例 2 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1) a1＋a2＋…＋a7；
(2) a1＋a3＋a5＋a7；
(3) |a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
【解析】 (1) 当 x＝1 时，a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－2)7＝－1；
当 x＝0 时，a0＝(1－2×0)7＝1，
解析
活动五 整除性问题
例 4 用二项式定理证明：9910－1 能被 1 000 整除．
【解析】 9910－1＝(100－1)10－1＝C01010010－C1101009＋…＋C1100(－1)10－1＝C01010010
－C1101009＋…＋C8101002－1 000.因为每一项都能被 1 000 整除，所以原式能被 1 000 整除． 例 5 求证：32n＋2－8n－9 是 64 的倍数(n∈N*)．
活动二 探求二项式系数的性质 1. 请写出当 n 依次取 0,1,2,3，…时，(a＋b)n 展开式的二项式系数． 【解析】 当 n＝0 时，展开式的二项式系数为 1； 当 n＝1 时，展开式的二项式系数为 C01＝1，C11＝1； 当 n＝2 时，展开式的二项式系数为 C02＝1，C12＝2，C22＝1； 当 n＝3 时，展开式的二项式系数为 C03＝1，C13＝3，C23＝3，C33＝1； ……
(2) 二项式系数表中每行两端都是 1，除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的 和．
(3) 增减性与最大值． 因为 Cnk＝nn－1n－k2！…n－k＋1＝Ckn－1·n－kk＋1，所以 Cnk相对于 Ckn－1的增减情况 由n－kk＋1决定．若n－kk＋1>1，则 k<n＋2 1，当 k<n＋2 1时，二项式系数逐渐增大．由对 称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当 n 是偶数时，中间一项的
例 2 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1) a1＋a2＋…＋a7；
(2) a1＋a3＋a5＋a7；
(3) |a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
【解析】 (1) 当 x＝1 时，a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－2)7＝－1；
当 x＝0 时，a0＝(1－2×0)7＝1，
解析
活动五 整除性问题
例 4 用二项式定理证明：9910－1 能被 1 000 整除．
【解析】 9910－1＝(100－1)10－1＝C01010010－C1101009＋…＋C1100(－1)10－1＝C01010010
－C1101009＋…＋C8101002－1 000.因为每一项都能被 1 000 整除，所以原式能被 1 000 整除． 例 5 求证：32n＋2－8n－9 是 64 的倍数(n∈N*)．
活动二 探求二项式系数的性质 1. 请写出当 n 依次取 0,1,2,3，…时，(a＋b)n 展开式的二项式系数． 【解析】 当 n＝0 时，展开式的二项式系数为 1； 当 n＝1 时，展开式的二项式系数为 C01＝1，C11＝1； 当 n＝2 时，展开式的二项式系数为 C02＝1，C12＝2，C22＝1； 当 n＝3 时，展开式的二项式系数为 C03＝1，C13＝3，C23＝3，C33＝1； ……
(2) 二项式系数表中每行两端都是 1，除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的 和．
(3) 增减性与最大值． 因为 Cnk＝nn－1n－k2！…n－k＋1＝Ckn－1·n－kk＋1，所以 Cnk相对于 Ckn－1的增减情况 由n－kk＋1决定．若n－kk＋1>1，则 k<n＋2 1，当 k<n＋2 1时，二项式系数逐渐增大．由对 称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当 n 是偶数时，中间一项的
二项式系数的性质-高二数学 课件
分析右图，可以得到二项式系数的
以下性质： (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实
上，这一性质可直接由Cnm = Cnn-m得到.
(2)增减性与最大值
因为
Cnk
n(n 1)(n 2) (n k (k 1)!
k
1)
C k1 n
nk k
1
即
Cnk C k1
n
n k 1， k
C
n n
x
n
令x =1，得
2n
Cn0
C
1 n
C
2 n
C
n n
令x = -1, 得
0
C
0 n
C
1 n
C
2 n
(1)n Cnn
0
(C
0 n
Cn2
)
(Cn1
C
3 n
)
C
0 n
C
2 n
Cn1
Cn3
=2n1
②
Cn0
C
2 n
C
1 n
C
3 n
2n1
例3 证明：在(a+b)n展开式中, 奇数项的二项式系数的
和等于偶数项的二项式系数的和.
分析：奇数项的二项式系数的和为
Cn0 Cn2 Cn4
偶数项的二项式系数的和为
Cn1
C
3 n
Cn5
由于 (a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2
Cnnbn
中的a, b可以取任意实数, 因此我们可以通过对a , b适当
赋值来得到上述两个系数和.
6.3.2 二项式系数的性质
复习回顾
1、二项式定理:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn(n N )
以下性质： (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实
上，这一性质可直接由Cnm = Cnn-m得到.
(2)增减性与最大值
因为
Cnk
n(n 1)(n 2) (n k (k 1)!
k
1)
C k1 n
nk k
1
即
Cnk C k1
n
n k 1， k
C
n n
x
n
令x =1，得
2n
Cn0
C
1 n
C
2 n
C
n n
令x = -1, 得
0
C
0 n
C
1 n
C
2 n
(1)n Cnn
0
(C
0 n
Cn2
)
(Cn1
C
3 n
)
C
0 n
C
2 n
Cn1
Cn3
=2n1
②
Cn0
C
2 n
C
1 n
C
3 n
2n1
例3 证明：在(a+b)n展开式中, 奇数项的二项式系数的
和等于偶数项的二项式系数的和.
分析：奇数项的二项式系数的和为
Cn0 Cn2 Cn4
偶数项的二项式系数的和为
Cn1
C
3 n
Cn5
由于 (a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2
Cnnbn
中的a, b可以取任意实数, 因此我们可以通过对a , b适当
赋值来得到上述两个系数和.
6.3.2 二项式系数的性质
复习回顾
1、二项式定理:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn(n N )
《二项式系数的应用》ppt课件
������+������ ������
������
������+������ ������
时,二项式
时,二项式系数是递减的 .当 n 是偶数 ������
时,中间一项的二项式系数 ������������ 取得最大值 . ������+������ ������-������ 当 n 是奇数时,中间两项 ������ ������ 和 ������ ������ 相等,且同时取 ������ ������ 得最大值. n n (3) (a+b) 的展开式的各个二项式系数的和等于 2 , ������ ������ ������ ������ n + ������ + ������ +…+ ������ +…+ ������ 即 ������������ . ������ ������ ������ ������ ������ =2
.. 导. 学 固思
(4)二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项 的二项式系数的和, n-1 ������ ������ ������ ������ ������ 即 ������������ . ������ +������������ +������������ +…=������������ +������������ +������������ +…=2
问题4
二项式系数与项的系数不同,在求某几项的系数的和时注 意 赋值 法的应用.
.. 导. 学 固思
1
若(x+ ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式
������
������
n
的常数项为( B ). A.10 B.20
������
������+������ ������
时,二项式
时,二项式系数是递减的 .当 n 是偶数 ������
时,中间一项的二项式系数 ������������ 取得最大值 . ������+������ ������-������ 当 n 是奇数时,中间两项 ������ ������ 和 ������ ������ 相等,且同时取 ������ ������ 得最大值. n n (3) (a+b) 的展开式的各个二项式系数的和等于 2 , ������ ������ ������ ������ n + ������ + ������ +…+ ������ +…+ ������ 即 ������������ . ������ ������ ������ ������ ������ =2
.. 导. 学 固思
(4)二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项 的二项式系数的和, n-1 ������ ������ ������ ������ ������ 即 ������������ . ������ +������������ +������������ +…=������������ +������������ +������������ +…=2
问题4
二项式系数与项的系数不同,在求某几项的系数的和时注 意 赋值 法的应用.
.. 导. 学 固思
1
若(x+ ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式
������
������
n
的常数项为( B ). A.10 B.20
人教A版高二数学选择性必修第三册6.3.2二项式系数的性质课件(22张)
二项式系数分别是哪些组合数？并将它们的计算结果填入下表：
n
二项式系数
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
51
5 10 10 5
1
6
1
6 15 20 15 6
1
问题2：观察上表中每一行的数据，你发现了什么规律吗？
将上表写成如下形式,你又能发现这些数据有什么新的规律吗?
(a+b)1 …………………… (a+b)2 …………………… (a+b)3 ………………
11 121 1 33 1
(a+b)4 ……………… (a+b)5 ………… (a+b)6 ………… 1
1464 1 5 10 10
6 15 20 15
1
51
6
1
(1)每行两端的数都是1； (2)与两端等距离的项的系数相等；
3)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,等等.
从函数角度看，Cnk 可看成是以k为自变量的 f(k)
（赋值法）令a=1，b=1，则 Cn0 + Cn1 + Cn2 + … + Cnk +… Cnn += 2n
同时由于 Cn0 =1 ，上式还可以写成： Cn1 + Cn2 + … + Cnk+… Cnn += 2n -1
例1 求证：在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数 项的二项式系数的和．
∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2.
n
二项式系数
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
51
5 10 10 5
1
6
1
6 15 20 15 6
1
问题2：观察上表中每一行的数据，你发现了什么规律吗？
将上表写成如下形式,你又能发现这些数据有什么新的规律吗?
(a+b)1 …………………… (a+b)2 …………………… (a+b)3 ………………
11 121 1 33 1
(a+b)4 ……………… (a+b)5 ………… (a+b)6 ………… 1
1464 1 5 10 10
6 15 20 15
1
51
6
1
(1)每行两端的数都是1； (2)与两端等距离的项的系数相等；
3)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,等等.
从函数角度看，Cnk 可看成是以k为自变量的 f(k)
（赋值法）令a=1，b=1，则 Cn0 + Cn1 + Cn2 + … + Cnk +… Cnn += 2n
同时由于 Cn0 =1 ，上式还可以写成： Cn1 + Cn2 + … + Cnk+… Cnn += 2n -1
例1 求证：在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数 项的二项式系数的和．
∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2.
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n
是偶数时,
C
2 n
最大
n1
n1
当 n 是奇数时, Cn 2 Cn 2 最大
(4)一连串数系数的和.
⑴C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
r n
C
n n
2n
⑵C11
C
1 2
C
1 3
C
1 k
C
1 n
C
2 等等
n1
思考 1.不用数学归纳法,你会证明下面公式吗?
12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
1.3.3《二项式定理 -二项式系数的性质运用》
学习目标
▪ 1掌握二项式定理和二项式系数的性质。 ▪ 2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的
性质解题 ▪ 学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二
项式系数的性质解题学习难点：如何灵活运用展 开式、通项公式、二项式系数的性质解题 ▪ 授课类型：新授课 ▪ 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪
0 n
a2Cn1
a3C
2 n
an
1C
n n
的值.
a1 (1 q)n
3.设an为等差数列, Sn 为其前 n 项的和( n N * )
求证:
a1Cn0
a2Cn1
a3C
2 n
an1C
n n
Sn1 2n n1
倒序相加法
运用二项式定理可解决许多问题，下面我们来做几个思考：
思考3.求 9192 除以100的余数.
求a 的最小正值.
4
4321
2
=
n(n 2
1)
2
法二:裂项尝试
思考
2.求证:
C
1 n
2C
2 n
3C
3 n
nC
n n
n 2n1
(尝试用两种以上的方法)
法一:倒序相加尝试 妙!
法二:通项变形尝试 变形的漂亮!
法三:赋值法尝试(运用导数知识构造恒等式)
灵活!
类似练习
练习 2. 已知an是等比数列,公比为q
求
a1C
法一: k 3 (k 1)k(k 1) k
∴原式= 1 1 2 3 2 2 3 4 3 (n 1)n(n 1) n
= 6C33 6C43
6C
3 n1
(1
2
3
n)
=
6(C
3 3
C43
C
3 n1
)
(1
2
3
n)
=
6C
4 n
2
n(n 2
1)
= 6 (n 2)(n 1)n(n 1) n(n 1)
证明： 3n (2 1)n
2n Cn1 2n1 Cn2 2n2
C n1 n
2
Cnn
2n1 (n
2)
(C
2 n
2n2
C
n1 n
2
C
n n
)
又∵n≥2，上式至少有三项，且Cຫໍສະໝຸດ 2 n2n2C
n1 n
2
Cnn
＞0
∴ 3n ＞2n1 (n 2) (n∈N，且n≥2)
思考 5.求证:当 n N*且n 1 时, 2 (1 1 )n 3 .
注:整除性问题或余数问题，主要根据二项式定理的特 点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，这是解此 类问题的最常用技巧.(余数要为正整数)
思考4.求证：3n ＞2n1 (n 2) (n∈N，且n≥2)
思考 5.求证:当 n N*且n 1 时, 2 (1 1 )n 3 . n
思考3答案
思考4答案
C 90 92
102
C992110
(1)92
1092
C 912 1091
C
2 92
1090
C
90 92
102
920
1
1092 C9121091 C9221090
C
90 92
102
1000
81
可见9192被100除的余数是 81
注意:余数为正整数
思考4.求证：3n ＞2n1 (n 2) (n∈N，且n≥2)
分析:注意到
C11
C21
C
1 3
Ck1
C
1 n
C2 n1
这就是前 n 个自然数的求和公式.
另外
C22
C
2 3
C
2 k
C
2 n
C3 n1
它说明的又是关于自然数的什么结论?
这启示我们可以运用组合数的性质来推导 上面公式.
类似地,还可以求和 13 23 33 n3 ?
提示
练习 1.求和 13 23 33 n3 ?
思考3.求 9192 除以100的余数. 解: 9192 (100 9)92
10092 C91210091 9 C92210090 92 C9921100 991 992
前面各项均能被100整除.只有 992 不能被100整除
992 (10 1)92 1092 C9121091 C9221090
二项式定理(四)─二项式系数性质运用
复习引入
思考一
思考二
思考三
本课小结
二项式定理(四)─二项式系数性质运用
通过观察杨辉三角形(二项式系数表)可以发现二
项式系数的许多性质:
(1)对称性:
Cnm
C nm n
(2)递推性:Cnm1
C
m n
C m1 n
(3)增减性与最大值.
逐渐增大,随后又逐渐减小.
n
当
证明
(1
1 )n n
1 Cn1
1 n
Cn2
1 n2
n
1 1 Cn2
1 n2
2
通项C
k h
1 nk
n(n 1) (n k k!
1) 1 nk
≤
nk k!
1 nk
1 k!
(1
1 )n n
1
Cn1
1 n
Cn2
1 n2
Cnn
1 nn
≤
2
1 2!
1 3!
1 n!
2
1 2
1 22
1 2n1
21
所以
1
2n1
3
1
2 (1
)n
3
n
课外练习:
1.试求和: Cn0
Cn1 2
Cn2 3
Cnn n1
2n1 1
.n1
2.设x 1，n N *且n 2，求证：xn n2 ( x 1)2 4
3.已知| x |≤1, n N *, 求证:（1 x)n (1 x)n ≤ 2n
4.已知n为正整数,2n+2×3n+5n-a 都能被25整除,