求线段(或线段和)(周长)最值问题

求线段（或线段和）（周长）最值问题
福建莆田月塘中学潘立城
中考数学压轴题中常出现有关几何最值问题，很多同学不知如何想，无从下手，感到这类题目很难，应该是尖子生同学做的题目，与我们这些一般生无关，避而远之。

这类题目很多，内容丰富，涉及面广，解法灵活多样，就像孙悟空七十二变，变化多端。

孙悟空再怎么变化，也跑不出如来佛的“手掌心”。

解几何最值的“手掌心”是什么呢？
：
撑握了如来佛的这一法宝，有关几何最值的各种“妖魔鬼怪”题都能解答。

一、“手掌心”法宝:
三角形中两边之和大于第三边
特征：“一”条线段且“动”点“不”在定线上，无规律找关键点：定点，中点，圆心。

④线段的转移
特征：“定”点在“定”直线上
⑤二次函数最值
特征：有“表达式”
①垂线段最短
②两点间线段最短
“弯”线
变
“直”线
特征
“直”线的特征
①“直”线:定点--动点
(定点--动点--动点）
(动点--动点--动点）
②直:定点--动点--定点
直:动点--定点--动点
二、类型 名词解释：定直线指动点运动所在的直线
①垂线段最短 特征：“弯”线变“直
”线 对称轴
l
①标：定点C ，动点M ，动点N 定直线BD ，定直线BC ②特征：“弯”线变“直”线
对称轴：定直线BD 作点N 关于定直线BD 的对称点E “弯”线CM+MN 变“直”线CME
“直”线:定点C--动点M--动点E
垂线段最短
①标：定点A ，定点C ，动点B 定直线AC ，定直线l ②特征：“弯”线变“直”线
对称轴：定直线l 作点A 关于定直线l 的对称点M “弯”线AB+BC 变“直”线MC
“直”线:定点M--动点B--定点C
垂线段最短
A
C
B
M
定点
“弯”线 “直”线
例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC 中，BC =24，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是 4 。

例4
例3.（2012浙江台州4分）如图，
菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，
点P，Q，K分别为线段BC，CD，
BD上的任意一点，则PK+QK的最
小值为【】
①标：动点Q，动点K，动点P
定直线AC，定直线l
特征：“弯”线QK+KP变“直”线
对称轴：定直线BD
作点P关于定直线BD的对称点P1
“直”线:动点Q--动点K--动点
P1
两平行线间垂线段最短
x
y
O
l
P’
F
P H
①标：定点F，动点P
定曲线：抛物线
②特征：动点F在定曲线：抛物线上
抛物线是到定点F距离与到定直线l距离相等的点的
集合。

找到定直线l
利用两点PA之间的距离公式(一个字母）
1
2
1
1
1
)1
4
1
(2
4
2
2
2+
+
=
-
+
=
∴m
m
m
m
PA
1
4
1
1
4
1
2
2
2+
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
=m
m(完全平方公式，能展开）
定直线l：X=-1
PF=PP’
垂线段最短
②两点间线段最短
特征：特征：“弯”线变“直”线
对称轴
例1如图13—3，A 、B 两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？ 例2 如图13—6，河流EF 与公路FD 所夹的角是一个锐角，某公司A 在锐角EFD 内．现在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边
例 3 甲、
乙两村之间隔一条河，如图13—1．现在要在小河上架一座
桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？
平移河宽EF 到AC 如何展开？ “弯”线
“直”线
“弯”线
“直”线
例4 如图13—8是一个长、宽、高分别为4
分米、2分米、1分米的长方体纸盒．一只蚂
蚁要从A 点出发在纸盒表面上爬到B 点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程
比较这三条路线，25最小，所以蚂蚁按图13—9（1）爬行的路线最短，最短路程为5
例1 2013年天津市中考第25题
在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．
（1）如图1，求点E的坐标；
（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．
①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；
②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．
图1 图2
“弯”线
“直”线
特征：“弯”线变“直”线对称轴
动点A′--定点B--动点E′′
两点间线段最短
三角形中两边之和大于第三边
特征：“一”条线段且“动”点“不”在定线上，无规律
例5. （2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ▲ cm ． 【分析】
如图，圆柱形玻璃杯
展开（沿点A 竖直剖开）后侧面是一个长18
（一半）
宽12的矩形，作点A 关于杯上沿MN 的对称点B ，连接BC 交MN 于点P ，连接BM ，过点C 作AB 的垂线交剖开线MA 于点D 。

由轴对称的性质和三角形三边关系知AP ＋PC 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP =BP 。

例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】
特征：
“一”条线OD段且“动”点D“不”在定线上，无规律
找关键点：中点
出现定长DE和OE
例2. （2012浙江宁波3分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，
∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为3．特征：
“一”条线EF段且“动”点E和F “不”在定线上，无规律
找关键点：圆心
出现△OEF
△OEF也是动态问题
动中不动
∠EOF=120°
EF最小值，就是OE最小值
点O,点E都是动点
OE的条件是半径
转为直径AD的最小值
点A是定点，动点E在定线BC上
AD垂线段最短
例3.（2012浙江义乌10分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
特征：
“一”条线段EP1且
“动”点P1“不”在定线上，
无规律
找关键点：定点B
构造△EBP1
EP1最值转为求BP1的最值
转为求BP的最值
BP垂线段最短
④线段的转移
特征：“定”点在“定”直线上
2.（2011四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =AB =CD =2，∠C =60°，M 是BC 的中点． （1）求证：△MDC 是等边三角形；
（2）将△MDC 绕点M 旋转，当MD （即MD ′）与AB 交于一点E ，MC （即MC ′）同时与AD 交于一点F 时，点E ，F 和点A 构成△AEF ．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值．
△AEF 周长的最小值
特征：“定”点A 在“定”直线AB 种AD 上
线段AF 的转移
AF 转移到BE
AF+BE=AB(2是定值)
转为求EF 最小值
△EFM 中的动中不动
∠EMF=60°
EF 最小值，就是FM 最小值
点M 是定点，动点F 在定线ADC 上
MF 垂线段最短
⑤二次函数最值
特征：有“表达式”
【解】设AC＝x，则BC＝2－x，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝
2
x
2
，CE＝
2
(2x)
2
－。

∴∠DCE＝90°。

∴DE2＝DC2＋CE2＝（
2
x
2
）2＋[2(2x)
2
－]2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1。

例1.（2012江苏扬州3分）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE 长的最小值是▲．
特征：DE长的最小值有“表达式”
∴当x＝1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1。

简记步骤：
1.标
2.特征：
1)“弯”线变“直”线
对称轴
2)上线段转移转为第三边的最值
以第三边的另一个小图形特殊的等腰三角形（90°120°60°45°等）
3)无规律关键点定点中点圆心
4)动点在曲线上解析式为特殊式消X或消Y
完全平方式能展开找到直线l
“直”线的特征
①“直”线:定点--动点
(定点--动点--动点）
(动点--动点--动点）
②直:定点--动点--定点
直:动点--定点--动点
①垂线段最短
②两点间线段最短
5)有“表达式”二次函数最值。