对数及其运算讲义
《对数的运算性质》 讲义
《对数的运算性质》讲义一、对数的定义在数学中，如果\（a^x ＝ N\）（＼（a ＞ 0\），且\（a ≠ 1\）），那么数\（x\）叫做以\（a\）为底\（N\）的对数，记作\（x ＝ log_aN\）。
其中，＼（a\）叫做对数的底数，＼（N\）叫做真数。
例如，因为\（2^3 ＝ 8\），所以\（log_2 8 ＝ 3\）。
二、对数的运算性质1、积的对数＼（log_a （MN) ＝ log_a M ＋ log_a N\）（＼（M ＞ 0\），＼（N ＞ 0\））为了理解这个性质，我们可以假设\（log_a M ＝ p\），＼（log_a N ＝ q\），则\（a^p ＝ M\），＼（a^q ＝ N\）。
那么\（MN ＝ a^p × a^q ＝ a^｛p ＋ q}＼）所以\（log_a （MN) ＝ p ＋ q ＝ log_a M ＋ log_a N\）例如，＼（log_2 4×8 ＝ log_2 4 ＋ log_2 8 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5\）2、商的对数＼（log_a ＼frac{M}｛N} ＝ log_a M log_a N\）（＼（M ＞ 0\），＼（N ＞ 0\））同样假设\（log_a M ＝ p\），＼（log_a N ＝ q\），则\（M ＝a^p\），＼（N ＝ a^q\）那么\（＼frac{M}｛N} ＝＼frac{a^p}｛a^q} ＝ a^｛p q}＼）所以\（log_a ＼frac{M}｛N} ＝ p q ＝ log_a M log_a N\）比如，＼（log_3 ＼frac{27}｛9} ＝ log_3 27 log_3 9 ＝ 3 2 ＝ 1\）3、幂的对数＼（log_a M^n ＝ n log_a M\）（＼（M ＞ 0\））设\（log_a M ＝ p\），则\（M ＝ a^p\）那么\（M^n ＝（a^p)＾n ＝ a^｛pn}＼）所以\（log_a M^n ＝ pn ＝ n log_a M\）例如，＼（log_5 25^2 ＝ 2 log_5 25 ＝ 2×2 ＝ 4\）三、对数运算性质的应用1、化简计算例 1：计算\（log_2 8 ＋ log_2 16\）＼＼begin{align}log_2 8 ＋ log_2 16&＝log_2 （8×16)＼＼＆＝log_2 128\＼＆＝7＼end{align}＼例 2：计算\（log_3 27 log_3 9\）＼＼begin{align}log_3 27 log_3 9&＝log_3 ＼frac{27}｛9}＼＼＆＝log_3 3\＼＆＝1＼end{align}＼2、求解方程例 3：解方程\（log_2 （x ＋ 1) ＋ log_2 （x 1) ＝ 3\）＼＼begin{align}log_2 （x ＋ 1)（x 1)＆＝3\＼（x ＋ 1)（x 1)＆＝2^3\＼x^2 1 ＆＝ 8\＼x^2 ＆＝ 9\＼x ＆＝ ±3＼end{align}＼但因为对数中的真数必须大于\（0\），所以\（x ＝ 3\）3、证明等式例 4：证明\（log_a ＼frac{M}｛N} ＝ log_a M log_a N\）设\（log_a M ＝ p\），＼（log_a N ＝ q\）则\（M ＝ a^p\），＼（N ＝ a^q\）＼＼begin{align}log_a ＼frac{M}｛N}＆＝log_a ＼frac{a^p}｛a^q}＼＼＆＝log_a a^｛p q}＼＼＆＝p q\＼＆＝log_a M log_a N＼end{align}＼四、对数运算性质的注意事项1、对数的底数\（a\）必须大于\（0\）且不等于\（1\）。
对数函数及其性质知识点总结讲义
对数函数及其性质知识点总结讲义一、对数基本概念1.对数的定义：对数是数学中的一种运算，用一个数的指数表示另一个数。
2. 对数的表示方法：如果a^x = b，则记作x = loga(b)。
3.对数函数：对数函数是指以对数的形式来表示函数的函数。
二、对数函数的性质1.定义域和值域：-对数函数的定义域为正实数集，即x>0。
-对数函数的值域为实数集，即y∈R。
2.对称性：- 设a > 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。
- 设0 < a < 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。
3.基本性质：- loga(1) = 0，其中a ≠ 0。
- loga(a) = 1，其中a ≠ 1- loga(x · y) = loga(x) + loga(y)，其中x > 0，y > 0。
- loga(x / y) = loga(x) - loga(y)，其中x > 0，y > 0。
- loga(x^p) = p · loga(x)，其中x > 0，p ∈ R。
- loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a，b > 0，且a ≠ 1，c ≠14.基本图像：- 对数函数y = loga(x)的图像为一条曲线，也称为对数曲线。
-当0<a<1时，对数曲线在第一象限上严格递减。
-当a>1时，对数曲线在第一象限上严格递增。
5.特殊对数函数：- 以2为底的对数函数y = log2(x)常用于衡量信息的位数及计算机科学中。
- 自然对数函数y = ln(x)常用于微积分和其它分支的数学中。
三、对数函数的应用1.指数增长与对数函数：对数函数的性质使得它在描述指数增长的问题中非常有用。
-对数函数可以用来模拟人口增长、投资收益、疾病传播等指数增长的过程。
2.对数函数在数据处理中的应用：-对数函数可以用来处理大量数据、极大值、极小值等情形。
对数的运算教学讲义
对数的运算教学讲义必备知识·探新知基础知识知识点1 对数的运算性质思考1：a 结论？提示：适用，log a (MNQ )＝log a M ＋log a N ＋log a Q ，积的对数运算性质可以推广到真数是n 个正数的乘积． 知识点2 换底公式若a >0，且a ≠1；b >0；c >0，且c ≠1，则有log a b ＝__log c blog c a __.思考2：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示什么形式？ (2)你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log Nn M m ＝mn log N M 吗？提示：(1)log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a.(2)log N nM m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM .基础自测1．若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数是( A ) ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )； ③log a xy ＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A ． 2．log 62＋log 63等于( A )A ．1B ．2C ．5D ．6[解析] log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝log 66＝1.3．(2020·天津和平区高一期中测试)计算：log 25·log 32·log 59＝__2__. [解析] 原式＝lg5lg2·lg2lg3·lg9lg5＝lg5lg2·lg2lg3·2lg3lg5＝2. 4．求下列各式的值： (1)log 3(27×92)；(2)lg5＋lg2； (3)ln3＋ln 13；(4)log 35－log 315.[解析] (1)方法一：log 3(27×92)＝log 327＋log 392＝log 333＋log 334＝3log 33＋4log 33＝3＋4＝7； 方法二：log 3(27×92)＝log 3(33×34)＝log 337＝7log 33＝7. (2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1. (3)ln3＋ln 13＝ln(3×13)＝ln1＝0.(4)log 35－log 315＝log 3515＝log 313＝log 33－1＝－1.关键能力·攻重难题型探究题型一 对数的运算性质的应用 例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示： (1)log a (xy 2)；(2)log a (xy )；(3)log a3xyz 2. [解析] (1)log a (xy 2)＝log a x ＋log a y 2＝log a x ＋2log a y . (2)log a (x y )＝log a x ＋log a y ＝log a x ＋12log a y .(3)log a3x yz 2＝13log a x yz 2＝13[log a x －log a (yz 2)] ＝13(log a x －log a y －2log a z )． [归纳提升] 对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．【对点练习】❶ 用log a x 、log a y 、log a z 表示下列各式： (1)log a (x 3y 5)； (2)log ax yz. [解析] (1)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5 ＝3log a x ＋5log a y . (2)log axyz＝log a x －log a (yz ) ＝log a x 12－(log a y ＋log a z )＝12log a x －log a y －log a z . 题型二 利用对数的运算性质化简、求值 例2 化简下列各式： (1)log 2(23×45)； (2)lg3＋2lg2－1lg1.2；(3)lg14－2lg 73＋lg7－lg18；(4)log 28＋43＋log 28－43； (5)log 2(1＋2＋3)＋log 2(1＋2－3)．[分析] 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案．[解析] (1)log 2(23×45)＝log 223＋log 245 ＝3＋5log 24＝3＋5×2＝13.(2)lg3＋2lg2－1lg1.2＝lg3＋lg4－1lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1.(3)方法一：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2) ＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0. 方法二：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18＝lg14×7(73)2×18＝lg1＝0.(4)log 28＋43＋log 28－43＝log 2[(8＋43)(8－43)]＝log 264－48＝log 24＝2.(5)log 2(1＋2＋3)＋log 2(1＋2－3) ＝log 2[(1＋2)2－(3)2]＝log 2(3＋22－3) ＝log 222＝log 2232＝32. [归纳提升] 利用对数运算性质化简与求值的原则 (1)正用或逆用公式，对真数进行处理．(2)选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 【对点练习】❷ 计算下列各式的值：(1)(2020·湖南衡阳高一期末测试)log 327＋lg 25－lg4；(2)(2020·江苏、苏州市高一期中测试)(lg5)2＋lg2×lg50. [解析] (1)原式＝log 3332 ＋lg 254＝32＋lg 110＝32＋lg10－1 ＝32－1＝12. (2)原式＝(lg5)2＋lg2×lg(5×10) ＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5) ＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5 ＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2 ＝lg5＋lg2＝lg10＝1. 题型三 换底公式的应用 例3 (1)计算log 2125·log 318·log 519；(2)若log 34·log 48·log 8m ＝log 42，求m 的值．[分析] (1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m 的值．[解析] (1)原式＝lg 125lg2·lg 18lg3·lg 19lg5＝(－2lg5)·(－3lg2)·(－2lg3)lg2·lg3·lg5＝－12.(2)由题意，得lg4lg3·lg8lg4·lg m lg8＝lg m lg3＝12，∴lg m ＝12lg3，即lg m ＝lg312 ，∴m ＝ 3.[归纳提升] 关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ＝1log b a；log a a n ＝n ，log am b n ＝nm log a b ；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．【对点练习】❸ 计算下列各式的值： (1)log 89·log 2732； (2)log 927；(3)log 21125·log 3132·log 513.[解析] (1)log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.(2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32.(3)log 21125·log 3132·log 513＝log 25－3·log 32－5·log 53－1 ＝－3log 25·(－5log 32)·(－log 53) ＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.误区警示忽视真数大于零致误例4 解方程：log 2(x ＋1)－log 4(x ＋4)＝1.[错解] 原方程变形为log 2(x ＋1)－12log 2(x ＋4)＝1，∴log 2(x ＋1)－log 2x ＋4＝1，∴log 2x ＋1x ＋4＝log 22， ∴x ＋1x ＋4＝2，∴x 2－2x －15＝0，∴x ＝－3或x ＝5，故原方程的解为x ＝－3或x ＝5.[错因分析] 解题过程中忽视对数log a N 中真数N 必须大于0时对数才有意义．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义．另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错．[正解] ∵log 2(x ＋1)－log 4(x ＋4)＝1， ∴log 4(x ＋1)2x ＋4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋4>0，(x ＋1)2x ＋4＝4，解得x ＝5或x ＝－3(舍去)．∴方程log 2(x ＋1)－log 4(x ＋4)＝1的解为x ＝5.[方法点拨] 在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根．故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误．也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解．学科素养转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力 例5 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y 的值；(2)已知log 23＝a,3b ＝7，求log 1256.[分析] (1)欲求2x ＋1y 的值，已知3x ＝36,4y ＝36，由此两式怎样得到x ，y ，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决．(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b ＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论log a n b m ＝mn log a b ，将条件中的对数式log 23＝a 化为指数式解答．[解析] (1)由已知分别求出x 和y ， ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364，∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. (2)解法一：因为log 23＝a ，所以2a ＝3.又3b ＝7，故7＝(2a )b ＝2ab ，故56＝23＋ab ，又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2， 从而log 1256＝log 2a ＋223＋ab ＝3＋aba ＋2. 解法二：因为log 23＝a ，所以log 32＝1a .又3b ＝7，所以log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a ＝ab ＋3a ＋2.[归纳提升] 1.应用换底公式应注意的事项 (1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化． 3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．课堂检测·固双基1．2log 510＋log 50.25的值为( C ) A ．0B ．1C ．2D ．4[解析] 原式＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝log 552＝2.2．(2019·北京丰台区高一期末测试)lg25＋lg4＋(19)－12的值为( B )A ．73B ．5C ．313D ．13[解析]原式＝lg(25×4)＋(3－2)－12＝lg100＋3 ＝2＋3＝5.3.12log 612－log 62＝__12__. [解析] 原式＝12log 612－12log 62＝12log 6122＝12log 66＝12. 4．计算下列各式的值： (1)2lg5＋lg4＋e ln2＋log 222； (2)(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)．[解析] (1)原式＝2lg5＋2lg2＋2＋3＝2(lg5＋lg2)＋5＝7. (2)原式＝(log 23＋log 29log 28)(log 322＋log 38log 39＋log 32)＝(log 23＋23log 23)(2log 32＋32log 32＋log 32)＝53log 23×92log 32＝152. 素养作业·提技能 A 组·素养自测一、选择题1．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12等于( B ) A ．a 2＋b B ．b ＋2a C ．a ＋2bD ．a ＋b 2[解析] lg12＝lg4＋lg3＝2lg2＋lg3＝2a ＋b .2．若10a ＝5,10b ＝2，则a ＋b 等于( C ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[解析] 由已知得a ＝lg5，b ＝lg2， 故a ＋b ＝lg5＋lg2＝lg10＝1，故选C ．3．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg(y10)2的值等于( D )A ．12m －2n －2B ．12m －2n －1C ．12m －2n ＋1D ．12m －2n ＋2[解析] lg x －lg(y 10)2＝12lg x －2(lg y －lg10)＝12m －2n ＋2.4．若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于( D )A ．2a ＋b 1＋a ＋bB ．2a ＋2b 1＋a ＋bC ．2a ＋b 2－a ＋bD ．2a ＋b1－a ＋b[解析]lg12lg15＝lg3＋2lg2lg3＋(1－lg2)＝2a ＋b 1－a ＋b. 5．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( A )A ．3B ．8C ．4D ．log 48[解析] x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 49＋log 4(83)2＝log 4(9×649)＝log 464＝3，故选A ．6．已知2a ＝5b ＝M ，且2a ＋1b ＝2，则M 的值是( B )A ．20B ．25C ．±25D ．400 [解析] ∵2a ＝5b ＝M ，∴a ＝log 2M ＝lg M lg2，b ＝log 5M ＝lg Mlg5，∴1a ＝lg2lg M ，1b ＝lg5lg M ，∴2a ＋1b ＝2lg2lg M ＋lg5lg M ＝lg4＋lg5lg M ＝lg20lg M＝2，∴2lg M ＝lg20，∴lg M 2＝lg20，∴M 2＝20，∵M >0，∴M ＝2 5. 二、填空题7．计算：2713＋lg4＋2lg5－e ln3＝__2__.[解析]2713＋lg4＋2lg5－e ln3＝(33)13＋(lg4＋lg25)－e ln3＝3＋2－3＝2.8．溶液的酸碱度是通过pH 刻画的，已知某溶液的pH 等于－lg [H ＋]，其中[H ＋]表示该溶液中氢离子的浓度(单位：mol /L)，若某溶液的氢离子的浓度为10－5 mol/L ，则该溶液的pH 为__5__.[解析] 由题意可知溶液的pH 为－lg [H ＋]＝－lg10－5＝5. 9．方程log 2(x 2－8)＝1＋log 2x 的解是__x ＝4__. [解析] ∵log 2(x 2－8)＝1＋log 2x ， ∴x 2－8－2x ＝0，∴x ＝4或－2(舍去)． 三、解答题10．计算下列各式的值： (1)lg 27＋lg8－3lg 10lg1.2；(2)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(3)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1. [解析] (1)原式＝lg (33)12＋lg23－3lg1012lg 3×2210＝32(lg3＋2lg2－1)lg3＋2lg2－1＝32.(2)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(3)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2 ＝1.11．已知log a 2＝m ，log a 3＝n . (1)求a 2m－n的值；(2)求log a 18.[解析] (1)因为log a 2＝m ，log a 3＝n ， 所以a m ＝2，a n ＝3.所以a 2m －n ＝a 2m ÷a n ＝22÷3＝43.(2)log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n .B 组·素养提升一、选择题1．若x log 34＝1，则4x ＋4－x 的值为( B ) A ．83B ．103C ．2D ．1[解析] 由x log 34＝1得x ＝log 43，所以4x ＋4－x ＝3＋13＝103，故选B ．2．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( A ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1[解析] log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A ． 3．(多选题)下列等式不成立的是( CD ) A ．ln e ＝1B ．13a 2＝a－23C ．lg(MN )＝lg M ＋lg ND ．log 2(－5)2＝2log 2(－5)[解析] 根据对数式的运算，可得ln e ＝1，故A 成立； 由根式与指数式的互化可得13a 2＝a－23，故B 成立；取M ＝－2，N ＝－1，发现C 不成立；log 2(－5)2＝log 252＝2log 25， 故D 不成立，故选CD ．4．(多选题)设a ，b ，c 都是正数，且4a ＝6b ＝9c ，那么( AD ) A ．ab ＋bc ＝2acB ．ab ＋bc ＝acC ．2c ＝2a ＋1bD ．1c ＝2b －1a[解析] 由a ，b ，c 都是正数，可设4a ＝6b ＝9c ＝M ，∴a ＝log 4M ，b ＝log 6M ，c ＝log 9M ，则1a ＝log M 4，1b ＝log M 6，1c ＝log M 9，∵log M 4＋log M 9＝2log M 6，∴1c ＋1a ＝2b ，即1c ＝2b －1a ，去分母整理得ab ＋bc ＝2ac ，故选AD ． 二、填空题5．lg 52＋2lg2－(12)－1＝__－1__.[解析] lg 52＋2lg2－(12)－1＝lg 52＋lg4－2＝－1.6．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x ＝__1__. [解析] ∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12.同理log x c ＝16，log x b ＝13.∴log (abc )x ＝1log x (abc )＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1.7．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则lg(ab )·(lg ab)2＝__4__.[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg a ＋lg b ＝2lg a ·lg b ＝12， ∴lg(ab )·(lg ab )2＝(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )2＝2[(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ] ＝2(4－4×12)＝4.三、解答题8．计算：(1)(log 3312 )2＋log 0.2514＋9log 55－log 31；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[解析](1)(log 3312 )2＋log 0.2514＋9log 55－log 31＝(12)2＋1＋9×12－0＝14＋1＋92＝234.(2)原式＝lg25＋lg823＋lg102·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.9．已知log a (x 2＋4)＋log a (y 2＋1)＝log a 5＋log a (2xy －1)(a >0，且a ≠1)，求log 8yx 的值．[解析] 由对数的运算法则，可将等式化为log a [(x 2＋4)·(y 2＋1)]＝log a [5(2xy －1)]，∴(x 2＋4)(y 2＋1)＝5(2xy －1)．整理，得x 2y 2＋x 2＋4y 2－10xy ＋9＝0，配方，得(xy －3)2＋(x －2y )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝3，x ＝2y .∴y x ＝12.∴log 8y x ＝log 812＝log 232－1＝－13log 22＝－13.。
对数的概念及运算法则-PPT
你发现了什 么?
对数恒等式： loga an n 作为公式用
18
探 求下列各式的值：
究
活
动 (1) 2log2 3 3
感 悟
(2) 7log7 0.6 0.6
数
学 (3) 0.4log0.4 89 89
你发现了什 么?
对数恒等式： aloga N N
19
练习 3.求下列各式的值
（1） log5 25 2 （2） log25 25 1 （3） lg10 1 （4） lg 0.01 2 （5） lg1000 3 （6） lg 0.001 3
log a
M N
log a M
log a N
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
例题讲解 例1 求下列各式的值：
（1） log2 6 1
（2） lg 5 lg 2 lg(5 2) lg10 1
（3）
log5
3
log5
1 3
（4） log3 5 log3 15
26
102 100
log10 100 2
1
42 2
log 4
2
1 2
102 0.01
log10 0.01 2
练习： a x N loga N x
把下列指数式改写成对数式
（1）54 625 log5 625 4
（2） 26 1 64
（3） 3a 27
log2
1 64
6
log3 27 a
对数的概念及运算法则
知识探究（一）：对数的概念
思考1:若24＝M，则M＝？16 思考2:若若22x－＝2＝16N，，则则xN＝＝？？414
若2x＝ 1 4
对数及其运算讲义
对数及运算讲义一、对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：N x a log =（a— 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：1.①注意底数的限制0>a ，且1≠a ；②x N N a a x =⇔=log ；③注意对数的书写格式N a log2.两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数N lg ；②自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．3.指数式与对数式的互化 b a ＝ N ⇔log a N b =二、对数的运算性质：如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：①M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；②=NM a log M a log －N a log ；③n a M log n =M a log )(R n ∈． ④换底公式ab bc c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．⑤利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a na m log log =；（2）ab b a log 1log =． 三、典型例题例1.⑴将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：① 45625=；②61264-=；③1 5.733m⎛⎫= ⎪⎝⎭；④12log 164=-；⑤lg 0.012=-；⑥ln10 2.303=.例2.求下列各式中x 的值：①642log 3x =-；②log 86x =；③lg100x =；④2ln e x -=.例3.求下列各值：⑴221log 36log 32-；⑵3log 3；⑶lg1；⑷3log 53；⑸3log 59；⑹3log 33；⑺33log 3； ⑻ 22(lg5)lg2lg25(lg2)+⋅+；⑼827log 9log 32⋅.例4.（1）已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值；（2）已知1414log 7log 5a b ==，，用a 、b 表示35log 28.四、练习题1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1） 712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=；（4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.2.将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=；（2）2log 1287=； （3）lg 0.012=-； （4）ln10 2.303=3.已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）.A. 1 B. 2 C. 8 D. 124.计算下列各式的值：（1）lg 0.001； （2）4log 8； （3）ln e .5.1log n n ++（1n n ＋－）等于（ ）.A. 1 B. －1 C. 2 D. －26.化简3lg 2lg 5log 1++的结果是（ ）. A. 12 B. 1 C. 2 D.107.计算①2(lg5)lg2lg50+⋅＝ . ②()2151515log 5log 45log 3⋅+③若2510a b ==，则11a b+= . 8.求底数：（1）533log -=x , （2）872log =x 9.已知2(3)log (3)1x x x ++=，求实数x 的值.10.求x 的值：①43log 3-=x ； ②35log 2-=x ； ③()()1123log 2122=-+-x x x ； ④()[]0log log log 432=x ； 11.已知32a =，用 a 表示33log 4log 6-12.若32a =，则33log 82log 6-＝ .13.已知3log 2a =，35b =用a b ，表示3log 30 14.已知lg5m =，lg3n =，用,m n 表示30log 8.15.已知2log 3a =，37b =，求12log 5616.8log 3p =，3log 5q =，那么lg 5等于 （用p ，q 表示）；17.知18log 9a =，185b =，用,a b 表示36log 45.18.化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）. A .1 B. 32C. 2D.3。
对数的概念及运算讲课文档
算公式.
-5
【解】 (1)log2=log22 =-5
6
3
-1
(2)log28-lo 3-lo 8=log22 -lo () -lo ( ) =3+1-6=-2
(3)lg25+lg4=lg(25×4)=lg100=2
第二页，共17页。
【例题精解】
【例 1】 把下列等式改写成对数等式的形式:
=
-3
(1)2
0
(2)5 =1
【解】 (1)log2=-3
(2)log51=0
第三页，共17页。
【例 2】 把下列等式改写成指数等式的形式:
(1)log464=3
(2)log3 =-2
3
=
-2
【解】 (1)4 =64 (2)3
(2)103-2lg2
【例 5】 求值:(1)
【分析】 请同学们根据对数恒等式: =N(a>0 且 a≠1,
N>0)求本例题答案.
=8
【解】 (1)
第七页，共17页。
3-2lg2
(2)10
3
=10 ·
=1000×=250
【同步训练】
一、选择题
(2)loga( )=logaM-logaN(a>0 且 a≠1,M>0,N>0)
(3)logaM α=αlogaM (a>0 且 a≠1,M>0)
4.换底公式:logbN= (a>0,b>0 且
对数的概念与运算PPT课件
-
12
三、解不等式 (1) 33-x<6
(2) lg(x-1)<1
四、图象的变换
y
已知f(x)=lgx的图象,画出下列 函数的图象,并指出与y=f(x)之 间的关系.
(1) y=f(-x)
(2) y=-f(x)
O1
x
(3) y=f(x+1) (4)y=f(x)-2
(5) y=f(∣x∣) (6) y=∣f(x)∣
对数
对数的概念 1. 对数的概念
与运算
2. 对数恒等式
3. 对数的运算性质
4. 换底公式
如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即 ab=N,那么就称b是以a为底N的对数, 记作logaN=b.其中,a叫做对数的底 数,N叫做真数,N>0.
lgN叫常用对数, lnN叫自然对数
对数函数
-
1
对数
对数的概念 1. 对数的概念
M
② loga N =logaM-logaN
③ loga M n =nlogaM
其中a>0,a≠1,M>0,N>0,n∈R
对数函数
-
3
对数
对数的概念 1. 对数的概念
与运算
2. 对数恒等式
3. 对数的运算性质
4. 换底公式
lo
ga
N
logc logc
N a
其中a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0
log31= 0 , lg1000= 3 ,
1
log2 2 = 2 ,
log256-log27=
1
log2 2 =
-1 , log327=
对数的运算教学讲义
对數的运算教学讲义必备知识探新知基础知识知识点1对数的运算性质思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式lo^MNO)是否适用？你能得到一个怎样的结论？提示：适用，loga(MV0) = logaM + logoJV十logoO ,积的对数运算性质可以推广到真数是H个正数的乘积•知识点2换底公式若a>0,且aHl；b>0； c>0,且cHl,则有log fl Z?=_^^ .思考2： (1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示什么形式？⑵你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logy理吗？提示：(l)log』二器，log# =驚.(2)1。
肿0 =鬻=讚畔器=却叫“基础自测1.若a>0, aHl, xX), v>0,刁，，下列式子中正确的个数是(A )①lognX logG = loga(x +y):②log^Y- 10环=los(x —y):_ x(3)10^=10^10^：④logn(A>0 = logo% lo环.A・0 B・1C・2 D・3［解析］由对数运算法则知,均不正确•故选A •A・1 B. 2C・5 D・6［解析］log6? + log63 = log6(2 X3) = log($6 = 1.3.(2020天津和平区高一期中测试)计算：log25 log32 log59= 2..〔解析】原式卷器器_lg5 lg2 21g3_一lg2 lg3 lg5 一厶4.求下列各式的值：(1)log3(27X92)； (2)lg5+lg2；(3)hi3 + lii|: (4)log35 - log315.［解析］(1)方法一:log3(27 X 92) = log327 十log392 = log333十logj34 = 31ogs3 + 41ogj3 = 3 + 4 = 7 ；方法二:log3(27 X 92) = log3(33 X 34) = logs37 = 71ogi3 = 7.(2)lg5 + lg2 = lg(5X2) = lglO=l.(3)1113 + lii| = ln(3 x|) = liil = 0.(4)log35 - log315 = log3看=logsj = log33 • i 二-1.关键能力攻重难题型探究题型一对数的运算性质的应用例 1 用logflX, logay, logaZ 表示:(l)log0(AJ'2)： (2)10gaQ心)：(3)logzf\£g懈析］(l)loga(xy2) = logoX + logqV2二log^x + 21o汝y.(2)loga(x&) = logoX + log"心二log^Y+［归纳提升］对对数式逬行计算.化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质・二要注意取值范围对符号的限制■【对点练习】❶用lo%r、1。
PPT教学课件对数及其运算
补充： （1）2Na2O2 + 2H2O = 4NaOH + O2
用带火星的木条插入试管观察现象： 带火星的木条复燃。
结论：有氧气产生。
滴加酚酞观察现象： 溶液先变红色，然后红色褪去。
结论：氢氧化钠溶液使酚酞变红；过氧化钠有 强氧化性，漂白作用使红色褪去。
1二、.金钠属的与化非学金性属质单：质的反应：
随堂 检测
1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
(A).100=1与lg1=0
(B). log55=1与51=5.
1
(C).log 3 9 2与92 3
1
(D).27 3
1与log 3
27
1 3
1 3
解:∵只有C中两式的底数不同(一为3,另一为9)∴C不正确,选C.
2.以7为底, 343 的对数等于()
（四）换底公式与自然对数
在求底数不是10 的对数时，可以根据对数的性质，
利用常用对数进行计算
换底公式：
证明:设log b
Nlo=gbxN， = lloo则 ggaaNb
bx =N
两边取以a为的对数，得
xloga b=loga N
所以
x= loga N loga b
即
logb N=
loga N loga b
(D).logaN=2
解.根据对数的定义, N=a2中的指数2叫做以
a为底N的对数,记作 logaN=2. ∴应选 D.
4. 若 logx 7 y z ,则( )
(A).y7=xz (B).y=x7z (C).y=7•xz (D).y=z7x
课堂练习
1.将下列指数式写成对数式: 3.求下列各式的值:
对数及其运算讲义
授课内容：（一）对数1.对数的概念：一般地，如果Q=N（">O,"H1）,那么数x叫做以"为底"的对数, 记作：x = b浜N（“_底数,N—真数，bg“N_对数式）说明：①注意底数的限制。
>°,且"工1;Q / =N oIog°N = x；lo。
N0注意对数的书写格式.两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数IgN；0自然对数：以无理数0 = 2.7182&…为底的对数的对数InN.指数式与对数式的互化a b =Nolog“N= b（二）对数的运算性质如果。
>0,且"工1, M>0, N>0,那么：① log fl（M . N）=log“M+log“N；]M _Q◎亦一1呱必_1呱化③ log fl M,!= /2 log fl M （n e R）注意：换底公式】,log,log/= --------------log, （d>0,竺"Hl；C>0, g.cHl；b>0）利用换底公式推导下面的结论log h" = —log fl/? l°g°b =—（1）川;（2）吨/.（四）例题例1、设a, b, c都是正数，且3M b=6\那么（）解：由 a, b, c 都是正数，且 3a =4b =6c =M,则 a=log 3\ b=logA c=log 6M 例2、若a>l, b>l,昨严吐,则『等于()A 、1B 、bC 、log h aD 、a ,OK b alog h (lo$h a)解：由对数的换底公式可以得出p 二 ------ T^~Q ----- =log it (log h a),因此，a"等于logi,a.1,则x 属于区间( 例4、若3牛9二10・3\那么x'+l 的值为( ) A 、1B 、2C 、5D 、1 或 5专题：数形结合。
对数与对数运算讲义
知能点一：对数的定义一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
1、对数记号log aN 只有在01a a ≠且>，0N >时才有意义，也就是说负数和零是没有对数的。
2、记忆两个关系式：①log 10a =；②log 1a a =。
3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便, N 的常用对数N 10log ， 简记作：lg N 。
例如：10log 5简记作lg 5 ; 5.3log 10简记作lg 3.5。
4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数。
为了简便，N 的自然对数N e log ，简记作：ln N 。
如：3log e 简记作ln 3；10log e 简记作ln10。
例 1：求下列各式中的x（1）12log 2x =-； （2）log 92x =； （3）27log 3x = 解：（1）2142x -⎛⎫== ⎪⎝⎭； （2）29x =，又因为01x x ≠且>，所以3x =； （3）所以333x =，所以31x =，故13x =。
1、将下列指数式化为对数式： （1）45625= （2）2139-= （3）21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭2、将下列对数式化为指数式：（1）2log 164= （2）13log 273=- （3）3log 6x = （4）log 646x =- 4、若7log ab c =，则,,a b c 之间满足（ B ） A 、7c b a = B 、7c b a = C 、7c b a = D 、7a b c =5、在()()2log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围为 ()()2,33,5 。
7、（1）若()()2221log 3211x x x -+-=，则x = 2- ；（2）若()234log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，则x = 64 。
对数与对数运算PPT
思考:
在指数式 ax N和对数式 x= loga N中， a，x ，N 各自的地位有什么不同？
指数式 ax N 对数式 x= loga N
a Nx
指数的底 幂 幂指数 数
对数的底 真 对数 数数
对数式与指数式的互换
42 16 化为对数式 log4 16 2
102 100 化为指数式 log10 100 2
1
4 2 2 化为对数式
102 0.01 化为指数式
1 log 4 2 2
log10 0.01 2
对数的运算
对数运算的三条基本性质
（1）loga M loga N loga (M N)
（2）loga
M
loga
N
loga
M N
（3）loga M n n loga M
对数运算的三个常用结论
ax N x= loga N
介绍两种特殊的对数：
1．常用对数：以10作底 log10 N写成 lg N
例如：log10 3简记作lg 3，log10 2.3简记作lg 2.3 ；
2．自然对数：以无理数e = 2.71828…作
底 log e N 写成 ln N
例如：loge 3 简记作 ln 3，loge 7.1简记作ln 7.1 ；
（1）loga a 1; （2） loga 1 0;
（3） aloga N N.
课堂练习
试用 loga x，loga y ，loga z表示下式：
（1） loga
x2 y
（2）loga yz2
小结：
1°对数的定义
2°互换(对数与指数会互化)
3 °对数的运算性质
课后延续
1、认真复习；
对数与对数运算 课件
母题探究：1.在本例(2)条件不变的前提下，计算 x-+的值．
[解]
∵x＝10，∴x-+＝10-+＝
10 10 .
2．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则 x 的值为________． 3e [由 ln(log3x)＝1 得 log33x＝e，∴x＝＝33ee..]]
对数的概念
(1)对数式 log(x－2)(x＋2)中实数 x 的取值范围是________． (2)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
①2－7＝ 1 ；②log132＝－5；
128
2
Байду номын сангаас
③lg 1 000＝3；④ln x＝2.
(1)(2,3)∪(3，＋∞)
x＋2>0， [(1)由题意可得x－2>0，
x－2≠1，
解得 x>2，且 x≠3，所以实
数 x 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．] [解] (2)①由 2－7＝1218，可得 log21128＝－7.
②由 log1
2
32＝－5，可得12－5＝32.
③由 lg 1 000＝3，可得 103＝1 000.
④由 ln x＝2，可得 e2＝x.
(3)10x＝100＝102，于是 x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即 e－x＝e2，
所以 x＝－2.
应用对数的基本性质求值 [探究问题] 1．你能推出对数恒等式 alogaN＝N(a>0 且 a≠1，N >0)吗？ 提示：因为 ax＝N，所以 x＝logaN，代入 ax＝N 可得 alogaN＝N. 2．如何解方程 log4(log3x)＝0? 提示：借助对数的性质求解，由 log4(log3x)＝log41，得 log3x＝1，∴x＝3.
对数函数专题讲义
对数函数专题讲义一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN＝log a M －loga N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log m na M ＝n mlog a M .二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．考向一 对数运算 例1 计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.(3)353log 1+－232log 4+＋103lg3＋⎪⎭⎫ ⎝⎛2152log .例2 已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645. [玩转跟踪]1.计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27(3)943log 21+525log 1+.2.(1)(log 29)·(log 34)等于( )A.14B.12 C.2 D.4 (2)log 2125·log 318·log 519＝________.考向二 对数函数的图像【例3】函数log ()a y x =-（0a >且1a ≠）与函数xy a =（0a >且1a ≠）在同一直角坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【例4】函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点（ ） A ．(1,2)B ．(2,2)C ．(2,3)D ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭【玩转跟踪】1．函数()ln 1f x x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数y ＝2log 4(1－x)的图象大致是A ．B ．C ．D ．函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响．观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0＜a ＜1时a 越小，图象向右越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．2.函数()log (1)1a f x x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点（ ） A ．(1,1)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(2,2)考向三 对数函数性质 1.单调性（区间）【例5】（1）函数()()2223f x log x x =-++的单调减区间是（ ）A ．()3,1-B ．1,C ．(]1,1-D ．()1,3（2）（2019·四川省新津中学高一月考）已知()log (32)a f x ax =-在[]1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭【玩转跟踪】1．函数213log (32)y x x =-+的单调递减区间为（ ） A ．()2,+∞B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2．已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞2.定义域和值域 【例6】（1）函数()ln(-1)f x x =+的定义域为（ ） A ．()1,2B ．()1,+∞C ．()2,+∞D ．()()1,22,⋃+∞（2）函数()212log 617y x x =-+的值域是（ ）.A ．RB ．(],3-∞-C ．[)8,+∞D ．[)3,+∞【一隅三反】 1．函数()2log f x x=-的定义域为（ ） A ．()0,2B ．(]0,2C ．()2,+∞D ．[)2,+∞2．已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是________.3．若函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩ 则函数()f x 的值域是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．(,0)(0,2)-∞3.比较大小【例7】比较下列各组数中两个值的大小． （1）log 23.4，log 28.5； （2）log 0.31.8，log 0.32.7；（3）log a 5.1，log a 5.9(a >0，且a ≠1)．【玩转跟踪】1．已知2log 0.3a =， 1.30.3b =， 1.32c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c <<2．已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a << 3．若30.6a =，3log 0.2b =，0.63c =，则（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 4. 解不等式【例8】不等式0.25log (1)1x ->的解集是________. 【玩转跟踪】1．已知函数(2)f x +是定义域为R 的偶函数，()f x 在(2,)+∞上单调递减，则不等式(ln )(1)0f x f -<的解集是（ ） A ．(0,1)(3,)+∞B ．（1，3）C ．3(0,)(,)e e ⋃+∞D ．3(,)e e2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(],0x ∈-∞时，()22f x x x =-+，若实数m 满足()2log 3f m ≤，则m 的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．1[,2]2C ．(]0,8D ．1[,8]8考向四 对数函数综合应用 例8 已知函数121()log 21axf x x -=-，a 常数. （1）若2a =-，求证()f x 为奇函数，并指出()f x 的单调区间；（2）若对于35,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式1221log (21)log (21)4xx m x ⎛⎫+->-- ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围. [玩转跟踪]1.已知函数f(x)=log 2(2x +k)(k ∈R)的图象过点P(0,1)． （1）求k 的值并求函数f(x)的值域；（2）若关于x 的方程f(x)=x +m,x ∈[0,1]有实根，求实数m 的取值范围；（3）若g(x)=f(x)+ax 为偶函数，求实数a 的值． 反馈练习1．若a =log 225,b =0.43,c =ln3，则a 、b 、c 的大小关系是 。
《对数的运算性质》 讲义
《对数的运算性质》讲义一、对数的定义在数学中，如果 a 的 x 次方等于 N（a>0，且a≠1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝logₐN 。
其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
例如，2³＝ 8 ，那么 3 就是以 2 为底 8 的对数，记作 log₂8 ＝ 3 。
为了更好地理解对数，我们可以将其与指数进行对比。
指数是已知底数和指数求幂，而对数则是已知底数和幂求指数。
二、对数的运算性质1、乘积的对数logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN举个例子，如果有 log₂(4×8) ，根据这个性质，可以将其转化为log₂4 ＋ log₂8 。
因为 2²＝ 4 ，2³＝ 8 ，所以 log₂4 ＝ 2 ，log₂8 ＝3 ，那么 log₂(4×8) ＝ log₂32 ＝ 5 ，而 log₂4 ＋ log₂8 ＝ 2 ＋ 3 ＝5 ，两者相等。
这个性质的证明可以通过设logₐM ＝ x ，logₐN ＝ y ，则 a^x ＝ M ，a^y ＝ N 。
所以 MN ＝ a^x × a^y ＝ a^（x ＋ y) ，从而得到logₐ(MN)＝ x ＋ y ＝logₐM ＋logₐN 。
2、商的对数logₐ(M/N) ＝logₐM logₐN比如计算 log₃(9/3) ，可以写成 log₃9 log₃3 。
因为 3²＝ 9 ，3¹＝3 ，所以 log₃9 ＝ 2 ，log₃3 ＝ 1 ，那么 log₃(9/3) ＝ log₃3 ＝ 1 ，log₃9 log₃3 ＝ 2 1 ＝ 1 ，结果一致。
证明思路类似于乘积的对数，设logₐM ＝ x ，logₐN ＝ y ，则 M ＝a^x ，N ＝ a^y ，M/N ＝ a^x ／ a^y ＝ a^（x y) ，所以logₐ(M/N) ＝ xy ＝logₐM logₐN 。
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学生： 科目：数学 教师： 第 阶段第 次课 2013年 月 日 课 题：对数及运算授课内容：（一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明： ○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x =⇔=log ；○3 注意对数的书写格式．N a log两个重要对数： ○1 常用对数：以10为底的对数N lg ；○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化b a ＝ N ⇔log a N ＝ b（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2 =N M a log M a log －N a log ；○3 n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）bmnbana mloglog=；（2）abba log1log=．（四）例题例1、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（）A、=+B、=+C、=+D、=+解：由a，b，c都是正数，且3a=4b=6c=M，则a=log3M，b=log4M，c=log6M例2、若a＞1，b＞1，p=，则a p等于（）A、1B、bC、log b aD、a log b a解：由对数的换底公式可以得出p==log a（log b a），因此，a p等于log b a．例3、设x=+，则x属于区间（）A、（﹣2，﹣1）B、（1，2）C、（﹣3，﹣2）D、（2，3）解：由题意，x=+=+=；∵函数y=在定义域上是减函数，且，∴2＜x＜3．例4、若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（）A、1B、2C、5D、1或5分析：由题意可令3x=t，（t＞0），原方程转化为二次方程，解出在代入x2+1中求值即可．选D例5、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A、1B、4C、D、或4解：∵2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），∴x2+4y2﹣4xy=xy ∴（x﹣y）（x﹣4y）=0 ∴x=y（舍）或x=4y ∴=4例6、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根专题：数形结合。
例7、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β的值是（）A、lg7•lg5B、lg35C、35D、分析：由题意知，lgα，lgβ是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7•lg5=0的两根，依据根与系数的关系得lgα+lgβ=﹣（lg7+lg5），再根据对数的运算性质可求得α•β的值．α•β的值是．例8、（3+2）=﹣2；log89•log2732=；（lg5）2+lg2•lg50=1．解：==，所以=﹣2；log89•log2732==（lg5）2+lg2•lg50=（lg5）2+lg•lg5×10=（lg5）2+（1﹣lg5）•（1+lg5）=1故答案为：﹣2；；1例9、方程（4x+4﹣x）﹣2（2x+2﹣x）+2=0的解集是{0}．解：令t=2x+2﹣x＞0，则4x+4﹣x=t2﹣2原方程可以变为t2﹣2t=0，故t=2，或者t=0（舍）故有2x+2﹣x=2即（2x）2﹣2×2x+1=0 ∴（2x﹣1）2=0 ∴2x=1即x=0例10、若α、β是方程lg2x﹣lgx2﹣2=0的两根，求logαβ+logβα的值．分析：利用对数的原式法则化简方程；将方程看成关于lgx的二次方程，利用根与系数的关系得lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2；利用换底公式将待求的式子用以10为底的对数表示，将得到的等式代入求出值．解：原方程等价于lg2x﹣2lgx﹣2=0 ∵α，β是方程的两个根所以lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2所以=-4即logαβ+logβα=﹣3例11、解关于x的方程．2x=2．（1）log（x+a）（2）log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）；（3）+=6；（4）lg（ax﹣1）﹣lg（x﹣3）=1．（1）要注意对数式与指数式的转化关系；（2）利用对数运算性质进行转化变形；（3）注意到两项的联系，利用整体思想先求出整体，进一步求出方程的根；（4）利用对数的运算性质进行转化与变形是解决本题的关键．注意对字母的讨论．解：（1）该方程可变形为2x=（x+a）2，即x=1﹣a±（当a≤时），当x=1﹣a﹣时，x+a=1﹣＜0，故舍去．因此该方程的根为x=1﹣a+（当a≤时），当a＞时，原方程无根．（2）该方程可变形为log4=log4，即，整理得x2﹣7x=0，解出x=0或者x=7（不满足真数大于0，舍去）．故该方程的根为x=0．（3）该方程变形为=6，即，令，则可得出t+，解得t=3±2=，因此x=±2．该方程的根为±2．（4）原方程等价于，由得出ax﹣1=10x﹣30，该方程当a=10时没有根，当a≠10时，x=，要使得是原方程的根，需满足ax﹣1＞0，且x﹣3＞0．解出a∈（，10）．因此当a∈（，10）时，原方程的根为x=，当a∈（﹣∞，]∪[10，+∝）时，原方程无根．例12、若方程log2（x+3）﹣log4x2=a的根在（3，4）内，求a的取值范围．分析：应用对数的运算性质，log4x2=log2x，将方程变形，转化为求函数a=的值域，通过的取值范围，确定a的取值范围．解：∵3＜x＜4，方程即：log2（x+3）﹣log2x=a，=a∵=1﹣，＜＜1，∴0＜1﹣＜，∴﹣∞＜a＜﹣2例13、已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得2kx=a（1+k2）（4）当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解．当k≠0时，（4）的解是把（5）代入（2），得解得：﹣∞＜k＜﹣1或0＜k＜1．综合得，当k在集合（﹣∞，﹣1）∪（0，1）内取值时，原方程有解．三、学生对于本次课的评价：○特别满意○满意○一般○差学生签字：四、教师评定：1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差教师签字：教研组签字：教务处签字：教务处盖章练习1、的值是（）A、B、1 C、D、22、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（）A、=+B、=+C、=+D、=+3、若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（）A、1B、2C、5D、1或54、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A、1B、4C、D、或45、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根6、（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n=_________；=_________；= _________．7、（3+2）=_________；log89•log2732=_________；（lg5）2+lg2•lg50=_________．8、方程（4x+4﹣x）﹣2（2x+2﹣x）+2=0的解集是_________．9、方程x lgx=10的所有实数根之积是_________．10、解下列方程（1）log x+2（4x+5）﹣log4x+5（x2+4x+4）﹣1=0；（2）32x+5=5•3x+2+2；11、若方程log2（x+3）﹣log4x2=a的根在（3，4）内，求a的取值范围．2、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（）A、=+B、=+C、=+D、=+解：由a，b，c都是正数，且3a=4b=6c=M，则a=log3M，b=log4M，c=log6M3、若a＞1，b＞1，p=，则a p等于（）A、1B、bC、log b aD、a log b a解答：解：由对数的换底公式可以得出p==log a（log b a），因此，a p等于log b a．故选C．4、设x=+，则x属于区间（）A、（﹣2，﹣1）B、（1，2）C、（﹣3，﹣2）D、（2，3）解答：解：由题意，x=+=+=；∵函数y=在定义域上是减函数，且，∴2＜x＜3．故选D．5、若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（）A、1B、2C、5D、1或5分析：由题意可令3x=t，（t＞0），原方程转化为二次方程，解出在代入x2+1中求值即可．选D6、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A、1B、4C、D、或4解答：解：∵2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），∴x2+4y2﹣4xy=xy∴（x﹣y）（x﹣4y）=0∴x=y（舍）或x=4y∴=选C．7、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根专题：数形结合。
选C．8、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β的值是（）A、lg7•lg5B、lg35C、35D、分析：由题意知，lgα，lgβ是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7•lg5=0的两根，依据根与系数的关系得lgα+lgβ=﹣（lg7+lg5），再根据对数的运算性质可求得α•β的值．∴α•β的值是．选D．9、（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n=21﹣2n；=；=．分析：利用有理指数幂的运算化简（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n，用对数性质化简后两个代数式．解答：解：（2n+1）2•2﹣2n﹣1÷4n=22n+2﹣2n﹣1﹣2n=21﹣2n；故答案为：10、（3+2）=﹣2；log89•log2732=；（lg5）2+lg2•lg50=1．解答：解：==，所以=﹣2；log89•log2732==（lg5）2+lg2•lg50=（lg5）2+lg•lg5×10=（lg5）2+（1﹣lg5）•（1+lg5）=1故答案为：﹣2；；112、方程（4x+4﹣x）﹣2（2x+2﹣x）+2=0的解集是{0}．解答：解：令t=2x+2﹣x＞0，则4x+4﹣x=t2﹣2原方程可以变为t2﹣2t=0，故t=2，或者t=0（舍）故有2x+2﹣x=2即（2x）2﹣2×2x+1=0∴（2x﹣1）2=0∴2x=1即x=0故方程的解集为{0}13、方程x lgx=10的所有实数根之积是1．解答：解：方程x lgx=10的两边取常用对数，可得lg2x=1，∴lgx=±1，所以x=10或x=实数根之积为1．故答案为：114、不查表，求值：lg5﹣lg+lg2﹣3log32﹣1=﹣3．分析：根据对数运算法则且lg5=1﹣lg2，可直接得到答案．解答：解：∵lg5﹣lg+lg2﹣3log32﹣1=1﹣lg2﹣lg2+lg2﹣2﹣2=0故答案为：0．15、不查表求值：+﹣102+lg2=﹣190．解答：解：++102+lg2=﹣2﹣102×2=9﹣2﹣200=﹣193故答案为﹣193．16、（1）已知log310=a，log625=b，试用a，b表示log445．（2）已知log627=a，试用a表示log1816．分析：（1）先用换底公式用a表示lg3，再用换底公式化简log625=b，把lg3代入求出lg2，再化简log445，把lg3、lg2的表达式代入即可用a，b表示log445．（2）先用换底公式化简log1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log1816 的式子．17、化简：+﹣．解答：解：+﹣=+﹣==﹣18、若α、β是方程lg2x﹣lgx2﹣2=0的两根，求logαβ+logβα的值．分析：利用对数的原式法则化简方程；将方程看成关于lgx的二次方程，利用根与系数的关系得lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2；利用换底公式将待求的式子用以10为底的对数表示，将得到的等式代入求出值．解答：解：原方程等价于lg2x﹣2lgx﹣2=0∵α，β是方程的两个根所以lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2所以=即logαβ+logβα=﹣319、解下列方程（1）log x+2（4x+5）﹣log4x+5（x2+4x+4）﹣1=0；（2）32x+5=5•3x+2+2；考点：对数的运算性质；有理数指数幂的运算性质。