转化和化归_数学思想方法
六大数学思想之四：转化与化归_最新修正版
六大数学思想之四：转化与化归1.什么是转化与化归？转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法，转化与化归思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用化归与转化的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义。
化归与转化是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
2. 转化与化归的主要方式：1、等价转化，2、空间图形问题转化为平面图形问题，3、局部与整体的相互转化，4、特殊与一般的转化，5、非等价转化，6、换元、代换等转化方法的运用，7、正与反的转化,8、数与形的转化，9、相等与不等的转化,10、常量与变量的转化、11、实际问题与数学语言的转化等.3.转化与化归思想的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．题型一正难则反的转化：Esp1：已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，⇒m ≥32，x 1x 2＝2m ＋6≥0所以使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．Esp2: 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.题型二 函数、方程、不等式之间的转化：解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．Esp3: 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x－1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1； 令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)． 取t ＝1n(n ∈N *)时，则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， 叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．Esp4: 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.题型三主与次的转化：合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量。
化归与转化的思想方法
化归与转化的思想方法随着教育事业的发展，数学教育改革的逐步深入，尤其是在数学新课程标准中十分注重培养学生的思想方法，培养学生应用数学解决问题的能力。
化归作为重要的数学思想方法，在数学教育中加强对化归思想的教育已成为十分重要的工作，这里，我仅就化归思想的核心及其在生活中的作用等问题作一些初步探讨。
一、历史背景化归与转化的思想简介匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的.有人提出了这样一个问题:“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做?”对此，某人回答说:“在壶中灌上水，点燃煤气.再把壶放在煤气灶上.”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道:“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做?”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说:“点燃煤气，再把水壶放上去.”但是更让人出乎意料的答案出现了。
数学家会回答：“把水倒掉，方法同上。
”一个有趣的笑话精辟的道出化归的方法的精髓。
二、化归与转化的含义在历史上曾经有不少数学家从各种不同的角度对化归方法作过论述。
例如，笛卡尔曾经提出如下的“万能方法”：①把任何问题都化归为数学问题；②把任何数学问题都化归为代数问题；③把任何代数问题都化归方程式的求解。
由于求解方程的问题被认为是已经能解决的（或者说，是比较容易解决的），因此笛卡尔认为利用这样的方法可解决各类型的问题。
显然他的这一结论并不正确，所谓的“万能方法”也根本不存在，笛卡尔所给出的这一模式毕竟可视为化归方法的一个具体运用，从而产生过具有重要意义的成果。
事实上，笛卡尔创立解析几何学，正是这种重要成果的生动体现。
化归法的一般模式，其形式如下图[4]：转换未知问题（复杂）已知问题（简单）已知理论、方法、技巧解答解答化归与转化就是将待解决或未解决的问题，通过转化归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容易解决的问题，或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决。
数学思想之一转化与化归思想(概述)
数学思想之一：转化与化归思想（概述）
1、转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决（当然包括解题）都离不开转化与化数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方归，
程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。
各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化
的手段。
所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂。
2、转化包括等价转化和非等价转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，不等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，不等价变形要对所得结论进行必要的修改。
3、转化与化归的原则将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决。
4、转化与化归的基本类型
（1）正与反、一般与特殊的转化；
（2）常量与变量的转化；
（3）数与形的转化；
（4）数学各分支之间的转化；
（5）相等与不相等之间的转化；
（6）实际问题与数学模型的转化。
转化划归
题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方
法有：
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式
或基本图形问题．
思想方法概述
(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂
等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基
本问题．
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式
(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转
化方法的一个重要途径．
(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．
本 讲
(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解
栏 目
决．
开 关
(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结
果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题
的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新
知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同
数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化
本
等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思
讲 栏
想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．
热点分类突破
类型二 相等与不等的转化
例 2 若关于 x 的方程 9x＋(4＋a)·3x＋4＝0 有解，则实数 a 的
取值范围是________．
本
讲 栏
可采用换元法，令t＝3x，将问题转化为关于t
目 开
的方程有正解进行解决．
关
热点分类突破
解析 设 t＝3x，则原命题等价于关于 t 的方程
t2＋(4＋a)t＋4＝0 有正解，分离变量 a 得
化归与转化的数学思想解题举例
化归与转化的数学思想解题举例在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。
它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。
本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。
一、化归化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。
它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。
例子1：求解一元二次方程的解对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。
首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。
这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d 和e是和p相关的常数）。
接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。
由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。
最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p 相关的常数）。
求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。
通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。
二、转化转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。
它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。
例子2：求解无穷几何级数的和对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。
首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。
接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。
然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S = a / (1 - r)。
通过这样的转化，我们得到了无穷几何级数的和的数学表达式，简化了求解过程。
数学思想之转化与化归总结
数学思想之转化与化归总结在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。
通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。
转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。
下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。
首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。
它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。
等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。
一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。
在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。
其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。
代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。
代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。
代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。
几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。
几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。
几何转化不仅能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。
最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。
枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。
枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。
然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。
综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。
专题四转化与化归思想
则a≥ x ，x∈(0， ］恒成立.
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模拟训练
【点评】 本题主要考查转化思想和分类整合思想，分类讨论实 质上也是一种转化思想. 解法1 采用的是分类讨论的方法, 将比较复杂问题通过分类转化 为一些较简单的问题进行求解, 而每一分类中又将恒成立的问题又转 化为最值问题.
1 (0，］, 变为不等式一边为参数 , 另一边为含有x的代数式，a只要大 2 1 1 于或等于y= x ，x∈(0， ］的最大值就满足上式要求. x 2
消去x2得2 x12
2 1 x1 2 6m 1 0 ， m m
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模拟训练
2 1 ∴x1∈R，∴Δ= 8 2 6m 1>0, m m 1 ∴(2m+1)(6m2-2m+1)<0，∴m< . 2 1 即当m< 时，抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)对称. 2
x12 满足 2 x1 x 1
2 x2 x1 x 2 m 3 , 2 2 2 x2 1 . x2 m
2 x12 x 2 m( x1 x 2 6), ∴ 1 x x . 1 2 m
行转化, 使问题逐次达到规范化、模式化，直至问题的解决.
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模拟训练
1. 函数f (x)=cos2x-2 3 sinxcosx的最小正周期是__________.
π 【解析】 ∵f(x) =cos2x-2 3 sinxcosx=cos2x- 3 sin2x=-2sin 2x ,
祝您高考成功！
作文成绩
语文作文课上, 老师布置了一篇500字的作文。
下课铃响了, 一学生发现自己只写了250字, 灵机一动,在
数学思想方法——转化与化归思想方法的应用
、
）。
［ 析 】 形 结 合 ， 想 斜 率 或 两 点 的距 离 公 式 利 用 评 数 联 解 析几何 方法 求解 ， 法新 颖 ， 趣横 生 ， 有创 造性 。 方 妙 富
来 洪 臣
沈阳 １０ ７ １ １９）
（ 东北 育才 学校 ， 宁 辽
￣ ４， 化 归 的 思 想 ，就 是 在 研 究 和 解 决 数 学 问 题 －与 ｅ
时 采 用 某 种 方 式 ， 助 某 种 函 数 性 质 、 象 、 式 或 已 借 图 公 知条 件将 问题通 过 变换 加 以转化 ，进 而达 到解 决 问题 的 思 想 。等 价 转 化 总 是 将 抽 象 转 化 为 具 体 ， 杂 转 化 为 复 简单 、 知转 化 为 已知 ， 过 变换 迅 速 而合 理 的寻 找和 未 通 选 择 问题解 决 的途径 和 方法 。本文 就转 化 的方 式举 例
四 、 间 与平面 的转化 空
例 ４： 图 １ 在 直 三 棱 柱 ＡＢ 如 ， Ｃ—Ａ。 Ｃ Ｂ． 中 ， 面 为 底
直 角 三 角 形 ， ＡＣ ＝９ 。 ， ＝６， ＝Ｃ ＝ 、 ２ ， Ｂ ０ ＡＣ ＢＣ ＣＩ ／
、
一
Ｐ足 ＢＣ 上 一 动 点 ， Ｃ 则 Ｐ＋Ｐ 的最 小 值 是 — — 。 Ａ
、 ／３
图 １
图２
解 析 ： Ａ 沿 Ｂ ＡＣ Ｃ 展 开 与 Ａ。Ｃ 在 同一 连 Ｂ， Ｃ将 Ｂ Ｂ 个 平 面 内 ， 图 ２所 示 ， Ａ ｃ， Ａ。 如 连 则 Ｃ的 长度 就是 所 求 的 最 小值 ， 过 计 算 可得 Ａ Ｃ Ｃ＝９ ｙ 通 。 （ 。又 Ｂ Ｃ Ｃ＝４ ￣ ． ５
的 所 有 面 成 角 相 ￣ Ｈ－ １ ，，则 与 相 交 于 同 一 顶 点 的 三 个 相 互 垂 直 的平 面 所 成 角 相 等 ， 即 为 体 对 角 线 与 该 正 方 体
高中数学方法转化与化归思想
变式训练 4 设 g(x)＝px－qx－2f(x)，其中 f(x)＝ln x，且 g(e) ＝qe－pe－2(e 为自然对数的底数)．
(1)求 p 与 q 的关系；
(2)若 g(x)在其定义域内为增函数，求 p 的取值范围． 解 (1)由题意 g(x)＝px－qx－2ln x， ∴g(e)＝pe－qe－2， ∴pe－qe－2＝qe－pe－2， ∴(p－q)e＋(p－q)1e＝0， ∴(p－q)e＋1e＝0， 而 e＋1e≠0，∴p＝q.
由aa≤ 2＋21≥4 得aa≤ ≥2 3或a≤－ 3 ， ∴a≤－ 3或 3≤a≤2. 即 A∩B＝∅时，a 的取值范围为 a≤－ 3或 3≤a≤2. 而 A∩B≠∅时，a 的取值范围显然是其补集，从而所求范围 为{a|a>2 或－ 3<a< 3}．
三、抽象问题与具体问题的转化
例 3 已知等差数列{an}的公差 d≠0，且 a1、a3、a9 成等比
归纳拓展 本题的求解涉及两类题型和求解的方法：(1)求参 数的范围问题，方法是通过对函数单调性的研究，转化为不等 式的恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题求解．(2)研 究函数的零点问题，方法是通过研究函数在某区间有最大(或 最小)值 f(t)，而函数又在此区间有零点，则结合图形分析，可 得 f(t)≥0(或 f(t)≤0)．
变式训练 1 1e64 ，2e55 ，3e66 (其中 e 为自然常数)的大小关系是 _1e_64_＜__2_e5_5 _＜__3e_66_．
解析 由于1e64 ＝e442，2e55 ＝5e52，3e66 ＝e662，故可构造函数 f(x) ＝xe2x，于是 f(4)＝1e64 ，f(5)＝2e55 ，f(6)＝3e66 . 而 f′(x)＝exx2′＝ex·x2－x4 ex·2x＝ex(x2x－4 2x)，令 f′(x)＞0
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第2篇核心素养谋局思想方法导航第4讲转化与化归思想课件
(2)因 a1＝12，n∈N*，an＋1＝12＋anan，
则 a2＝12＋a1a1＝21× ＋1212＝23，a3＝12＋a2a2＝21× ＋2323＝45，a4＝12＋a3a3＝21× ＋4545＝89， a5＝12＋a4a4＝21× ＋8989＝1167， 显然有 a1＝202＋0 1，a2＝212＋1 1，a3＝222＋2 1，a4＝232＋3 1，a5＝242＋4 1，
(2)根据递推公式可写出 a2、a3、a4、a5 的值，由此可归纳出数列{an} 的通项公式，然后通过递推公式得出an1＋1－1＝12a1n－1，可知数列a1n－1 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列{an}的通项公式．
【解析】 (1)证明：假设 an＋1＝an，因 n∈N*，an＋1＝12＋anan，则12＋anan ＝an，解得 an＝0 或 an＝1，
应用3 正与反引起的转化
核 心 知 识·精 归 纳
正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对 立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形， 则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含 有“至多”“至少”情形的问题中．
典 例 研 析·悟 方 法
算求解．
【解析】 5 名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有 C15C13C24＝90 种安排方法，若甲乙在同一实验舱的种数有 C13C13C12＝18 种， 故甲乙不在同一实验舱的种数有 90－18＝72 种．故选 C.
(2) (2022·全国高三专题练习)8个点将半圆分成9段弧，以10个点(包
2023年新高考数学大一轮复习专题八思想方法第4讲转化与化归思想(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第4讲 转化与化归思想 思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．方法一 特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．例1 (1)(2020·青岛模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9B ．x 2＋y 2＝7 C ．x 2＋y 2＝5D ．x 2＋y 2＝4 答案 B 解析 因为椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12， 所以1a ＋1＝12，解得a ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 所以椭圆的上顶点A (0，3)，右顶点B (2,0)，所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝3，x ＝2，所以两条切线的交点坐标为(2，3)，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋32＝7，所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C等于( )A.45B.15C.35D.25 思路分析 求cos A ＋cos C 1＋cos A cos C→考虑正三角形ABC 的情况 答案 A 解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝12＋121＋12×12＝45. 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.方法二 命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化．例2 (1)由命题“存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2 思路分析 命题：存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0是假命题→任意x ∈R ，e |x －1|－m >0是真命题→m <e |x －1|恒成立→求m 的范围→求a答案 C解析 由命题“存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，e |x －1|－m >0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．思路分析 g x 在t ，3上总不为单调函数→先看g x 在t ，3上单调的条件→补集法求m 的取值范围答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1， 即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. 所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.方法三 函数、方程、不等式之间的转化函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y ＝f (x )的图象性质可以确定方程f (x )＝0，不等式f (x )>0和f (x )<0的解集．例3 (2020·全国Ⅱ)若2x －2y <3－x －3－y ，则( )A ．ln(y －x ＋1)>0B ．ln(y －x ＋1)<0C ．ln|x －y |>0D ．ln|x －y |<0 答案 A解析 ∵2x －2y <3－x －3－y ，∴2x －3－x <2y －3－y. ∵y ＝2x －3－x ＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上单调递增， ∴x <y ，∴y －x ＋1>1，∴ln(y －x ＋1)>ln1＝0.例4 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……) (1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． 思路分析 g x 的极值→ln x <x －1→赋值叠加证明结论(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)， ∴g ′(x )＝1x－1(x >0)． 令g ′(x )>0，解得0<x <1；令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)．取t ＝1n(n ∈N *)时， 则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×43×…×n ＋1n ＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． 借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值值域问题，从而求出参变量的范围.。
转化与化归的思想方法
式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并
在其余四个括号中均选择常数项2相乘得到，故为 C ·(3x)·C ·24=5×3×16x=240x，所以应选B.
思路2:利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再 进行计算：
∵x2＋3x＋2=x2＋(3x＋2)=(x2＋2)＋3x=(x2＋3x)＋2
例2：若 A. 圆
( x 3) 2 ( y 1) 2
－|x－y＋3|=0， ） C. 双曲线 D.抛物线
，
则点M(x,y)的轨迹是（ B. 椭圆
［解析］由原式可以变形为
( x 3) 2 ( y 1) 2 2 | x y 3| 2
即可以看作是动点（x,y)到点（－3,1）的距离与到定直线x－y＋ 3=0的距离的比为
(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2=(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)
=f(1)·f(－1)=(2＋ 3 )4(－2＋ 3 )4=1,所以选C.
［点评］ 本题巧妙地将二项式项的系数问题转化为函数问题， 关键是要看清(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的结构特点，可以分解因式， 而分解因式后与前面式子联系起来看，就不难转化为一个函数问 题了.
）
［分析］本题要求(x2＋3x＋2)5展开式中x的系数，而我们只学
习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x系数的
计算用两种思路进行转化. ［解析］思路 1 ：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解， 则(x2＋3x＋2)5展开式是一个关于x的10次多项式，(x2＋3x＋2)5 =(x2 ＋3x＋2) (x2＋3x＋2) (x2＋3x＋2) (x2＋3x＋2) (x2＋3x＋2)，它的展开
数学思想方法梳理(3)——化归与转化思想
数学思想方法梳理（3）——化归与转化思想解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化,是具有较高思维能力要求的压轴题中重点考查的数学思想方法。
1.求函数y ax =可以设t 则原函数转化为关于t 的二次函数 ；2.若lg y u =的定义域为R ，其中()u f x =，则问题等价于不等式 恒成立；若lg ()y f x =的值域为R ，则问题等价于函数()u f x =在(0,)+∞能 ；3.对于[,]x a b ∀∈，总有()()f x g x <等价于函数()h x = 在[,]a b 上的最大值小于零；对于1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈总有12()()f x g x <等价于max min [()],[()]f x g x 之间满足 ；4.对于12,[,]x x a b ∈，1122()()()()f x g x f x g x -<-等价于函数()()y f x g x =-在[,]a b 上 ；实数,m n 分别满足320am bm cm d +++=，320an bn cn d +++=，可构造()f x = 且()()0f m f n ==．5. 当遇到四个变量1122,,,x y x y ，满足11220,0ax by c ax by c ++=++=时，则1122(,),(,)x y x y 可以可视为直线 上的两个的不同点的坐标，该直线也就是过两定点1122(,),(,)x y x y 的直线； 当遇到两个变量,x y ，满足22,(0)x y m x y n n +=+=>，则可理解为 有公共点；6. ()()()()f x g x f x g x ''+是 的导数； ()()()()0f x g x f x g x ''->（0)(≠x g ）说明函数 在定义域的某个区间上单调增；()()0xg x g x '+<说明函数 在定义域内单调减；7.已知实数[,]k m n ∈， 若210kx kx ++≥恒成立，构造关于k 的一次函数()f k = ，问题等价于不等式 在[,]k m n ∈上恒成立；已知210ax bx ++=，其中[,]x m n ∈，欲求22a b +的最小值，可以视方程为直线:l ，22a b +的最小值就等价于坐标原点到直线l 的的距离d = 的平方的最小值；8.如图（1），A 、B 在直线L 的异侧，在直线L 上任取一点M ，M A M B AB +≥，当且仅当点M与M '重合时有MA MB AB ''+=，所以MA+MB 的最小值是 ．简单地说，就是“异侧和最小”；9.如图（2），A ，B 在直线L 的同侧，在直线L 上任取一点M ，AB MB MA ≤-，当且仅当点M 在AB 的延长线与L 的交点处时有MA MB AB ''-=，此时MA-MB 的最大值是 ．简单地说，就是“同侧差最大”【例1】已知曲线2(),()21a f x g x ax b x+==++.（1）若1,1a b ==为常数，点(,)x y 为直线()y g x =的最小值；（2）若,,0a b a ∈≠R ，关于x 的方程()()f x g x =在[3,5]【解析】（1的最小值，等价于原点到直线30x y -+=的距离d ==2； （2）方程整理得2(21)20ax b x a ++--=，即2220x a xb a x +--+=，以aOb 建立平面坐标系，的最小值 ，设()x ϕ=，其中[3,5]x ∈.2221()51252x t x x t t t t ϕ-====+++++,2t x =-， 设5()2h t t t =++，[1,3]t ∈，225()t h t t-'=，当()0h t '>3t ≤，函数()h t 单调增； 当()0h t '<，1t ≤<()h t 单调减。
高中数学中转化与化归思想方法
高中数学中转化与化归思想方法转化与化归思想是高中数学中非常重要的解题方法之一、它通过转化和化归问题的方式，将原问题转化为已知问题或相对简单的问题，从而更方便地解决问题。
接下来，我们将详细介绍转化与化归思想的基本原理、步骤和一些常见应用。
转化与化归思想的基本原理可以总结为两点：一是利用数学中的等价关系，将问题中的未知量或条件转化为已知量或更简单的条件；二是通过变量代换、形式转化等方式，改变问题的表达方式或结构，使其更适合我们已知的解题方法。
在具体解题过程中，我们可以按照以下步骤进行：1.通读题目，理解问题的要求和条件。
这一步非常重要，要确保我们对问题的内容和目标有清晰的理解。
2.找到问题中的关键信息和未知量。
这些信息和未知量通常会包含在问题的描述、条件或要求中，我们需要将其抽象出来并进行变量表示。
3.分析问题的性质和特点。
我们需要考虑问题的数学特征、结构和求解方法，以便选择合适的转化和化归方法。
4.进行变量代换或形式转化。
基于问题的性质和特点，我们可以选择合适的变量代换或形式转化方式，将问题转化为已知问题或者更简单的问题。
常用的方法包括平移到原点、找到对称性、消元法等。
5.解决转化后的问题。
一旦将问题转化为已知问题或相对简单的问题，我们可以利用已有的数学知识和解题方法来解决问题。
6.反向思考，回归原问题。
解决了转化后的问题后，我们需要反向思考，将解答归还给原问题，确保解答符合原有的要求和条件。
转化与化归思想在高中数学中的应用非常广泛。
1.几何问题。
几何问题中涉及的角、线段、面积等都可以进行变量代换和形式转化，从而简化计算和求解。
2.代数问题。
代数问题中的方程、不等式、函数等可以通过变量代换和形式转化来简化计算和解决问题。
3.概率问题。
概率问题中涉及到的事件、概率等可以通过变量代换和形式转化来简化计算和求解。
4.数列问题。
数列问题中的数列、通项公式等可以通过变量代换和形式转化来简化计算和求解。
总之，转化与化归思想在高中数学中是一种非常重要的解题方法。
浅谈转化与化归的数学思想方法在高考数学中的应用
浅谈转化与化归的数学思想方法在高考数学中的应用解题的过程实际就是转化的过程。
应用化归与转化的思想，运用数学变换的方法去灵活地解决有关的数学问题，是提高思维能力的有效保证。
标签：转化与化归高考数学应用化归与转化的思想就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的数学思想。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际就是转化的过程。
数学中的转化比比皆是，常用的化归与转化方法有等价变换、数形结合法、函数与方程的思想、换元法、反证法、特殊值法等。
如：未知向已知的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化等，都是转化思想的体现。
下面结合例题谈一谈如何实现数学问题的转化。
1 利用等价转化的思想来实现转化在数学中存在许许多多具有等价性的问题，“恒等变形”是解题的最基本的方法，如解方程和不等式的过程本身就是一个等价转化的过程。
例1、（2003年全国高考）已知c＞0。
设P函数y=cx在R上单调递减。
Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R。
如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围。
分析：“P和Q有且仅有一个正确”等价于“P正确且Q不正确”或“P不正确且Q正确”，所以应先求出P和Q分别正确时的解集，再用集合间的关系来运算。
解：∵P：函数y=cx在R上单调递减?圳01的解集为R?圳函数y=f(x)=x+|x-2c|在R上恒大于1。
∴函数y=f(x)=x+|x-2c|在R上的最小值为2c。
∴不等式x+|x-2c|>1的解集为R?圳2c>1?圳c>■。
∴如果P正确且Q不正确，则00），则原方程可转化为求含绝对值的二次方程的解。
解：令t=2x，（t>0），原方程可化为：t2+|1-t|=11①当t≥1（即x≥0）时，方程可化为：t2+t-1=11?圳t2+t-12=0解之得：t=3，或t=-4（不舍题意，舍去）∴2x=3?圳x=log23②当01或t=■-■P1(B)P3>P2=P1 (C)P3>P2>P1(D)P3=P2=P1分析：由射影面积公式（S射=S斜cosα）可知：S射与斜面和水平面所成角α有关与斜面内图形形状及图形放置无关。
转化与化归思想方法
转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.1.转化与化归的原则1熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验来解决.2简单化原则：将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.3直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.4正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问题获解.2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有：1直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.2换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.3数形结合法：研究原问题中数量关系解析式与空间形式图形关系,通过互相变换获得转化途径.4等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的.5特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化,这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现.新的教学体制的出现,化归与转化的思想将是贯穿整个中学教学的一种主要的思想,所以在教学过程中要把这种思想溶入进去,让学生体会个中的精髓.关健词化归；转化；分析；联想１.化归与转化解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题相对来说,对自己较熟悉的问题,通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.化归与转化思想的核心,是以可变的观点对所要解决的问题进行变形,就是在解决数学问题时,不是对问题进行直接进攻,而是采取迂回的战术,通过变形把要解决的问题,化归为某个已经解决的问题.从而求得原问题的解决.它的基本形式有：化未知为已知,化难为易,化繁为简,化曲为直等等.化归与转化的思想也不是随时能用,或随便用的,它需要遵循一定的原则,从而达到转化的正确性,实现这种思想的作用.下面我就来谈谈我对这种方法的理解.２．化归与转化的原则化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.转化有等价转化和非等价转化,等价转化的作用就不用说,而不等价转换,如果没明确的附加条件,那就失去它的价值了.所以化归与转化就需要遵循一定的原则:2.1熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.除了及少数的原始知识外,整个中学的数学知识的学习就是在实现转化为旧的知识而得到的.例如:学二元一次方程就用化元法转化为一元一次方程;学一元二次方程用降幂法转化为一元一次方程;函数与方程之间的转化等等.2.2简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.这个原则大部分学生都知道,他们都会想把问题简单化,达到求解的过程.这个原则可以在无以记数的数学简便方法中体现出来.2.3和谐化原则：化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.也就是说整个转化的过程中,要符合思维规律,虽然思维可以多样化,可以无以为边的想象,但也要能被人接受并能理解.体现出现在国家倡导的和谐社会.2.4直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.这个主要在函数与图象的联系中体现出来.把某些枯燥乏味的代数问题转化为图形来解决,能直观的解决问题.2.5正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解.反证法的应用把这个原则表现的淋漓尽致,学生能理解到其中的精髓可是可以受用无穷的,包括在生活中的应用.2.6 现实化原则:所学所用所理解的道理要用于社会实践,同时要满足社会人才的需求.3．化归与转化的方法化归与转化的方法,在千变万化的题目中,方法也各不相同,也无以统计,这里就只讲解几中常用,学生也容易理解的.3.1 直接转化法:直接把新的知识转化为前续知识.这个在讲解新课的时候,尽量让学生去体会,让他们能自己解决新的问题,获取新的知识,接着把新的知识吸收,继续解决新的问题.3.2 构造法:这个是个重要的方法,有不少题目,不能直接解决和转化,缺少了媒介,让不少学生无从下手,这时就需要构造一个数学情境,建立一个数学模型,把问题溶入进去,使问题简单化,直观化,从而达到求解的过程.3.3 数与形的转化:这个主要用于函数问题的解答和某些图型中的某些量的关系.数形结合是数学学习的一种重要的思想.3.4 换元法:这个重要是把一些繁杂的,但又有重复性的题目简单化,更直观.这个主要用于方程的解答.3.5 相等与不相等之间的转化:这个主要用与不等式的证明和函数区间.3.6 实际问题与数学理论的转化:理论联系实际的一种方法.也是学生情感方面的培养.3.7 特殊与一般之间的转化:公式法解一元二次方程就是把特殊的一般化了.同时也可以说把具体的抽象化了.3.8 数学各分支之间的转化:数学本来就是一个连贯的整体,把各分支有机的联系起来,让人感到它的魄力.同时也能解决数学以外的我问题.5 总结提炼数学新课标要求学生不仅要学会知识,还要能用所学的知识解决新问题,并能总结归纳,化为新的知识并接受,这样才能满足社会人才的需求.化归与转化就是将待解决或未解决的问题,通过转化归结为一个已经能解决的问题,或者归结为一个比较容易解决的问题,或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题,最终求得原问题的解决.懂得化归和转化的基本方向是简单化、熟悉化、和谐化.化归和转化需要广泛和灵活的联想,联想的基础是扎实的基础知识、基本技能和基本方法.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系.为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以从几何的角度去解决问题.。
转化与化归的数学思想
转化与化归的数学思想一、转化与化归思想的含义化归指的是转化与归结．简单的化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想．即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的这种解决问题的思想，称为化归思想．化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程．数学中的转化比比皆是，比如将未知向已知转化；复杂问题向简单问题转化；命题间的转化；数与形的转化；空间向平面的转化；高次向低次的转化；多元向少元的转化；无限向有限的转化等都是化归思想的体现．化归思维模式：问题→新问题→解决新问题→解决原问题.化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
二、化归思想的解题途径1、一般与特殊的转化21(0)11,2.243y ax a F P Q PF FQ p q p q A a B a C a D a =>+例 过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于、两点，若线段、的长分别为、则的值为（ ）2.具体与抽象的转化.把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径,它是对抽象问题的理解和再认识,在抽象.例2、设函数 的定义域为D ，若所有点 构成一个正方形区域，则a 的值为A ．-2B ．-4C ．-8D ．不能确定3. 正面与反面的转化在处理某一问题时，按习惯思维从正面思考比较困难，这时用逆向思维的方式从反面去考虑，往往使问题变得比较简单。
转化与化归思想
3．直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决． 4．正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面， 设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的 可能性． 总之，化归与转化是高中数学的一种重要思想方法，掌 握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素、原 则对我们学习数学是非常有帮助的．
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等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们 在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似 乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解 决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组) 来求解，则显得非常简捷有效.
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正向与逆向的转化
[例3] 某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中 目标1次的概率为 ________．
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2．转化与化归的常见方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂 等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基 本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形 式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题， 以达到化归的目的．
同一区间，故a＝1.
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“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转 化”等，应用时还应遵循以下四条原则：
1．熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识 和经验来解答问题． 2．简单化原则 将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决， 达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
高中数学-化归与转化思想
一、 考点回顾化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。
转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。
化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。
转化有等价转化与不等价转化。
等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。
应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。
常见的转化有： 1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。
2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。
3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。
4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。
5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。
6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。
7、函数与方程的转化 二、经典例题剖析例1、设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决；（Ⅱ）要证当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+，可转化为证1x >时2ln 2ln 10x x a x -+->，亦即转化为1x >时()0f x >恒成立；因(1)0f =，于是可转化为证明()(1)f x f >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，这由（Ⅰ）易知。
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• [评析] 1.在运用补集的思想解题时，一 定要搞清结论的反面是什么，“所有弦都 不能被直线y＝m(x－3)垂直平分”的反面 是“至少存在一条弦能被直线y＝m(x－3) 垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直 线y＝m(x－3)垂直平分”．
[评析] 本题如果从已知条件 a23＝a1·a9⇒(a1＋2d)2＝ a1(a1＋8d)，解得 a1 与 d 的关系后，代入所求式子： aa21＋＋aa43＋＋aa190＝a1a＋1＋d＋a1＋a12＋d3＋d＋a1＋a18＋d9d，也能求解，但 计算较繁锁，易错．因此，把抽象数列转化为具体的简单 的数列进行分析，可以很快得到答案．
(1)若 a2＋b2＝1，可设 a＝cosα，b＝sinα； (2)若 a2＋b2≤1，可设 a＝rcosα，b＝rsinα(0≤r≤1)； (3)对于 1－x2，∵|x|≤1，由|cosθ|≤1 或|sinθ|≤1 知， 可设 x＝cosθ 或 x＝sinθ.
• [例3] 试求常数m的范围，使曲线y＝x2的 所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平 分．
[解析] 设 t＝sinx＋cosx， 则 t＝ 2sinx＋π4，t∈[－ 2， 2]， 而 sinxcosx＝21[(sinx＋cosx)2－1]＝12(t2－1)， 于是 y＝f(t)＝a2－a(sinx＋cosx)＋sinxcosx ＝a2－at＋12(t2－1)＝12t2－at＋a2－12
• [解析] 由题意得A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B ＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先考虑当A∩B＝∅时 a的取值范围．如图：
4.空间问题转化为平面问题
例5.如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其
轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁
位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒
练习1 抛物线y ax2 (a 0)的焦点F，作一直线交抛 物线于P，Q两点.若线段PF与FQ的长度分别为 p,q,则 1 1 ( )
pq
A.2a
B.1/(2a) C.4a D.4/a
• [例2] 已知a∈R，求函数y＝(a－sinx)(a －cosx)的最小值．
• [分析] y＝(a－sinx)(a－cosx)＝a2－ a(sinx＋cosx)＋sinxcosx.而sinx＋cosx与 sinxcosx有联系，可设t＝sinx＋cosx，则 原来的问题可转化为二次函数在闭区间上 的最值问题．
• 化归是转化与归结的简称，其基本内涵是：人 们在解决数学问题时，常常将待解决的问题A， 通过某种转化手段，归结为另一问题B，而问题 B是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的 问题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的 解．用框图可直观地表示为：
• 2．化归的原则 • (1)抽象问题与具体问题化归； • (2)一般问题与特殊问题化归； • (3)正向思维与逆向思维化归； • (4)命题与等价命题化归．
• 2．在探讨某一问题的解决办法时，如果 我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到 困难，则应从反面的方向去探索．
• (2011·江苏启东5月)已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋ 1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝{y|y2－6y＋8≤0}，若 A∩B≠∅，则实数a的取值范围为________．
[答案] {a|a≥2 或－ 3≤a≤ 3}
评注：研究立体问题常常以平面为基准，把立体问题 转化为平面问题，把曲线问题转化为直线问题，这是 解决问题的转化与化归思想。
转化思想方法包含三个基本要素： 1.把什么东西转化,即转化的对象； 2.转化到何处去,即转化的目标； 3.如何进行转化,即转化的方法. 转化思想方法应遵循以下五条原则： 1.熟悉化原则:将陌生等问题转化成熟悉的问题,以利
1.函数 f(x)＝－4log28x·log24x 在区间18，4上的最大值 等于( )
A．－24
B．16
C．25
D．24
[答案] C
[解析] 设 log2x＝t，则 t∈[－3,2]， 故函数 f(x)可转化为 y＝g(t)＝－4(t－3)(t＋2) ＝－4t2＋4t＋24＝－4(t－12)2＋25， 因为 t∈[－3,2]，所以当 t＝12时，函数 g(t)取得最大 值为 25.故选 C.
4.直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的 问题来解决.
5.正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,应想到 考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,是问题 9y 1,则2x1 3y1
的取值范围是
令X 2x 0,Y 3y 0 则4x 9y 1 X 2 Y 2 1, X 0,Y 0
令X cos ,Y sin , (0, )
2
2x1 3y1 2 X 3Y 2cos 3sin
[评析] 代数问题三角化，往往可充分利用三角函数 的特有性质，使较为复杂的问题得以简化，从而获得解 答．一般地，当条件能转化成如下形式时，就可以考虑三 角代换：
[例 1] (临沂检测)已知等差数列{an}的公差 d≠0，且 a1、 a3、a9 成等比数列，则aa21＋＋aa43＋＋aa190的值是________
[分析] 利用满足条件的具体数列代入求值．
[答案]
13 16
[解析] 由题意知，只要满足 a1、a3、a9 成等比数列 的条件，{an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关 系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可 选取数列 an＝n(n∈N*)，则aa21＋＋aa43＋＋aa190＝21＋＋43＋＋190＝1136.
所需经过的最短路程为__ _ ．
DD
CC
P
PP
D
C
AA
BB
分析：研究最短距离，需要把立体图展为平面图，由 两点间的线段最短，求线段的长。
A
B
解：把圆柱侧面展开，并把里面也展开，如图所示，
则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为展开图中
的线段 AP 则 AB , BP 3, AP 2 9
答案： 2 9
于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决. 2.简单化原则:将复杂问题转化成简单问题,通过对简
单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某 种解题的启示和依据.
3.和谐化原则:转化问题的条件或结论,使其表现形式 更符合数与形内部所表示和谐统一的形式,或者转化 命题,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们 的思维规律.
高中数学中的转化与化归
• 理解转化与化归是高中数学的重要思想方 法，会运用转化与化归思想解决问题．
• 数学问题的解答离不开转化与化归．它既 是一种数学思想又是一种数学能力．高考 对这种思想方法的考查所占比重很大，是 历年高考考查的重点．诸如常量与变量的 转化、数与形的转化、实际问题向数学模 型的转化、以及数学各分支之间的转化都 是高考的热点问题．特别是实施新课标之 后，高考考题不再向数学知识的纵深发展， 而是以基础知识为出发点，转化与化归思 想在解决问题中起到了更大的作用．
＝12(t－a)2＋12a2－12. 原问题转化为求二次函数 f(t)＝12(t－a)2＋12a2－12在 t ∈[－ 2， 2]上的最值问题． (1)当－ 2≤a≤ 2，t＝a 时， f(t)min＝12a2－12；
(2)当 a> 2时，f(t)在[－ 2， 2]上单调递减， f(t)min＝f( 2)＝a2－ 2a＋12； (3)当 a<－ 2时，f(x)在[－ 2， 2]上单调递增， f(t)min＝f(－ 2)＝a2＋ 2a＋12.