转化和化归_数学思想方法

[评析] 本题如果从已知条件 a23＝a1·a9⇒(a1＋2d)2＝ a1(a1＋8d)，解得 a1 与 d 的关系后，代入所求式子： aa21＋＋aa43＋＋aa190＝a1a＋1＋d＋a1＋a12＋d3＋d＋a1＋a18＋d9d，也能求解，但 计算较繁锁，易错．因此，把抽象数列转化为具体的简单 的数列进行分析，可以很快得到答案．
评注：研究立体问题常常以平面为基准，把立体问题 转化为平面问题，把曲线问题转化为直线问题，这是 解决问题的转化与化归思想。
转化思想方法包含三个基本要素： 1.把什么东西转化,即转化的对象； 2.转化到何处去,即转化的目标； 3.如何进行转化,即转化的方法. 转化思想方法应遵循以下五条原则： 1.熟悉化原则:将陌生等问题转化成熟悉的问题,以利
1.函数 f(x)＝－4log28x·log24x 在区间18，4上的最大值 等于( )
A．－24
B．16
C．25
D．24
[答案] C
[解析] 设 log2x＝t，则 t∈[－3,2]， 故函数 f(x)可转化为 y＝g(t)＝－4(t－3)(t＋2) ＝－4t2＋4t＋24＝－4(t－12)2＋25， 因为 t∈[－3,2]，所以当 t＝12时，函数 g(t)取得最大 值为 25.故选 C.
(1)若 a2＋b2＝1，可设 a＝cosα，b＝sinα； (2)若 a2＋b2≤1，可设 a＝rcosα，b＝rsinα(0≤r≤1)； (3)对于 1－x2，∵|x|≤1，由|cosθ|≤1 或|sinθ|≤1 知， 可设 x＝cosθ 或 x＝sinθ.
• [例3] 试求常数m的范围，使曲线y＝x2的 所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平 分．
高中数学中的转化与化归
• 理解转化与化归是高中数学的重要思想方 法，会运用转化与化归思想解决问题．
• 数学问题的解答离不开转化与化归．它既 是一种数学思想又是一种数学能力．高考 对这种思想方法的考查所占比重很大，是 历年高考考查的重点．诸如常量与变量的 转化、数与形的转化、实际问题向数学模 型的转化、以及数学各分支之间的转化都 是高考的热点问题．特别是实施新课标之 后，高考考题不再向数学知识的纵深发展， 而是以基础知识为出发点，转化与化归思 想在解决问题中起到了更大的作用．
• [解析] 由题意得A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B ＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先考虑当A∩B＝∅时 a的取值范围．如图：
4.空间问题转化为平面问题
例5.如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其
轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁
位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒
[例 1] (临沂检测)已知等差数列{an}的公差 d≠0，且 a1、 a3、a9 成等比数列，则aa21＋＋aa43＋＋aa190的值是________
[分析] 利用满足条件的具体数列代入求值．
[答案]
13 16
[解析] 由题意知，只要满足 a1、a3、a9 成等比数列 的条件，{an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关 系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可 选取数列 an＝n(n∈N*)，则aa21＋＋aa43＋＋aa190＝21＋＋43＋＋190＝1136.
• 化归是转化与归结的简称，其基本内涵是：人 们在解决数学问题时，常常将待解决的问题A， 通过某种转化手段，归结为另一问题B，而问题 B是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的 问题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的 解．用框图可直观地表示为：
• 2．化归的原则 • (1)抽象问题与具体问题化归； • (2)一般问题与特殊问题化归； • (3)正向思维与逆向思维化归； • (4)命题与等价命题化归．
练习1 抛物线y ax2 (a 0)的焦点F，作一直线交抛 物线于P，Q两点.若线段PF与FQ的长度分别为 p,q,则 1 1 ( )
pq
A.2a
B.1/(2a) C.4a D.4/a
• [例2] 已知a∈R，求函数y＝(a－sinx)(a －cosx)的最小值．
• [分析] y＝(a－sinx)(a－cosx)＝a2－ a(sinx＋cosx)＋sinxcosx.而sinx＋cosx与 sinxcosx有联系，可设t＝sinx＋cosx，则 原来的问题可转化为二次函数在闭区间上 的最值问题．
• 2．在探讨某一问题的解决办法时，如果 我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到 困难，则应从反面的方向去探索．
• (2011·江苏启东5月)已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋ 1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝{y|y2－6y＋8≤0}，若 A∩B≠∅，则实数a的取值范围为__பைடு நூலகம்_____．
[答案] {a|a≥2 或－ 3≤a≤ 3}
所需经过的最短路程为__ _ ．
DD
CC
P
PP
D
C
AA
BB
分析：研究最短距离，需要把立体图展为平面图，由 两点间的线段最短，求线段的长。
A
B
解：把圆柱侧面展开，并把里面也展开，如图所示，
则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为展开图中
的线段 AP 则 AB , BP 3, AP 2 9
答案： 2 9
＝12(t－a)2＋12a2－12. 原问题转化为求二次函数 f(t)＝12(t－a)2＋12a2－12在 t ∈[－ 2， 2]上的最值问题． (1)当－ 2≤a≤ 2，t＝a 时， f(t)min＝12a2－12；
(2)当 a> 2时，f(t)在[－ 2， 2]上单调递减， f(t)min＝f( 2)＝a2－ 2a＋12； (3)当 a<－ 2时，f(x)在[－ 2， 2]上单调递增， f(t)min＝f(－ 2)＝a2＋ 2a＋12.
2 已知实数x, y满足4x 9y 1,则2x1 3y1
的取值范围是
令X 2x 0,Y 3y 0 则4x 9y 1 X 2 Y 2 1, X 0,Y 0
令X cos ,Y sin , (0, )
2
2x1 3y1 2 X 3Y 2cos 3sin
[评析] 代数问题三角化，往往可充分利用三角函数 的特有性质，使较为复杂的问题得以简化，从而获得解 答．一般地，当条件能转化成如下形式时，就可以考虑三 角代换：
[解析] 设 t＝sinx＋cosx， 则 t＝ 2sinx＋π4，t∈[－ 2， 2]， 而 sinxcosx＝21[(sinx＋cosx)2－1]＝12(t2－1)， 于是 y＝f(t)＝a2－a(sinx＋cosx)＋sinxcosx ＝a2－at＋12(t2－1)＝12t2－at＋a2－12
于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决. 2.简单化原则:将复杂问题转化成简单问题,通过对简
单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某 种解题的启示和依据.
3.和谐化原则:转化问题的条件或结论,使其表现形式 更符合数与形内部所表示和谐统一的形式,或者转化 命题,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们 的思维规律.
• [分析] 正面解决较难，考虑到“不能” 的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的 两端点关于此直线对称，于是问题转化为 “抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝ m·(x－3)对称，求m的取值范围”，再求 出m的取值集合的补集即为原问题的解．
• [评析] 1.在运用补集的思想解题时，一 定要搞清结论的反面是什么，“所有弦都 不能被直线y＝m(x－3)垂直平分”的反面 是“至少存在一条弦能被直线y＝m(x－3) 垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直 线y＝m(x－3)垂直平分”．
4.直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的 问题来解决.
5.正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,应想到 考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,是问题 获得解决，或证明问题的可能性.