人教版高中数学新教材必修第一册课件 弧度制
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5.1.2 弧度制-(新教材人教版必修第一册)(41张PPT)
心角
任意角的弧度 正角的弧度数是一个_正__数__，负角的弧度数是一
数与实数的对 个_负__数__，零角的弧度数是__0_
应关系
计算公式
如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l， l
那么，角 α 的弧度数的绝对值是|α|＝__r_
2．角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的换算
(2)一些特殊角与弧度制的对应关系
集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z
中的角所表示的范围(阴影部
分)是( C )
类型三：弧长公式与扇形面积公式的应用
典例示范
探究题 1 若扇形的中心角为 120°，半径为 3，则此扇形的面 积是多少？
解：因为 120°＝23π，所以由扇形的面积公式可得此扇形的面积 是 S＝12αR2＝12×23π×3＝π.
数学（人教版）
必修第一册
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
第一 阶段
பைடு நூலகம்课前自学质疑
必备知识 深化预习
1．弧度制的定义
角度制
①定义：用_度__作为单位来度量角的单位制． 1
②1 度的角：周角的__3_6_0___作为一个单位
①定义：以_弧__度__作为单位来度量角的单位制．
弧度制 ②1 弧度的角：长度等于_半__径__长__的圆弧所对的圆
课堂检测 基础达标
1．已知扇形的周长为 4，面积为 1，则该扇形的圆心角是( )
A．1
B．2
C．π2
D．π
B 解析：设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 l＋2r＝4，①
S＝21lr＝1，即 lr＝2，②
得 r＝1，l＝2，则扇形圆心角的弧度数为rl＝21＝2.故选 B.
5.1.2弧度制课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
1. 多选下列说法正确的是 ABC
A. "度"与"弧度"是度量角的两种不同的度量单位
B. 1° 的角是周角的 1 ,1 rad的角是周角的 1
360
2
C. 1 rad的角比1° 的角要大
D. 用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
Байду номын сангаас
2．教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校 订的过程中，时针需要旋转多少弧度?（ A ）
也就是说，这个比值随圆心角的确定而唯一确定。 所以我们可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角
1、弧度的概念 我们规定，长度等于半径长的弧所对的圆心角
叫做1弧度(radian)的角，记作:“1rad ”
这种以弧度为单位度量角的单位制，称作“弧度制”。
根据上述规定：在半径为r的圆中，弧长为l 的弧所
对的圆心角为α rad，那么有：
°
600°.
经典例题
题型二 用弧度制表示终边相同的角
例2.用弧度制表示与 1740°终边相同的角的集合．
解：因为 1740° 5 360° 60°，
与-1740° 终边相同的角可表示为60° k 360° , k Z，
与-1740° 终边相同的角用
弧度制表示为
|
3
2k
,k
Z .
经典例题
弧度数等于这个实数的角)与它对应
例 1 将下列角度与弧度进行互化．
(1)780°；(2)67.5°；(3) 7 ；(4) 10 .
3
3
解：1 780° 780 13 .
180 3
2 67.5° 67.5 3 .
180 8
3 7
3
高中数学人教A版必修第一册第五章《弧度制》课件
360 2 180
1 0.01745rad n ___ rad
180
1. 角度与弧度之间的转换：
(1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1 0.01745rad
n
n _1_8_0 rad
180
1. 角度与弧度之间的转换：
例1. (1) 60化为弧度是_______
1. 角度与弧度之间的转换：
角度制的度量是60进制的。
角度制
角可以用“ 度 ”作为单位进行度量。这种用 度作为单位来度量角的单位制叫角度制。
角度制的度量是60进制的。
有没有一种办法将线段和弧的度量统一起来， 简化计算呢？
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
弧
度0 6
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0。 30。 45。 60。
90。 120。 135。 150。 180。 270。 360。
弧
度0 6 4
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0。 30。 45。 60。
90。 120。 135。 150。 180。 270。 360。
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1 0.01745rad
180
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
1 0.01745rad n ___ rad
180
1. 角度与弧度之间的转换：
(1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1 0.01745rad
n
n _1_8_0 rad
180
1. 角度与弧度之间的转换：
例1. (1) 60化为弧度是_______
1. 角度与弧度之间的转换：
角度制的度量是60进制的。
角度制
角可以用“ 度 ”作为单位进行度量。这种用 度作为单位来度量角的单位制叫角度制。
角度制的度量是60进制的。
有没有一种办法将线段和弧的度量统一起来， 简化计算呢？
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
弧
度0 6
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0。 30。 45。 60。
90。 120。 135。 150。 180。 270。 360。
弧
度0 6 4
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0。 30。 45。 60。
90。 120。 135。 150。 180。 270。 360。
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1 0.01745rad
180
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
人教版高中数学必修第一册5.1任意角和弧度制 课时2 弧度制【课件】
培养直观想象、数学运算等素养
情境导学
如图,在美丽的蠡湖边上,竖立着一座雄伟的摩天轮.当摩天轮不断地旋转时,摩天
轮上点P会周而复始运动,点P的位置与摩天轮的半径以及转过的角度有关.我们知道
的角度的度量单位是什么,是多少进制的,表示长度的实数是多少进制的.角度与弧长
都可以描述点P的位置,但他们的进制不一致,会造成研究的困难,你觉得可以怎样解
决?
初探新知
【活动1】探究圆心角、所对弧长与半径之间的关系
【问题1】角度制可以度量角，比如图1中角B，角B1，角B2都是45°，
45°的角与所在三角形的大小无关，只与角的大小有关，所以角度制可以
度量角．类似地，我们能在扇形中找出这样实数，只与角的大小有关，而
与扇形的大小(指半径大小)无关吗？
【问题2】仿照相似三角形对应边成比例，我们看相似的扇形中类
弧度制表示任意角
借助圆心角与对应弧长的关系,理解弧度制
的本质,培养数学抽象、直观想象等素养
了解弧度制与角度制之间的联系,掌
握弧度制与角度制互化的方法
Hale Waihona Puke 在理解和运用弧度制与角度制的换算公式
的过程中,培养数学抽象、数学运算等素养
掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积 在弧长公式和扇形面积公式的应用过程中,
公式,学会其应用
积最大?
思路点拨
(1) 利用弧长公式和面积公式计算即可.
(2) 根据扇形的面积公式,结合一元二次函数的性质即可得到结论.
【解】(1) 由公式|α|＝ ，且α＝30°＝ ，则l＝10× ＝
(cm).
(2)由已知得l＋2R＝20，则l＝20－2R，所以S＝ lR＝ (20－2R)R＝10R－R2＝－(R
情境导学
如图,在美丽的蠡湖边上,竖立着一座雄伟的摩天轮.当摩天轮不断地旋转时,摩天
轮上点P会周而复始运动,点P的位置与摩天轮的半径以及转过的角度有关.我们知道
的角度的度量单位是什么,是多少进制的,表示长度的实数是多少进制的.角度与弧长
都可以描述点P的位置,但他们的进制不一致,会造成研究的困难,你觉得可以怎样解
决?
初探新知
【活动1】探究圆心角、所对弧长与半径之间的关系
【问题1】角度制可以度量角，比如图1中角B，角B1，角B2都是45°，
45°的角与所在三角形的大小无关，只与角的大小有关，所以角度制可以
度量角．类似地，我们能在扇形中找出这样实数，只与角的大小有关，而
与扇形的大小(指半径大小)无关吗？
【问题2】仿照相似三角形对应边成比例，我们看相似的扇形中类
弧度制表示任意角
借助圆心角与对应弧长的关系,理解弧度制
的本质,培养数学抽象、直观想象等素养
了解弧度制与角度制之间的联系,掌
握弧度制与角度制互化的方法
Hale Waihona Puke 在理解和运用弧度制与角度制的换算公式
的过程中,培养数学抽象、数学运算等素养
掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积 在弧长公式和扇形面积公式的应用过程中,
公式,学会其应用
积最大?
思路点拨
(1) 利用弧长公式和面积公式计算即可.
(2) 根据扇形的面积公式,结合一元二次函数的性质即可得到结论.
【解】(1) 由公式|α|＝ ，且α＝30°＝ ，则l＝10× ＝
(cm).
(2)由已知得l＋2R＝20，则l＝20－2R，所以S＝ lR＝ (20－2R)R＝10R－R2＝－(R
高中数学必修一(人教版)《5.1.2 弧度制》课件
≤ 2
2α00·α4＋4＝25，当且仅当 α＝α4，即 α＝2 时取等号，此时 r＝22＋02＝5.
故当半径为 5 cm，圆心角为 2 rad 时，扇形面积最大，其最大值为 25 cm2.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．在平面直角坐标系中，集合 S＝αα＝2k3π，k∈Z
的元素所表示的角的终
2.弧度数：
[微思考] 比值rl与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半 径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算：
4．角度制与弧度制的比较：
用度作为单位来度 单位“°”不能 角的正负与
角度制
量角的单位制 省略
方向有关
六十进制
用弧度作为单位来 单位“rad”可以 角的正负与
【对点练清】
1．终边落在坐标轴上的角的集合是
A．{α|α＝2kπ，k∈Z }
B．αα＝12kπ，k∈Z
()
C．αα＝kπ＋π2，k∈Z
D．αα＝12kπ，k∈N
解析：终边落在坐标轴上的角用“角度”表示为{α|α＝90°·k，k∈Z }，化成
弧度为αα＝12kπ，k∈Z
.
答案：B
2. 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)， 并判断2 012°是不是这个集合的元素． 解：因为 150°＝56π， 所以终边在阴影区域内角的集合为
() B．－130π 化成度是－600° D．1π2化成度是 15°
解析：对于 A,60°＝60×1π80＝π3；对于 B，－103π＝－130×180°＝－600°；对于 C， －150°＝－150×1π80＝－56π；对于 D，1π2＝112×180°＝15°.故 C 项错误． 答案：C
高中数学人教A版 必修第一册 弧度制 课件
4
3
6
6
2.将下列各角化成0到2的角加上2k (k Z )
的形式 :
(1) 19 ;(2) 315o;(3) 23 ;(4) 1500o
3
6
(5) 18 ;(6)672o.
7
角的集合与实数集合之间的对应关系： （1）每一个角都有唯一的一个实数与它对应；
（2）每一个实数也都有唯一的一个角与它对应。
900 + k360°
y
1800 + k360°
o
或3600＋ k360°
x
00 + k360°
2700 + k360°
复习回顾
1、初中几何研究过角的度量，1°的角是如何定义？角 度制呢？
答 : 规定把周角的 1 作为1度的角;而把用度做单位 360
来度量角的制度叫做角度制.
2.角度的换算进制?
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位 的角相加、相减时，由于运算进率非十进制， 总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选 择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算 与常规的十进制加减法一样去做呢？
弧 度
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
例4 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
4
4
2
（2）∵ 57.30 1.5 85.95 8557
∴ tan1.5 tan8557 14.12
练习
1.计算 : (1) sin ;(2) sin ;(3) cos ;(4) tan
180
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：5.1.2 弧度制
＝－(r－52)2＋245(0<r<5).
当 r＝52时，S 取得最大值245， 这时 l＝10－2×52＝5， ∴θ＝5r＝55＝2 rad.
2
一、素养落地 1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算素养. 2.本节课主要讲述角度制与弧度制的互化和利用弧长公式、面积公式解决有关计算
【训练3】 已知扇形AOB的周长为10 cm. (1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.
当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S转化为关于半径r的二次函数.
解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S， l＋2r＝10，①
解 (1)2 010°＝2 010×1π80＝676π＝5×2π＋76π， 又 π<76π<32π， ∴(2)α与与α76π终终边边相相同同的，角是可第以三写象成限γ的＝角76π.＋2kπ(k∈Z)， 又－5π≤γ<0，
∴当 k＝－3 时，γ＝－269π； 当 k＝－2 时，γ＝－167π； 当 k＝－1 时，γ＝－56π.
人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离 分成100份，每一份为1华氏度，记作“1 ”.按照华氏温标，则水的冰点为32
，沸点为212 .“华氏温标”是经验温标之一.在美国的日常生活中，多采用这 种温标.规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为 180等份，每等份代表1度.华氏温度用字母“F”表示. 摄氏温度(℃)和华氏温度( )之间的换算关系为： 华氏度与摄氏度的进率：华氏度( )＝32＋摄氏度(℃)×1.8，摄氏度(℃)＝(华氏 度( )－32)÷1.8.
弧度制课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
【2】把下列弧度化成角度.
【解】
5.1.2
弧度制
研探新知
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
210°
270°
360°
弧度
角度
弧度
5.1.2 弧度制
【3】用弧度表示：
（1）终边在x轴上的角的集合
（2）终边在y轴上的角的集合
【解】
5.1.2
弧度制
研探新知
若用R表示圆的半径，α (0＜α＜2π)为圆心角，l 是扇形弧长，
如何换算？
360 2π rad
180 π rad
π
1
rad
180
180
1 rad
57.30
π
5.1.2
弧度制
研探新知
两边同除以180
两边同除以π
弧度数=角度数×
rad
角度数=弧度数×(
)°
5.1.2
弧度制
典型例题
【例4】把下列弧度化成角度或角度化成弧度：
(2) θ
4
4
|
π
π
＋kπ<θ< ＋kπ，k ∈Z
2
(3) θ 6
|
.
.
5.1.2 弧度制
【3】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边
π
5
－ ＋2kπ<θ< π＋2kπ，k∈
6
12
解：(1) θ
落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．
|
3π
3π
－ ＋2kπ<θ< ＋2 kπ，k∈Z
弧度制ppt课件
将l=aR 代人上式，即得
目录
深化与思考
1、角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混
用，例如a=k·360°
),β=2kπ+60°(k∈Z) 等写法都
是不规范的。
2、做一做(多选)下列命题中，正确的是( ) A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1° 的角是周角的，1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D. 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
对问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思
考问题、用数学的语言表达问题.
目录
限时小练 1. 将钟表的分针拨慢20分钟，则分钟转过的角的弧度数是( )
A.
B.
C
D
2.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为圆心，边AB 的长为半径作扇形AEB.
若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为
正角 零角 负角
正实数
0
负实数
图5.1-12
目录
▶N
概念的理解 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一 单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念. 欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在 他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提 出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周
角等于2π弧度，1弧度等于周角的 ●。这一思想 将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公 式及计算.
图5.1-11 目录
概念引入(1)
问 题 3 任 意 角 都 可 以 用 表示吗?正角、负角和零
角的弧度数如何规定呢?
规定：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧长为l, 那么角α 的弧度数的绝对值是
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
目录
深化与思考
1、角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混
用，例如a=k·360°
),β=2kπ+60°(k∈Z) 等写法都
是不规范的。
2、做一做(多选)下列命题中，正确的是( ) A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1° 的角是周角的，1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D. 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
对问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思
考问题、用数学的语言表达问题.
目录
限时小练 1. 将钟表的分针拨慢20分钟，则分钟转过的角的弧度数是( )
A.
B.
C
D
2.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为圆心，边AB 的长为半径作扇形AEB.
若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为
正角 零角 负角
正实数
0
负实数
图5.1-12
目录
▶N
概念的理解 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一 单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念. 欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在 他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提 出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周
角等于2π弧度，1弧度等于周角的 ●。这一思想 将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公 式及计算.
图5.1-11 目录
概念引入(1)
问 题 3 任 意 角 都 可 以 用 表示吗?正角、负角和零
角的弧度数如何规定呢?
规定：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧长为l, 那么角α 的弧度数的绝对值是
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
人教A版必修第一册5.1.2弧度制课件
特殊角的度数与弧度数的对应表：
度数 0 30 45 60 90 120
弧度 0
6
4
3
2 23
135 150 180 270 360
3 5 46
3 2
2
正角的弧度数是正数，
角的概念推广后，
弧度数的概念也随之推广： 负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是零．
正角 零角 负角
任意角的集合
正实数 0
2、 终边与X轴负半轴重合；
| 2 ( )
3、 终边与X轴重合； | ( )
4、
终边与Y轴正半轴重合；
|
2
2
( )
5、 终边与Y轴负半轴重合；
|
2
3
2
( )
6、 终边与Y轴重合；
|
2
( )
7、第一象限内的角；
|
2
2
2
( )
8、第二象限内的角；
|
2
2
2
( )
y
450
0
x
(1)
y
450
0
x
(2)
提炼总结：
1.180= 弧度；
2.“角化弧”时，将n乘以
180
；
“弧化角”时，将乘以180 ；
3.弧长公式: l = r
4.扇形面积公式：S
1 2
lR
思考题：试证：扇形周长一定时，当圆心角 =2时，扇形面积最大.
l
r
解 : 设扇形半径为R,弧长为L,则由
2R L 8
1 LR 4 2
解得 R 2 L 4
故该扇形的圆心角的弧度数为
L 4
No Image
R2
5.1.2弧度制课件高一数学(人教A版必修第一册)
弧长之比 = 所对圆心角之比
⇒=
=
(为圆心角度数)
r=4
=
探究：角度与弧长的关系
结果: 若 = °, 则 = .
若 = °, 则 = .
°的弧度数为
°的弧度数为
可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大
【例1】把下列各角化成 + 2π 0 ≤ < 2π, ∈ 的形式，并指出它们是哪个象限的角：
(1)
23
；
6
【解析】（1）
(2)−1680 ∘ ；
23π
6
=
11π
6
18π
10π
=
7
7
（4）755 ∘ = 35 ∘
18π
；
7
+ 2π，是第四象限角；
（2）−1680 ∘ = 120 ∘ − 5 × 360 ∘ =
【解析】（1）设扇形的弧长为 l．
因为 = 150°，即 =
5π
6
× 10 =
25
3
5π
6
, = 10，所以 = =
π．
（2）由题设条件，知 + 2 = 24，
则 = 24 − 2 (0 < < 12)，
所以扇形的面积
=
1
2
=
1
2
24 − 2
= − 2 + 12 = − − 6
小有关.也就是说，这个比值随的确定而唯一确定.这就启
发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角.
高一数学人教A版必修第一册5.1.2弧度制课件
第五章 三角函数
5.1.2弧度制
课程标准
了解任意角的概念和弧度制，能够进行弧度与
角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
复习回顾
回顾1 角的定义是什么?
角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到
另一个位置所形成的图形．
回顾2 角的相等、相加和相减是如何进行运算？
1.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称 = .
的进制是什么？
角度制：度、分、秒
六十进制 1度=60分 1分=60秒
追问：角的度量是否也能用不同的单位制？能否用十进制的实数来
度量角？
角度(°)
换算?
实数
接下来，我们来介绍另一种度量角的单位制--弧度制
新知讲授ห้องสมุดไป่ตู้
问题2 如图，角度与弧长
= 有怎样的数量关系？
射线绕端点旋转到形成角.在旋转过程中,
67°30′
=
135
2
×
(2) 67°30′ ≈ 1.178 .
180
=
3
8
;
例题讲授
例5 将3.14 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).
解：由于 =
° ≈ . °
所以. ≈ . °.
新知讲授
问题5 一些特殊角弧度与角度的转换分别是多少？请大家填写下
或小于−的角. 这样就可以得到弧度为任意大小的角.
所以，角度制、弧度制都是
角的度量制，它们之间应该
可以换算，如何换算呢？
新知探究
探究二：角度与弧度的换算
新知讲授
角度制、弧度制都是角的度量制.对于度量零角，除了单位不同，
5.1.2弧度制
课程标准
了解任意角的概念和弧度制，能够进行弧度与
角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
复习回顾
回顾1 角的定义是什么?
角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到
另一个位置所形成的图形．
回顾2 角的相等、相加和相减是如何进行运算？
1.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称 = .
的进制是什么？
角度制：度、分、秒
六十进制 1度=60分 1分=60秒
追问：角的度量是否也能用不同的单位制？能否用十进制的实数来
度量角？
角度(°)
换算?
实数
接下来，我们来介绍另一种度量角的单位制--弧度制
新知讲授ห้องสมุดไป่ตู้
问题2 如图，角度与弧长
= 有怎样的数量关系？
射线绕端点旋转到形成角.在旋转过程中,
67°30′
=
135
2
×
(2) 67°30′ ≈ 1.178 .
180
=
3
8
;
例题讲授
例5 将3.14 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).
解：由于 =
° ≈ . °
所以. ≈ . °.
新知讲授
问题5 一些特殊角弧度与角度的转换分别是多少？请大家填写下
或小于−的角. 这样就可以得到弧度为任意大小的角.
所以，角度制、弧度制都是
角的度量制，它们之间应该
可以换算，如何换算呢？
新知探究
探究二：角度与弧度的换算
新知讲授
角度制、弧度制都是角的度量制.对于度量零角，除了单位不同，
高中数学人教A版必修第一册《弧度制》完整版课件
知识回顾：
1、角的度量单位：度
如何规定1o的大小？ 1度的角等于周角的 1
360
2、已知扇形的半径为r,圆心角为n，则扇形弧长和
面积如何表示？
l nr
180
S nr 2 1 lr
360 2
引入： 1、度量长度可以用米、英尺、码等单位制
2、度量质量可以用千克、磅等单位制
3、角的度量：度
不同的单位制能给解决问题带来方便.
180 270
3 5
46
2
例 6、利用弧度制证明下列关于扇形的公式
（1） l R
（2） S 1 Rຫໍສະໝຸດ 22（3） S 1 lR 2
其中R是圆的半径， (0 2 )为圆心角， l是扇形的弧长， S是扇形的面积
证明：（1）由公式 ，l 可得
r
l R
(2)半径为R，圆心角为 n的扇形弧长公式和面积 公式分别是 : l nR , S nR2
探究:角度制、弧度制都角的度量制，它们之间可以换算，如何换算
一个周角的弧度制是多少？
2r 2
r
角度制下，一个周角的度数是360o
360 2
180
1 rad
180
1 180 57.3
67 30 (135 ) 3
2 180 8
3 3.14 1.178rad 8
例 5 把下列弧度化角度
角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量 长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
(
【定义】如图，射线OA绕着端点O旋转到OB形成角 α.在旋 转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O )的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.
设α=n°，OP=r，点P形成的圆弧PP1的长为 ， 由初中所学知识可知：
1、角的度量单位：度
如何规定1o的大小？ 1度的角等于周角的 1
360
2、已知扇形的半径为r,圆心角为n，则扇形弧长和
面积如何表示？
l nr
180
S nr 2 1 lr
360 2
引入： 1、度量长度可以用米、英尺、码等单位制
2、度量质量可以用千克、磅等单位制
3、角的度量：度
不同的单位制能给解决问题带来方便.
180 270
3 5
46
2
例 6、利用弧度制证明下列关于扇形的公式
（1） l R
（2） S 1 Rຫໍສະໝຸດ 22（3） S 1 lR 2
其中R是圆的半径， (0 2 )为圆心角， l是扇形的弧长， S是扇形的面积
证明：（1）由公式 ，l 可得
r
l R
(2)半径为R，圆心角为 n的扇形弧长公式和面积 公式分别是 : l nR , S nR2
探究:角度制、弧度制都角的度量制，它们之间可以换算，如何换算
一个周角的弧度制是多少？
2r 2
r
角度制下，一个周角的度数是360o
360 2
180
1 rad
180
1 180 57.3
67 30 (135 ) 3
2 180 8
3 3.14 1.178rad 8
例 5 把下列弧度化角度
角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量 长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
(
【定义】如图，射线OA绕着端点O旋转到OB形成角 α.在旋 转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O )的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.
设α=n°，OP=r，点P形成的圆弧PP1的长为 ， 由初中所学知识可知：
高一上学期数学人教A版必修第一册5.1.2弧度制课件
公元六世纪、印度数学家阿耶波多在创新制作正弦
表是时，发现了一个问题不好解释，比如sin30°=0.5
同学们想想他发现了什么问题？
能否用十进制度量角？
在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度 — 弧度
制，它是如何定义呢？
二 弧度制
如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在
旋转过程中，射线OA上有一点P（不同于O点）的
; S=
180
360
n
1
2
将n°转换为弧度制
S= R
180
2
1
将l=αR代入上式可得 S lR
2
练一练
课本175页练习
练一练
1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( B )
π
A．2kπ，2kπ＋ (k∈Z)
2
π
B．kπ，kπ＋ (k∈Z)
2
思考4：角度制与弧度制都是角的度量单位，它们之间应该怎么转换？
当角的终边旋转一周所得到的弧度数为2π，而在角度制下为360°
即360°=2π rad，180°=π rad
思考5：1°等于多少弧度数？弧度数等于多少度？
π
1°=
rad ≈ 0.01745rad
180
1 rad=
180
°≈ 57.30°=57°18′
三 角度制与弧度制的转换
例2.把 67°30′化成弧度
例3.把π/2化成角度制.
1 rad=
180
°
180
×
= °
2
三 角度制与弧度制的转换
注意: 常规写法
① 用弧度数表示角时，常常把弧度数
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件1：5.1.2 孤度制
[方法总结] 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而 不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
[跟踪训练 2] (1)把－1 480°写成 α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中 0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与25π角终边相同的角． 解 (1)∵－1 480°＝－1 480×1π80＝－749π， 而－749π＝－10π＋169π，且 0≤α≤2π，∴α＝169π. ∴－1 480°＝169π＋2×(－5)π.
4．角的弧度数的求法 正角的弧度数是一个____正__数____，负角的弧度数是一个___负__数_____，零 角的弧度数是____0____.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那
l
么角α的弧度数的绝对值|α|＝____r ____. [微思考] “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ 提示 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个 定值，与所在圆的半径大小无关．
[跟踪训练 1] 将下列角度与弧度进行互化： (1)5611π；(2)－71π2；(3)10°；(4)－855°. 解 (1)5611π＝5611×180°＝15 330°. (2)－71π2＝－172×180°＝－105°. (3)10°＝10×1π80＝1π8. (4)－855°＝－855×1π80＝－194π.
(2)设扇形的弧长为 l， ∵72°＝72×18π0＝25π(rad)，∴l＝αR＝25π×20＝8π(cm)． ∴S＝12lR＝12×8π×20＝80π(cm2)．
知识点2 角度与弧度的换算
角度化弧度 360°＝_____2π__ra_d__________
180°＝____π_r_ad__________ 1°＝1π80 rad≈0.017 45 rad
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来度量角的制度度制 . 叫做角
2.角度的换算进制?
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位
的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，
总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选
择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算
讲 课
与常规的十进制加减法一样去做呢？
人
：
邢
启 强
5
复习回顾
3、什么叫圆心角？什么叫做圆周角？
例4 计算：
（1） sin
；（2）tan1.5 ．
4
解：（1）∵ 45 ∴ sinsin45 2
4
4
2
（2）∵ 5 .3 7 0 1 .5 8 .9 5 5 8 5 7 5
讲 课 人 ： 邢 启 强
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件：5 .1.2 弧度制1
讲 3、角度制与弧度制互化时要抓住 180 弧度这个关键．
课
人
：
邢
启 强
11
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件：5 .1.2 弧度制1
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件：5 .1.2 弧度制1
须记住的一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
度 0o 30o
讲
课
人
：
邢
启 强
3
终边落在坐标轴上的情形
900 + k360°
y
1800 + k360°
o
或3600＋ k360°
x
00 + k360°
2700 + k360°
讲
课
人
：
邢
启 强
4
复习回顾
1、初中几何研究过角的度量，1°的角是如何定义？角 度制呢？
答:规定把周1角 作的 为 1度的;而 角把用度做 360
(3 )角 度 制 与 弧 度 制 可 以 自 由 互 换 , 但 注 意 在 同 一 个 代 数 式 中 不 能 同 时
使 用 两 种 制 度 :如 :3 0 0 是 错 误 的 .
4 (4)不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都 是一个与半径大小无关的定值．
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧
2
用集合表示各象限角的集合。
第一象限角
|k 3 6 k 3 0 9 6 , k Z 0 0
第二象限角 |k 3 6 0 9 0 k 3 6 0 1 8 0 ,k Z
第三象限角|k 3 6 0 1 8 0 k 3 6 0 2 7 0 ,k Z 第四象限角|k 3 6 0 2 7 0 k 3 6 0 3 6 0 ,k Z
180o rad, 1o rad 0.01745rad.
180
（2）把弧度换成角度
2 rad 360 o ,
rad 180 o ,
1 rad
180
o
57 o18 '.
讲
课
人
：
邢
启 强
10
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件：5 .1.2 弧度制1
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件：5 .1.2 弧度制1
小结： 1、弧度与角度的换算； 2、弧度的意义；
讲 课 人 ： 邢 启 强
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16
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件：5 .1.2 弧度制1
初中 角的度量
角度制
高中 弧度制
讲 课 人 ： 邢 启 强
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件：5 .1.2 弧度制1
r r
17
45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o
0 弧
度
6
4
3
2
2 3
3 4
5 3
6
2
2
讲 课 人 ： 邢 启 强
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12
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A 2r
3r
讲 课 人
O
r
B
__2 __ra_)d(.A
O
r
B
__3 __ra_)d(.
：
邢
启 强
7
2 .若圆心角为周角时 , 它所对的弧长 l 2 r , 则
周角的弧度数是 : ___2_______ ____ .
3 .若圆心角 满足 0 o 360 o , 其弧度数 x l
r
必满足 : ____[_0__,2___ ) __ .
∴ ta 1 .5 n ta 8 n 5 5 7 1.1 42
13
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练习
1.计算 : (1) sin ; (2) sin ; (3) cos ; (4) tan
4
3
6
6
2.将下列 各角化 成0到2的 角加 上2k (k Z )
5、弧度制：用__弧_度__做__单_位__来__度_量__角__的_制__度__叫_做___弧；度制 6、角度制与弧度制的联系与区别：
( 1 ) 用 角 度 制 和 弧 度 制 来 度 量 零 角 , 单 位 不 同 , 但 量 数 相 同 ( 都 是 0 ) ;
( 2 ) 用 角 度 制 和 弧 度 制 度 量 任 一 非 零 角 , 单 位 不 同 , 量 数 也 不 同 ;
4 .规定 : 正角的弧度数是一个
___正__数__, 负角的
弧度数是一个 ___负__数_, 零角的弧度数是 __0___;
角 的弧度数的绝对值
讲 课 人 ： 邢 启 强
|
|
l r
l是以角 作为圆心角时所对的弧
r 是圆的半径 .
;
8
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例 1把 67o30'化 成 弧 度 .
解：∵
6730
67
1
2
∴ 67 30rad 61 73rad
180 2 8
例2 把 4 rad 化成度．
5
解：4rad4180144
5
5
注意：1、弧度与角度的换算，可以利用科学计算器进行，。
2、一般地，“弧度”与“rad“通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数.
角的集合与实数集合之间的对应关系： （1）每一个角都有唯一的一个实数与它对应； （2）每一个实数也都有唯一的一个角与它对应。
正数
正实数
零角
0
负角
负实数
讲 课
任意角的集合
人
实数集R
：
邢
启 强
15
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5.1.2弧度制
任 正角：按逆时针方向旋转形成的角 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角 零角：一条射线没有作任何旋转形
成的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，
可构成一个集合
S={ β| β=α+k360° ,k∈ Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成
角α与整数个周角的和。
讲
课
人
：
邢
启 强
的形式 :
(1) 19 ; (2) 315o ; (3) 23 ; (4) 1500o
3
6
(5) 18 ; (6)672o.
讲
7
课
人
：
邢
启 强
14
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讲 课 人
度数是 2
，而在角度制里它是360 ，
：
邢
启 强
9
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角度制与弧度制的互换：
（1）把角度换成弧度360源自 2 rad,AA
O
B
C
O
B
讲
课
人
：
邢
启 强
6
1、弧度制定义：
（1）1弧度的角：_长_度__等_于_半__径_长_的__圆_弧_所__对_的__圆_心_角_；
（注：弧度的单位符号是rad，读作弧度)
A
r
O rB
如图 :弧AB的长等于r,弧 半A径 B所
对的圆心 就角 是 1弧度的 . 角
注意 :习惯,就 地简记 为 1.
2.角度的换算进制?
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位
的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，
总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选
择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算
讲 课
与常规的十进制加减法一样去做呢？
人
：
邢
启 强
5
复习回顾
3、什么叫圆心角？什么叫做圆周角？
例4 计算：
（1） sin
；（2）tan1.5 ．
4
解：（1）∵ 45 ∴ sinsin45 2
4
4
2
（2）∵ 5 .3 7 0 1 .5 8 .9 5 5 8 5 7 5
讲 课 人 ： 邢 启 强
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讲 3、角度制与弧度制互化时要抓住 180 弧度这个关键．
课
人
：
邢
启 强
11
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须记住的一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
度 0o 30o
讲
课
人
：
邢
启 强
3
终边落在坐标轴上的情形
900 + k360°
y
1800 + k360°
o
或3600＋ k360°
x
00 + k360°
2700 + k360°
讲
课
人
：
邢
启 强
4
复习回顾
1、初中几何研究过角的度量，1°的角是如何定义？角 度制呢？
答:规定把周1角 作的 为 1度的;而 角把用度做 360
(3 )角 度 制 与 弧 度 制 可 以 自 由 互 换 , 但 注 意 在 同 一 个 代 数 式 中 不 能 同 时
使 用 两 种 制 度 :如 :3 0 0 是 错 误 的 .
4 (4)不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都 是一个与半径大小无关的定值．
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧
2
用集合表示各象限角的集合。
第一象限角
|k 3 6 k 3 0 9 6 , k Z 0 0
第二象限角 |k 3 6 0 9 0 k 3 6 0 1 8 0 ,k Z
第三象限角|k 3 6 0 1 8 0 k 3 6 0 2 7 0 ,k Z 第四象限角|k 3 6 0 2 7 0 k 3 6 0 3 6 0 ,k Z
180o rad, 1o rad 0.01745rad.
180
（2）把弧度换成角度
2 rad 360 o ,
rad 180 o ,
1 rad
180
o
57 o18 '.
讲
课
人
：
邢
启 强
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山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件：5 .1.2 弧度制1
山东省滕州市第一中学人教版高中数 学新教 材必修 第一册 课件：5 .1.2 弧度制1
小结： 1、弧度与角度的换算； 2、弧度的意义；
讲 课 人 ： 邢 启 强
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初中 角的度量
角度制
高中 弧度制
讲 课 人 ： 邢 启 强
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r r
17
45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o
0 弧
度
6
4
3
2
2 3
3 4
5 3
6
2
2
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A 2r
3r
讲 课 人
O
r
B
__2 __ra_)d(.A
O
r
B
__3 __ra_)d(.
：
邢
启 强
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2 .若圆心角为周角时 , 它所对的弧长 l 2 r , 则
周角的弧度数是 : ___2_______ ____ .
3 .若圆心角 满足 0 o 360 o , 其弧度数 x l
r
必满足 : ____[_0__,2___ ) __ .
∴ ta 1 .5 n ta 8 n 5 5 7 1.1 42
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练习
1.计算 : (1) sin ; (2) sin ; (3) cos ; (4) tan
4
3
6
6
2.将下列 各角化 成0到2的 角加 上2k (k Z )
5、弧度制：用__弧_度__做__单_位__来__度_量__角__的_制__度__叫_做___弧；度制 6、角度制与弧度制的联系与区别：
( 1 ) 用 角 度 制 和 弧 度 制 来 度 量 零 角 , 单 位 不 同 , 但 量 数 相 同 ( 都 是 0 ) ;
( 2 ) 用 角 度 制 和 弧 度 制 度 量 任 一 非 零 角 , 单 位 不 同 , 量 数 也 不 同 ;
4 .规定 : 正角的弧度数是一个
___正__数__, 负角的
弧度数是一个 ___负__数_, 零角的弧度数是 __0___;
角 的弧度数的绝对值
讲 课 人 ： 邢 启 强
|
|
l r
l是以角 作为圆心角时所对的弧
r 是圆的半径 .
;
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例 1把 67o30'化 成 弧 度 .
解：∵
6730
67
1
2
∴ 67 30rad 61 73rad
180 2 8
例2 把 4 rad 化成度．
5
解：4rad4180144
5
5
注意：1、弧度与角度的换算，可以利用科学计算器进行，。
2、一般地，“弧度”与“rad“通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数.
角的集合与实数集合之间的对应关系： （1）每一个角都有唯一的一个实数与它对应； （2）每一个实数也都有唯一的一个角与它对应。
正数
正实数
零角
0
负角
负实数
讲 课
任意角的集合
人
实数集R
：
邢
启 强
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5.1.2弧度制
任 正角：按逆时针方向旋转形成的角 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角 零角：一条射线没有作任何旋转形
成的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，
可构成一个集合
S={ β| β=α+k360° ,k∈ Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成
角α与整数个周角的和。
讲
课
人
：
邢
启 强
的形式 :
(1) 19 ; (2) 315o ; (3) 23 ; (4) 1500o
3
6
(5) 18 ; (6)672o.
讲
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课
人
：
邢
启 强
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讲 课 人
度数是 2
，而在角度制里它是360 ，
：
邢
启 强
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角度制与弧度制的互换：
（1）把角度换成弧度360源自 2 rad,AA
O
B
C
O
B
讲
课
人
：
邢
启 强
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1、弧度制定义：
（1）1弧度的角：_长_度__等_于_半__径_长_的__圆_弧_所__对_的__圆_心_角_；
（注：弧度的单位符号是rad，读作弧度)
A
r
O rB
如图 :弧AB的长等于r,弧 半A径 B所
对的圆心 就角 是 1弧度的 . 角
注意 :习惯,就 地简记 为 1.