幂级数的运算
幂级数的运算
Calculus Ⅱ
第十章 无穷级数
§10.1 无穷级数的概念 §10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
幂级数的运算
一 四则运算
设幂级数 an xn , bn xn 收敛半径分别为 R1, R2
n0 n!
例
求幂级数 ( n 1 ) x n 的和函数。
n1
解:
设 s(x) (n 1)xn , | x | 1
n1
两边积分得
x
s(x)dx
x
(n 1)xndx
xn1
x2
0
n1 0
n1
1 x
两边求导得
s(x)
x2
1 x
n1 (n 1)! n0 n!
即
s(x) s(x), s(x) 1
s(x)
积分得
x s(x) dx
x
dx
0 s(x)
0
ln s(x) ln s(0) x
因为
s(0) 1,
所以 因此得
s(x) ex
x n e x , x ( , )
n0
n0
记 r min{R1, R2 }, 则当 x (r, r )时，有
1) an xn bn xn (an bn )xn
n0
n0
n0
2) an xn bn xn cn xn
n0
n0
n0
幂级数运算
幂级数运算幂级数是一种非常重要的数学工具，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
幂级数的运算是幂级数理论的核心，下面我们来详细了解一下幂级数的运算。
我们需要了解什么是幂级数。
幂级数是指形如∑an(x-a)n的无穷级数，其中a和an是常数，x是变量。
幂级数的收敛半径R是一个非负实数，它表示幂级数在哪些点上收敛，而在哪些点上发散。
当x-a的绝对值小于R时，幂级数收敛；当x-a的绝对值大于R时，幂级数发散；当x-a的绝对值等于R时，幂级数可能收敛也可能发散。
接下来，我们来看看幂级数的加法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相加，即∑(an+bn)(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相加，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相加。
接下来，我们来看看幂级数的减法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相减，即∑(an-bn)(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相减，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相减。
接下来，我们来看看幂级数的乘法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
它们的乘积为∑cn(x-a)n，其中cn=∑an-kbk，k从0到n。
幂级数的乘法运算比较复杂，需要注意的是，幂级数的乘积的收敛半径不一定等于两个幂级数的收敛半径之积。
我们来看看幂级数的除法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相除，即∑an/bn(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相除，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相除。
需要注意的是，幂级数的除法运算只有在bn≠0时才有意义。
幂级数ppt
定理 1 (Abel 定理)
（1）如果级数 an x n 在 x x0 ( x0 0)处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切 x处绝对收敛;
（2）如果级数 an x n 在 x x0处发散,则它在满
n0
足不等式 x x0 的一切 x处发散.
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
15
收敛半径为R 1 ，收敛区间为（1，2）.
2
当x 2时，原级数化为收敛的 交错级数
(1)n
;
x 1时，原级数化为
1 ,发散.
n0 2n 1
n0 2n 1
因此原级数的收敛域为 （1，2 ].
三、幂级数的运算
1、代数运算性质
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
17
（1）由比值审敛法, 当 | x | 1 时,
级数| an xn | 收敛, 从而级数 an xn绝对收敛.
n0
n0
当 | x | 1 时,
级数 | an xn | 发散,
n0
求幂级数的和函数
求幂级数的和函数求幂级数的和函数幂级数的和函数一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。
当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为R。
iii在（-R,+R）内逐项积分公式成立∫∑∫∑x∞xS(t)dt=0n=00antndt=∞n=0anxn+1n+1并且，逐项积分后收敛半径也不变∞∑iv若幂级数anxn在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n=0（A）∞∑limx→R−S(x)=n=0anRn∞∑limx→R+S(x)=n=0求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；21132、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定5261出错。
扩展资料幂级数它的结构简单，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐4102项积分等运算。
例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收1653敛。
幂级数的加减乘除运算
幂级数的加减乘除运算幂级数是数学中研究的一类级数，它具有重要的数学性质和广泛的应用价值。
幂级数的加减乘除运算是研究幂级数的重要内容，通过对幂级数进行加减乘除的运算，可以得到新的幂级数，进一步拓展了数学的应用领域。
首先，我们来看幂级数的加法运算。
幂级数的加法运算就是将两个幂级数进行相加。
具体操作是将两个幂级数的相同次数的幂次项进行相加，得到新的幂级数。
例如，若幂级数A为a0+a1x+a2x^2+a3x^3+…，幂级数B为b0+b1x+b2x^2+b3x^3+…，则它们的和为幂级数C=a0+b0+(a1+b1)x+(a2+b2)x^2+(a3+b3)x^3+…。
通过幂级数的加法运算，我们可以将多个幂级数进行相加得到新的幂级数，进一步拓展了数学的应用领域。
其次，我们来看幂级数的减法运算。
幂级数的减法运算就是将两个幂级数进行相减。
具体操作是将两个幂级数的相同次数的幂次项进行相减，得到新的幂级数。
例如，若幂级数A为a0+a1x+a2x^2+a3x^3+…，幂级数B为b0+b1x+b2x^2+b3x^3+…，则它们的差为幂级数C=a0-b0+(a1-b1)x+(a2-b2)x^2+(a3-b3)x^3+…。
通过幂级数的减法运算，我们可以利用幂级数的性质来求解一些特殊的函数问题，提高问题的求解效率。
接下来，我们来看幂级数的乘法运算。
幂级数的乘法运算就是将两个幂级数进行相乘。
具体操作是将两个幂级数的每一个幂次项进行相乘，然后将结果按幂次递增次序相加，得到新的幂级数。
例如，若幂级数A为a0+a1x+a2x^2+a3x^3+…，幂级数B为b0+b1x+b2x^2+b3x^3+…，则它们的乘积为幂级数C=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x^2+(a0b3+a1b2+a2b1+a3b0)x^3+…。
通过幂级数的乘法运算，我们可以通过幂级数展开来计算一些复杂函数的数值近似值，提高数学计算的准确性和稳定性。
数学分析14.1幂级数
第十四章 幂级数1幂级数概念：由幂函数序列{a n (x-x 0)n }所产生的函数项级数∑∞=0n nn )x -(x a=a 0+a 1(x-x 0)+a 2(x-x 0)2+…+a n (x-x 0)n+…称为幂级数. 特别地，当x 0=0时，有∑∞=0n n n x a =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…一、幂级数的收敛区间定理14.1：(阿贝尔定理)若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x ≠0处收敛，则对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 收敛且绝对收敛；若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x 处发散，则对满足不等式|x|>|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n nx a发散.证：设级数∑∞=0n n n x a 收敛，从而数列{nn x a }收敛于0且有界，即存在某正数M ，使得|nn x a |<M (n=0,1,2,…). 又对任一个满足不等式|x|<|x |的x ，可设r=xx<1, 都有 |a n x n|=x x x a nn ⋅=|n n x a |x x <Mr n. 又级数∑∞=0n n Mr 收敛，∴对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.设级数∑∞=0n nn x a 发散，若存在某一x 0，满足|x 0|>|x |且使∑∞=0n n 0n x a 收敛，则∑∞=0nnnxa绝对收敛，矛盾！∴对满足不等式|x|>|x|的任何x，幂级数∑∞=0nnnxa发散.注：由定理14.1可知，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛域是以原点为中心的区间. 若以2R表示区间的长度，则称R为幂级数的收敛半径. R就是使得幂级数∑∞=0nnnxa收敛的收敛点绝对值的上确界. 所以幂级数∑∞=0nnnxa当R=0时，仅在x=0处收敛；当R=+∞时，在(-∞,+ ∞)上收敛；当0<R<+∞时，在(-R,R)上收敛；对一切满足不等式|x|>R的x，发散；在x=±R处，不确定. (-R,R)称为幂级数∑∞=0nnnxa的收敛区间.定理14.2：对于幂级数∑∞=0nnnxa，若n n∞n|a|lim→=ρ，则当(1)0<ρ<+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=ρ1；(2)ρ=0时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=+∞；(3)ρ=+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=0.证：对于幂级数∑∞=0nnnxa，∵n nn∞n|xa|lim→=nn∞n|a|lim→|x|=ρ|x|，根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0nnnxa收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.注：也可由比式判别法|a ||a |lim n1n ∞n +→=n n ∞n |a |lim →=ρ，来求出幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径.例1：求级数∑2nnx 的收敛半径R 及收敛域.解：记a n =2n 1, 则|a ||a |lim n1n ∞n +→=22∞n )1(n n lim +→=1，∴R=1. 又当x=±1时，2nn)1(±=2n 1，由级数∑2n 1收敛，知∑2n n x 在x=±1收敛.∴级数∑2nnx 的收敛域为[-1,1].例2：求级数∑nx n的收敛半径R 及收敛域.证：记a n =n1, 则|a ||a |lim n 1n ∞n+→=1n nlim ∞n +→=1，∴R=1. 又当x=1时，级数∑n 1发散；当x=-1时，级数∑n (-1)n 收敛.∴级数∑nx n的收敛域为[-1,1).注：级数∑∞=0n nn!x 与∑∞=0n n x n!的收敛半径分别为R=+∞与R=0.定理14.3：(柯西—阿达马定理)对幂级数∑∞=0n n n x a ，设ρ=n n ∞n|a |lim →，则 (1)当0<ρ<+∞时，R=ρ1；(2)当ρ=0时，R=+∞；(3)当ρ=+∞时，R=0.证：对于任意x,∵n n n ∞n|x a |lim →=n n ∞n |a |lim →|x|=ρ|x|， 根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0n n n x a 收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.例3：求级数1+3x +222x +333x +442x +…+12n 1-2n 3x -+2n 2n 2x +…的收敛域.解：∵n n ∞n|a |lim →=21，∴R=2. 又当x=±2时，原级数都发散，∴原级数的收敛域为(-2,2).例4：求级数∑∞=1n 2n2n3-n x 的收敛域. 解：方法一：∵2n n ∞n|a |lim →=2n 2n ∞n 3-n 1lim →=2n 2n∞n 3n11lim 31-→=31，∴R=3.方法二：∵当n2n2n ∞n 3-n x lim →=n2n2n∞n 3n -1x lim 91→=9x 2<1，即|x|<3时，收敛.∴原级数的收敛半径为R=3.又当x=±3时，原级数=∑∞=1n 2n2n3-n 3=-1≠0，发散.∴原级数的收敛域为(-3,3).定理14.4：若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R(>0)，则∑∞=0n n n x a 在它的收敛区间(-R,R)内任一闭区间[a,b]上都一致收敛.证：设x =max{|a|,|b|}∈(-R,R)，则任一x ∈[a,b]，都有|a n x n |≤|a n x n |. ∵∑∞=0n nn x a 在x 绝对收敛，由优级数判别法知∑∞=0n n n x a 在[a,b]上一致收敛.定理14.5：若幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为R(>0)，且在x=R(或x=-R)收敛，则∑∞=0n n n x a 在[0,R](或[-R,0])上一致收敛.证：设幂级数∑∞=0n n n x a 在x=R 收敛，对于x ∈[0,R]有∑∞=0n n n x a =nn n n R x R a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=.已知级数∑∞=0n nn R a 收敛，函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nR x 在[0,R]上递减且一致有界，即1≥R x ≥2R x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≥…≥nR x ⎪⎭⎫⎝⎛≥…≥0. 由阿贝尔判别法知∑∞=0n n nx a在[0,R]上一致收敛. 同理可证：∑∞=0n n nx a在x=-R 收敛时，在[-R,0]上一致收敛.例5：考察级数∑n21)-(x n n的收敛域.解：∵|a ||a |lim n1n ∞n +→=|1)(n 2||n 2|lim 1n n ∞n ++→=1)2(n n lim ∞n +→=21，∴R=2.又当x-1=2时，原级数=∑n 1发散；当x-1=-2时，∑-n22)(n n =∑n (-1)n 收敛.∴x-1∈[-2,2)，原级数的收敛域为[-1,3).二、幂级数的性质定理14.6：(1)幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数是(-R,R)上的连续函数；(2)若幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间的左(右)端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右(左)连续.定理14.7：幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求导与逐项求积后分别得到幂级数：∑∞=1n 1-n n x na 与∑∞=++0n 1n n x 1n a ，它们的收敛区间都是(-R,R). 证法一：设x 0为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上任一不为零的点，由阿贝尔定理(定理14.1)的证明过程知，存在正数M 与r(<1)， 对一切正整数n ，都有|a n x 0n |<Mr n . 于是|na n x 0n-1|=x n|a n x 0n |<0x M nr n .由级数比式判别法知级数∑n nr 收敛，根据级数的比较原则知，∑∞=1n 1-n nxna收敛. 由x 0为(-R,R)上任一点，知∑∞=1n 1-n n x na 在(-R,R)上收敛.若存在一点x ’，使|x ’|>R ，且幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在x ’收敛，则必有一数x ，使得|x ’|>|x |>R ，由阿贝尔定理，∑∞=1n 1-n n x na 在x 处绝对收敛.但，取n ≥|x |时，就有|na n x n-1|=xn |a n x n |≥|a n x n |，由比较原则得幂级数∑∞=0n n n x a 在x 处绝对收敛，矛盾！∴幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在一切满足不等式|x|>R 的x 都不收敛，即幂级数∑∞=0n n n x a 与其在收敛区间(-R,R)上逐项求导所得幂级数∑∞=1n 1-n nx na有相同的收敛区间(-R,R).又幂级数∑∞=0n nn x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求积可得幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a ， 即∑∞=0n nn x a 是由幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a 在其收敛区间上逐项求导所得， ∴它们也有相同的收敛区间(-R,R). 证法二：对于幂级数∑∞=0n n n x a ，R=1n n∞n a a lim+→. 对幂级数∑∞=1n 1-n n x na ，1n n ∞n1)a (n na lim +→+=1n n ∞na a 1n nlim +→⋅+=R. 对幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a，2n a 1n a lim 1n n∞n +++→=1n n ∞n a a 1n 2n lim +→⋅++=R. 得证！定理14.8：设∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数为f ，x ∈(-R,R)，则：(1)f 在点x 可导，且f ’(x)=∑∞=1n 1-n n x na ；(2)f 在0与x 之间的这个区间上可积，且⎰x0f(t)dt=∑∞=++0n 1n n x 1n a .证法：由定理14.7知，∑∞=0n nn x a ,∑∞=1n 1-n n xna 和∑∞=++0n 1n n x 1n a 有相同的R. ∴总存在r ，使|x|<r<R ，根据定理14.4，它们在[-r,r]上都一致收敛. 根据逐项求导与逐项求积定理得证！推论1：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数，则在(-R,R)上f 具有任何阶导数，且可逐项求导任何次，即： f ’(x)=∑∞=1k 1-k k x ka ；f ”(x)=∑∞=2k 2-k k x1)a -k(k ；…；f (n)(x)=∑∞=n k n -k k x a n)!-(k k!；….推论2：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在点x=0某邻域上的和函数，则{a n }与f在x=0处的各阶导数有如下关系：a 0=f(0), a n =n!(0)f (n),(n=1,2,…).三、幂级数的运算定义：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在该邻域内相等.定理14.9：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内相等，则它们同次幂项的系数相等，即a n =b n (n=1,2,…).定理14.10：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为R a 和R b ，则λ∑∞=0n nn x a =∑∞=0n nn x λa , |x|<R a , λ为常数；记R=min{R a ,R b }, c n =∑=nk k -n k b a , 有∑∑∞=∞=±0n 0n nn nn x b x a =∑∞=±0n nn n )x b (a ；⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n n 0n n n x b x a =∑∞=0n n n x c . |x|<R.例6：几何级数∑∞=0n n x 在收敛域(-1,1)上有f(x)=x-11. 在(-1,1)上 逐项求导可得：f ’(x)=2x )-(11=∑∞=1n 1-n nx ; f ”(x)=3x )-(1!2=∑∞=2n 2-n 1)x -n(n . 在[0,x](x<1)上逐项求积可得：⎰xt -1dt=∑⎰∞=0n x 0n t dt ，从而可得： ln x -11=∑∞=++0n 1n 1n x (|x|<1), 其对x=-1也成立.注：可通过的逐项求导或逐项求积间接地求出级数的和函数.例7：求级数∑∞=1n n 21-n x n (-1)的和函数.解：由R=1n n ∞n a a lim +→=2n 21-n ∞n 1)(n (-1)n (-1)lim +→=2∞n 1n n lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=1， 且x=±1时，级数发散，知其收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=1n n21-n x n (-1)=x ∑∞=1n 1-n 21-n x n (-1)=xg(x), x ∈(-1,1)，则⎰x)t (g dt=∑⎰∞=1n x1-n 21-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n nx (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=xh(x)，则⎰x)t (h dt=∑⎰∞=1n x1-n 1-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n x (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=x1x+, x ∈(-1,1). ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛+x 1x =2x )(11+；g(x)=(xh(x))’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x)(1x =3x )(1x -1+； ∴原级数的和函数S(x)=xg(x)=32x)(1x -x +, x ∈(-1,1).习题1、求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：(1)∑nnx ；(2)∑⋅n 2n2n x ；(3)∑n 2x (2n)!)(n!；(4)∑n n x r 2(0<r<1)； (5)∑1)!-(2n )2-(x 1-2n ；(6)nn n )1x (n )2(3+-+∑；(7)∑+⋯++n x )n1211(；(8)∑n n 2x 2. 解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散，∴原级数的收敛域为(-1,1).(2)R=1n n ∞n a a lim +→=n 21n 2∞n 2n 21)(n lim ⋅⋅++→=2. 又当x=±2时，原级数收敛， ∴原级数的收敛域为[-2,2].(3)R=1n n∞n a a lim+→=2)]![(2n ]1)![(n (2n)!)(n!lim 22∞n ++→=2∞n 1)(n 1)2)(2n (2n lim +++→=4. 又当x=±4时，|u n |=n 24(2n)!)(n!=(2n)!)2(n!2n ⋅=(2n)!]![(2n)!2=!1)!-(2n !(2n)!>12n +→∞ (n →∞)， ∴原级数发散. ∴收敛域为(-4,4).(4)∵n n ∞n |a |lim →=nn ∞n2r lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(5)R=1n n ∞na a lim +→=1)!-(2n 1)!(2n lim ∞n +→=1)2n(2n lim ∞n +→=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(6)R=1n n ∞n a a lim +→=1n 1n nn ∞n )2(3)2(3n 1n lim ++→-+-+⋅+=1n n∞n 3233321n 1n lim +→⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+=31. 又当x=31时，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=4，原级数发散. 当x=-31，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=2，原级数发散. ∴x+1∈(-31,31)，原级数的收敛域为(-34,-32). (7)∵1=n n 1n ⋅≤n n1211+⋯++≤n n →1 (n →∞)，∴R=1. 又当x=±1时，n ∞n)1()n1211(lim ±+⋯++→≠0，∴原级数发散. ∴原级数的收敛域为(-1,1).(8)∵n1n ∞nu u lim +→=22n n1n 1)(n ∞n x 22xlim ⋅++→=2x lim 12n ∞n +→=⎪⎩⎪⎨⎧>∞+=<1|x |1|x | ，211|x | 0，，，∴R=1， 且当x=±1时，原级数收敛. ∴原级数的收敛域为[-1,1].2、应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域)：(1)∑∞=++0n 12n 12n x ；(2)∑∞=1n n nx ；(3)∑∞=+1n nx )1n (n ；(4)∑∞=1n n 2x n . 解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=12n 32n lim ∞n ++→=1，又当x=±1时，级数∑∞=+±0n 12n 1发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S ’(x)=∑∞=+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0n 12n 12n x =∑∞=0n 2nx =2x 11-, ∴S(x)=⎰x 02t -1dt =21ln x -1x 1+, x ∈(-1,1). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n nnx =x ∑∞=1n 1-n nx =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n nt dt=∑∞=1n n x =x 11-，∴f(x)='⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 11=2x )1(1-. ∴S(x)=2x )1(x-, x ∈(-1,1). (3)∵R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n (n 1)n(n lim ∞n +++→=1，又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且⎰xS(t)dt=∑⎰∞=+1n xn1)t n(n dt=∑∞=+1n 1n nx=x ∑∞=1n nnx =22x)1(x -. ∴S(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22x)1(x =3x )1(2x-, x ∈(-1,1). (4)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n n2x n =x ∑∞=1n 1-n 2x n =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n 2t n dt=∑∞=1n n nx =2x )1(x -，∴f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2x)1(x=3x )1(x 1-+. ∴S(x)=32x)1(x x -+, x ∈(-1,1).3、证明：设f(x)=∑∞=0n nn x a 当|x|<R 时收敛，若∑∞=++0n 1n nR 1n a 也收敛，则 ⎰Rf(x )dx=∑∞=++0n 1n n R 1n a . 应用这个结论证明：⎰+10x 11dx=ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).证：∵∑∞=++0n 1n n R 1n a 收敛，补充定义f(x)=∑∞=++0n 1n n R 1n a , x=R.则f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R]. ∴⎰R0f(x )dx=∑⎰∞=0n R0nn x a dx=∑∞=++0n 1n nR 1n a . 对幂级数∑∞=1n 1-n 1-n x(-1)=x 11+, 又当x=1时，∑∞=+1n 1n n 1(-1)收敛，∴⎰+10x 11dx= ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).4、证明：(1)y=∑∞=0n 4n (4n)!x 满足方程y (4)=y ；(2)y=∑∞=0n 2n )(n!x 满足方程xy ”+y ’-y=0. 证：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n (4n)!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 4n (4n)!x =∑∞=1n 1-4n 1)!-(4n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 1-4n 1)!-(4n x =∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x ；y ”’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x =∑∞=1n 3-4n 3)!-(4n x ；y (4)=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 3-4n 3)!-(4n x =∑∞=1n 1)-4(n 1)]!-[4(n x =∑∞=0n 4n (4n)!x =y. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n )(n!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 2n )(n!x =∑∞=0n 1-n n!1)!-(n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=0n 2-n n!2)!-(n x . 则 xy ”+y ’=x ∑∞=1n 2-n n!2)!-(n x +∑∞=1n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=1n 21-n ]1)!-[(n x =∑∞=0n 2n )(n!x =y. ∴xy ”+y ’-y=0.5、证明：设f 为∑∞=0n n n x a 在(-R,R)上的和函数，若f 为奇函数，则原级数仅出现奇次幂的项，若f 为偶函数，则原级数仅出现偶次幂的项. 证：∵f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R)；∴f(-x)=∑∞=0n n n n x a (-1).若f 为奇函数，即f(-x)=-f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=-∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =-a n ,当n=2k-1时，成立；当n=2k 时，a 2k =0. 即f(x)=∑∞=1k 1-2k 1-2k x a .若f 为偶函数，即f(-x)=f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =a n ,当n=2k 时，成立；当n=2k-1时，a 2k-1=0. 即f(x)=∑∞=0k 2k 2k x a .6、求下列幂级数的收敛域：(1)∑+n n n b a x (a>0,b>0)；(2)nn x n 112∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+.解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=n n 1n 1n ∞n b a b a lim ++++→=max{a,b}，又当|x|=R 时， nn n∞n b a R lim +→=1≠0，∴原级数的x=±R 发散，收敛域为(-R,R). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n n ∞n 2n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=n∞n n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=e ，∴R=e 1， 又当x=±e 1时，nn ∞n e 1n 11lim 2⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+→≠0，∴原级数在x=±e 1发散， 收敛域为(-e 1,e1).7、求下列幂级数的收敛半径：(1)n n n x n](-1)[3∑+；(2)a+bx+ax 2+bx 3+… (0<a<b).解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n n∞n n 4lim →=n ∞nn4lim →=4，∴R=41. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n b lim →=1，∴R=1.8、求下列幂级数的收敛半径及其和函数：(1)∑∞=+1n n 1)n(n x ；(2)∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x ；(3)∑∞=+2n n2x 1n )1-n (. 解：(1)R=1n n ∞na a lim +→=1)n(n )2n )(1n (lim ∞n +++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=+1n n 1)n(n x =∑∞=++1n 1n 1)n(n x x 1=x 1f(x).∵f ”(x)='⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∞=+1n 1n 1)n(n x =∑∞='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1n nn x =∑∞=0n n x =x -11. ∴f ’(x)=⎰xt-11dt=-ln(1-x)；f(x)=⎰--x 0)t 1ln(dt=(1-x)ln(1-x)+x. 又当x=1时，S(1)=∑∞=+1n 1)n(n 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→1n 11lim ∞n =1；当x=0时，S(0)=0. ∴S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+ 0x ，0 1x ，10x 1x 1，1x)-ln(1x x-1且. (2)R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n n(n )3n )(2n )(1n (lim ∞n +++++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x =∑∞=+++1n 2n 22)1)(x n(n x x 1=2x 1f(x). ∵f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1n 2n 2)1)(x n(n x=∑∞=++1n 1n 1)n(n x =x ∑∞=+1n n 1)n(n x =(1-x)ln(1-x)+x.∴f(x)=t]t)-t)ln(1-[(1x 0+⎰dt=-21(1-x)2ln(1-x)+43x 2-21x.又当x=0时，S(0)=0；当x=1时，S(1)=f(1)=41.∴S(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+- 0x ，0 1x ，410x 1x 1，432x 1-x)-ln(12xx)-(122且 . (3)R=1n n ∞n a a lim +→=1)(n n 2)(n )1-n (lim 22∞n ++→=1. 又当x=±1时，原级数发散. ∴收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=+2n n 2x 1n )1-n (=∑∞=++2n 1n 21n x 1)-(n x 1=x 1f(x). f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2n 1n 21n x 1)-(n =∑∞=2n n 2x )1-n (=x 2∑∞=2n 2-n 2x )1-n (=x 2g(x). ⎰xg(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n 2t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x )1-n (=x ∑∞=2n 2-n x )1-n (=xh(x).⎰xh(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x =∑∞=1n n x =x-1x. ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛x -1x =2x )-(11；g(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡2x)-(1x =3x )-(1x 1+；f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+332x)-(1x x =42x)-(1x 42x +； 又当x=0时，S(0)=0；∴S(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=<+0x 0，1|x |，x )-(1x424.9、设a 0, a 1, a 2,…为等差数列(a 0≠0). 试求： (1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径；(2)数项级数∑∞=0n nn2a 的和数. 解：记等差数列a 0, a 1, a 2,…的公差为d ，则a n =a 0+nd ，a n =a 0+(n+1)d ，R=1n n∞n a a lim +→=1)d n (a nd a lim 00∞n +++→=1. ∴幂级数∑∞=0n n n x a 有收敛区间(-1,1). 记S(x)=∑∞=0n nn x a =∑∞=+0n n0nd)x (a = a 0∑∞=0n nx +d ∑∞=0n n nx =x 1a 0-+2x )1(dx-，当x=21∈(-1,1)时，S(21)=∑∞=0n nn 2a =2a 0+2d=2a 1. ∴(1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径R=1; (2)数项级数∑∞=0n n n2a 的和数S=2a 1.。
根据幂级数的运算知识点总结
根据幂级数的运算知识点总结
幂级数是数学中一类重要的级数，它常用于数值计算、函数逼
近和方程求解等领域。
以下是幂级数运算的一些核心知识点总结：
1. 幂级数的定义：
幂级数是形如∑(aₙxⁿ)的级数，其中aₙ是常数系数，x是变量，ⁿ表示指数。
2. 幂级数的收敛性：
(1) 当级数的通项aₙxⁿ的绝对值在某一范围内都趋于0时，该
幂级数收敛。
(2) 幂级数的收敛半径R能够通过求取lim|(aₙ)/(aₙ₊₁)|来计算。
3. 幂级数的运算法则：
(1) 幂级数的加法：将相同次数的各项系数相加即可。
(2) 幂级数的乘法：将幂级数展开后，相同次数的各项系数相
乘再相加。
4. 幂级数的展开：
(1) 幂级数的展开可以利用函数的泰勒级数来进行，泰勒级数
是一种特殊的幂级数表示。
(2) 对于某些特殊函数，如指数函数、三角函数等，可以利用
已知的展开式来得到幂级数的展开形式。
5. 幂级数的收敛域：
幂级数的收敛域是指使得幂级数收敛的变量取值范围。
一般来说，幂级数在其收敛半径范围内收敛，而在其边界上需要额外判断。
以上是根据幂级数的运算知识点的总结，希望对您有帮助！。
第三节、幂级数-精品文档62页
a(xx)n aXn
n
0
n
n0
n0
n
Sn(x) akxk a 0 a 1 x a n x n ,
k0
称为axn n n1
的部分和.
当幂级数收敛时, 由
li(S m (x)S (x) )0
n n
可知, 不论“和函数”多么复杂, 我们可以用多
证明
(1)
n0
a n
xn收 0
敛
,ln i m anx0n0,
M, 使a n x 得 0 nM (n 0 ,1 ,2 , )
anxn
anx0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
M
n
x x0
当 x 1时, x0
等比级 数 Mx
n
收敛 ,
n0 x0
n1
a
n
x
n
是否也具有上述现象？
2.收敛性:
定理 1 (Abel 定理)
若幂 级 anxn 在 数 xx0（0x 0）处 , n0
则对任 |x|何 |x| 满 的 x足 值 幂 ,级数.绝 0 若幂 an 级 xn 在 数 xx0 处发 则散 对 n 0 任何|x 满 ||x足 |的 x值 幂 ,级数 . 0
幂级数
一、幂级数的定义 二、幂级数的收敛性 三、幂级数的运算
一、函数项级数的一般概念
1.定义:
设 un( x) 是 定 义 在 I R 上 的 函 数 列 , 则
un( x) u1( x) u2( x) un( x)
第四讲 幂级数的运算
数学分析第十四章幂级数
幂级数的运算
第四讲
数学分析第十四章幂级数
定理14. 9
n
n n a x ∞=∑0
n
n n b x ∞
=∑0x =若幂级数与在的某邻域内有相
同的和函数,(1,2,).
n n
a b n == 这个定理的结论可直接由定理14. 8的推论2得到.根据这个推论还可推得: 若幂级数(2)的和函数为奇(偶)函数, 则(2)式不出现偶(奇)次幂的项.
幂级数的运算
则它们同次幂项的系数相等, 即
数学分析第十四章幂级数
定理14. 10
n
n n a x 与
∞
=∑0n
n n b x
∞
=∑若的收敛半径分别为R a 和R b ,00
,
||,
n n
n n a n n a x a x x R λλ∞∞
===<∑∑0
(),||,
n
n
n
n
n n n n n n a
x b x a b x x R ∞
∞
∞
===±=±<∑∑∑000
,||,n n n
n n n n n n a x b x c x x R ∞∞∞
===⎛⎫⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑0
,min{,},.
n
a b n k n k k R R R c a b λ式中为常数-===∑定理的证明可由数项级数的相应性质推出.
则
1
n
x+有相同收敛试问它们的收敛域之间有什么关系?
一个幂级数有无限多个项的系数为零, 称为缺项幂级。
幂级数
间的长度, 则称R为幂级数的收敛半径. 事实上, 收 敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的
上确界. 所以有
(i) 当 R 0 时, 幂级数(2)仅在 x 0 处收敛; (ii) 当 R 时, 幂级数(2)在 ( , )上收敛;
(iii)当 0 R 时, 幂级数(2)在 ( R, R) 内收敛; 对
例5 级数
( x 1)n x 1 ( x 1)2 2n n 2 22 2
( x 1)n n 2 n
, (6)
由于
1 n 1 2n1 ( n 1) ( n ), 1 2( n 1) 2 2n n
所以级数(6)的收敛半径 R 2 , 从而级数(6)的收敛 区间为 | x 1 | 2 即 ( 1, 3).
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求积后得到的幂级数
a1 2a2 x 3a3 x 2
与
a1 2 a2 3 a0 x x x 2 3 的收敛区间.
nan x n1
an n1 x n 1
(7)
(8)
定理14.7 幂级数(2)与幂级数(7)、(8)具有相同的收
敛区间.
证 这里只要证明(2)与(7)具有相同的收敛区间就可 以了, 因为对(8)逐项求导就得到(2).
n
幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法, 可以参考第十二章的相关说明.
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2 a n x n1 1( n ), 例1 级数 2 , 由于 2 an ( n 1) n
n
所以其收敛半径 R 1 , 即收敛区间为 ( 1, 1) ; 而当
( 1)n 1 1 x 1 时, 有 2 , 由于级数 2 收敛, 所 2 n n n
幂级数
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
n!
( x x0 ) lim S n1 ( x )
n n
x ( x0 ) x ( x0 )
n
S n1 ( x) f ( x) Rn ( x) lim S n1 ( x) f ( x)
S ( x) C e
x x
e
x
S ( x) 0
由S (0) 1 得 S ( x) e ,
故得
例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
n x ( x ) x x n n 1 n 1
x x 1 x
f (0) f (0) x
x
2
f
(n)
(0)
x
n
n!
待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
内具有 定理1 设 f (x) 在 x0 的某一邻域 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
n n ! ( n 1) !
对任何有限数 x , 其余项满足
e
3) 若 , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
因此 R 0 .
注:据此定理
的收敛半径为 R lim
an an 1
n
例1.求幂级数 的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim
an an 1
n
lim
n
n 1 n 1
幂级数
n
记 lim
n
（如果极限存在）
(*) 收敛，级数①绝对收敛 ； 1， x 1 ， (*)发散，级数①发散； 1 , 级数①可能收敛亦可能 发散
记 lim
an1 an
n
（如果极限存在）
1 绝对收敛，当 x n 故 an x 1 n 1 发散 ，当 x
n a x n 的收敛半径为R（ 0）， n 0
则其和函数 s( x ) 在( R , R ) 内可导，有 n n n 1 s( x ) a x a x na x n n n n 0 n 1 n 0
)dx nx
x n 1 0
n 1
dx
1 n n x n n 1
x
0
x x ，当 x 1 时 1 x n 1
n
上式两边同时对x 求导得和函数： 1 x s( x ) ， x ( 1， 1) 2 1 x (1 x )
2
(2n 1)(2n 2) lim 4 2 n (n 1) (2n)! 2 n 幂级数 x 2 n 0 ( n!)
n
余项
二、幂级数及其收敛性
形如 a0 a1 x a 2 x an x a n x
2 n n 1
n
n
①
n
或 a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 ) a n ( x x0 ) ②
n 1
称为关于x 或 x x0 的幂级数。
幂级数的运算
( −1 < x ≤ 1)
1 n −1 例 3：求 ∑ n x 的收敛域，并求其和函 数。 1 n2 1 1 解： R = lim = lim =2 n→ ∞ n→ ∞ n a 1 n n n n2 ∞ ( −1)n −1 ∞ 1 x = −2, ∑ 收敛， x = 2, ∑ 发散， 2n 1 1 2n
n ′ 即 s ( x ) = ( ∑ a n x )′ n= 0 ∞
= ∑ (a n x n )′ = ∑ nan x n−1 .
n= 0
n =1
∞
∞
(收敛半径不变)
例 2 求级数
n −1 ( − 1 ) ∑ n =1
∞
∞
xn 的和函数. n
xn , 显然 s(0) = 0, n
n −1 Q s ( x ) = ( − 1 ) 解 ∑ n =1
( ∑ a n x n ) ⋅ ( ∑ bn x n )= ∑ cn x n . x ∈ (− R, R )
n= 0 n= 0
n= 0
∞
∞
∞
(其中 cn = a0 ⋅ bn + a1 ⋅ bn−1 + L + an ⋅ b0 )
柯 西 乘 积
1 a0 b0 a1b0 a 2 b0 a 3 b0
L
x a0 b1 a1b1
1 ]x n n+1
2 + x 1 − x2 = + ln(1 − x ) ( x < 1, x ≠ 0) 4 2x ∞ 1 1 5 3 = s( ) = − ln 2. ∑ 2 n 2 8 4 2 ( n − 1)2
x 1 = [− ln(1 − x )] − [− ln(1 − x ) − x − x 2 ] 2 2x
幂级数除法
幂级数除法
幂级数除法是一种重要的数学运算方法，它可以在无限级数的情况下计算两个幂级数的商。
幂级数除法的基本思想是通过将被除数和除数展开成无限级数的形式，再利用级数的基本性质进行运算。
具体来说，对于形如$f(x)=sum_{n=0}^infty a_nx^n$和
$g(x)=sum_{n=0}^infty b_nx^n$的两个幂级数，我们要求解的是它
们的商$Q(x)$，即$f(x)/g(x)$。
幂级数除法的具体步骤如下：
1. 首先，将$f(x)$和$g(x)$展开成幂级数的形式，即
$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+cdots$和$g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+cdots$。
2. 确定商的首项系数$q_0$，即$Q(x)=q_0+c_1x+c_2x^2+cdots$，其中$c_1,c_2,cdots$是待求系数。
3. 用$Q(x)$去除$g(x)$，即求得$h(x)=f(x)-Q(x)g(x)$。
4. 根据$h(x)$的系数求出$c_1,c_2,cdots$，即
$c_1=frac{a_1-q_0b_1}{b_0}$，
$c_2=frac{a_2-q_0b_2-c_1b_1}{b_0}$，以此类推。
5. 重复步骤3和步骤4，直到求出所有$c_i$。
通过幂级数除法，我们可以得到两个幂级数的商$Q(x)$，从而得到它们的其他有关信息，如求导、积分和求和等。
幂级数除法在微积分、概率论、数论等领域都有广泛的应用。
- 1 -。
第三讲_幂级数
§8.3 幂级数一、幂级数的概念1.定义 定义1 形如n n n nn x a x a x a x a a ∑∞==++++02210的级数，称为关于x 的幂级数，其中 ,,,,,210n a a a a 都是常数，称为幂级数的系数． 形如+-+-+-+n n x x a x x a x x a a )()()(0202010的级数，称为关于0x x -的幂级数．将0x x -换成x ，这个级数就变为n n nx a∑∞=0．下面将主要研究形如nn nx a∑∞=0的幂级数． 2. 收敛域 幂级数n n nx a∑∞=0当x 取某个数值0x 后，就变成一个相应的常数项级数，可利用常数项级数敛散性的判别法来判断其是否收敛．若n n nx a∑∞=0在点0x 处收敛，称0x 为它的一个收敛点；若nn nx a∑∞=0在点0x 处发散，称0x 为它的一个发散点；n n n x a ∑∞=0的全体收敛点的集合，称为它的收敛域；全体发散点的集合称为它的发散域．例1 判断幂级数 +++++nx x x 21的敛散性．解 由第一节例3可知，当1<x 时，该级数收敛于和x-11，当1≥x 时，该级数发散．因此，其收敛域是开区间)1,1(-，发散域是(]1,-∞-及[)+∞,1．二、幂级数的收敛性定理1 （阿贝尔定理）若幂级数nn nx a∑∞=0当)0(00≠=x x x 时收敛，则对 0x x <的x ，幂级数nn nx a∑∞=0绝对收敛．反之，若幂级数n n n x a ∑∞=0当)0(00≠=x x x 时发散，则对一切适合不等式0x x >的x ，幂级数nn n x a ∑∞=0都发散． 证 若n n nx a∑∞=0在0x x =处收敛，则0lim 0=+∞→nn n x a ，于是，nn x a 0是有界变量．故存在0>M ，使对一切的n 都有M x a nn ≤≤00成立．从而有nnnn n n n n n n x xM x x x a x x x a x a 00000≤⋅=⋅=，当0x x <时，10<x x ．故等比级数nn x x ∑∞=00收敛．由正项级数的比较判别法知，级数∑∞=0n nnx a 收敛；即级数nn n x a ∑∞=0绝对收敛． 用反证法证明后半部分结论．若存在点x ，使得0x x >时，n n nx a∑∞=0收敛．由前半部分证明的结论知，n n nx a∑∞=0绝对收敛；这与已知矛盾．故对一切适合0x x >的x ，幂级数n n nx a∑∞=0发散．推论 若幂级数n n nx a∑∞=0不是仅在0=x 处收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当R x <时，幂级数绝对收敛； 当R x >时，幂级数发散；当R x =与R x -=时，幂级数可能收敛也可能发散．R 称为幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径．再由R x ±=处的收敛性，便可确定该幂级数的收敛区间．若只在0=x 处收敛，我们规定它的收敛半径0=R ；若对任何实数x ，幂级数n n nx a∑∞=0皆收敛，则规定其收敛半径+∞=R ，这时收敛区间是),(+∞-∞．关于幂级数的收敛半径有如下定理．定理2 设幂级数n n n x a ∑∞=0，若 ρ=++∞→nn n a a 1lim；则幂级数的收敛半径为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞==∞+≠=ρρρρ,00,0,1R ． 例1 试求下列幂级数的收敛区间：（1） +++++n nx x x 24212； （2） +-+-+-+-nn nxx x x x )1(432432；（3）nx n n n∑∞=-1)1(；（4）∑∞=⋅-12)1(n nnn x ． 解 （1）因为 212121lim 1==++∞→nn n ρ，所以收敛半径2=R ．当2-=x 时，+-+-=-∑∞=11112)2(0n nn 发散；当2=x 时，∑∑∞=∞==01122n n n n发散；因此，其收敛区间是)2,2(-．（2）因为11lim 1)1(11)1(lim lim11=+=-+-==+∞→++∞→++∞→n n nn a a n nn n nn n ρ．所以收敛半径1=R ．当1-=x 时，∑∑∞=∞==-1121)1(n n n nn 发散；当1=x 时，由莱布尼兹判别法知，条件收敛；因此其收敛区间为(]1,1-．（3）因为11lim 111lim lim1=+=+==+∞→+∞→++∞→n n nn a a n n nn n ρ，所以收敛半径1=R ．当1-=x 时，∑∑∞=∞==-1121)1(n n nnn)1(<p 发散；当1=x 时，∑∞=-1)1(n nn条件收敛，因而其收敛区间为(]1,1-．（4）因为,211lim 21212)1(1lim lim11=+=⋅⋅+==+∞→++∞→++∞→n n nn n a a n n n nn n ρ所以收敛半径2=R ．当21-=-x 时，∑∞=-1)1(n n n 收敛；当21=-x ，∑∞=11n n 发散，因此收敛区间为[)3,1-． 三、幂级数的运算设有两个幂级数+++++=∑∞=n n n n nx a x a x a a x a22100与+++++=∑∞=n n nn n x b x b x b b xb 22100分别在区间),(11R R -及),(22R R -内收敛，且其和函数为)(1x s 与),(2x s 设{}21,min R R R =，则在),(R R -内有如下运算法则：1．加法)()()(210x s x s x b a x b x an n n n nn n nn n±=±=±∑∑∑∞=∞=∞=．2．数乘幂级数 设n n nx a∑∞=0在区间),(R R -内收敛于s ，则对非零常数k ，有)()(0x ks x ka x a k n n n nn n ==∑∑∞=∞=．3．乘法运算)()(10100++++⋅++++=⋅∑∑∞=∞=n n n n n n n nn nx b x b b x a x a a x b x a++++++++=-∞=∑n k n k k x b a x b a b a b a x b a b a b a )()()(02021*********)()(21x s x s ⋅=在),(R R -内收敛，且和函数为 )()(21x s x s ⋅．4．逐项微分 设)(0x s x an n n=∑∞=，收敛半径为R ，则对一切),(R R x -∈，都有10)()(-∞=∞=∑∑='='n n n nn n x na x a x s ．5．逐项积分 设)(0x s x an n n=∑∞=，收敛半径为R ，则对一切),(R R x -∈，都有100001)()(+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑⎰+===n n n nn xn xnn n x x n a dx x a dx x a x s ．性质4、5表明：收敛的幂级数逐项求导或逐项积分得到的新幂级数，其收敛半径不变．例2 求)232(0∑∞=-+n n nn x x 的收敛区间． 解 因为313232lim 321321lim lim111=++=++=++∞→++∞→++∞→n n n nn n nn n a a ．所以，幂级数∑∞=+032n n n x 的收敛半径 31=R ；类似地，可求得幂级数∑∞=02n nx 的收敛半径为12=R ． 又∑∑∞=∞==00212n n n n x x 在1±=x 处都发散，因此)232(0∑∞=-+n nnn x x 的收敛区间为)1,1(-． 例3 求幂级数∑∞=++012n n n x 在区间 )1,1(-内的和函数．解 设和函数为)(x s ，则 ∑∞=++=012)(n n n x x s ，显然0)0(=s ．于是∑∞=++=022)(n n n x x xs 逐项求导,得 .10,1])([01<<-==='∑∑∞=∞=+x xxx x xx xs n n n n 对上式从0到x 积分,得 x x dt t tx xs x---=-=⎰)1ln(1)(0，于是,有 1)1ln()(---=xx x s ， 从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<---=.0,0,10,1)1ln(1)(x x x xx s小结1.函数项级数的收敛域、和函数的概念;2.幂级数的收敛半径、收敛区间求法;3.幂级数在其收敛区间内的一些基本性质,及和函数的求法。
幂级数的运算
x
=
2
1 −
x
∫0x[ xs(
x)]′dx
=
∫0x
2
1 −
dx x
2
xs( x) = [− ln(2 − x)]0x = ln 2 − ln(2 − x)
∞
∑
1
1 n2n
x n−1
=
1 2
+
2
x ⋅ 22
+
L
x = 0时，s( x) = 1 . 2
s(
x)
=
−1 x 1
ln(1
−
x ), 2
=
x
∞
∑
2
x n
n−1
−1
=
xg( x)
g′(
x)
=
∞
∑
x n−2
2
=
1
1 −
x
( x < 1)
g(
x)
−
g(0)
=
∫0x
1
1 −
dx x
=
−
ln(1
−
x)
g( x) = − ln(1 − x)
h( x)
=
∞
∑
2
xn n+1
=
1 x
∞
∑
2
x n
n+1
+1
g(
x)
=
∞
∑
2
x n−1 n−1
=
− ln(1
4 2x
∞
∑
2
(
n2
1 − 1)2n
=
s(1) 2
=
5 8
−
幂级数的和函数
幂级数的和函数一、 幂级数的运算：设与0nn n a x∞=⋅∑0n nn bx ∞=⋅∑两个幂级数，收敛半径分别为1R ,2R ,则在它们的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：nnnn n n ax b xλμ∞∞==⋅±⋅∑∑=()n nn n ab x λμ∞=±∑其中λ、μ为常数。
当12R R ≠时，上式的收敛半径为12min{,}R R R =ii 乘法和除法：00nnn n n n n a x b x c x ∞∞∞===⋅=∑∑∑n 1其中011n n n n c a b a b a b −=++⋅⋅⋅+二、 和函数： 设的收敛半径为R (R>0)，为和函数，则有以下性质成立0nn n a x∞=∑0()nn n S x a x ∞==∑i 和函数在（-R,+R ）内可导，并且有逐项求导公式：10()()n n n n n n S x a x na x ∞∞−==′′==∑∑且，同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii 由此，和函数S （x ）在（-R,+R ）内任意次 可导，并有逐项求导公式：()()()()(1)(2)(1)k n k n n n kn n S x a x n n n n k a x∞=∞−===−−⋅⋅⋅−+∑∑它的收敛半径仍然为R 。
iii 在（-R,+R ）内逐项积分公式成立1000()1xxnn n n n n a S t dt a t dt n ∞∞+====+∑∑∫∫并且，逐项积分后收敛半径也不变iv 若幂级数在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n n n a x ∞=∑（A ） 0lim ()nn x R n S x a R ∞→−==∑lim ()()n n x R n S x a R ∞→+==−∑（B ） 可以在[0,R]或者[-R,0]上逐项积分，即：100()1Rn n n a S x dx n ∞+==+∑∫ 010()()1n n n Ra S x dx R n ∞+=−−=−+∑∫（C ） 逐项求导之后的级数1()()nn n n n n S x a x na x ∞∞−==′′==∑∑在X=R(-R)处可能发散。
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即 s( x ) s(0) = ln(1 + x ) ∴ s( x ) = ln(1 + x ),
∞ 1 xn n 1 收敛 . ∴ ∑ ( 1) n1 又 x = 1时, ∑ ( 1) 时 = ln(1 + x ). n n n =1 n =1
( 1 < x ≤ 1)
1 n 1 的收敛域， 例3：求 ∑ n x 的收敛域，并求其和函 数。 1 n2 1 1 解： R = lim = lim =2 n→ ∞ n a n→ ∞ 1 n n n n2 ∞ ( 1)n1 ∞ 1 x = 2, ∑ 收敛， 收敛， x = 2, ∑ 发散， 2n 2n 2n 1 1 2n
∞
2 收敛域 [ 2，)
1 n 1 1 ∞ 1 n 设s( x ) = ∑ n x = ∑ nx , 1 n2 x 1 n2
∞
x≠0
1 n 则xs( x ) = ∑ n x 1 n2
∞
1 n 1 1 ∞ 1 n 1 1 1 1 ∴ [ xs( x )]′ = ∑ n x = ∑ x = = n1 1 2 212 21 x 2 x 2 x x 1 dx ∫0 [ xs( x )]′dx = ∫0 2 x
n= 0
∞
两级数的收敛区间小得多) 两级数的收敛区间小得多
2.和函数的分析运算性质: 2.和函数的分析运算性质: 和函数的分析运算性质
(1) 幂级数 ∑ a n x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
n= 0 ∞
( R, R ) 内连续 连续.
(2) 幂级数
∑a
n= 0
∞
n
x 的和函数 s( x ) 在收敛区间
∞ xn xn = x 2 ( ∑ )′′ + x ∑ = x 2 (e x 1)′′ + xe x n=1 n! n= 0 n! ∞
= e x ( x + 1) x ,
1 n2 1 1 1 3 ∴∑ = s( ) = e 2 ( + 1) = e. n 2 2 2 4 n =1 n!2
∞
思考题
xn 例 2 求 数∑(1)n1 的 函 . 级 和 数 n n=1
xn n 1 , 显然 s(0) = 0, 解 ∵ s( x ) = ∑ ( 1) n n =1
∞
∞
1 s ′( x ) = 1 x + x = , ( 1 < x < 1) 1+ x
2
两边积分得
∫
∞
x
0
s′( t )dt = ln(1 + x )
n
( R, R ) 内可积 且对x ∈ ( R, R ) 可逐项积分 内可积,且对 可逐项积分.
即∫ s( x)dx = ∫ (∑an xn )dx
0 0 n=0
x
x
∞
an n+1 收敛半径不变) 收敛半径不变 x . (收敛半径不变 = ∑∫ an x dx= ∑ 0 n=0 n + 1 n=0
三、幂级数的运算
1.代数运算性质:P193 1.代数运算性质:P193 代数运算性质
设∑ an x n和∑ bn x n的收敛半径各为 R1和R2 , R = min{R1 , R2 }
(1) 加减法
n= 0 n= 0
∞
∞
∑ an x ± ∑ bn x = ∑ c n= 0 n= 0
n n
n= 0
∞
n 1 ∞
(2) 乘法
( ∑ a n x n ) ( ∑ bn x n )= ∑ cn x n . x ∈ ( R, R )
n= 0 n= 0
n= 0
∞
∞
∞
(其中 cn = a0 bn + a1 bn1 + + an b0 ) 其中
柯 西 乘 积
1 a0 b0
a1b0 a 2 b0 a 3 b0
∞ 2
2
s(1)
x2 + 2 = ( 2 x 2 )2
2n 1 = 3, 故 ∑ n = 3. x =1 2 n =1
∞
∞ xn . 求幂级数∑ 及 ∑n(n + 1)xn 的和函数 n=1 n(n + 1) n=1
∞
2n 1 . 求∑ n 的和 n=1 2 ∞ 解 令 s( x ) = ∑ 2n 1x 2 n 2 , ( 2, 2 ) n 2 n =1
x2 + 2 lim s( x ) = lim = 3, 2 2 x →1 x →1 ( 2 x )
2n 1 故 ∑ n = 3. 2 n =1
∞
n2 . 求∑ n 的和 ! n=1 n 2
∞
解
n2 n 令 s( x ) = ∑ x , n=1 n!
∞
∞
( ∞ ,+∞ )
n( n 1) + n n ∞ n( n 1) n ∞ 1 ∵ s( x ) = ∑ x =∑ x +∑ xn n! n! n=1 n=1 n=1 ( n 1)!
例4 解
求级数∑(n + 1)( x 1)n 收 敛域及和函数.
∵ ( n + 1)( x 1)n 的收敛半径为 R = 1, ∑
n= 0 ∞
∞
n=0
收敛域为 1 < x 1 < 1,
即 0 < x < 2,
设此级数的和函数为 s( x ), 则有 s( x ) = ∑ ( n + 1)( x 1)n .
∞
∞
n
x .
n
x ∈ ( R, R )
(其中 cn = an ± bn ) 其中
例1：设幂级数 ∑ an x 与∑ bn x n的收敛半径
n 1 1
∞
∞
分别为 R1与R2，当R1 < R2时，求∑ (an + bn ) x
1
∞
n
的收敛半径； 能否求收敛半径？ 的收敛半径；当 R1 = R2时，能否求收敛半径？
n(n + 1) 和. 例 5 求∑ 的 和 n 2 n=1
解
∞
考虑级数 ∑ n( n + 1)x n ,
n =1
∞
收敛区间(-1,1), 收敛区间
∞
x2 )′′ 则 s( x ) = ∑ n( n + 1) x n = x ( ∑ x n+1 )′′ = x ( 1 x n =1 n =1
2x , = 3 (1 x )
∞
解
2n 1 2 n 2 令 s( x ) = ∑ n x , 2 n =1
∞
( 2 , 2 )
s( x ) = ( ∑ ∫
n=1
∞
x
0
∞ 2n 1 2 n 2 x 2 n 1 x dx )′ = ( ∑ n )′ n 2 n =1 2
x 1 x 1 x n x2 + 2 )′ = = ( ∑ ( ) )′ = ( )′ = ( , 2 2 2 2 x n=1 2 x 2 x 2 x (2 x )
∞
x 2 n 1 n 1 (5) ∑ ( 1) = sin x; ( 2n 1)! n =1
x (6) ∑ ( 1) = ln(1 + x ); n+1 n= 0
n
∞
n+1
∞
xn 1 ∞ x n+1 h( x ) = ∑ = ∑ x 2 n+1 2 n+1
∞
x n 1 g( x ) = ∑ = ln(1 x ) 2 n1 1 x2 1 ∞ x n +1 = [ ln(1 x ) x ] h( x ) = ∑ 2 x 2 n+1 x ∞ ∞ 1 xn 1 1 s( x ) = ∑ ]x n =∑ [ n+1 2 ( n 1)( n + 1) 2 2 n1
x n
∞
∞
(3) 幂级数
a n x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间 ∑
n=0
∞
( R, R ) 内可导, 并可逐项求导任意次. 内可导 并可逐项求导任意次
即s′( x) = (∑an xn )′
n=0
∞
= ∑(an xn )′ = ∑nan xn1.
n=0
n=1
∞
∞
(收敛半径不变 收敛半径不变) 收敛半径不变
∞
1 ]x n n+1
∞ x n 1 xn = x∑ = xg ( x ) ∑ 2 n1 2 n1 ∞
1 ( x < 1) = g ′( x ) = ∑ x 1 x 2 x 1 g ( x ) g (0) = ∫0 dx = ln(1 x ) 1 x g( x ) = ln(1 x )
n 2
解：设R = min{R1 , R2 } R0 = max{R1 , R2 }
当 x < R时， an x 、 bn x n收敛 ∑ ∑
n ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1
收敛。 ∴ ∑ (an + bn ) x n收敛。
∞ 1 n ∞ 1 ∞ 1
R2 R1 O
R1 R2
中一个收敛一个发散。 当R < x < R0时， an x 、 bn x n中一个收敛一个发散。 ∑ ∑ ∴ ∑ (an + bn ) x n发散。 发散。 ∴当 x > R时， (an + bn )x 发散。 ∑
n )dx = ∑ ∫ ( n + 1)( x 1) dx
x n n= 0 ∞ 1
∞
= ∑ ( x 1)n+1 1x = ∑ ( x 1)n+1
n= 0 n= 0
∞
x 1 x 1 = , = 1 ( x 1) 2 x 求导， 两边再对 x 求导，得