幂级数的运算

例4 解
求级数∑(n + 1)( x 1)n 收 敛域及和函数.
∵ ( n + 1)( x 1)n 的收敛半径为 R = 1, ∑
n= 0 ∞
∞
n=0
收敛域为 1 < x 1 < 1,
即 0 < x < 2,
设此级数的和函数为 s( x ), 则有 s( x ) = ∑ ( n + 1)( x 1)n .
x a0 b1
a1b1
x2 x3 a0 b2 a0 b3
a1b2 a1b3 a 2 b3 a 3 b3
a 2 b1 a 2 b2 a 3 b1 a 3 b2
(3) 除法
(收敛域内 ∑ bn x n ≠ 0)
n= 0
∞
∑ an x n= 0
∞ n= 0
∞
n
bn x n ∑
相除后的收敛区间比原来 = ∑ cn x n . (相除后的收敛区间比原来
∞
∞
n
x .
n
x ∈ ( R, R )
(其中 cn = an ± bn ) 其中
例1：设幂级数 ∑ an x 与∑ bn x n的收敛半径
n 1 1
∞
∞
分别为 R1与R2，当R1 < R2时，求∑ (an + bn ) x
1
∞
n
的收敛半径； 能否求收敛半径？ 的收敛半径；当 R1 = R2时，能否求收敛半径？
x n
∞
∞
(3) 幂级数
a n x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间 ∑
n=0
∞
( R, R ) 内可导, 并可逐项求导任意次. 内可导 并可逐项求导任意次
即s′( x) = (∑an xn )′
n=0
∞
= ∑(an xn )′ = ∑nan xn1.
n=0
n=1
∞
∞
(收敛半径不变 收敛半径不变) 收敛半径不变
∞
1 ]x n n+1
∞ x n 1 xn = x∑ = xg ( x ) ∑ 2 n1 2 n1 ∞
1 ( x < 1) = g ′( x ) = ∑ x 1 x 2 x 1 g ( x ) g (0) = ∫0 dx = ln(1 x ) 1 x g( x ) = ln(1 x )
n 2
xs( x ) = [ ln( 2
∞
x x )]0
∞
= ln 2 ln( 2 x )
1 n 1 1 x ∑ nx = + 2 + 2 22 1 n2 1 x = 0时，s( x ) = . 2 x 1 x ln(1 2 ), 2 ≤ x < 0 ∪ 0 < x < 2 s( x ) = 1 x=0 2
解：设R = min{R1 , R2 } R0 = max{R1 , R2 }
当 x < R时， an x 、 bn x n收敛 ∑ ∑
n ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1
收敛。 ∴ ∑ (an + bn ) x n收敛。
∞ 1 n ∞ 1 ∞ 1
R2 R1 O
R1 R2
中一个收敛一个发散。 当R < x < R0时， an x 、 bn x n中一个收敛一个发散。 ∑ ∑ ∴ ∑ (an + bn ) x n发散。 发散。 ∴当 x > R时， (an + bn )x 发散。 ∑
n(n + 1) 和. 例 5 求∑ 的 和 n 2 n=1
解
∞
考虑级数 ∑ n( n + 1)x n ,
n =1
∞
收敛区间(-1,1), 收敛区间
∞
x2 )′′ 则 s( x ) = ∑ n( n + 1) x n = x ( ∑ x n+1 )′′ = x ( 1 x n =1 n =1
2x , = 3 (1 x )
∞
xn 1 ∞ x n+1 h( x ) = ∑ = ∑ x 2 n+1 2 n+1
∞
x n 1 g( x ) = ∑ = ln(1 x ) 2 n1 1 x2 1 ∞ x n +1 = [ ln(1 x ) x ] h( x ) = ∑ 2 x 2 n+1 x ∞ ∞ 1 xn 1 1 s( x ) = ∑ ]x n =∑ [ n+1 2 ( n 1)( n + 1) 2 2 n1
n= 0
∞
两级数的收敛区间小得多) 两级数的收敛区间小得多
2.和函数的分析运算性质: 2.和函数的分析运算性质: 和函数的分析运算性质
(1) 幂级数 ∑ a n x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
n= 0 ∞
( R, R ) 内连续 连续.
(2) 幂级数
∑a
n= 0
∞
n
x 的和函数 s( x ) 在收敛区间
n= 0 ∞
两边逐项积分
∫
x
1
s( x )dx = ∑ ∫ ( n + 1)( x 1) dx
x n n= 0 ∞ 1
∞
= ∑ ( x 1)n+1 1x = ∑ ( x 1)n+1
n= 0 n= 0
∞
x 1 x 1 = , = 1 ( x 1) 2 x 求导， 两边再对 x 求导，得
x 1 1 s( x ) = ( )′ = . 2 2 x (2 x )
∞
2 + x 1 x2 ln(1 x ) ( x < 1, x ≠ 0) = + 4 2x ∞ 1 1 5 3 s( ) = ln 2. ∑ 2 n = 2 8 4 2 ( n 1)2
x 1 = [ ln(1 x )] [ ln(1 x ) x x 2 ] 2 2x
2n 1 练习 求∑ n 的和 . n=1 2
∞
s( x ) = ( ∑ ∫
n =1 ∞
∞
x
0
∞ 2n 1 2 n 2 x 2 n 1 x dx )′ = ( ∑ n )′ n 2 n=1 2 2
2
1 x x 1 x n x2 + 2 )′ = ( )′ = = ( ∑ ( ) )′ = ( , 2 2 2 2 x 2 x x n=1 2 2 x (2 x )
∞ 2
2
s(1)
x2 + 2 = ( 2 x 2 )2
2n 1 = 3, 故 ∑ n = 3. x =1 2 n =1
∞
∞ xn . 求幂级数∑ 及 ∑n(n + 1)xn 的和函数 n=1 n(n + 1) n=1
∞
2n 1 . 求∑ n 的和 n=1 2 ∞ 解 令 s( x ) = ∑ 2n 1x 2 n 2 , ( 2, 2 ) n 2 n =1
x2 + 2 lim s( x ) = lim = 3, 2 2 x →1 x →1 ( 2 x )
2n 1 故 ∑ n = 3. 2 n =1
∞
n2 . 求∑ n 的和 ! n=1 n 2
∞
解
n2 n 令 s( x ) = ∑ x , n=1 n!
∞
∞
( ∞ ,+∞ )
n( n 1) + n n ∞ n( n 1) n ∞ 1 ∵ s( x ) = ∑ x =∑ x +∑ xn n! n! n=1 n=1 n=1 ( n 1)!
三、幂级数的运算
1.代数运算性质:P193 1.代数运算性质:P193 代数运算性质
设∑ an x n和∑ bn x n的收敛半径各为 R1和R2 , R = min{R1 , R2 }
(1) 加减法
n= 0 n= 0
∞
∞
∑ an x ± ∑ bn x = ∑ c n= 0 n= 0
n n
n= 0
∞
xn 例 2 求 数∑(1)n1 的 函 . 级 和 数 n n=1
xn n 1 , 显然 s(0) = 0, 解 ∵ s( x ) = ∑ ( 1) n n =1
∞
∞
1 s ′( x ) = 1 x + x = , ( 1 < x < 1) 1+ x
2
两边积分得
∫
∞
x
0
s′( t )dt = ln(1 + x )
∞ xn xn = x 2 ( ∑ )′′ + x ∑ = x 2 (e x 1)′′ + xe x n=1 n! n= 0 n! ∞
= e x ( x + 1) x ,
1 n2 1 1 1 3 ∴∑ = s( ) = e 2 ( + 1) = e. n 2 2 2 4 n =1 n!2
∞
思考题
∞
解
2n 1 2 n 2 令 s( x ) = ∑ n x , 2 n =1
∞
( 2 , 2 )
s( x ) = ( ∑ ∫
n=1
∞
x
0
∞ 2n 1 2 n 2 x 2 n 1 x dx )′ = ( ∑ n )′ n 2 n =1 2
x 1 x 1 x n x2 + 2 )′ = = ( ∑ ( ) )′ = ( )′ = ( , 2 2 2 2 x n=1 2 x 2 x 2 x (2 x )
幂级数逐项求导后，收敛半径不变， 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那 么它的收敛域是否也不变？ 么它的收敛域是否也不变？
思考题解答
不一定. 不一定.
xn 例 f ( x) = ∑ 2 , n =1 n
∞
∞
x n 1 f ′( x ) = ∑ , n =1 n
∞
( n 1) x n 2 f ′′( x ) = ∑ , 它们的收敛半径都是 它们的收敛半径都是1, n n= 2
∞
2 收敛域 [ 2，)
1 n 1 1 ∞ 1 n 设s( x ) = ∑ n x = ∑ nx , 1 n2 x 1 n2
∞
x≠0
1 n 则xs( x ) = ∑ n x 1 n2
∞
1 n 1 1 ∞ 1 n 1 1 1 1 ∴ [ xs( x )]′ = ∑ n x = ∑ x = = n1 1 2 212 21 x 2 x 2 x x 1 dx ∫0 [ xs( x )]′dx = ∫0 2 x
n 1 ∞
(2) 乘法
( ∑ a n x n ) ( ∑ bn x n )= ∑ cn x n . x ∈ ( R, R )
n= 0 n= 0
n= 0
∞
∞
∞
(其中 cn = a0 bn + a1 bn1 + + an b0 ) 其中
柯 西 乘 积
1 a0 b0
a1b0 aபைடு நூலகம்2 b0 a 3 b0
∞
x 2 n 1 n 1 (5) ∑ ( 1) = sin x; ( 2n 1)! n =1
x (6) ∑ ( 1) = ln(1 + x ); n+1 n= 0
n
∞
n+1
即 s( x ) s(0) = ln(1 + x ) ∴ s( x ) = ln(1 + x ),
∞ 1 xn n 1 收敛 . ∴ ∑ ( 1) n1 又 x = 1时, ∑ ( 1) 时 = ln(1 + x ). n n n =1 n =1
( 1 < x ≤ 1)
1 n 1 的收敛域， 例3：求 ∑ n x 的收敛域，并求其和函 数。 1 n2 1 1 解： R = lim = lim =2 n→ ∞ n a n→ ∞ 1 n n n n2 ∞ ( 1)n1 ∞ 1 x = 2, ∑ 收敛， 收敛， x = 2, ∑ 发散， 2n 2n 2n 1 1 2n
∞
1 n( n + 1) = s ( ) = 8. 故∑ n 2 2 n =1
∞
1 的和。 例6：求级数 ∑ 2 n的和。 2 ( n 1) 2 n ∞ x ( x < 1) 解：设 s( x ) = ∑ 2 2 n 1
∞ 1 xn 1 s( x ) = ∑ =∑ [ 2 ( n 1)( n + 1) 2 2 n1 ∞
但它们的收敛域各是 [ 1,1], [ 1,1), ( 1,1)
常用已知和函数的幂级数
1 n (1) ∑ x = ; 1 x n= 0 ( 3) ∑ ax 2 n
n= 0
∞
∞
( 2) ∑ ( 1) x
n n= 0
∞
2n
1 ; = 2 1+ x
∞
a ; = 2 1 x
xn ( 4) ∑ = e x ; n= 0 n!
n
( R, R ) 内可积 且对x ∈ ( R, R ) 可逐项积分 内可积,且对 可逐项积分.
即∫ s( x)dx = ∫ (∑an xn )dx
0 0 n=0
x
x
∞
an n+1 收敛半径不变) 收敛半径不变 x . (收敛半径不变 = ∑∫ an x dx= ∑ 0 n=0 n + 1 n=0