江西财经大学 - 胡平波 微积分1 导数的概念

(2) 算比值 y f ( x x) f ( x);
Байду номын сангаасx
x
(3) 求极限 y lim y . x0 x
例1 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
1.切线斜率问题 割线的极限位置——切线位置
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y
如图, 割线MN绕点M旋 转而趋向极限位置MT, 直线MT就称为曲线C在 点M处的切线.
y f (x)
N
T
CM
如何表示切线斜率？
设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).

o
x0
xx
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
t0 t dt
3.经济意义：经济变量对自变量的变化率（边际）
生产成本：总成本对产量的导数为边际成本.
C(x) lim C dC . x0 x dx
五、小结
1. 导数的定义(实质): 增量比的极限; 2.导函数的概念 3. f ( x0 ) a f( x0 ) f( x0 ) a; 4. 导数意义: 几何意义;物理意义；经济意义 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
Saturday, February 29, 2020
3. 单侧导数
（1）.左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0

lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
（2）右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
Chapter 3
第一节
导数的概念
一、问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数 四、导数的意义 五、小结
一、问题的提出
函数连续的概念：lim y 0 x0
这说明：增量x 与增量y有非常
密切的联系。
那么式子：lim x0
y x
又有什么样的意义？
下面我们以两个背景来分析这个问题。
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0

h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) x
f (x0 ) . x0
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率,它
反映了因变量随自变量的变化而变化的快
慢程度.
定义2 如果函数 f ( x) 在区间a,b内每一个点
思考题
函数 f ( x)在某点x0 处的导数 f ( x0 ) 与导函数 f ( x)有什么区别与联系？
思考题解答
两者的区别是：一个是数值，另一个是函数．
两者的联系是：在某点 x0处的导数 f ( x0 )是导 函数 f ( x)在 x0处的函数值．即x I ，有唯一 值 f ( x)与之对应.
0
t
,
运动时间t
,
平均速度 v
s t

s s0 t t0

g 2 (t0
t).
当
t

t0时,瞬时速度 v

lim
tt0
g(t0 2
t)
gt0
.
比值极限的意义：
t0
t t
描述S随时间变化而变化快慢的程度（变化率）。
Higher- mathematics ( I )
31 - 5
f (x0 ) x0

lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
单侧导数主要应用：分段函数或
函数在某一点左右变化不一致
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
Saturday, February 29, 2020
二、导数的定义
定义1 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函
f ( x0 ) tan , (为倾角) o
y f (x)
T
M

x0
x
2.物理意义: 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.
v(t) lim s ds . t0 t dt
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
q dq i(t) lim .
h
lim
lim 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
f (0 h) f (0)
h
lim
lim 1.
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
四、导数的意义
1.几何意义
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
条件：1.邻域内有定义；2.增量比的极限
lim
x0
y x
存在
dy dx
或
x x0
df ( x) dx
, x x0
即
y
x x0

lim
x0
y x

lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
h0
h
h

lim cos( x
h0

h) 2

sin h
2

cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4

2. 2
例2 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解

f (0 h)
f (0)
h ,
h
h
f (0 h) f (0)
都可导，即对每个点x,都对应着一个确定的
导数值，这个函数叫做原来函数 f ( x) 在a,b
内的导函数,简称导数。
即 y lim f ( x x) f ( x)
x0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
导函数与点导数之间什么关系？
x1
f '(x1)
x2
f '(x2)
xn
f '(xn)
f ( x0 ) f ( x) . xx0
★ 点导数反映函数在一某点上的动态特征，如
果函数在一个区间上可导，则导函数可以反映整 个区间上的动态变化。
Higher- mathematics ( I )
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x x0
x x0
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
比值极限意义：描述函数曲线某一点上切线的斜率
对函数来说，也描述了函数在某一点上变化率
2.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻