江西财经大学 - 胡平波 微积分1 导数的概念
大一导数知识点总结
大一导数知识点总结一、导数的概念和意义导数是微积分学中的一个重要概念，它是描述函数在某一点附近的变化率的量，可以用来分析函数的变化趋势、求解极值、描绘函数的图像等。
导数的概念最早由法国数学家费尔马引入，后来由莱布尼兹和牛顿等人进一步发展和完善。
导数的意义主要包括以下几个方面：1. 变化率：导数可以表示函数在某一点处的变化率，即函数值随自变量的变化而变化的快慢程度。
例如，对于位置函数，其导数可以表示物体的速度；对于速度函数，其导数可以表示物体的加速度。
2. 切线斜率：导数还可以表示函数曲线在某一点处的切线的斜率，即函数曲线在该点附近的整体趋势。
通过导数，可以求出曲线在某一点的切线方程，从而描绘出曲线的局部特征。
3. 极值点：导数还可以用来分析函数的最大值、最小值和拐点等重要特征。
通过导数的零点和变号，可以求解函数的极值点和拐点，并进一步推断函数的增减性和凹凸性。
二、导数的定义和求解1. 导数的定义：对于函数y=f(x)，在自变量x处的导数定义为：\[f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\]其中，$\Delta x$为自变量的增量，表示自变量的变化量，$\Delta x \to 0$表示$\Deltax$趋近于0。
导数也可以理解为函数在某一点处的增量比率，即函数值的改变量与自变量的改变量之比。
2. 导数的求解：根据导数的定义，可以通过极限计算的方法求解函数的导数。
对于一般函数，可以直接利用导数的定义进行计算；对于复杂函数，可以利用导数的性质和求导法则进行简化计算。
求解导数的方法主要包括以下几种：（1）基本导数：包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。
常用的导数公式如下：\[f'(x) = k, \quad (k为常数)f'(x) = nx^{n-1}, \quad (n为正整数)f'(x) = e^x, \quad f'(x) = \ln xf'(x) = \sin x, \quad f'(x) = \cos x\]根据这些基本导数公式，可以求解各种函数的导数。
高二导数的概念
年 级 高二 学科数学内容标题 导数的概念 编稿老师胡居化一、教学目标：（1）理解导数的概念及几何意义，能利用导数的几何意义求切线方程. （2）能根据导数的定义求简单的函数x y xy x y x y C y =====,1,,,2的导数.二、知识要点分析：1. 导数的含义（i ）平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，函数)(x f y =相应的增量)()(0x f x x f y -+=∆，则xy∆∆叫函数)(x f y =的平均变化率.注意：（1）平均变化率还可以表示为(*))()(11---∆-∆+=∆∆xx f x x f x y ，y x ∆∆,可正、可负，y x ∆≠∆但,0可以是零.（2）当f （x ）是常数时，平均变化率0=∆∆xy. （ii ）导数定义：当0→∆x 时，平均变化率的极限值叫函数)(x f y =当0x x →时的导数.即 0|'x x y ==xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'.注：（1）导数是局部概念，它只与函数)(x f y = 在0x 及其附近的函数值有关，与x∆无关.（2）在定义中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当0→∆x 时，0x x →，故导数的定义可以写成：xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'=0x x lim →00)()(x x x f x f --. （3）若极限xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000'不存在，则称函数)(x f y =在0x x =处不可导.2. 导函数：若函数)(x f y =在区间（a ， b ）内每一点处都有导数，此时对于每一),(b a x ∈都对应一个确定的导数)('x f ，从而构成一个新的函数)('x f ，则函数)('x f 为在开区间内的导函数.简称导数.记作：xx f x x f x f y x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0''.3. 导数的物理意义：若物体运动的规律是)(t s s =，则物体在t 时刻的瞬时速度是)('t s v =，若运动的速度随时间的变化率是)(t v v =，则物体在t 时刻的加速度是)('t v a =. 4. 导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数的几何意义是：在0x 处的导数是曲线)(x f y =，在点（))(,00x f x 处的切线的斜率.曲线在P （))(,00x f x 处的切线方程是))(()(00'0x x x f x f y -=-.注：若函数f （x ）在点),(00y x 的切线的倾斜角是2π，函数的导数不存在，此时切线方程是0x x =.【典型例题】考点一：函数的变化率及其在实际中的应用例1. 国家环保总局在规定的达标排污之前，对甲，乙两家企业进行检查，检查的结果如图所示，问：哪个企业治理污染的效果较好？t 0分析：用W 表示治污量，利用甲乙两企业治理的平均治污率（平均变化率）比较治理的效果，即平均治污率大效果就好.解：由图知：虽然))00t W t W （（乙甲=但：t)t t W )t W t)t t (W )t W 0000∆-∆--≥∆-∆--（（（乙乙甲甲所以，单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大. 即企业甲比企业乙略好.注：t t x t t W t W y ∆∆-=∆∆--=∆不能误写成故,),()(00.例2. 枪弹在枪筒中运动看作是匀加速运动，若其加速度25/105s m a ⨯=，枪弹从枪口中射出时所用的时间是s 3106.1-⨯，求枪弹射出枪口时的瞬时速度. 分析：由物理学知识得：运动方程是221at S =，由此计算出tS∆∆，枪弹射出枪口的瞬时速度是当0→∆t 时t S∆∆的极限值. 解：2222)(2121)(21,21t a t at at t t a S at S ∆+∆=-∆+=∆∴= ,t a 21at t )t (a 21t at tS 020∆+=∆∆+∆=∆∆∴,当0→∆t 时，0at tS→∆∆, 把25/105s m a ⨯=，s t 30106.1-⨯=代入0at 得：s m at v /8000==,即枪弹射出枪口的瞬时速度是800m/s .例3. 路灯距离地面8米，一个身高为1．6米的人以84m/min 的速率在地面行走，从路灯在地上的射影点C ，沿某直线离开路灯，求人影的长度的变化速率.分析：设人影的长度为y ，根据几何性质求出y=f(t)，则人影的长度的变化速率是y 对t 的导数.解：根据题意画出图形：设路灯距地平面的距离是DC人的身高是EB ，假设人从点C 走到点B 的路程是x m ，时间为t ，(单位：s) 人影的长度为y,x y y x y CD BE AC AB CD BE 4186.1//=⇒=+⇒=⇒, 又84m/min=1.4m/s ，故x=1.4t=t 57，即y=t 207,所以207'=t y ，故人影长度变化的速率是s m /207,考点二：导数的几何意义及其简单的应用例4. 已知曲线C ：3x y =（1）求过曲线C 上横坐标为1的点的切线方程. （2）（1）中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？分析：（1）由已知的曲线方程可求横坐标为1的点的坐标P （1，1），然后利用定义求在x=1处函数的导数即点P 处的切线的斜率，根据点斜式写出切线方程.（2）由切线方程与曲线方程组成方程组可求.解：（1）由曲线C 的方程：3x y =，把x=1代入得切点P （1，1）的坐标.='y =∆∆→∆x yx 0lim =∆-∆+→∆x x x x x 330)(limxx x x x x x ∆∆+∆+∆→∆3220)()(33lim =22203])(33[lim x x x x x x =∆+∆+→∆. 故切线的斜率3|1'===x y k，即过P （1，1）的切线方程是：y －1=3（x －1）即02y x 3=--（2）⎩⎨⎧---------=------+-=②x y ①1)1x (3y 3把②代入①得：233-=x x 即有：0)2)(1(2=-+-x x x ，故x=1或2-=x 所以此时切线与曲线C 还有另一个公共点（－2，－8）例5. 已知曲线x x x g x x f +=+=32)(,1)(在两曲线交点处切线的夹角为θ，求cos θ的值.分析：先求两曲线的交点坐标)y ,x (P 00，分别再求在0x x =处的两函数的导数，即两切线的斜率，从而求出两切线的方向向量.利用向量的数量积求解.解：由10)1)(1(01122332=⇒=+-⇒=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=x x x x x x xx y x y , 故两曲线的交点为P （1，2）,=)1('f 0x lim →∆221)1(2=∆-+∆+xx ，∴切线x y x y l 2)1(22:1=⇒-=-,=)1('g 0x lim →∆4)11(1)1(3=∆+-∆++∆+xx x ,即切线24)1(42:2-=⇒-=-x y x y l ,所以切线)4,1(),2,1(21==b l a l 的方向向量切线的方向向量, 则1759||cos ⨯=⋅=b a θ85859=.【本讲涉及的数学思想、方法】：本讲主要讲述函数的变化率的概念、导数的含义、几何意义及其简单的应用，在应用这些知识的过程中充分现了等价转化的数学思想（例5）方程的数学思想（例4、例5）等数学思想的应用.【模拟试题】（答题时间：100分钟）一、填空题（本题共10小题，每题6分，共60分）1．物体自由落体运动的方程是,/8.9,2122s m g gt h ==在]3,3[x ∆+这段时间内的平均速度是____________.2．某物体做匀速运动的方程是b vt s +=，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是____________.3．函数1x 2y +=在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率____________.4．物体运动的方程是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=)3(,)3(329)30(,2322t t t t s 则物体在t=4时瞬时速度是__________.5．函数处可导，在0)(x x f 则____________)()(lim 000=∆-∆-→∆xx f x x f x .6．函数)2,211在点（x y =处的切线的斜率是____________. 7．设曲线处，在点（)12a ax y =的切线与直线2x －y －6=0平行，则a=__________. 8．已知曲线),23,1(2212--=P x y 上一点则过点P 的切线的倾斜角是____________. 9．若函数,)(A a x x f 处的导数是在=则x lim→∆xx a f x a f ∆∆--∆+2)()(=____________.10．直线L ：y=x+a,(a 不等于零)和曲线C ：123+-=x x y 相切，则切点坐标是________.二、计算题（本题共3小题，共40分）11．已知函数1)(2+=x x f ，（1）利用导数的定义求函数)1('f ； （2）求过P(1,)2点的切线方程.（13分） 12．若函数f(x)在x=a 处的导数是A,求0x lim→∆tt a f t a f )5()4(+-+ (12分)13．曲线)0(),,33≠=a a a x y 在点（处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积是61，求a 的值.（15分）【试题答案】一、填空题（本题共10小题，每题6分，共60分）1．)6(9.4t ∆+⋅ 解析：t t g g t h ∆⋅∆+=⋅-∆+=∆)6(21321)3(2122 故平均速度)6(9.4t thv ∆+=∆∆=.2．相等 解析：v ttv t t v t t v t t s t t s =∆∆=∆-∆+=∆-∆+)()()()(0000，当0→∆t 时,v v =0.3．x x ∆+240,解析：函数的平均变化率x x xx x x x y ∆+=∆+-+∆+=∆∆24)]12(1)(2[0220. 4．6解析：当t=4时，t tt t s ∆+=∆-+--∆++=∆∆36])34(329[)34(32922当0→∆t 时，6→∆∆ts5．－)(0'x f 原式=0x lim→∆-=∆---∆-)()()(00x x f x x f 0x lim →∆)()()(0'00x f xx f x x f -=∆--∆-6．－4解析：='y 0x lim →∆=∆-∆+x x x x 110x lim →∆x x x ∆+-21=21x-故切线的斜率k='y 4|21-==x .7．a=1解析：切线在x=1处的斜率k=0x lim →∆xa x a ∆⨯-∆+221)1(=2a∴2a=2，即a=18．45°解析：设过P 点的切线的倾斜角为θ则==k θtan 0x lim →∆1]2121[]2)1(21[22=∆-⨯--∆+xx .9．A 解析：A x a f x a f x =∆-∆+→∆)()(lim，A xa f x a f x =∆--∆-∴→∆)()(lim 0212)()(lim0=∆∆--∆-∴→∆x x a f x a f x ，x x a f a f a f x a f x ∆∆--+-∆+→∆)()()()(lim0 =+∆-∆+→∆x a f x a f x )()(lim (210))()(lim 0xx a f a f x ∆∆--→∆=A .10．（1，1）或)2723,31(-解析：设直线L 与曲线切于P(),00y x则==)x (f k 0'xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000=0x lim →∆x x x x x x x ∆+--+∆+-∆+)1(1)()(20302030 =x x x x x x x x x ∆∆+∆-+∆-∆→∆3200200)())(13(23(lim =0x lim →∆])()13(23[20020x x x x x ∆+∆-+-=02023x x - 由题意知：k=1,故31112300020-==⇒=-x x x x 或故切点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛272331)1,1(，－或二、计算题（本题共3小题，共40分）11．解：（1）xf x f f x ∆-∆+=→∆)1()1(lim )1(0'=x x x ∆+-+∆+→∆111)1(lim 220=0x lim→∆)21)1(()21)1()(21)1((222++∆+∆++∆+-+∆+x x x x=0x lim→∆)21)1((21)1(22++∆+∆-+∆+x x x=0x lim→∆222121)1(22==++∆+∆+x x （2）易知：P(1,)2在曲线12+=x y ，切线方程为)1(222-=-x y 12．解：原式=0lim→t tt a f a f a f t a f )5()()()4(+-+-+=0lim →t t a f t a f )()4(-+－0lim →t ta f t a f )()5(-+=0lim4→t t a f t a f 4)()4(-+－0lim 5→t ta f t a f 5)()5(-+=4A －5A=－A13．解：xa x a a f x ∆-∆+=→∆330')(lim )(=xa x x a x a a x ∆-∆+∆+∆+→∆332230)()(33lim =0x lim →∆])(33[22x x a a ∆+∆+=23a 所以曲线在),(3a a 处的切线方程是)(323a x a a y -=-切线与x 轴的交点坐标是)0,32(a 故三角形的面积S=161|||32|213±=⇒=⋅-⋅a a a a .。
高等数学(第二版)上册课件：导数概念
右极限都存在且相等，因此有：
定理2.2 函数 f (x) 在点 x0 处可导
左导数 f(x0 )和右
导数 f(x0 ) 都存在且相等 .
例 2.1.4 讨论函数 f (x) x 在 x 0 处的可导性 .
解
lim f (0 h) f (0) lim h 1
h0
h
h h0
lim f (0 h) f (0) lim h 1
y x3 的切线方程.
解
设切点为 x0 , y0 曲线 y x3 在点 x0 , y0
处的切线斜率为 k1, 直线的斜率为 k2 则：
| k1
y
x x0
3x02 ,
k2
1 27
而 k1. k2 1, 得 x0 3 则切点为 3, 27 或 3, 27
切线方程为
27x y 54 0 或 27x y 54 0
从高速到低速，最后速度减为0 . 这个过程每一时刻的汽车
的速度都不相同，如何求某时刻 t0汽车的瞬时速度呢？
设汽车所经过的路程s是时间t的函数：s s t ，
任取接近于 t0 的时刻 t0 t ，则汽车在这段
时间内所经过的路程为
s s(t0 t) s(t0 )
而汽车在这段时间内的平均速度为
当自变量 x 在 x 0 处取得增量 x （点 x0 x 仍在该
邻域内），相应地函数取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 )
.
如果 y 与 x 之比当 x 0 时的极限存在，
则称函数 y f ( x) 在点 x 0 处可导，并称这个极限值
即
f
(x0 )
lim
x0
f
解 当 x 由1变到 1 x 时，函数相应的增量为
导数的概念教学课件
最值点的求法
通过求导数，将导数为零的点 找出来，再将这些点与两端点 的函数值进行比较，便可以找 到函数极值点。
曲线绘制
导数可以帮助我们知道函数曲 线的大致方向和特征。在给出 一定条件的前提下，可以合理 地绘制函数曲线的形状、特征 和重要点。
导数运算法则
1
求导常数
对于常数C，它的导数等于0，即
复合函数求导
记忆公式和规律
通过记忆求导公式和规律， 可以轻松快速地求解导数。
练习问题和案例
通过练习求解不同类型和难 度的练习问题和案例，可以 更全面地掌握导数。
导数与曲线的关系
1
绝对值的导数
2
绝对值函数不光滑，在x=0处的导数不
存在。但是向左趋近于0的导数是-1，
向右趋近于0的导数是+1。
3
最大值和最小值
当导数为0时，曲线有转折点，可能 是最大值或最小值。
导数为正的情况
导数为正表示函数在这个点上单调递 增，曲线向上缓慢地变化。导数越大， 表明曲线越陡峭，变化越快。
为什么要学习导数？
导数不仅是微积分学科的基础，也是数学、物理等科学领域中重要的分析工具。理解导数对 于提升数学素养及解决实际问题都有非常重要的帮助。
导数的基本性质
1
可加性
如果函数f(x)和g(x)都有导数，那么它们的和(或差)也有导数。
2
乘法法则
如果函数f(x)和g(x)都有导数，那么它们的乘积就有导数，且导数等于f(x)的导数 乘以g(x)再加上g(x)的导数乘以f(x)。
导数与微分的关系
1 导数和微分是相关的
2 微分的应用
导数是微分的一种表示方法，一阶导数就 是微分。微分是导数的积分，反之亦然。
微积分II课程微积分1教学进度计划表
江西财经大学
本科课程教学进度计划表2010—2011学年度第一学期
学院信息管理学院
教学系
数学与决策科学系（课程组）
主讲教师胡平波
填表日期：2010 年10月05 日
教务处制表
江西财经大学本科课程教学进度计划表
2011—2012学年度第一学期
主讲教师胡平波职称副教授学历研究生学位经济学博士主授专业数学课程名称微积分I 课程编号班级学生人数
总学时48学时，其中课堂讲授44学时；实验（上机）教学0 学时；其它教学（讨论、见习等）0学时；机动 4 学时实习实训（包括课程实习、课程实训、课程设计等）0 周
教材（名称、主编、出版社、出版时间等）邹玉仁：《微积分（一）》，科学出版社，2007年8月第一版
主要参考书1．同济大学数学教研室《高等数学》（第五版），高等教育出版社
2．赵树螈等《微积分》，中国人民大学出版社
成绩考核说明及要求：平时两次小测验，期末闭卷考试
其成绩评定方法：平时成绩占20%，期末考试占80%
考试题型：填空题、判断题、计算题、、应用题、证明题
考试时间：150分钟
系主任（签字）：教学院长（签字）：
2011年10月9日2010年11月9日。
微积分课件2-1导数的基本概念
y 4 4( x 2), 即 4x y 4 0;
法线方程为
y 4 1( x 2), 即 x 4 y 18 0. 4
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五、函数可导与连续的关系
定理： 可导函数是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导,
lim y x0 x
f ( x0 )
0.
f (x) lim f (x h) f (x) limC C
h0
h
h h0
解即 常 (c)0.
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例2 求函数 y xn(n为正整数)的导数.
解 ( xn ) lim ( x x)n xn
x0
x
lim[nxn1 n(n 1) xn2x xn1] nxn1
x x
)
x0 xlna
x
(换地公式)
lim x 1 h0 xlna xlna
特别地， (ln x) 1 . x
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例5 求函数 f ( x) a x (a 0,a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xx a x a x lim exlna 1
x0 x
x0 x
x0
x
当 x 0, f ( x) x,
lim f ( x) lim ( x x) ( x) 1;
x0
x0
x
当 x 0, f (0) 0,
y y x
o
x
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f ' (0)
lim
x0
|
0
x x
|
0
lim
x0
x x
1,
第一节-导数的概念及运算定积分ppt课件
3．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相
同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向
外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t)．若圆柱的体积以均匀速度 c 增长，则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A．成正比，比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示． (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？ (2)在接近 t0 时，哪个厂的污水排放量减少得更快？ 答案：(1)乙 (2)甲
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li m Δx→0
ΔΔxy＝
li m fx0＋Δx－fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ，相应的切线方程为 意义 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
(完整版)导数的概念、几何意义及其运算
导数的概念、几何意义及其运算常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：+-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数；;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e xx x x ln )(;)(''==；e x x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''==法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u +=法则3： )0)(()()()()()(])()([2'''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾：1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率xx f x x f x y o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。
称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =，就是导函数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 。
导数的概念.课件.导数的概念(第一课时)课件
曲线的切线和瞬时速度
3.1 导数的概念
Hale Waihona Puke 1．曲线的切线3.1 导数的概念
例 求曲线f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线的斜率． 在 y=x2 +1 上取点 P(1,2) 及临近一点 Q(1+Dx，2+Dy),过P、Q两点作割线 PQ，并分别过 P、Q 两点作 x 轴与 y 轴的平行线 PM、MQ 相交于点 M， 设割线的倾斜角为 ，割线PQ的斜 率为 f ( x 0 Dx ) f ( x 0 ) k lim Dx 0 Dx (1 Dx ) 2 1 (1 1) lim Dx 0 Dx 2Dx ( Dx ) 2 lim Dx 0 Dx 2
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平均速度 v 的极限为: Ds v lim v lim 2 g 19.6( m / s ) Dt 0 Dt 0 D t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
Ds OA1 OA0 s( t 0 Dt ) s( t 0 )
在时间段( t0+Dt)－ t0 = Dt 内，物体的平均速度为:
s( t 0 Dt ) s( t 0 ) Ds v t 0 Dt t 0 Dt
3.1 导数的概念
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时 刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是 s =s(t )，那么物 体在时刻t 的瞬时速度v，就是物体在t 到 t+Dt 这段时间内， 当 Dt0 时平均速度．
导数的概念及应用PPT课件
高三备课
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1
高考考纲透析：（理科）
• (1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、 加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在
一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导 函数的概念。(2)熟记基本导数公式；掌握两个 函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数 的求导法则.会求某些简单函数的导数。(3)理解 可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函 数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数 在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指 单峰函数)的最大值和最小值。
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5
热点题型1: 函数的最值
已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值 为20，求它在该区间上的最小值．
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6
变式新题型1： 已知 f (x) ax3 6a2x b, x [1, 2] 的最大值为3，最小值为 29 ，求 a, b 的值。
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7Байду номын сангаас
热点题型2: 函数的极值
已知函数 f (x) ax3 bx2 3x在 x 1
处取得极值.（1）讨论 f (1和) f (1是) 函数 f (x)的极大值还是极小值；（2）过点 A(0, 16)作曲线 y f (x)的切线，求此切线方程.
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8
变式新题型2：
已知 f (x) x3 ax2 bx c和 g(x) x2 3x 2
变 蔡澔淇 她用胖嘟嘟的小手紧握着婴儿床的栏杆坐着，舌尖不住地舔着刚长出的两颗门牙，灵澈的眼珠子骨碌地转动，四处张望。初夏晌午的阳光穿过葡萄棚，在她身上洒满了点点金圈。一片葡萄叶摇曳着飘下，落在她的脚跟前。 她挪动一下圆滚滚的胖腿，好奇地望着那片落叶。一个黑点 在树叶边缘晃动，过了一会成了一条肥厚的黑线，滑过树叶表面，不声不息地直朝她游动。带毛的黑线爬上了她白嫩的脚踝，小腿肚，膝盖……她觉得一阵刺痒，那肥厚的黑线直往上爬，越来越近，毛茸茸的身躯越来越大。转眼间一团黑毛已附在她肩上，黑团中有两粒小眼直盯着她。“达达 ﹣﹣，达﹣﹣达﹣﹣”她惊慌地尖叫，小手死命地挥舞，重心一个不稳，躺卧下来。那黑团又开始移动，逐渐逼近，逐渐庞大…… ? “你还好吧？”交往快两年，未曾牵过手的他紧紧搂住她的双肩，焦急的望着她。 她虚弱地点点头，深吸了口气：“我从小就对毛虫敏感，见了毛虫不是作呕 就是昏倒。刚才昏过去多久了？” “大概一两分钟，把我吓坏了，”他将她扶正，轻声补上，“奇怪，这么晚了，怎么会有毛虫出现？” 她紧依着他，相偎坐着。见到毛虫引起的疙瘩已消尽了，代之的是满脸燥热。她瞥了他揽着她肩膀的手一眼，偷偷抱怨：这么晚出现，再半小时宿舍就要 关门了。 “妈咪﹣﹣妈咪﹣﹣”最断人肠的呼喊将她手中的蚂蚁上树炒出锅外。她慌忙跑过去，小女儿蜷缩在婴儿床的一角，满脸诧异的哭叫着。一条毛虫肆无忌惮地在婴儿床的栏杆上爬行，她一阵昏花，用了四十年的心脏几欲罢工。小女儿挣扎着想爬起来，令人心碎的哭泣成了啜搐。她咬 咬牙，解下围裙往栏杆用力一挥，毛茸肥圆的毛虫滚落于地。她抬起脚，闭起眼重重一踏，觉得脚下一阵瘫软。 ? “不要怕，”她强抑住胸腹的翻腾，轻抚着女儿泪水纵横的苍白面颊，“不要怕，毛虫并不可怕。” 她坐在摇椅内小憩，枯皱的手握着身旁婴儿床的栏杆。初夏晌午的阳光穿过 葡萄棚，在她身上洒满点点金圈。 “奶奶，”是小孙女清稚的童音，“那是什么？” ?她朝小孙女圆胖小手指的方向望过去，一条肥厚的黑线正由阳光下往阴影处滑动。日光下鲜明的黑线掀开了她人生的相簿，一组组幻灯片在眼前跳动。她深吸口气，咧开干瘪的嘴，露出仅剩两颗门牙朝小孙 女笑笑。 “那是蝴蝶的幼虫。”她说。 【注释】①蚂蚁上树：四川名菜 （选自《台湾极短篇小说集》） ? 故事?场景的组合 （1）阅读小说先关注故事。请根据故事内容，各用一个词填空。 小小的毛毛虫、伴随着“她”走过童年、青年、中年，直至老年； 小小的婴儿床，承载了“她”、 “女儿”、“孙女”的童年。 故事以毛毛虫为线索，始于初遇时的 ，历经再见时的恐惧，终于凝望时的。 ? 语言?意义的蕴含 （2）画线句中，“她”两次说“不要怕”，仅仅是在安慰女儿吗？清写出你的看法和理由。 ◆称呼?人物的标识 （3）小说中没有出现主人公的名字，都是用“她” 来代替。请说说作者的意图。 ? 标题?主旨的暗示 （4）结合选文，谈谈你对小说标题“蜕变”的理解。 【考点】9E：小说阅读综合． 【分析】这篇小说以“毛毛虫”为线索，写了她人生的四个阶段，第一阶段（开头到“逐渐逼近，逐渐庞大”），写她童年时对毛毛虫的畏惧；第二阶段（ “你还好吧”到“再半小时宿舍就要 关门了”），写她青年时对毛毛虫的畏惧，以及男友对她的关爱；第三阶段（“妈咪﹣﹣妈咪”到“毛虫并不可怕”），写她中年时，看到女儿对毛毛虫的畏惧，勇敢上前扑打；第四阶段（“她坐在摇椅内小憩”到结尾），写她老年时，小孙女指着毛毛虫 问她那是什么，她淡定地说，那是蝴蝶的幼虫． 【解答】（1）本题考查内容的理解．这篇小说以“毛毛虫”为线索，写了她人生的四个阶段，但文中出现的她又不仅仅指她一人，文章写她成长的四个阶段中，那小小的婴儿床边哭叫的有“她”，有她的“女儿”，还有她的“孙女”． （2） 本题考查句子情感的理解． 这里写“她”两次说“不要怕”，是“她”的中年阶段，此时的“她”已为人母，看见自己的孩子受到惊吓，自然会去安慰．但结合前文对“她”的描述，可以知道“她”天生怕毛毛虫，特别是青年时，她见到毛毛虫“不是作呕就是昏倒”，所以这里的“不要怕” 还应是对“她”自己的安慰，安慰自己不要怕，要保护好女儿． （3）本题考查写作人称在文中的作用分析．解答此题要读懂小说内容，结合小说的主旨分析作者的意图． 初读本文，一定会觉得内容很乱，情节无法连贯，但仔细一分析，发现“她”在文中分别指代她、她的女儿和孙女，作者 是想让情节看似连贯却又错乱，引起读者的深思，最终恍然大悟．这样更能突出全文的主旨，耐人寻味． （4）本题考查标题含义的理解．解答此题要结合内容与主旨分析标题的表义与深层含义． 从文中反复出现的黑色毛毛虫来年地，“蜕变”指黑色的毛毛虫蜕变成美丽的蝴蝶；从文中“她 ”的成长过程，又可以看出，暗指她经历岁月的风霜，由幼弱、胆小的少女变为沉稳、大胆的具有母性的女人． 代谢： （1）女儿 孙女 （2）不仅仅是在安慰女儿，也是在安慰自己．前文写了她在童年与青年时对毛毛虫的畏惧，特别是青年时，她见到毛毛虫“不是作呕就是昏倒”，现在为 人母了，看见女儿受到惊吓，出于母性，是安慰女儿不要怕，出于自己的本性，也是在安慰自己不要怕． （3）她在文中分别指代她、她的女儿和孙女，作者用同一人称代词指代不同的人，意在让情节看似连贯却又错乱，引起读者的深思，最终恍然大悟．这样更能突出全文的主旨，耐人寻味 ． （4）“蜕变”表义指黑色的毛毛虫蜕变成美丽的蝴蝶，暗指她经历岁月的风霜，由幼弱、胆小的少女变为沉稳、大胆的具有母性的女人． （2017江苏扬州）12． 后生可畏 刘斌立 （1）我第一次去鉴睿律师楼，就注意到了前台旁边多了一张不怎么和谐的小桌子。一个大男孩模样的小伙子 ，睡眼惺忪地在那捧着厚厚的《刑法》，有一页没一页的翻着。 （2）我问律师楼的合伙人李信，他一脸嬉笑地回答：“这孩子他爸是我们律师楼的大客户，也是老朋友了。他想让他儿子考律师，非得要我们把这孩子安排在这打杂，一边让他看书备考。其实我们啥事也 没给他安排，让他自己 在那天天待着呢。” （3）“哦，这孩子看着还挺老实的。”我随口应和道。 （4）“老实！您可别小瞧这小子，听他爸说，他一心要当摇滚乐手，跟着一个不靠谱的摇 滚乐队干了两年的鼓手。”老李边说边摇着头。 （5）后来我再去律师楼的时候，都会下意识地看看这个叫常远的“摇滚 ”男孩，他也是经常应景似得挺朋克，一会夹克上带钉，一会头发颜色又变了。 （6）那年律考后没几天，我去律师楼办事，发现常远那桌子没了，人也没了踪影。问道老 李，没想到老李苦笑着说：“那小子跑了，据说和一个摇滚乐队跑到青海茫崖矿区那边，在矿区的一个小镇上的酒吧里演 出呢。他爹差点没气背过去，已经发誓不管他了。” （7）我又惊讶又好笑，随着老李附和道“现在的年轻人啊”。 （8）一年以后一天，我突然接到鉴睿律师楼李信律师的微信。“还记得那个玩摇滚乐的男孩吗？他又回来了！这次主动来求我，要继续准备考律师，还在我这打杂看书。
导数及其应用定积分与微积分基本定理课件理ppt
求函数的导数有多种方法，例如，利用求导公式求导；利用求导法则求导；利用复合函数求导法则求复合函数 的导数；利用微分学基本定理求高阶导数等。
02
定积分
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是函数在区间[a,b]上的积分，表示 为∫abf(x)dx，其中f(x)是待积函数，a和b 是积分的下限和上限。
定积分的性质
定积分具有一些基本性质，如线性性质、 可加性、可减性、可正可负性等。这些性 质在解决定积分问题时非常重要。
定积分的几何与物理应用
定积分的几何应用
定积分可以用于计算曲线下面积、旋转体体积等问题。例如，计算圆、椭圆 等图形的面积，或求圆柱、圆锥等旋转体的体积。
定积分的物理应用
定积分在物理中有广泛的应用，如计算变力沿直线所做的功、计算液体对平 面所施加的力等。
最优问题求解
导数可以用于求解最优问题，例如在投资组合理论中，通过求解收益率关于资产配置的导数，可以找到最优的资产配置比 例。
动态最优化
导数可以用于建立动态最优化模型，例如在宏观经济学中，通过求解一阶导数和二阶导数，可以研究经济的稳定性和增长 问题。
定积分在物理学中的应用案例
面积和体积计算
定积分可以用于计算曲线下包围的面积和曲线的长度，以及计算立体的体积。例如，在计 算旋转体的体积时，可以将旋转体表面展开成一系列的小圆环，然后利用定积分计算每个 小圆环的面积并求和得到总体积。
微积分基本定理可以用于求解一些方 程，例如在求解一些涉及到多个变量 的方程时，可以通过微积分基本定理 将方程转化为一个易于求解的方程并 求解。
THANKS
感谢观看
物理应用
导数可以描述物理量随时间的变化率，例如速度是位移对时间的导数。导数 在物理中有广泛的应用，例如牛顿第二定律、欧姆定律等。
微积分导数的概念及运算法则ppt课件47页PPT
l1 n ( x ) (~ )( x )e(x) 1~(x) a (x ) 1 ~(x )la n
( 1 ( x )n )1 ~ n( x ) 1(x) 1~(x) m1(x) 1~(x)
2
m
(1 (x )r )1 ~ r(x )( r 0 )
18
例1 求下列函数的导.数
f(x ) lim f(x x )f(x )
x 0
x
f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在). 否则，称 f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0的导数不存在). 特别
若 lx i0m f(x 0 x x )f(x 0 ) (不)， 可导
也f称 (x)在 x0的导 为数 无 . 穷大
13
2.左、右导数
因此，用这个公式算出的平均速度 V 不能真实
反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0).
0
如图 •
•
S(t0)
S
•
S(t0+t)
如何求V(t0)?
在 [t0, t0+t] 这段时间内物体的平均速度为
V SS (t0 t) S (t0)
t
t
V(t0)V St.
t越小，近似值就越接近精确值V(t0).V(t0)=?
定义 设函数 f (x) 在 [x0 , x0+ ) 内有定义, 若
l x 0 i y x m l x 0 i fm ( x 0 x x ) f( x 0 ) a
则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数. 记为 f (x0)a.
设函数 f (x) 在 (x0- ,x0], 内有定义, 若
9
小结
解决与速度变化或变化率相关问题的步骤: (1) 建立一个函数关系 y = f (x) xI .
导数的几何意义课件
利用参数方程的求导法则，对参数与变量间的关 系进行导数计算。
导数的性质
1 线性性
导数具有线性组合性质，如求和、常数乘积 及函数乘积的导数公式。
2 链式法则
复合函数的导数计算使用链式法则，将函数 的内部复杂性简化到基本函数。
3 反函数
反函数的导数可通过导函数和反函数公式计 算得到。
4 微分中值定理
科学实验
导数在物理、化学等实验中，解 释物体运动、速度变化和反应速 率。
金融策略
导数应用于金融领域中，有助于 分析股市趋势和最优投资策略。
导数与函数的极值
1
一阶导数测试
2
导数的正和变化规律可用于判断局部
极值，并进行优化和最大化。
3
局部极值
导数为零或不存在的点，可能是函数的 局部极大值或极小值点。
递增递减图像
导数图像的正负表示曲线的递增 或递减，直观展示函数的变化趋 势。
导数的计算方法
基础公式
使用基础函数求导法则进行计算，包括常数、幂 函数、指数函数和三角函数。
隐函数
通过隐函数求导法则，将隐式定义的函数转化为 显式函数进行求导。
复合函数
应用链式法则，将复杂函数拆分为简单函数，逐 步求导并组合。
二阶导数测试
二阶导数可确定极值点的凸起或凹陷性 质，判断是否为极大值或极小值。
导数的连续性
1 连续函数
连续函数的导数也连续， 不存在间断点，保持平滑 和一致的变化。
2 不连续函数
不连续函数的导数存在间 断点，变化不连续，具有 突变。
3 边界点
再导函数中，存在边界点 的导数可能为无穷大。
导数的存在性
基本原理
定积分
计算技巧
导数及其应用微积分基本定理ppt
描述物体在单位时间内运动的距离和方向，是位置向量的时间导数。
加速度向量
描述物体在单位时间内速度的变化量，是速度向量的时间导数。
利用导数描述刚体的转动
01
02
03
角位置
描述刚体绕固定轴转过的 角度。
角速度
描述刚体在单位时间内转 过的角度。
角加速度
描述刚体在单位时间内角 速度的变化量，是角速度 的时间导数。
利用导数描述流体的流动
流速
描述流体在单位时间内流过的距离。
流量
描述在一段时间内流经某一截面的流体体积。
流导
描述流量与流速的关系，是流量的时间导数。
THANKS
感谢观看
f(a))/(b-a)·x，然后利用导数研究函数的单 调性来证明。
微积分基本定理的证明
微积分基本定理的现代形式的证明方法可以归结为三种：直接法、定义法、和极 值法。
直接法是通过求导数直接得到；定义法是通过构造函数，利用定义证明；极值法 是通过研究函数的极值点来证明。
05
导数在经济学中的应用
利用导数分析经济问题
1 2
分析边际成本和收益
导数可以用来分析经济活动的边际成本和收益 ，从而帮助企业做出更准确的成本和收益分析 。
需求和供给弹性
导数可以用来计算需求和供给的弹性，从而帮 助理解价格的变动对市场需求和供给的影响。
3
最大利润原则
导数可以用来找到获得最大利润的产量和价格 ，从而帮助企业制定最优的产量和价格策略。
VS
详细描述
首先，根据不等式的形式构造一个适当的 函数，该函数往往具有某种特定的形状或 结构。然后，通过对这个函数求导，找到 它的极值点并计算出极值，这些极值往往 是证明不等式的关键。最后，利用这些极 值得出不等式的证明结果。
高中数学导数的概念课件
优化问题求解
总结词
导数在数学优化中常用于求解最值问题，通过求导可以 找到函数的极值点。
详细描述
在数学优化中，最值问题是最常见的一类问题，导数可 以用来求解这类问题。通过对函数求导，可以找到函数 的极值点，从而确定函数的最值。例如，一个企业要制 定一个营销策略，目标是最大化利润，利润函数为P(x) ，对其求导得到利润函数的导数P'(x)，通过求解P'(x)=0 ，可以找到使利润最大的最优策略。
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数可以用于数值分析中，如求 解微分方程、积分方程等，通过 求导数可以得到数值解的近似值
。
图像处理
导数可以用于图像处理中，如边 缘检测、图像滤波等，通过求图 像函数的导数可以得到图像的边
缘信息。
信号处理
导数可以用于信号处理中，如滤 波器设计、信号降噪等，通过求 信号函数的导数可以得到信号的
高中数学导数的概念课件
汇报人：
202X-01-05
CATALOGUE
目 录
• 导数的定义 • 导数的性质 • 导数的应用 • 导数的计算 • 导数在实际问题中的应用案例
01
CATALOGUE
导数的定义
导数的起源
01
导数起源于微积分，最初由牛顿 和莱布尼茨等数学家提出，用于 描述函数在某一点的变化率。
导数与函数极值
总结词
导数等于0的点可能是极值点
详细描述
函数在极值点的一阶导数等于0，但一阶导数为0的点不一定是极值点，需要进一 步判断二阶导数的正负。
导数与函数最值
总结词
导数可以帮助寻找函数最值
详细描述
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极值点，再结合一阶或二阶导数的符号变化，判断是极大值还是极小值 ，从而确定函数的最值。
高数导数的概念说课
高数导数的概念说课
高数导数的概念是微积分中的重要内容，它描述了函数在某一
点的变化率。
导数的概念可以从几何和物理的角度来理解。
在几何上，导数可以被解释为函数图像上某一点处的切线的斜率，它表示
了函数在该点附近的变化趋势。
而在物理上，导数可以被理解为物
体位置随时间变化的速度，或者其他物理量随时间变化的变化率。
从代数的角度来看，导数可以被定义为函数在某一点的极限，
即函数在该点附近的微小变化量与自变量的微小变化量的比值。
这
个定义可以用极限的符号来表示，也可以用微分的符号来表示。
导
数的计算方法包括基本的求导法则，如幂函数的导数、指数函数和
对数函数的导数、三角函数的导数等，还包括一些特殊函数的导数，如反三角函数的导数、双曲函数的导数等。
此外，导数还有一些重要的性质，比如导数与函数的连续性、
可导性的关系，导数的运算法则，以及高阶导数的概念。
这些性质
和概念都构成了导数理论的重要内容。
总的来说，高数导数的概念是微积分中的核心内容，它不仅在
数学上有重要的意义，而且在物理、工程、经济等领域都有广泛的
应用。
深入理解导数的概念对于学生建立数学模型、解决实际问题具有重要意义。
高中数学第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动《导数的概念》教案
《导数的概念》教案本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法；2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：教学过程设计t →0时，平均速通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．的区别与联系，感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度．里运动状态.（4）提问：用一个什么样的量来反映物体在某一时刻的运动状态？（5）提问：我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？例如，要求物体在2S的瞬时速度，应该怎么解决？（6）我们一起来看物理中测即时速度（瞬时速度）的视频：（7）提问：这里所测得的真的是瞬时速度吗？（8）提问：怎样使平均速度更好的表示瞬时速度？（9）在学生回答的基础上讲述：真正的瞬时速度根本无法通过仪器测定，我们将平均速度作为瞬时速度的近似值；为了使平均速度更好的表示瞬时速度，应该让时间间隔尽量小．（4）让学生体会并明确瞬时速度的作用．（5）学生思考．（6）学生观看视频并思考．（7）期望或引导答出“是平均速度”．（8）学生回答，得出“时间间隔越小越好！”（9）学生体会教师所讲结论．（2）应使学生明确平均速度与瞬时速度的关系，为下一阶段实验活动作铺垫．15分钟2．体会模型设计意图：让学生在信息技术平台上，通过定量分析感受平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程．（1）向学生提出数学实验任务：已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数h(t)=－t2t+10，请你用计算器完成下列表格中t0=2秒附近的平均速度的计算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势．数学实验记录单（1）x＞0时，在[2，2+x]内，(2)(2)h x hvx+-=x＜0时，在[2+x，2]内，(2)(2)h h xvx-+=-X v x v－－－－－－你认为运动员在t0=2秒处的瞬时速度为m/s．（2）提问：x、g(x)的含义各是什么？（3）提问：观察你自己的实验记录单，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？先展示一个同学的实验结果，并让他说说他的发现，再将计算器的结果投影，引导同学们一起观察．（4）将学生分四个组，让他们分别完成t0=1.6、1.7、1.8、1.9时的实验记录单（2）的填（1）学生在TI－nspireCAS上完成以下操作：（2）学生操作得出如下结果，完成数学实验记录单（1）的填写：（3）让学生讲他所发现的规律．（4）学生分4个组再次实验，分别完成本组的数学实验记录单（2）的填写，并观察平均速度的变化趋势，回答教师的提问．（1）应使学生在技术平台上通过多次实验感受到平均速度在t∆→0时趋近于一个常数，并理解这个常数的意义．（2）应使学生从感性上获得求瞬时速度的方法．5 4．形成概念设计意图：完成从运动物体的瞬时速度到函数瞬时变化率的过渡，形成导数的概念并给出定义．（1）给出下列图示：（2）针对上述图示，教师在启发后提问：通过前面的学习，我们知道平均速度就是函数h(t)的平均变化率．瞬时速度就是函数h(t)的瞬时变化率．同时，我们已经知道：平均速度在△t→0时的极限就是瞬时速度．那么，你能否说说，一般情况下，函数的平均变化率与瞬时变化率是一个什么关系？（3）在学生理解了函数的平均变化率与瞬时变化率的关系后提问：函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？教师介绍如下的的表示方法：函数f(x)在x= x0处的瞬时变化率可表示为limxfx∆→∆=∆00()()limxf x x f xx∆→+∆-∆．（4）教师给出导数的定义：函数()f x在x x=处的瞬时变化率0000()()lim limx xf x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆称为()y f x=在x x=处的导数，记作()()()limxf x x f xf xx∆→+∆-'=∆或x x='y，即00()()()limxf x x f xf xx∆→+∆-'=∆．（1）在教师的启发下思考函数的平均变化率与瞬时变化率之间的关系．（2）回答教师的提问．（3）理应使学生从“平均速度的极限是瞬时速度”这个具体的模型中抽象出导数的概念，并能理。
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Saturday, February 29, 2020
3. 单侧导数
（1）.左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
（2）右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
0
t
,
运动时间t
,
平均速度 v
s t
s s0 t t0
g 2 (t0
t).
当
t
t0时,瞬时速度 v
lim
tt0
g(t0 2
t)
gt0
.
比值极限的意义：
t0
t t
描述S随时间变化而变化快慢的程度（变化率）。
Higher- mathematics ( I )
31 - 5
x x0
x x0
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
比值极限意义：描述函数曲线某一点上切线的斜率
对函数来说，也描述了函数在某一点上变化率
2.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) 2
sin h
2
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
例2 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解
f (0 h)
f (0)
h ,பைடு நூலகம்
h
h
f (0 h) f (0)
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) x
f (x0 ) . x0
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率,它
反映了因变量随自变量的变化而变化的快
慢程度.
定义2 如果函数 f ( x) 在区间a,b内每一个点
h
lim
lim 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
f (0 h) f (0)
h
lim
lim 1.
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
四、导数的意义
1.几何意义
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x);
x
x
(3) 求极限 y lim y . x0 x
例1 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
f ( x0 ) tan , (为倾角) o
y f (x)
T
M
x0
x
2.物理意义: 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.
v(t) lim s ds . t0 t dt
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
q dq i(t) lim .
都可导，即对每个点x,都对应着一个确定的
导数值，这个函数叫做原来函数 f ( x) 在a,b
内的导函数,简称导数。
即 y lim f ( x x) f ( x)
x0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
条件：1.邻域内有定义；2.增量比的极限
lim
x0
y x
存在
dy dx
或
x x0
df ( x) dx
, x x0
即
y
x x0
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
导函数与点导数之间什么关系？
x1
f '(x1)
x2
f '(x2)
xn
f '(xn)
f ( x0 ) f ( x) . xx0
★ 点导数反映函数在一某点上的动态特征，如
果函数在一个区间上可导，则导函数可以反映整 个区间上的动态变化。
Higher- mathematics ( I )
31 - 9
思考题
函数 f ( x)在某点x0 处的导数 f ( x0 ) 与导函数 f ( x)有什么区别与联系？
思考题解答
两者的区别是：一个是数值，另一个是函数．
两者的联系是：在某点 x0处的导数 f ( x0 )是导 函数 f ( x)在 x0处的函数值．即x I ，有唯一 值 f ( x)与之对应.
t0 t dt
3.经济意义：经济变量对自变量的变化率（边际）
生产成本：总成本对产量的导数为边际成本.
C(x) lim C dC . x0 x dx
五、小结
1. 导数的定义(实质): 增量比的极限; 2.导函数的概念 3. f ( x0 ) a f( x0 ) f( x0 ) a; 4. 导数意义: 几何意义;物理意义；经济意义 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
单侧导数主要应用：分段函数或
函数在某一点左右变化不一致
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
1.切线斜率问题 割线的极限位置——切线位置
播放
y
如图, 割线MN绕点M旋 转而趋向极限位置MT, 直线MT就称为曲线C在 点M处的切线.
y f (x)
N
T
CM
如何表示切线斜率？
设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
o
x0
xx
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
Chapter 3
第一节
导数的概念
一、问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数 四、导数的意义 五、小结
一、问题的提出
函数连续的概念：lim y 0 x0
这说明：增量x 与增量y有非常
密切的联系。
那么式子：lim x0
y x
又有什么样的意义？
下面我们以两个背景来分析这个问题。
Saturday, February 29, 2020
二、导数的定义
定义1 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函