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函数的奇偶性的拓展运用

函数的奇偶性是函数的重要性质Z—，也是每年高考的重点和热点内容Z—。它在代数，三角函数以及高等数学中有着广泛的应用。

一、关于函数的奇偶性的定义

高小代数新教材(上册)(以下称教材)第61页，定义如下：

⑴一般地，如果对于函数/⑴ 的定义域内任意一个兀，都有，f(~x) = /(x),

那么函数/(x)就称偶函数；

⑵一般地，如果对于函数/(X)的定义域内任意一个兀，都有/(-%) = -/(%),那

么函数/(兀)就称奇函数；

定义说明：

上述定义可等价地叙述为：对于函数/(兀)的定义域内任意一个兀：

(1)/(-X)= /(x) O /(兀)是偶函数；

(2)/(-X)= -/(%)»/ ⑴奇函数；

理解定义是应用概念的前提，在教学中应注意引导学牛认识以下两点：

⑴、定义中要求“对于函数于(兀)的定义域内任意一个，都有/(-兀)±/(兀)= 0”

成立，可见/(切必有意义，即-x也局于/(Q的定义域，即自变量兀的取值要保持任意性。于是有，奇(偶)函数的定义域是一个对称数集(在数轴上表示为关于原点对称的点集)。如果将教材中函数/(x) = x2+l, f(x) = x的定义域分别

改为疋与(-3,3],学生能很快判断出它们为非奇非偶函数。也就是说：若一个函数的定义域不对称，则此函数不是奇(偶)函数，所以说，函数的定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必耍不充分条件。

⑵、定义中的等式f(-x) = -f(x)(或f(-x) = f(x))是定义域上的恒等

「1 ( X <1)

式，而不是对部分兀成立。如：函数f(x)= < 尽管当

I x + l (x >1)

<1时，都有/(-X)= /(X),但它并是非偶函数。

二、函数的奇偶性的几个性质

①、对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；

②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个兀都必须成立；

③、可逆性：/(-X)= /(X)<=> /(X)是偶函数；

/(一兀)=-f(x) O /(X)奇函数；

④、等价性：/(-X)= f(x) o f(-x) - /(X)= 0

/(-X)= -/(X)<=> /(-X)+ f(x) = 0

⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；

⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数

乂是偶函数、非奇非偶函数。

三、函数的奇偶性的判断

山前面nJ•知，两数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数乂是偶函数、非奇非偶函数四种情况。

判断函数的奇偶性人致有下列两种方法：

第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查/(无)是否与-/(兀)、f(x)相

等，判断步骤如下：

①、定义域是否关于原点对称；

②、数量关系/(-x) = ±/(x)哪个成立；

(①、②分别是函数具有奇偶性的两个必耍条件，若两个条件同时成立，联袂作用，使成为充要条件。)具体步骤如2

若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇(偶)函数的可能，到底怎样，取决于数量关系f(-x) = ±f(x)怎样成立？若f(-x) = f(x)

成立，则为偶函数;若f(-x) = -f(x)成立，则为奇函数;若f(-x) = ±f(x)成

立，则为既是奇函数也是偶函数；若f （-x ） = ±f （x ）都不成立，则为非奇非偶函 数。 例

1:判断卜•列各函数是否具有奇偶性

⑴、/(X ) = X 3+2X (教材) (2)、 /(%) = 2x 4

+ 3兀2 （教材） /J

⑶、fM = -— X- 1

(4). f(x) = x 2

XE [-1,2] （5）、 /（%）=丿兀一2+丿2— 兀

(6)、 f(x) = V%2 - -1 +V1-X 2 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数

⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数

注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。

例2：判断函数f （x ） =

+1 +兀）+ lg （j 兀2 + 1 —兀）的奇偶性

其实上速的解答是不完整的，事实上

,

© /（-X ）= 0 = /（X

）且 f （-x ） = -0 = -/（X ） 既是奇函数也是偶函数。

1.由此例题说明：若/（X ）的定义域是对称数集且表达式较复杂，在能化简时后

再按定义进行判断。

例3：判断函数/(Q = lg(x + J 兀2+1)的奇偶性

学生解答：/（兀）的定义域是/?,当XWR 时，有—兀wR 于（兀）是偶函数。 + 1 +

兀

学生解答：/(切的定义域是/?,当xeR时，有一兀wR

0 /(x) = lg(x + V%2 4-1) ........................................................... ①

0 /(-x) = lg((-x) + lg(-x + V?T1) .................. ②

・•・/*(-兀)H f(x)且/(-X)丰-f(x)

f(x)为非奇非偶函数,由①②而断言/(-x)^/U)Jl/(-x)^-/(x)太草率了，事实上，f (一兀)=lg(—兀 + J/ + 1) = lg(7x2 +1 +x)_1

=-lg(7x2 +1 + X)=-/(%)

/(X)为奇函数

这个错谋的做法，告诉我们，当/(X)的表达式较为复杂H不易化简时，直接判断

/(-x) = ±/(x)并不容易，怎么办?

2、由此例题说明：若/(兀)的定义域是关于对称数集，若用定义判断较难不易化简时，可等价地验证/(-x)±/(x) =()或当/(兀)工()时，验证上9二±1是否

/W

成立？

如例2 :我们有：/(X)4- /(-X)= lg(\/x2 4- I + x)+ lg^Vx2 + 1 - X) =lg[(厶2 + 1 + 谢 X? + 1 一x) ] = Igl =0 /. /(X)为奇函数

在三角函数小更能体现前I何所提到的两点。

例如：判断/(x) =1 + Sin^~COSX(|x| < -)的奇偶性有两条途径。(1)化简得到1 + sinx + cosx

2

X

/(X)= tan 一后知其为奇函数；(2) x = 0时，/(x) = 0,/(x)^ 0易得