1.6.3线性回归典型例题

1.6 线性回归 典型例题 产量与生产费用

的线性回归 例 某工业部门进行一项研究， 分析该部门的产量与生产费用之间的关系，

从这个工业 部门内随机抽选了 10 个企业作样本，有如下资料：

（1）计算 x 与 y 的相关系数；

（2）对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验； （ 3）设回归直线方程为 y? bx a ，求系数 a 、b ． 分析：（ 1）使用样本相关系数（即相关系数）计算公式：

n

x i y i nxy

r n i 1 n 即可完成此问：

（ x i 2 nx 2）（ y i 2 ny 2 ）

i 1 i 1

（2）查表行出显著性水平 0.05 与自由度 10－ 2相应的相关系数临界值 r 0.05 ，通过比较 r 与 r 0.05的大小，以检验所得结果，来说明 y 与 x 之间的线性相关是否显著．

（3）此问解法与上两题相同． 解：（ 1）制表：

这些量， 就无需有制表这一步， 直接算出结果就行了制表的目的是为了准确无误而快速有效 地得到 r 和 b 的值．顺便值得一提的是：电脑中的许多应用软件，特别是表格类软件是提供 统计计算函数的，用起来非常方便．

产品产量与单位成本的线性回归分析

例 针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进行线性回归分析：

分析： 这是一个实际应用的回归分析问题， 其实就是找出回归方程， 通过回归直线方程 来分析

产品

产

量

与

单

位

成

本

的

关

系

．

解： 设回归直线方程为 y? bx a,

x 777 x

10

77.7,y

116057

165.7;

10

2

x i

i1 10

70903;

i1

2

y i 2

277119;

n

x i y i

i1

132929.

132929 10 77.7 165.7

(70903 10 77.72 )( 277119 10 165.72)

0.806;

即x 与 y 的相关系数 r 0.806；

2） 查表显著性水平 0.05，自由度 10－ 2＝8 相应的相关系数临界值 r 0.05

0.6319 ；

因为， r r 0.05，所以，可以认为 x 与 y 之间具有线性相关关系．

3）

132929 10 77.7 165.7

b 2 0.397; 70903 10 77.72

a 165.7 0.397 77.7 134.8.

说明： 如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到

10 10

x i ,

i 1 i 1

y i ,

10

10

i1

2 x i

,

2 y i

, i1

10

x i y i ,

i1

6 n

21 2

n

[ a 1 (k

1)d]

a 1n

k1

n

(k k1

1)d

a 1n (0 12

1)d

na 1

n(n 1) d.

2

n (a k1

k)2

n

(a

2 k1

2ak

k 2) 2

a k1

2ak

1

2

na

2a

n

k 2

2

na

2a (n

1)n

k 2

2

na

a(n 1)n

n

k 2

.

k1

k1

k1

k1

程为： y? 77.36 1.82 x;

由于回归系数 b 为－ 1.82，由回归系数 b 的意义可知：产量每增加 下降 1.82 元．

说明：回归分析， 说明 y 与x 它们之间是一元线性回归关系． 回归方程中的回归系数 b 和 a ，刻画了这 x 与 y 两个量之间的变化趋势， 对它们所反映出的信息进行分析， 就是回归 分析．

对求和符号的理解

例 下列表达式中错误的是（ ）

n

n( n 1)

n

2

2

n

2

A ． [ a 1

(k 1)d]

na 1

B ． ( a k)2

na

a(n 1)n

k 2

k1

2

k1

k1

n

n

C ．

C k C

n

2n

1

k n k k

D ．

Cn k a n k b k

(a b)n

k1

k1 n

分： 符

表示若干个数相

“ ”的下标 k

1

上标 n 的含义是：

k1

n

即

f (k) f (k) f (1) f (2) f (n). k1

解： 分别计算 ABCD 知：

6,y

426 6 71, x i 2

i1 79,

x i y i 1481

i1

所以代入公式

1481 6 21

71

6 79 6

2

21

10 5.5

1.8182, a 71 ( 1.8182)

21

6

77.36，故回归直线方 1000 件，单位成本 n

k1

符号后的表达式中，含 k 的部分分别取 1， 2， 3， n 后所得式子依次加起来，